Tài liệu [FILE WORD] 17. chuyên đề mặt tròn xoay, nón trụ cầu

Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 1|Page Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 MỤC LỤC MỤC LỤC.................................................................................................................................................1 HÌNH NÓN - KHỐI NÓN......................................................................................................................3 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT...............................................................................................................3 B – BÀI TẬP.........................................................................................................................................4 HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ.....................................................................................................................20 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT.............................................................................................................20 B – BÀI TẬP.......................................................................................................................................21 MẶT CẦU – KHỐI CẦU.....................................................................................................................39 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT.............................................................................................................39 B – BÀI TẬP.......................................................................................................................................41 2|Page Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 HÌNH NÓN - KHỐI NÓN A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1) Mặt nón tròn xoay + Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0 < β < 900. Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1). + Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh. 2) Hình nón tròn xoay + Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2). + Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. + Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón. 3) Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là ℓ thì có: + Diện tích xung quanh: Sxq=π.r.l + Diện tích đáy (hình tròn): Str=π.r2 + Diện tích toàn phần hình tròn: S = Str + Sxq 1 3 1 3 + Thể tích khối nón: Vnón = Str.h = π.r2.h. 4) Tính chất: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh→Thiết diện là tam giác cân. + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón→giao tuyến là một đường tròn. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón→giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón→giao tuyến là 1 đường parabol. 3|Page Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 B – BÀI TẬP Câu 1: Hình ABCD khi quay quanh BC thì tạo ra: A. Một hình trụ B. Một hình nón C. Một hình nón cụt D. Hai hình nón Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của BC và AD. Khi quay hình ABCD quanh BC tức là tam giác vuông OBA quanh OB và tam giác vuông OCD quanh OC. Mỗi hình quay sẽ tạo ra một hình nón nên hình tạo ra sẽ tạo ra 2 hình nón. Chọn đáp án D. Câu 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là : 1 2 3 2 a a 2 2 a 2a 2 4 B. C. D. A. Hướng dâẫn giải: a a 2 r  ; l  a; S xq  rl  2 2 nên Chọn đáp án C. h  20cm r  25cm Câu 3: Một hình nón có đường cao , bán kính đáy . Tính diện tích xung quanh của hình nón đó: 5 41 25 41 75 41 125 41 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: l  h 2  r 2  5 41 cm Đường sinh của hình nón S xq  r l  125 41 cm 2 Diện tích xung quanh: Chọn đáp án D. Câu 4: Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a, biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là: 3a 3 2 3a3 a 3 3 a 3 3 24 9 8 B. C. D. A. Hướng dẫn giải: 4|Page Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 a 2 Bán kính đáy khối nón là , chiều cao khối nón là 2 1  a  a 3 a 3 3 V    .  