Tài liệu Full công thức toán 12, nguyễn văn lực

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực H oc 01 I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ uO nT hi D Định lý 1: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K . a) Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên K thì f '( x )  0 với mọi x  K b) Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến trên K thì f '( x )  0 với mọi x  K  [ f ( x ) đồng biến trên K ]  [ f '( x )  0 với mọi x  K ]  [ f ( x ) nghịch biến trên K ]  [ f '( x )  0 với mọi x  K ] ai 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ [ f '  x   0 với mọi x  K ] ie  [ f ( x ) không đổi trên K ] Định lý 2: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K . iL a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K Ta b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K [ f '  x   0 với mọi x  K ]  [ f '  x   0 với mọi x  K ]  [ f ( x ) đồng biến trên K ] up  s/ c) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f ( x ) không đổi trên K ro  [ f ( x ) nghịch biến trên K ] /g Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên K . om a) Nếu f '( x )  0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K . .c b) Nếu f '( x )  0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K ok thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K . bo Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  , ta có ce f '  x   3ax 2  2bx  c . w w w .fa a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  đồng biến trên   f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x   b) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  nghịch biến trên   f '  x   3ax 2  2 bx  c  0 x   1 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực H oc 01 NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c (a  0) ta có:   0   f ( x )  0 x        a  0    0  f ( x )  0 x        a  0 Ñeå xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá y  f  x  , ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau: ai VAÁN ÑEÀ 1: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa haøm soá uO nT hi D – Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá. – Tính y. Tìm caùc ñieåm maø taïi ñoù y  0 hoaëc y khoâng toàn taïi (goïi laø caùc ñieåm tôùi haïn) – Laäp baûng xeùt daáu y (baûng bieán thieân). Töø ñoù keát luaän caùc khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá. VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá luoân ñoàng bieán hoaëc nghòch bieán ie treân taäp xaùc ñònh (hoaëc treân töøng khoaûng xaùc ñònh) Ta  Haøm soá f ñoàng bieán treân D  y  0, x  D. iL Cho haøm soá y  f ( x , m) , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D . Töø ñoù suy ra ñieàu kieän cuûa m . ro up Chuù yù: 1) y  0 chæ xaûy ra taïi moät soá höõu haïn ñieåm. s/  Haøm soá f nghòch bieán treân D  y  0, x  D. /g 2) Neáu y  ax 2  bx  c thì: .c om  a  b  0  c  0  y '  0, x       a  0    0  a  b  0  c  0  y '  0, x       a  0    0 ok 3) Ñònh lí veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai g( x )  ax 2  bx  c : bo  Neáu   0 thì g  x  luoân cuøng daáu vôùi a . ce  Neáu   0 thì g  x  luoân cuøng daáu vôùi a (tröø x   b ) 2a .fa  Neáu   0 thì g  x  coù hai nghieäm x1 , x2 vaø trong khoaûng hai nghieäm thì g  x  khaùc w w w daáu vôùi a , ngoaøi khoaûng hai nghieäm thì g  x  cuøng daáu vôùi a . 