Tài liệu Exction trong Graphene

®¹i häc quèc gia hµ néi Tr-êng ®¹i häc khoa häc tù nhiªn ------ PHẠM VĂN ĐIỆN EXCITON TRONG GRAPHENE LuËn v¨n th¹c sÜ khoa häc Hµ néi - 2012 ®¹i häc quèc gia hµ néi Tr-êng ®¹i häc khoa häc tù nhiªn ------ PHẠM VĂN ĐIỆN EXCITON TRONG GRAPHENE Chuyªn ngµnh M· sè : VËt lý lý thuyÕt vµ vËt lý to¸n : 60 44 01 LuËn v¨n th¹c sÜ khoa häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc gs.TSkh. nguyÔN ¸I viÖT Hµ néi – 2012 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .......................................................................... DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ ................................................................ MỞ ĐẦU ......................................................................................................................3 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................3 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................4 2.1: Mục đích nghiên cứu:....................................................................................4 2.2: Đối tượng nghiên cứu: ..................................................................................4 3. Phương pháp nghiên cứu: .....................................................................................4 4. Cấu trúc luận văn: .................................................................................................4 Chương 1. TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE ............................................................5 1.1: Giới thiệu chung về Graphene. ..........................................................................5 1.2. Các phương pháp chế tạo Graphene ..................................................................8 1.3: Cấu trúc tinh thể Graphene ..............................................................................12 1.3.1. Sự lai hóa trong nguyên tử carbon ..........................................................12 1.3.2. Mạng tinh thể ...........................................................................................14 1.3: Cấu trúc vùng năng lượng. ..............................................................................17 Chương 2. EXCITON VÀ BIEXCITON ................................................................ 20 2.1. Đại cương về exciton và biexciton ..................................................................20 2.2. Exciton trong chấm lượng tử. ..........................................................................25 2.2.1. Exciton loại I trong chấm lượng tử. .........................................................25 2.2.2. Exciton loại 2 trong chấm lượng tử..........................................................26 2.3. Exciton trong hệ một chiều .................................................................................28 2.4. Exciton và biexciton trong các lớp đơn của phân tử .............................................30 Chương 3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GRAPHENE ........................................31 3.1. Các tính chất vật lý của Graphene ...................................................................31 3.2. Năng lượng của biexciton trong Graphene......................................................34 3.2.1. Năng lượng của exciton trong Graphene .................................................34 1 3.2.2. Năng lượng của biexciton trong Graphene ..............................................40 KẾT LUẬN ................................................................................................................45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................46 