3 2 2 24 , Chọn đáp án C. a 3 2 , suy ra Câu 5: Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b khi quay xung quang trục AA’. Diện tích S là: b 2 3 b 2 6 b 2 2 b 2 B. C. D. A. Hướng dẫn giải: 3   2 S = rl với r = b ;l=b vậy S = b2 Chọn đáp án D. √6 nên SC  a 6 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là: 4a 3 a 3 2 a 3 3 a 3 3 3 6 3 6 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: AC  a 2  SA  SC 2  AC 2  6a 2  2a 2  2a Ta có ngay Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có thể tích là: 1 1 1 4 a 3 V   R 2 h   AC 2 .SA   .2a 2 .2a  3 3 3 3 . Chọn đáp án A. Câu 7: Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 60 900 . Cắt hình nón bằng mặt phẳng (P) 0 đi qua đỉnh sao cho góc giữa (P) và mặt đáy hình nón bằng . Khi đó diện tích thiết diện là : 2  2a  3 2 2 2 3 2 a a a 3 2 3 2 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Gọi S là đỉnh hình nón,O là tâm đường tròn đáy; I là trung điểm AB , Góc tạo bởi mp thiết diện và đáy là góc SIO. 5|Page Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Suy luận được OA=OS= 2a 2 Std   3 a 2 2 a 2 3 ; SI= ; OI= a 6 6 a 2a 3 ; AI= 3 ; AB= ; Chọn đáp án A. Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó quanh trục AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành ? A. Một B. Hai C. Ba D. Không có hình nón nào Hướng dẫn giải: Khi quay ta được hình như bên cạnh, hình này được tạo thành từ hai hình nón. Chọn đáp án B. Câu 9: Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 900. Thể tích của khối nón xác định bởi hình nón trên: h 3 2h 3 6h 3 2h3 3 3 3 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Do góc ở đỉnh của hình nón bằng 900 nên thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân. Suy ra Rh bán kính đáy của hình nón là 1 h3 V  R 2h  3 3 Thể tích khối nón là : Chọn đáp án A. Câu 10: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình SAO  300 SAB  600 nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng 2 và ; . Tính diện tích xung quanh hình nón ? 3 2 4 3 2 3 3 2 4 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: OI  AB; SI  AB; OI  2 Gọi I là trung điểm của AB thì 6|Page Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Lại có  3  AO  SA.cos SAO  SA.  2   AI  SA.cos SAI  SA   2 AI 1  AO 3 Từ đó ta có . Mặt khác AI 6 2  cos IAO  sin IAO    OA  6 AO 3 OA SA  OA 2  6. 2 2 cos30 3 Mà S xq  .OA.SA  4 3 Diện tích xung quanh cần tính là: Chọn đáp án A. Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc nón đỉnh S đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD là: a 3 3 a 3 2 a3 2 12 12 6 A. B. C. Hướng dẫn giải:  SA  a; Tam giác SAB đều 2a 2 a 2 SO  SA2  AO 2  a 2   ; 4 2  SAB  600 D. . Thể tích của hình a 3 3 6 a 2 2 1 a 2 2 a 2 a3 2  V  ( ).  3 2 2 12 R  AO  Chọn đáp án B. ABCD.A���� BC D Câu 12: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A’B’C’D’. Diện tích xung quanh của hình nón đó là: a 2 3 a 2 2 a 2 5 a 2 6 3 2 4 2 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: 7|Page Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 1 a 5 a 2  ( a)2  2 2 Hướng dẫn: Độ dài đường sinh bằng: rl   a a 5 a 2 5  2 2 4 Diện tích xung quanh hình nón bằng: Chọn đáp án C. a 10 2a Câu 13: Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, AB = , BC = . Gọi H là trung điểm BC. V của Tính thể tích của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH. V  