4) So saùnh caùc nghieäm x1 , x2 cuûa tam thöùc baäc hai g( x )  ax 2  bx  c vôùi soá 0:   0   x1  x2  0   P  0 S  0   0   0  x1  x2   P  0 S  0  x1  0  x2  P  0 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực 5) Ñeå haøm soá y  ax 3  bx 2  cx  d coù ñoä daøi khoaûng ñoàng bieán (nghòch bieán)  x1; x2  baèng d thì ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Tính y . a  0   0  01  Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù khoaûng ñoàng bieán vaø nghòch bieán:  Bieán ñoåi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  4 x1 x2  d 2 H oc 1 2 uO nT hi D  Giaûi phöông trình, so vôùi ñieàu kieän 1 ñeå choïn nghieäm. ai  Söû duïng ñònh lí Viet ñöa  2  thaønh phöông trình theo m. VAÁN ÑEÀ 3: ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc Ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc ta thöïc hieän caùc böôùc sau:  Chuyeån baát ñaúng thöùc veà daïng f ( x )  0 (hoaëc , ,  ). Xeùt haøm soá y  f ( x ) treân taäp ie xaùc ñònh do ñeà baøi chæ ñònh.  Xeùt daáu f '  x  . Suy ra haøm soá ñoàng bieán hay nghòch bieán. iL  Döïa vaøo ñònh nghóa söï ñoàng bieán, nghòch bieán ñeå keát luaän. Ta Chuù yù: 1) Trong tröôøng hôïp ta chöa xeùt ñöôïc daáu cuûa f '  x  thì ta ñaët h  x   f '  x  vaø quay laïi s/ tieáp tuïc xeùt daáu h '  x  … cho ñeán khi naøo xeùt daáu ñöôïc thì thoâi. up 2) Neáu baát ñaúng thöùc coù hai bieán thì ta ñöa baát ñaúng thöùc veà daïng: f  a   f  b  . /g ro Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá f ( x ) trong khoaûng  a; b  . om VAÁN ÑEÀ 4: Chöùng minh phöông trình coù nghieäm duy nhaát Ñeå chöùng minh phöông trình f  x   g  x  (*) coù nghieäm duy nhaát, ta thöïc hieän caùc böôùc sau: .c  Choïn ñöôïc nghieäm x0 cuûa phöông trình. ok  Xeùt caùc haøm soá y  f ( x )  C1  vaø y = g(x)  C2  . Ta caàn chöùng minh moät haøm soá ñoàng bo bieán vaø moät haøm soá nghòch bieán. Khi ñoù  C1  vaø  C2  giao nhau taïi moät ñieåm duy nhaát coù hoaønh ñoä x0 . Ñoù chính laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình (*). w w w .fa ce Chuù yù: Neáu moät trong hai haøm soá laø haøm haèng y  C thì keát luaän treân vaãn ñuùng. 3 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) H oc 01 Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '  x0   0 Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1 khoảng  a; x0  và  x0 ; b  . Khi đó uO nT hi D a) Nếu f '( x )  0 với mọi x   a; x0  và f '( x )  0 với mọi x   x0 ; b  ai Giả sử hàm số y  f ( x ) liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các thì hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x0 . b) Nếu f '( x )  0 với mọi x   a; x0  và f '( x )  0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0 . Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị). Quy tắc 2 ie Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f ( x0 )  0 và f có đạo hàm iL cấp hai khác không tại điểm x0 . Khi đó Ta a) Nếu f   x0   0 thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0 up s/ b) Nếu f   x0   0 thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0 Định lý 4: ro a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị /g  f '  x   3ax 2  2 bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt. om b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị .c  f '  x   4 ax 3  2 bx  0 có ba nghiệm phân biệt. ok VAÁN ÑEÀ 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá bo Qui taéc 1: Duøng ñònh lí 1.  Tìm f   x  . .fa ce  Tìm caùc ñieåm xi  i  1, 2 ,  maø taïi ñoù ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng coù ñaïo haøm.  Xeùt daáu f   x  . Neáu f   x  ñoåi daáu khi x ñi qua xi thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi xi . w w w Qui taéc 2: Duøng ñònh lí 2.  Tính f   x  .  Giaûi phöông trình f   x   0 tìm caùc nghieäm xi  i  1, 2,  .  Tính f   x  vaø f   xi   i  1, 2,  . Neáu f   xi   0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi xi . 