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 2010, giải thưởng Nobel, giải thưởng danh giá nhất của khoa học đã tôn vinh hai nhà khoa học Vật lý gốc Nga với công trình nghiên cứu tìm ra vật liệu Graphene hai chiều. Có thể nói đây là sự kiện mang tính đột phá đối với ngành Vật lý nói chung và ngành vật lý các hệ thấp chiều nói riêng. Graphene được xem là vật liệu có kích thước nhỏ, mỏng và bền vững nhất tính đến thời điểm hiện tại. Các ngành khoa học dự đoán Graphene sẽ có những ứng dụng đột phá trong các ngành công nghiệp mũi nhọn, đặc biệt là trong ngành công nghệ điện tử. Vậy Graphene là gì? Đơn giản, chúng ta có thể hiểu Graphene là một tấm than chì cực mỏng, mỏng đến mức chỉ bằng độ dày một lớp nguyên tử Carbon. Điều đặc biệt là lớp đơn nguyên tử này lại tồn tại bền vững ở trạng thái tự do. Trong thời gian gần đây các dạng cấu trúc nano khác của Carbon cũng đã được nghiên cứu và ứng dụng rất nhiều như: Quả cầu Fullerences C60 và ống Carbon (Carbon nanotube)... Graphene trở thành tâm điểm, thu hút được sự chú ý của khoa học trong lĩnh vực ứng dụng. Graphene có rất nhiều các tính chất lí thú, kì diệu mà ở những vật liệu khác không thể có được. Trong đó phải nói đến tính dẫn điện và dẫn nhiệt của nó, nó gần như không cản trở dòng điện khi dòng điện chạy qua, đồng thời nó cũng tản nhiệt rất nhanh. Cụ thể, khoa học đã nghiên cứu và chứng minh được rằng Graphene dẫn nhiệt và dẫn điện tốt gấp 10 lần Đồng. Graphene rất nhẹ, bền gấp 100 lần thép. Các nhà khoa học đã vẽ ra kiểu một cái võng làm bằng Graphene có kích thước khoảng 1 mét vuông (trọng lượng khoảng 1mg) có thể đủ để cho 1 chú mèo nằm thoải mái. Điều đặc biệt là nếu càng nhỏ thì nó càng bền vững. Điều này cho chúng ta gợi nhớ tới tính chất cầm tù của các hạt Quark (Các hạt Quark càng gần nhau thì lực tương tác giữa chúng lại càng nhỏ và ngược lại nếu chúng càng xa nhau thì lực tương tác giữa chúng lại càng lớn). Ngoài ra, Graphene còn trong suốt, hầu như không hấp thụ ánh sáng khi ánh sáng truyền qua (chỉ hấp thụ khoảng 2,3%), nó đang là đối tượng được đặc biệt chú ý của các lĩnh vực công nghệ hiện đại chiến lược hàng đầu hiện nay như: Ôtô, máy bay, vệ tinh, máy tính, vi điện tử…Người ta ước tính ứng dụng của Graphene trong công nghệ điện tử truyền thông là rất lớn và rất khả thi, người ta có thể chế tạo ra các con chíp điện tử có tốc độ xử lí vào cỡ 500GHz để thay thế 1 cho các con chíp thông thường như hiện nay. Vì vậy nếu như chúng ta có thể ứng dụng thành công được Graphene như mong muốn thì có lẽ thời đại micromet (như máy tính) sẽ đi vào dĩ vãng và mở ra một thời đại mới. Đó là thời đại nanô. Điểm nổi bật của Graphene: Thứ nhất: Tại lân cận các điểm Dirac, các hạt tải trong Graphene có vận tốc khoảng 1/300 vận tốc ánh sáng (khoảng) nhưng lại hành xử như nhưng hạt tương đối tính không khối lượng. Thứ hai: Hệ khí điện tử hai chiều trong Graphene có tính chất khác biệt so với hệ khí điện tử hai chiều thông thường trong các dị cấu trúc bán dẫn. Do có cấu trúc mạng tổ ong nên vật liệu này có cấu trúc vùng năng lượng rất khác biệt. Khí điện tử hai chiều trong Graphene là khí điện tử giả tương đối tính, chúng được mô tả bởi phương trình Dirac hai chiều không khối lượng, chính vì vậy làm cho Graphene có nhiều tính chất đặc thù như: Hiệu ứng Hall lượng tử không bình thường, không có tán xạ trở lại, tương tác Spin không đáng kể, tính chui ngầm Klein, độ linh động các hạt tải rất cao… 2. Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 2.1: Mục đích nghiên cứu: Trong thời gian gần đây, năng lượng của exciton đã thu hút được rất nhiều sự chú ý và nghiên cứu của các nhà vật lý lý thuyết. Trong luận văn này, bước đầu đã nghiên cứu về exciton (Biexciton) năng lượng trong Graphene. 2.2: Đối tƣợng nghiên cứu: Tính chất quang của Graphene. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu: Sử dụng cơ học lượng tử. 4. Cấu trúc luận văn: Cấu trúc luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận và những hướng phát triển của đề tài. Chƣơng 1: Trình bày những kiến thức tổng quan về Graphene như giới thiệu chung, cấu trúc tinh thể, cấu trúc vùng năng lượng. Chƣơng 2: Trình bày những kiến thức cơ bản về Exciton (Biexciton). Chƣơng 3: Nghiên cứu về các tính chất của Graphene và việc sử dụng thế Morse trong phương trình Schrodinger để đi tìm lời giải cho vấn đề năng lượng của exciton trong Graphene. Cuối cùng là việc tóm tắt lại những kết quả thu được, kết luận và những hướng nghiên cứu tiếp theo. 2 Chƣơng 1 TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE 1.1: Giới thiệu chung về Graphene. Graphene đơn giản chỉ là một lớp đơn nguyên tử của tinh thể than chì Graphite, hai thuật ngữ Graphene và Graphite chỉ là hai trong bốn dạng thù hình khác nhau của vật liệu Carbon. Trong đó Graphene có dạng một lớp phẳng hai chiều (2D) còn Graphite có dạng khối (3D). Hình 1.1. Mạng Graphite. Trước khi Graphene được tìm ra thì không ai nghĩ sẽ có một lớp đơn nguyên tử Carbon có thể tồn tại ở trạng thái tự do bền vững, các nhà khoa học trước đó (cả vật lý và hóa học) đã cố gắng tìm ra Graphene ở trạng thái tự do bằng nhiều cách phức tạp, kết quả đều thất bại. Graphene là vật liệu rất kì diệu, có nhiều tính chất đặc biệt. Trong lịch sử, việc tìm ra Graphene rất khó khăn và phức tạp: người ta đã dùng phương pháp chèn nhiều phân tử hóa học vào Graphene, phương pháp tách vi cơ... Thật phức tạp nhưng để rồi cuối cùng K.Geim và đồng nghiệp đã tìm ra Graphene 2D như hiện nay bằng một cách rất đơn giản, đơn giản đến mức không ngờ. Đó là việc họ đã dán những mảnh vụn Graphite trên một miếng băng keo, gập dính lại, rồi lại kéo ra tách miếng Graphite làm đôi, cứ làm như vậy nhiều lần cho đến khi miếng Graphite trở lên rất mỏng (có bề dày là một nguyên tử Carbon). 3 Ngày nay, để tổng hợp Graphene, người ta có thể dùng phương pháp phân hủy 6H-SiC đơn tinh thể ở nhiệt độ cao kết hợp với H 2 eatching (ăn mòn), một phần Si bay khỏi bề mặt, Carbon đọng lại trên bề mặt SiC là lớp Graphene. Khi Graphene được tìm ra, lần đầu tiên trong lịch sử, người ta đã tạo ra mạng tinh thể hai chiều thực sự. Graphene là một lớp đơn nguyên tử Carbon có cấu trúc tinh thể mạng tổ ong (honeycomb). Graphene là một trong bốn dạng thù hình của vật liệu Carbon. Fullerence (Quả cầu C60) Hệ zero chiều 0D Hình 1.2. Hệ không chiều 0D Carbon nanotube (Ống Carbon) Hệ một chiều 1D Hình 1.3. Hệ một chiều 1D 4 Graphene Hệ hai chiều 2D Hình 1.4. Hệ hai chiều Graphene 2D Graphite Hệ ba chiều 3D Hình 1.5. Hệ ba chiều 3D Như đã trình bày ở phần mở đầu, hệ khí điện tử hai chiều trong Graphene có tính chất khác biệt so với hệ khí điện tử hai chiều thông thường trong các dị cấu trúc bán dẫn. Thực vậy, trong bán dẫn, các electron hai chiều được cấu thành chủ yếu bằng việc giam cầm tĩnh điện với hệ thức tán sắc Parabolic và khối lượng hiệu dụng phụ thuộc vào vật liệu. Graphene là một tinh thể hai chiều thực sự có cấu trúc tinh thể dạng tổ ong bán kim loại có vùng dẫn và vùng hóa trị tiếp xúc nhau tại mức Fermi, ở đó có suy biến electron – lỗ trống, các hạt tải trong Graphene không có khối lượng với hệ thức tán sắc dạng tuyến tính: 5  E  vF k  m vF  106   là vận tốc