2a 3 V  3a 3 V  9a 3 V  a 3 B. C. D. A. Hướng dẫn giải: l  AB  a 10 + Đường sinh BC r a h  l 2  r 2  3a  2 + Bán kính đáy đường cao 1 V  hr 2  a 3 3 + Thể tích của hình nón tạo thành Chọn đáp án D. Câu 14: Cho hình tròn có bán kính là 6. Cắt bỏ tròn giữa 2 bán kính OA, OB, rồi ghép 2 bán kính đó lại sao cho thành một hình nón (như hình vẽ). Thể tích khối nón tương ứng đó là : 81 7 8 . B. 9 7 8 1 4 hình C. 81 7 4 A. Hướng dẫn giải: 8|Page D. 9 7 2 Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 3 .12 9 3 7 1 81 7 r 4  ;h  l2  r2  ;V  r 2 .h  2 2 2 3 8 nên Chọn đáp án A. Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a, một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A’B’C’D’. Diện tích xung quanh của hình nón đó là: a 2 3 a 2 2 a 2 3 a 2 6 3 2 2 2 B. C. D. A. Hướng dẫn giải: 2 6 a 2 3 a a  2 2 2 S = rl với r = ;l= vậy S = nên Chọn đáp án C. Câu 16: Một hình nón được cắt bởi một mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng này chia với mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tỉ số thể tích của hình nón phía trên mặt phẳng (P) và hình nón cho trước là số nào? 1 1 2 2 4 8 2 8 B. C. D. A. Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm của đáy, mặt phẳng (P) cắt SO tại O’. 2 S' S' 1  SO '      S S ' S ' 2  SO  Theo đề 3 SO ' 1 V '  SO '  1 2        SO V  SO  2 2 4 2 Chọn đáp án C. OA  OB  a, OC  a 2 OC   OAB  Câu 17: Cho tứ diện OABC có OAB là tam giác vuông cân. và . Xét hình nón tròn xoay đỉnh C, đáy là đường tròn tâm O, bán kính a. Hãy chọn câu sai. A. Đường sinh hình nón bằng B. Khoảng cách từ O đến thiết diện (ABC) bằng C. Thiết diện (ABC) là tam giác đều. D. Thiết diện (ABC) hợp với đáy góc 450. Hướng dẫn giải: AB  a 2 Tam giác OAB vuông cân tại O nên a 2 3a 2 a 6 OAC : AC 2  OA2  OC 2  a 2   AC  AB  AC 2 2 2 , . Vì : Chọn đáp án C. Câu 18: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a, có diện tích xung quanh là: 9|Page Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 S xq  a  3 S xq  a 2 2 3 S xq  A. B. Hướng dẫn giải: SO   ABC  ; SH  BC  OH  BC Kẻ 2 2 a 3 a 3 OA  AH  .  3 3 3 3 Ta có: a 3 S xq  .OA.SA  . .a 3 Sxq  C. a 2 3 3 S xq  D. a 2 3 6 a 2 3 3 B Chọn đáp án C. r  5cm Câu 19: Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l = 13 cm và bán kính đáy . Khi đó thể tích khối nón là: 325 V  cm3 3 3 V  100 cm V  300 cm V  20 cm3 3 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: h  132  52  12cm Chiều cao h của khối nón là 1 V  .52.12  100 cm3 3 Thể tích khối nón: Chọn đáp án A. Câu 20: Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Diện tích xung quanh của phễu là: 10 | P a g e Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 S xq  360 cm 2 A. S xq  424 cm 2 B. S xq  296  cm 2 S xq  960 cm 2 C. D. Hướng dẫn giải: S xq  2..8.10  .8.17  296 cm2 Chọn đáp án C. 4R 3 Câu 21: Một hình nón có bán kính đáy bằng R, đường cao . Khi đó, góc ở đỉnh của hình nón là 2 . Khi đó khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 3 3 3 3 tan   cot   cos   sin   5 5 5 5 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Gọi các điểm như hình vẽ bên 4R 5R HC  R, SH   SC  3 3 Khi đó HC 3 sin    SC 5 Ta có Chọn đáp án A. Câu 22: Cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 450. Hình tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD, có diện tích xung quanh là: a 2 a 2 2 2 S xq  S xq  S xq  2a S xq  a 2 4 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: SO   ABCD  SOA Hình tròn xoay này là hình nón. Kẻ thì O là tâm của hình vuông ABCD. Do vuông cân tại O nên AB a a 2 a 2 .SA  . .a  SA  OA 2  . 