4 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực Neáu f   xi   0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi xi . VAÁN ÑEÀ 2: Tìm ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò 01 1. Neáu haøm soá y  f ( x ) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f   x0   0 hoaëc taïi x0 khoâng coù ñaïo haøm. Chuù yù: H oc 2. Ñeå haøm soá y  f ( x ) ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 thì f   x  ñoåi daáu khi x ñi qua x0 .  Haøm soá baäc ba y  ax 3  bx 2  cx  d coù cöïc trò  Phöông trình y  0 coù hai nghieäm uO nT hi D ai phaân bieät. Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y  x0  baèng hai caùch: + y  x0   ax03  bx02  cx0  d + y  x0   Ax0  B , trong ñoù Ax  B laø phaàn dö trong pheùp chia y cho y. ax 2  bx  c P( x )   aa '  0  coù cöïc trò  Phöông trình y  0 coù hai a' x  b' Q( x ) b' nghieäm phaân bieät khaùc  . a' Khi ñoù neáu x0 laø ñieåm cöïc trò thì ta coù theå tính giaù trò cöïc trò y  x0  baèng hai caùch: Q  x0  P ' x0 Ta P  x0  y  x0   hoaëc Q ' x0 s/ y  x0   iL ie  Haøm soá y   Khi söû duïng ñieàu kieän caàn ñeå xeùt haøm soá coù cöïc trò caàn phaûi kieåm tra laïi ñeå loaïi boû /g ro up nghieäm ngoaïi lai.  Khi giaûi caùc baøi taäp loaïi naøy thöôøng ta coøn söû duïng caùc kieán thöùc khaùc nöõa, nhaát laø ñònh lí Vi–et. om VAÁN ÑEÀ 3: Ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò 1) Haøm soá baäc ba y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d . .c  Chia f  x  cho f   x  ta ñöôïc: f  x   Q  x  . f   x   Ax  B.  y  fx  Ax  B ok 1 1  Khi ñoù, giaû söû  x1; y1  ,  x2 ; y2  laø caùc ñieåm cöïc trò thì:  1 y  fx  Ax  2 1 2 B bo  Caùc ñieåm  x1; y1  ,  x2 ; y2  naèm treân ñöôøng thaúng y  Ax  B. w w w .fa ce 2) Haøm soá phaân thöùc y  f ( x )  P( x ) ax 2  bx  c .  Q( x ) dx  e  Giaû söû  x0 ; y0  laø ñieåm cöïc trò thì y0  P '  x0  Q '  x0  .  Giaû söû haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu thì phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc trò aáy laø: y  P 'x Q 'x  2 ax  b . d 5 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực 3. GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 01 VAÁN ÑEÀ 1: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch laäp baûng bieán thieân H oc Caùch 1: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät khoaûng.  Tính f   x  .  Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän. uO nT hi D Caùch 2: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn  a; b  .  Tính f   x  . ai  Xeùt daáu f   x  vaø laäp baûng bieán thieân.  Giaûi phöông trình f   x   0 tìm ñöôïc caùc nghieäm x1 , x2 , , xn treân  a; b  (neáu coù).  Tính f  a  , f  b  , f  x1  , f  x2  , , f  xn  .  So saùnh caùc giaù trò vöøa tính vaø keát luaän. M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) ie [ a; b ] iL m  min f ( x )  min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ) Ta [ a; b ] s/ VAÁN ÑEÀ 2: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng baát ñaúng thöùc /g ro up Caùch naøy döïa tröïc tieáp vaøo ñònh nghóa GTLN, GTNN cuûa haøm soá.  Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc.  Tìm moät ñieåm thuoäc D sao cho öùng vôùi giaù trò aáy, baát ñaúng thöùc vöøa tìm ñöôïc trôû thaønh ñaúng thöùc. Một số kiến thức thường dùng: 2 w w w .fa ce bo ok .c om  b   a) f ( x )  ax  bx  c  a  x    2a  4a  b) Bất đẳng thức Cô-si: ab Với hai số a, b không âm  a, b  0  ta luôn có:  ab  a  b  2 ab 2 Dấu "=" xảy ra khi a  b abc 3 Với ba số a, b, c không âm  a, b, c  0  ta luôn có:  abc  a  b  c  3 3 abc 3 Dấu "=" xảy ra khi a  b  c c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng 2 1) a2  b2  2ab  ab  a2  b2 2 2) (a  b)2  4ab   ab  (a  b)2 4 3) (a  b)2  2(a2  b2 )  a2  b2  ( a  b)2 2 6 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực VAÁN ÑEÀ 3: Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch duøng mieàn giaù trò Xeùt baøi toaùn tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá f ( x ) treân moät mieàn D cho tröôùc.  