Fermi, k s (1.1) là vector sóng. Electron trong Graphene có vận tốc lớn hơn khoảng 100 lần so với electron trong Silicon. Không những vậy độ linh động của hạt tải (tiêu chí để xác định mức độ dẫn điện của vật liệu) trong Graphene cao hơn bất kỳ loại vật liệu nào khác ở nhiệt độ phòng. Các nhà khoa học tại trường Đại học Manchester đã chỉ ra rằng Graphene có thể được ứng dụng trong các mạch điện tử để tạo ra những Transistor kích thước phân tử. Đặc biệt dường như với kích thước càng nhỏ thì hiệu suất của nó càng cao. Về thuộc tính cơ học, Graphene đã được kiểm nghiệm và chứng minh là vật liệu cứng nhất, thậm chí cứng hơn cả kim cương. Với nồng độ electron là rất lớn ( ne  4.1015 cm1 ), người ta đã chứng minh rằng Graphene dẫn nhiệt tốt hơn bất cứ chất nào ở nhiệt độ bình thường và rất ít sinh nhiệt khi có dòng điện chạy qua vì gần như khi có dòng điện chạy qua thì không bị cản trở. Ngoài ra do Graphene còn là vật liệu trong suốt nên Graphene còn được nghiên cứu vào công nghệ hiển thị. Ngoài ra Graphene còn có rất rất nhiều những tính chất kì diệu và những ứng dụng mang tính chiến lược khác đang chờ chúng ta khám phá. 1.2. Các phƣơng pháp chế tạo Graphene Trong công trình nghiên cứu đạt giải Nobel của mình, các nhà khoa học của trường Đại học Manchester đã sử dụng một phương pháp bóc tách cơ học đơn giản nhưng hiệu quả để trích ra những lớp mỏng graphite từ một tinh thể graphite bằng loại băng dính Scotland và sau đó đưa những lớp này lên trên một chất nền silicon. Phương pháp này được đề xuất và thử nghiệm đầu tiên bởi nhóm của R. Ruoff, tuy nhiên, họ đã không thể nhận ra bất kì lớp đơn nào. Nhóm Manchester đã thành công bởi việc sử dụng một phương pháp quang mà với nó họ có thể nhận ra các mảnh nhỏ cấu tạo gồm chỉ một vài lớp. Một ảnh chụp qua kính hiển vi lực nguyên tử (AFM) của một mẫu như thế được thể hiện trên hình 1.6. Trong một số trường hợp, những giàn giá này cấu tạo chỉ gồm một lớp, tức là graphene đã được nhận dạng. Ngoài ra, họ còn làm chủ được việc biến graphene thành một thanh Hall và nối các điện cực vào nó. 6 Hình 1.6. (Trái) A) Điện trở suất (dọc) của một mẫu graphene ở ba nhiệt độ khác nhau (5K lục, 7K lam, 300 K cam), lưu ý sự phụ thuộc mạnh vào điện áp cực phát. B) Độ dẫn suất là một hàm theo điện áp cực phát ở 77K. C) Điện trở Hall là một hàm theo điện áp cực phát đối với cùng mẫu trên. (Phải) Ảnh chụp qua kính hiển vi lực nguyên tử (AFM) của một đơn lớp graphene. Vùng màu đen là chất nền, vùng màu cam sậm là một lớp đơn graphene và có bề dày ~ 0,5nm, phần màu cam sáng chứa một vài lớp và có bề dày ~ 2nm. Bằng cách này, họ có thể đo điện trở suất (dọc) và điện trở suất Hall. Một dữ liệu quan trọng là hiệu ứng trường phân cực, trong đó điện trở suất được đo là một hàm của một điện trường đặt vào vuông góc với mẫu. Điện trở suất tấm có một cực đại rõ ràng, và giảm dần ở cả hai phía của cực đại đó. Điều này cho biết sự pha tạp tăng dần của các electron ở phía bên phải, và các lỗ trống ở phía bên trái của cực đại. Lưu ý rằng điện tấm cực đại là ~ 9kW, vào cỡ của lượng tử điện trở. Khi công nghệ chế tạo, nhận dạng và gắn các điện cực vào các lớp graphene đã được xác lập, người ta nhanh chóng thực hiện được một số lượng lớn những thí nghiệm mới. Trong số này có các nghiên cứu về hiệu ứng Hall lượng tử dị thường, và đồng thời chuẩn bị cho sự ra đời của những chất liệu kết tinh 2D khác. 7 Hình 1.7. Quan sát thực nghiệm của hiệu ứng Hall lượng tử dị thường ở graphene. (Trái) Độ dẫn suất Hall (đỏ) và điện trở suất dọc (lục) là hàm của mật độ hạt mang điện. Khung hình nhỏ thể hiện độ dẫn suất Hall đối với graphene