2  a S xq   2 2 2 2 , Chọn đáp án C. 11 | P a g e Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Câu 23: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng a 2 3a 2 a 2 2 a 2 2 2 2 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Giả sử SAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ) SA  SB  a Tam giác SAB cân tại S và là tam giác cân nên 1 a 2 SO  OA  AB  AB  SA2  SB 2  a 2 2 2 Do đó, và Vậy, diện tích xung quanh của hình nón : a 2 a 2 2 S xq  rl  . .a  2 2 Chọn đáp án B. Câu 24: Cho hình nón S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao � � SAO  300 , SAB  60 0 cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và . Tính diện tích xung quanh hình nón. 2 2 2 3a a a 3 S xq  S xq  S xq  S xq  a 2 3 2 2 2 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của AB thì SA 3 SA OA  , AI  OI  AB,SI  AB,OI  a 2 2 . Ta có AI 1 AI �   cos IAO OA 3 OA Từ đó , mà 6 a a 6 �  sin IAO    OA  SA  a 2 3 OA 2 , và 2 S xq  .OA.SA   a 3 Vậy Chọn đáp án D. Câu 25: Cho một hình cầu bán kính 5cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo thành là một đường kính 4cm. Tính thể tích của khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm   3,14 hình cầu đã cho. (lấy , kết quả làm tròn tới hàng phần trăm). 50, 24 ml 19,19 ml 12,56 ml 76,74 ml A. B. C. D. Hướng dẫn giải: 12 | P a g e Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Ta có: MN  4cm  MA  2cm  OA  MO 2  MA2  21cm S d  R 2  3,14.4  cm 2  V 1 21.3,14.4  19,185  ml   19,19 ml 3 Chọn đáp án B. Câu 26: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD. Khi đó diện tích xung quanh và thể tích của hình nón bằng a 3 6 a 3 3 S xq  a 2 ;V  S xq  a 2 ;V  12 12 A. B. 3 a 3 a 3 6 2 2 S xq  2a ;V  S xq  2a ;V  12 6 C. D. Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do S.ABCD là hình chóp SO   ACBD  đều nên Suy ra, OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mp(ABCD) a 2 r  OB  �  600 SBO 2 Do đó, . Kết hợp ta suy ra : a 2 a 6 h  SO  OB.tan 600  . 3 2 2 l  SB  OB a 2  a 2 0 cos60 2.cos 600 S xq  .r.l  . a 2 .a 2  a 2 2 Diện tích xung quanh của mặt nón: 1 2 1 a 2 a 6 a 3 6 V  .r .h   .  3 3 2 2 12 Thể tích hình nón: Chọn đáp án B. 13 | P a g e Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 OO '  R 2 Câu 27: Một hình trụ tròn xoay, bán kính đáy bằng R, trục . Một đoạn thẳng A   O  , B   O ' đầu . Góc giữa AB và trục hình trụ gần giá trị nào sau đây nhất 0 55 450 600 750 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: B ' B  O 'O  R 2 Kẻ đường sinh B’B thì BB ' R 2 1 ABB ' : cos   cos � ' B  AB      54,7 0 AB R 6 3 Chọn đáp án A. 3 � SAB    600 Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h = và góc diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S  2  2  2  2 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 Hướng dẫn giải: r  OA, SO  h, SA  SB  SC  l Đặt là đường sinh của hình nón. VSOA Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có vuông tại O: 2 2 2 2 2 2 SA  SO  OA  l  r  h (1) VSIA : AI  SA.c os <=> Do đó S xq  rl  h cos a. 2 1  2cos 2 a . Tính r 2  l cos   r  l cos  2 2 (1)  l 2  h 2  2l 2cos 2  h 2  l 2 (1  2cos 2 a )  l  r  l cos a. 2  AB  R 6 h 1  2cos 2 a h cos a. 2 1  2 cos 2 a . h 1  2cos 2 a  h 2cos. 2  3 2 1  2cos 2 a Chọn đáp án A. AB  6, AD  4 Câu 29: Hình chữ nhật ABCD có . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có thể tích bằng: V  8 V  6 V  4 V  2 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, suy ra MNPQ là hình thoi tâm O. 1 1 OM  OP  AD  2 QO  ON  AB  3 2 2 Ta có và 14 | P a g e Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Vật tròn xoay là hai hình nón bằng nhau có: đỉnh lần lượt là Q, N và chung đáy. OM  2 * Bán kính đáy OQ  ON  3 * Chiều cao hình nón 1  V  2  OM 2 .ON   8 3  Vậy thể tích khối tròn xoay (đvtt). Chọn đáp án A. Câu 30: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là một hình tròn tâm O bán kính R, chiều cao của hình nón bằng 2R. Gọi I là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho IO=2R. Gỉa sử A là điểm trên đường OA  OI tròn (O) sao cho . Diện tích xung quanh của hình nón bằng: 2 R 2 3 R 2 2 5 R 2 5 R 2 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: 1 2 1 2R 3 2 V  R .h  .R .2 R  , S xq  Rl 3 3 3 Trong đó: l  SA  OA2  SO 2  R 2  4R 2  R 5  S xq  .R 2 5 Chọn đáp án D. Câu 31: Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo OA=OB. Khi đó (Vn ) (Vt ) tỉ số tổng thể tích của hai hình nón và thể tích của hình trụ bằng: 1 2 1 1 4 2 5 3 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: h 2 Chiều cao của hình nón là 1 h R 2 h Vn  2. R 2 .  3 2 3 Tổng thể tích của 2 hình nón là V 1 Vt  R 2 h  n  Vt 3 Thể tích của hình trụ Chọn đáp án D. 15 | P a g e Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 AB  c, AC  b Câu 32: Cho tam giác ABC vuông tại A, V1 ,V2 ,V3 . Gọi 1 V32 là thể tích các khối tròn xoay 1 1  2 2 V1 V2 và ta được: sinh bởi tam giác đó khi lần lượt quay quanh AB, CA, BC. So sánh 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2 2  2 2  2 2 2 2 2 V3 V1 V2 V3 V1 V2 V3 V1 V2 A. B. C. D. Cả A, B và C đều sai Hướng dẫn giải: 1 1 V1  b2c,V2  c 2b 3 3 Ta có 1 1 b 2c 2 1 b 2c 2 1 1 V3    AH 2 BH    AH 2 CH    AH 2 BC    2 a   3 3 3 3 a 3 a và 1 1 1  1 1  1 1 a2  2   . 2 2 1  b 4c 2 b 2c 4  1 b 4c 4 V1 V2 V3    3 3 Do đó và . 2 2 2 a b c Vì tam giác ABC vuông tại A nên . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b2  c 2 a2  2 2  2 4  2 2  2  2  2 2 . 2 2  4 4 2 4 2 V3 V1 V2 bc bc b c b c  b c b c bc Mặt khác Vậy . Chọn đáp án B. AB  2a , CD  4a, Câu 33: Cho một hình thang cân ABCD có các cạnh đánh cạnh bên AD  BC  3a. Hãy tính thể tích của khối nón xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó. 14a 3 2 56a 3 2 3 3 A. B. 14a 3 28a 3 2 3 C. Hướng dẫn giải: D. 3    ED  2 AD  6a  Gọi AD và BC cắt nhau tại E. = nên AB là đường trung bình EDC . Gọi H và K lần lượt là trung điểm AB và CD thì ta có EK vuông góc với CD và HK là trục đối ABCD. xứng của EK EH   2a 2 2 2 EK  ED  DK  4a 2 2 ; Khối nón xoay sinh bởi hình thang ABCD khi quay quanh trục của nó chính là phần thể tích nằm giữa 2 khối nón: 2 AB DC 16 | P a g e Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 4a 2 +Khối nón 1: Có đáy là hình tròn tâm K, bán kính KD=2a, đường cao EK= EH  2a 2 +Khối nón 2: Có đáy là hình tròn tâm H, bán kính HA=a, đường cao Do đó thể tích cần tìm là 1 1 14a 3 2 V  V1  V2  .(2 a) 2 ..4a 2  .a 2 ..2 a 2  3 3 3 Chọn đáp án A. Câu 34: Cho hình vẽ: Tam giác SOA vuông tại O có MN || SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA. Đặt SO = h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình R  OA. trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất. MN  A. h 2 h MN  4 MN  h 3 MN  h 6 B. S x O ’ O C. D. Hướng dẫn giải: Phân tích: Ta thấy khi quay quanh trục SO sẽ tạo nên một khối trụ nằm trong khối chóp. Khi đó thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật MNPQ. Ta có hình sau: Ta có SO=h; OA=R. Khi đó đặt OI=MN=x Theo định lí Thales ta có IM SI OA.SI R.(h  x)   IM   OA SO SO h . 2 R V  IM 2 .IH  2 .x( h  x) 2 h Thể tích khối trụ 3  2 x  2(h  x)  2 x( h  x) 2    3   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 4R 2 h h h V x MN  3 3 27 . Dấu “=” xảy ra khi hay Vậy Chọn đáp án B.  