f ( x )  y0  x  D (1) (2) H oc Tuyø theo daïng cuûa heä treân maø ta coù caùc ñieàu kieän töông öùng. Thoâng thöôøng ñieàu kieän aáy (sau khi bieán ñoåi) coù daïng: m  y0  M (3) Vì y0 laø moät giaù trò baát kì cuûa f  x  neân töø (3) ta suy ra ñöôïc: ai min f ( x )  m; max f ( x )  M D uO nT hi D D VAÁN ÑEÀ 4: Söû duïng GTLN, GTNN cuûa haøm soá trong PT, HPT, BPT Giaû söû f  x  laø moät haøm soá lieân tuïc treân mieàn D vaø coù min f ( x )  m; max f ( x )  M . Khi ñoù: D D iL ie  f ( x)   1) Heä phöông trình  coù nghieäm  m    M . x  D  f ( x)   2) Heä baát phöông trình  coù nghieäm  M   . x  D 01 Goïi y0 laø moät giaù trò tuyø yù cuûa f  x  treân D , thì heä phöông trình (aån x) sau coù nghieäm: s/ Ta  f (x)   3) Heä baát phöông trình  coù nghieäm  m   . x  D 4) Baát phöông trình f  x    ñuùng vôùi moïi x  m   . w w w .fa ce bo ok .c om /g ro up 5) Baát phöông trình f  x    ñuùng vôùi moïi x  M   . 7 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: lim f ( x )   ; lim f ( x )   ; x  x0  lim f ( x )   ; x  x0  x  x0  H oc 1. Ñònh nghóa:  Ñöôøng thaúng x  x0 ñược gọi là ñöôøng tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá y  f ( x ) neáu lim f ( x )   x  x0  ai  Ñöôøng thaúng y  y0 ñược gọi là ñöôøng tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá y  f ( x ) neáu x  uO nT hi D ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: lim f ( x )  y0 ; lim f ( x )  y0 x   Ñöôøng thaúng y  ax  b, a  0 ñược gọi là ñöôøng tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá y  f ( x ) neáu ít nhaát moät trong caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn: lim x   f ( x )  (ax  b)  0 ; lim x   f ( x )  (ax  b)  0 P( x ) laø haøm soá phaân thöùc höõu tyû. Q( x ) iL a) Neáu y  f ( x )  ie 2. Chuù yù: Ta  Neáu Q  x   0 coù nghieäm x0 thì ñoà thò coù tieäm caän ñöùng x  x0 .      Neáu baäc  P  x    baäc  Q  x    1 thì ñoà thò coù tieäm caän xieân. up s/  Neáu baäc P  x   baäc Q  x  thì ñoà thò coù tieäm caän ngang. w w w .fa ce bo ok .c om /g ro b) Ñeå xaùc ñònh caùc heä soá a, b trong phöông trình cuûa tieäm caän xieân, ta coù theå aùp duïng caùc coâng thöùc sau: f ( x) a  lim ; b  lim  f ( x )  ax  x  x x  f ( x) hoaëc a  lim ; b  lim  f ( x )  ax  x  x x  8 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực w w w .fa ce bo ok .c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D ai H oc Caùc böôùc khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá  Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá.  Xeùt söï bieán thieân cuûa haøm soá: + Tính y. + Tìm caùc ñieåm taïi ñoù ñaïo haøm y baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh. + Tìm caùc giôùi haïn taïi voâ cöïc, giôùi haïn voâ cöïc vaø tìm tieäm caän (neáu coù). + Laäp baûng bieán thieân ghi roõ daáu cuûa ñaïo haøm, chieàu bieán thieân, cöïc trò cuûa haøm soá.  Veõ ñoà thò cuûa haøm soá: + Veõ caùc ñöôøng tieäm caän (neáu coù) cuûa ñoà thò. + Xaùc ñònh moät soá ñieåm ñaëc bieät cuûa ñoà thò nhö giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toaï ñoä (trong tröôøng hôïp ñoà thò khoâng caét caùc truïc toaï ñoä hoaëc vieäc tìm toaï ñoä giao ñieåm phöùc taïp thì coù theå boû qua). Coù theå tìm theâm moät soá ñieåm thuoäc ñoà thò ñeå coù theå veõ chính xaùc hôn. + Nhaän xeùt veà ñoà thò: Chæ ra truïc ñoái xöùng, taâm ñoái xöùng (neáu coù) cuûa ñoà thò. 01 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 9 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực 6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán tổng quát uO nT hi D ai H oc 01 (C ) : y  f ( x ) Trong mp  Oxy  . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số:  1 (C2 ) : y  g( x ) C1  và C2  cắt nhau C1  và C2  tiếp xúc nhau ie C1  và C2  không có điểm chung Ta iL Phương pháp chung: * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: f  x   g  x           1  up của hai đồ thị  C1  và  C2  . s/ * Tùy theo số nghiệm của phương trình 1 mà ta kết luận về số điểm chung ro Lưu ý: Số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của hai đồ thị  C1  và  C2  . om /g Ghi nhớ: Số nghiệm của pt 1 bằng số giao điểm của hai đồ thị  C1  và  C2  . .c Chú ý 1 : * 1 vô nghiệm ok * 1 có n nghiệm   C1  và C2  không có điểm điểm chung C1  và C2  có n điểm chung ce bo Chú ý 2 : * Nghiệm x0 của phương trình 1 chính là hoành độ điểm chung của  C1  và  C2  . w w w .fa Khi đó tung độ điểm chung là y0  f  x0  hoặc y0  g  x0  . 10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực uO nT hi D ai H oc Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y  f(x) tại điểm M0 (x0 ; y 0 )  (C) 01 7. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp: hoành độ tiếp điểm y0 : tung độ tiếp điểm và y0  f  x0  k: hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức: k  f '  x0  up s/ Ta x0 : ro Trong đó: y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) iL y  y0  k  x  x0  hay ie Phương trình tiếp tuyến với  C  tại M  x0 ; y0  có dạng: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y  f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước w w w .fa ce bo ok .c om /g Dạng 2: Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với  C  Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f   x0   k , từ đó suy ra y0  f ( x0 )  ? Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào phương trình: y  y0  k  x  x0  ta sẽ được phương trình tiếp tuyến cần tìm. 11 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực ai H oc 01 Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song songtiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước . của    là: k  a uO nT hi D Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: Định lý 1: Nếu đường thẳng    có phương trình dạng: y  ax  b thì hệ số góc Định lý 2: Trong mp  Oxy  cho hai đường thẳng (1 ) vaø ( 2 ) . Khi đó:  k 1  k 2 1   2  k 1 .k 2  1 Ta iL ie 1 //  2 s/ Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với  C  : y  f(x) biết ok .c om /g ro up tiếp tuyến đi qua điểm A  x A ; y A  bo Phương pháp : Ta có thể tiến hành theo các bước sau w w w .fa ce Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến  d  với  C  tại điểm M 0  x0 ; y0   (C ) (d ) : y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 )  * Bước 2: Định x0 để  d  đi qua điểm A  x A ; y A  Ta có:  d  đi qua điểm A  x A ; y A   y A  f '( x0 )( x A  x0 )  f ( x0 ) 1 Bước 3: Giải phương trình 1 tìm x0 . Thay x0 tìm được vào  * ta sẽ được phương trình tiếp tuyến cần tìm. 12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực Cơ sở của phương pháp Xét phương trình f  x   g  x   1  H oc Nghiệm x0 của phương trình 1 chính là hoành độ giao điểm của  C1  : y  f  x  y (C1 ) và  C2  : y  f  x  uO nT hi D ai (C2 ) x x0 Bài toán: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng: f x  m  * iL ie Phương pháp: Ta Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:  (C ) : y  f ( x ) : (C) laø ñoà thò coá ñònh s/ : () laø ñöôøng thaúng di ñoäng cuøng phöông Ox vaø caét Oy taïi M(0;m) up  ( ) : y  m Bước 2: Vẽ  C  và    lên cùng một hệ trục tọa độ ro Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của    và  C  om /g Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình  * (C ) : y  f ( x ) x ok O m1  (0; m) ym Dạng: f  x   g m giải tương tự w w w .fa ce bo y m2 .c Minh họa: 01 8. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 13 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực 9. TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy ) , tập hợp  C  tất cả các điểm có toạ độ  x; f ( x)  với x  D Từ định nghĩa ta có: (C )  M / M ( x; y ) vôùi x  D vaø y  f(x) iL Phương pháp chung Đặt M  x0 , y0   C  với y0  f  x0  là điểm cần tìm; ie M ( x0 ; y 0 )  (C )  x0  D và y 0  f ( x0 ) uO nT hi D ai H oc được gọi là đồ thị của hàm số y  f ( x) . 01 Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D. Ta Từ điều kiện cho trước ta tìm một phương trình chứa x0 ; w w w .fa ce bo ok .c om /g ro up s/ Giải phương trình tìm x0 , suy ra y0  f  x0   M  x 0 ; y0  . 14 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực H oc 01 II. HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT uO nT hi D ai §1. LŨY THỪA 1. Ñònh nghóa luyõ thöøa Cô soá a a a0   n (n  *) a0 m (m  , n  *) n   lim rn (rn  , n  *) a   a n  n a m (n a  b  b n  a) a0 a   lim a rn up s/ a0 2. Tính chaát cuûa luyõ thöøa ro  Vôùi moïi a  0, b  0 ta coù:  /g a  a   a Ta m  ; ; ( a  )   a  . ; (ab)   a  .b  om a  .a   a    a   a n  a.a......a (n thöøa soá a) a  a0  1 1 a   a n  n a ie  n *  0 Luyõ thöøa a iL Soá muõ  a a ;     b b a  1 : a  a      ;  .c 0  a  1 : a  a      am  bm  m  0 ; bo ok  Vôùi 0  a  b ta coù: am  bm  m  0 ce Chuù yù: + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ 0 vaø soá muõ nguyeân aâm thì cô soá a phaûi khaùc 0 . .fa + Khi xeùt luyõ thöøa vôùi soá muõ khoâng nguyeân thì cô soá a phaûi döông.  Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho b n  a .  Vôùi a, b  0, m, n  *, p, q   ta coù: n w w w 3. Ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caên thöùc n p a p   n a  (a  0) ; ab  n a .n b ; mn n a na  (b  0) ; b nb a  mn a 15 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Neáu Thầy Nguyễn Văn Lực p q  thì n m n ap  m a q (a  0) ; Ñaëc bieät  Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a  b thì n n a mn am anb. Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0  a  b thì n anb. n a. H oc + Khi n leû, moãi soá thöïc a chæ coù moät caên baäc n . Kí hieäu 01 Chuù yù: + Khi n chaün, moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc n laø hai soá ñoái nhau. ai 4. Coâng thöùc laõi keùp Goïi A laø soá tieàn göûi, r laø laõi suaát moãi kì, N laø soá kì. uO nT hi D Soá tieàn thu ñöôïc (caû voán laãn laõi) laø: C  A(1  r ) N iL ie §2. HÀM SỐ LŨY THỪA Ta Ñònh nghóa Haøm soá y  x Taäp xaùc ñònh D   n ( n nguyeân döông ) y  xn D y  xn D   \ 0 y  x D   0;   up s/ Soá muõ  om 1 xn /g  laø soá thöïc khoâng nguyeân ro   n ( n nguyeân aâm hoaëc n  0)  x    x 1 ( x  0) ; bo  ok Ñaïo haøm khoâng ñoàng nhaát vôùi haøm soá y  n x (n  *) . .c Chuù yù: Haøm soá y   n x   1 n n x n1  vôùi x  0 neáu n chaün   vôùi x  0 neáu n leû  .    n u   u n n un1 w .fa ce Chuù yù:  u    u 1.u w w §3. LÔGARIT 1. Ñònh nghóa   Vôùi a  0, a  1, b  0 ta coù: loga b    a  b 16 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực  Chuù yù: loga b coù nghóa khi a  0, a  1 b  0  Logarit thaäp phaân: lg b  log b  log10 b  Logarit töï nhieân (logarit Nepe):  1 ln b  loge b (vôùi e  lim  1    2,718281 )  n 01 n loga ab  b ; loga a  1 ;  log a 1  0 ; a log a b  b ( b  0) 3. Caùc qui taéc tính logarit Vôùi a  0, a  1, b, c  0 , ta coù: b  log a    log a b  log a c c  log a (bc)  loga b  log a c  log a b   log a b Ta iL ie 4. Ñoåi cô soá Vôùi a, b, c  0 vaø a, b  1, ta coù: loga c  logb c  hay log a b.log b c  loga c loga b 1 log b a 1  log a c (  0) s/  log a c  ro up  log a b  uO nT hi D + Neáu 0  a  1 thì log a b  log a c  b  c ai  Cho a  0, a  1, b, c  0 . Khi ñoù: + Neáu a  1 thì log a b  log a c  b  c H oc 2. Tính chaát om /g §4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT y y y=ax 1 y=ax 1 x x w w w .fa ce bo ok .c 1. Haøm soá muõ y  a x ( a  0, a  1).  