hai lớp. Lưu ý 2 khoảng cách giữa các vùng bằng phẳng đối với grapheme là 4e h , tức là lớn hơn so với hiệu ứng Hall lượng tử thông thường và các bậc dốc xuất hiện tại những bội bán nguyên của giá trị này. Đối với một lớp đôi graphene thì chiều cao bậc dốc là 2 như nhau, nhưng các bậc xuất hiện tại các bội nguyên của 4e h nhưng không có bậc nào tại mật độ bằng không. (Phải) Điện trở suất dọc và điện trở suất Hall là hàm của mật độ từ thông cho một mẫu pha tạp electron. Khung hình nhỏ thể hiện dữ liệu tương tự nhưng cho mẫu pha tạp lỗ trống. Ngoài phương pháp bóc tách, những phương pháp khác nuôi cấy các màng carbon rất mỏng cũng đã được nghiên cứu, đặc biệt bởi một nhóm đứng đầu là W.A. de Heer tại Viện Công nghệ Georgia. Họ đã trau chuốt một phương pháp đốt cháy silicon từ một bề mặt silicon carbide (SiC), để lại một lớp mỏng carbon phía sau. Phương pháp này thực hiện bằng cách nung nóng tinh thể SiC lên xấp xỉ 13000 C . Phương pháp đã được một vài nhóm sử dụng trước đó, nhưng những nghiên cứu ban đầu đó tập trung vào khoa học bề mặt và không có các phép đo vận chuyển. Tháng 12 năm 2004, chỉ hai tháng sau khi bài báo của Novoselov được công bố, nhóm của de Heer đã công bố bài báo đầu tiên của họ về các phép đo chuyển vận trên các màng carbon mỏng. Họ đã trình bày các phép đo từ trở và một tác dụng điện trường yếu. 8 De Heer và các cộng sự của ông còn nắm trong tay một bằng phát minh về cách chế tạo các dụng cụ điện tử từ những lớp mỏng carbon. Một nhóm tại trường Đại học Columbia, đứng đầu là P. Kim, đã nghiên cứu một phương pháp khác chế tạo các lớp carbon mỏng. Họ gắn một tinh thể graphite với đầu nhọn của một kính hiển vi lực nguyên tử và kéo lê nó trên một bề mặt. Với cách này, họ có thể tạo ra những lớp mỏng graphite xuống tới khoảng 10 lớp. Hình 1.8. Phương pháp dùng lực cơ học để tách các lớp Graphene đơn. Như đã đề cập ở trên, quan hệ khuếch tán phi tuyến làm phát sinh một hiệu ứng Hall lượng tử dị thường. Hiệu ứng này được chứng minh độc lập bởi hai nhóm, nhóm Manchester và nhóm do P. Kim đứng đầu; cả hai nhóm hiện nay đều đang sử dụng phương pháp bóc tách. Hai bài báo đã được công bố liền nhau trong cùng một số ra của tạp chí Nature vào tháng 11 năm 2005. Dữ liệu có thể xem trên hình 1.7. Hiện nay các nhà khoa học thường gọi sáng kiến của tiến sĩ Geim là “phương pháp băng keo Scotch”. 1.3: Cấu trúc tinh thể Graphene 1.3.1. Sự lai hóa trong nguyên tử carbon Nguyên tử carbon là nguyên tố thứ 6 trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và nó nằm ở phân nhóm chính nhóm IV. Lớp vỏ của nguyên tử carbon có 6 electrons và có cấu hình như sau 2s2 2p2 . Do đó carbon có thể tham gia liên kết cộng hóa trị và liên kết Van der Walls. Ở đây liên kết cộng hóa trị có vai trò chủ đạo trong 9 các vật liệu carbon truyền thống. Với cấu hình như thế thì ở trạng thái cơ bản electron trong nguyên tử carbon phân bố như đúng cấu hình cơ bản ở trên nhưng khi nguyên tử carbon ở trạng thái kích thích hoặc khi có sự liên kết giữa các nguyên tử carbon với nhau thì cấu hình điện tử có thể bị thay đổi và ở đó xảy ra hiện tượng lai hóa. Qua cấu hình điện tử của carbon ta thấy trong nguyên tử carbon có lớp K được lấp đầy bởi 2 electron 1s 2 , hai electrons này liên kết mạnh với hạt nhân nguyên tử, còn 4 electron chiếm ở các orbital 2s2 2p2 nên lớp L là chưa được lấp đầy. Các electron này liên kết yếu hơn với hạt nhân và chúng là các electron hóa trị. Nguyên tử carbon chỉ có các electron hóa trị s và p nên chỉ có thể xảy ra lai hóa giữa các orbitals s và p. Trong tinh thể các electron hóa trị đó có thể có các orbital định hướng khác