N S Câu 35: Cho hình nón tròn xoay có đỉnh và đáy là hình tròn tâm  P , O SO  h. O' SO r bán kính nằm trên mặt phẳng đường cao Điểm thay đổi trên đoạn sao cho T SO '  x  0  x  h  . O r' Hình trụ tròn xoay có đáy thứ nhất là hình tròn tâm bán kính 17 | P a g e A Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098  0  r '  r  P , O' r' đáy thứ hai là hình tròn tâm bán kính nằm trên mặt phẳng  Q ,  Q T  Q SO O' vuông góc với tại (đường tròn đáy thứ hai của là giao tuyến của với mặt  N  N x xung quanh của ). Hãy xác định giá trị của để thể tích phần không gian nằm phía trong T nhưng phía ngoài của đạt giá trị nhỏ nhất. 1 1 1 2 x h x h x h x h 2 3 4 3 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: x r' xr   r'  h r h Áp dụng định lí Thales ta có: . r2 2   2 .x 2 .  h  x  V  f  x     r '  . h  x  h Khi đó ta có công thức tính thể tích của khối trụ là . 2 r 2h f '  x   2  2hx  3x 2   0  x  x0 h 3 Khi đó do . Chọn đáp án C. nằm trên mặt phẳng a 2 Câu 36: Cho khối nón đỉnh O trục OI, bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng . Mặt phẳng (P) thay đổi AOB. luôn đi qua O và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác Diện tích lớn nhất của tam giác AOB là: 3 3 3 5a 3 a 3a 3a 2 4 8 8 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Phân tích: Thiết diện của mặt phẳng đi qua đỉnh nón với nón là hình tam giác có đỉnh là đỉnh nón. Gọi IH  x IH  AB H là trung điểm của AB, khi đó ta có . Đặt . Ta lần lượt tính được độ dài các đoạn sau 2 a  OH  OI 2  IH 2     x 2 2 AB  2 AH  2 a 2  x 2 x a theo và . và khi đó diện tích tam giác 2 OAB sẽ được tính là: 1 a  S  OH . AB     x 2 a 2  x 2 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Chọn đáp án D. AM  GM a  S     x2 2 ta có 18 | P a g e a2  x2  a2  x2 5 2 2 a x  4  a2 2 8 Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 C (O; R ) R  a (a  0), S r Câu 37: Cho hình nón tròn xoay có đỉnh và đáy là A, B tròn đường với   SO  2a, O '  SO OO x (0  x  2a), SO O thỏa mãn mặt phẳng vuông góc với tại cắt hình h C    C  O R nón tròn xoay theo giao tuyến là đường tròn . Thể tích khối nón đỉnh đáy là đường tròn đạt giá trị lớn nhất khi a 2a a x x x xa 2 3 3 A. B. C. D. O Hướng dẫn giải: R 2 a  x R R (2a  x ).  . R 2a 2a Theo Định lý Ta-lét Suy ra  C  O Khi đó thể tích khối nón đỉnh đáy là đường tròn là: 2 1 R  R2  V   x  (2a  x )   x (2a  x) 2 . 2 3  2a  12a f ( x)  x(2a  x) 2 Xét Chọn đáp án D. (0;2a ) trên x f ( x) ta có đạt giá trị lớn nhất khi 2a . 3 R Câu 38: Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính là: 1 3 4 3 4 2 3 32 3 R R R R 3 3 9 81 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: a 0  a  R. Gọi bán kính đáy của khối nón là thì Ta có 3 1 R 2 a V  a 2 R  R 2  a 2  t 1 1 t2 t   (0;1]. R 3 3 với 32 3 R f (t )  t 2 1  1  t 2 (0;1] 81 Xét hàm số trên sẽ thu được kết quả. Chọn đáp án D. Câu 39: Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất? 2 6     3 3 2 4 A. B. C. D. Hướng dẫn giải: xO R      A 19B P a g e |  Mua trọn bộ file word Toán liên hệ Tài Liệu File Word hoặc SĐT: 0168.528.1098 Rx lAB  Rx r = 2 ; . 1 2 1 1 V  R h  R 3 x 4 (42  x 2 )  R3 x 2 x 2 (82  2 x 2 ) 2 2 3 24 24 2 x 2  82  2 x 2  x  Để V lớn nhất thì Chọn đáp án A. 2 6 3 . Câu 40: Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao bằng 40cm. Người ta cắt vật N1 bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một 1 8 hình nón nhỏ N2 có thể tích bằng thể tích N1.Tính chiều cao h của hình nón N2? A. 5 cm 40 cm B. 10 cm C. 20 cm D. Hướng dẫn giải: Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của N1và N2 và r1, r2 lần lượt là bán kính đáy của N1, N2 ta có: 1 2 r2 .h 1 V2 r 2h   3  22 8 V1 1 r 2 .40 r1 .40 1 3 r2 h  r1 40 Mặt khác ta có: cm Chọn đáp án C. . Do đó ta có: 1 h h 1  ( )3    h  20 8 40 40 2 Câu 41: Một bình đựng nước có dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18 (dm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình dưới). Tính thể tích nước còn lại trong bình. 24 54 6 12 3 3 3 A. (dm ) B. (dm ) C. (dm ) D. (dm3) Hướng dẫn giải: 20 | P a g e