Taäp xaùc ñònh: D  .  Taäp giaù trò: T  ( 0;  ).  Khi a  1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0  a  1 haøm soá nghòch bieán.  Nhaän truïc hoaønh laøm tieäm caän ngang.  Ñoà thò: a>1 01  au   au ln a.u  e x   e x ;  eu   eu .u   loga x   x ln1 a ;  loga u   u lnu a   ln x   1  x x  ln u   u u /g ro up  0 ; s/ Ta iL  a x   a x ln a ; ie 3. Ñaïo haøm  x 1 x y=logax H oc y=logax ai  Taäp xaùc ñònh: D  ( 0;  ).  Taäp giaù trò: T  .  Khi a  1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0  a  1 haøm soá nghòch bieán.  Nhaän truïc tung laøm tieäm caän ñöùng.  Ñoà thò: y y 01 2. Haøm soá logarit y  loga x ( a  0, a  1). PHƯƠNG TRÌNH MŨ bo ok .c om §5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Phöông trình muõ cô baûn: w w w .fa ce b  0 Vôùi a  0, a  1 :   a x  b    x  log a b 2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình muõ a) Ñöa veà cuøng cô soá: Vôùi a  0, a  1 :    a f ( x )  a g( x )  f ( x )  g( x ) Chuù yù: Trong tröôøng hôïp cô soá coù chöùa aån soá thì: a M  a N  (a  1)( M  N )  0 b) Logarit hoaù: a f ( x )  b g ( x )  f ( x)   log a b  .g ( x) c) Ñaët aån phuï: 18 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực  Daïng 1: f ( x)  , t  0 , trong ñoù P t laø ña thöùc theo t . P ( a f ( x ) )  0  t  a   P (t )  0  Daïng 2:  a2 f ( x )   (ab) f ( x )   b2 f ( x )  0  Daïng 3: a f ( x )  b f ( x )  m , vôùi ab  1 . Ñaët t  a f ( x )  b f ( x )  01 f (x) 1 t ai d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá Xeùt phöông trình: f  x   g  x        1  H oc a Chia 2 veá cho b 2 f ( x ) , roài ñaët aån phuï t    b uO nT hi D  Ñoaùn nhaän x0 laø moät nghieäm cuûa 1 .  Döïa vaøo tính ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa f  x  vaø g  x  ñeå keát luaän x0 laø up s/ Ta iL e) Ñöa veà phöông trình caùc phöông trình ñaëc bieät A  0  Phöông trình tích A.B  0   B  0   Phöông trình A2  B 2  0   A  0 B  0 f) Phöông phaùp ñoái laäp Xeùt phöông trình: f  x   g  x        1  ie  nghieäm duy nhaát:  f ( x ) ñoàng bieán vaø g( x ) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët).  f ( x ) ñôn ñieäu vaø g( x )  c haèng soá  Neáu f  x  ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) thì f (u)  f (v )  u  v  Neáu ta chöùng minh ñöôïc:  f ( x )  M  g( x )  M 1   f ( x)  M   g( x )  M /g ro thì om PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT .c 1. Phöông trình logarit cô baûn ok Vôùi a  0, a  1 :    loga x  b  x  a b bo 2. Moät soá phöông phaùp giaûi phöông trình logarit a) Ñöa veà cuøng cô soá w w w .fa ce  f ( x )  g( x ) Vôùi a  0, a  1 :    log a f ( x )  log a g( x )    f ( x )  0 (hoaëc g( x )  0) b) Muõ hoaù Vôùi a  0, a  1 :    loga f ( x )  b  a loga f ( x )  ab c) Ñaët aån phuï d) Söû duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá e) Ñöa veà phöông trình ñaëc bieät f) Phöông phaùp ñoái laäp Chuù yù:  Khi giaûi phöông trình logarit caàn chuù yù ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa. 19 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CÔNG THỨC TOÁN 12 Thầy Nguyễn Văn Lực a logb c c log b a w w w .fa ce bo ok .c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D ai H oc 01  Vôùi a, b, c  0 vaø a, b, c  1 : 20 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01