nhau như 2s, 2p x , 2p y , hay 2p z nó rất quan trọng trong việc tạo thành liên kết cộng hóa trị trong vật liệu carbon. Do sự chênh lệch năng lượng giữa hai phân lớp 2s và 2p là khá nhỏ so với năng lượng liên kết của liên kết hóa học nên hàm sóng của các điện tử hóa trị trong các nguyên tử carbon lân cận có thể trộn lẫn với nhau bằng cách thay đổi sự chiếm đầy của orbital 2s và orbital 2p từ đó có thể làm tăng cường liên kết giữa một nguyên tử carbon với các nguyên tử lân cận. Sự pha trộn giữa các orbital nguyên tử 2s và 2p được gọi là sự lai hóa sp, khi mà xảy ra sự pha trộn giữa một electron 2s với n=1,2,3 electron 2p thì ta có lai hóa sp n . Hình 1.9. Mô hình các orbitals s, p trong đó orbitals p gồm 3 thành phần theo 3 phương x, y, z tương ứng là các orbitals px , p y , pz . 10 Trong nguyên tử carbon, cả ba khả năng lai hóa sp1 , sp 2 , sp3 đều xuất hiện. Với những nguyên tử nhóm IV khác như Si, Ge chỉ biểu hiện chủ yếu lai hóa sp3 . Sở dĩ có sự khác biệt đó là do carbon khác Si và Ge ở chỗ nó không có những orbital nguyên tử lân cận lớp ngoài cùng ngoại trừ orbital đối xứng cầu 1s. Sự vắng mặt của các orbital ở lớp trong làm cho quá trình lai hóa của carbon thuận lợi hơn chỉ bao gồm các orbital s và p. Chính sự thiếu vắng lai hóa sp1 và sp 2 có thể liên quan tới vắng mặt của các vật liệu hữu cơ tạo nên tử Si và Ge. Mạng graphene là mạng lục giác mà các nguyên tử carbon trong mặt phẳng mạng liên kết với nhau bởi lai hóa sp 2 . Trong lai hóa sp 2 , orbital 2s và hai orbital 2p giả sử là 2p x ,và 2p y lai hóa với nhau. Tính toán ta thu được kết quả là có ba hàm sóng lai hóa lần lượt là: Trong cấu trúc của vật liệu carbon có lai hóa sp 2 ta có nhận xét là trong mặt phẳng (x,y) mỗi nguyên tử carbon hình thành lên ba liên kết với các nguyên tử bên cạnh và các liên kết này nằm trên cùng một mặt phẳng hợp với nhau một góc 1200 , ngoài ra còn một orbital 2p z không tham gia lai hóa nó sẽ tạo liên kết với một nguyên tử lân cận và liên kết này có phương vuông góc với mặt phẳng chứa liên kết  . 1.3.2. Mạng tinh thể Graphene có cấu trúc mạng lục giác, tuy nhiên đó không phải là mạng Bravais bởi 2 nút mạng lân cận không tương đương. Có thể coi như mạng lục giác được hình thành từ 2 mạng con lồng vào nhau. Hình 1.10 cho thấy mỗi nút trong mạng con A hoặc B có hai nút mạng lân cận trong. Cả hai mạng con A và B đều là các mạng Bravais tam giác, mỗi ô sơ cấp có chứa 2 nguyên tử. Khoảng cách giữa 2 nguyên tử 11 carbon gần nhau nhất tính gần bằng 0.142 nm, là khoảng cách trung bình của liên kết cộng hóa trị đơn (C–C) và đôi (C=C).    Hình 1.10. Mạng lục giác Graphene. Các vectơ 1 ,  2 và  3 nối các nguyên tử   carbon lân cận với khoảng cách 0,142 nm. Các vectơ a1 và a2 là các vectơ cơ sở của mạng Bravais.   Hình 1.11. Mạng đảo với các vectơ cơ sở là b1 và b2 . Vùng tối biểu diễn cho vùng Brillouin (BZ) thứ nhất. Tinh thể Graphene là tinh thể mạng hai chiều, trong đó các nguyên tử Carbon sắp xếp tại đỉnh các lục giác của mạng tổ ong (honeycomb). Ta có thể xem mạng Graphene là hai mạng tam giác xếp lồng vào nhau với vector tịnh tiến cơ sở là:  3 1   3 1  a1  a  ,  , a2  a  ,   2  2 2  2 (1.2) với ô nguyên tố gồm hai nguyên tử Carbon. Từ hệ hai vector cơ sở ta sẽ xác định được các vector mạng đảo và vùng Brilloulin thứ nhất của Graphene. Ở đây, vector mạng đảo là: 12  2  1   2  1  b1  ,1 , b2  , 1   a  3  a  3  (1.3) Vùng Brilloulin thứ nhất Graphene có dạng lục giác đối xứng có trục quay bậc 6 qua điểm  . Trong 6 đỉnh của vùng này chỉ có hai đỉnh (K, K’) là không tương đương, các đỉnh này còn gọi là các điểm Dirac, các đỉnh còn lại thu được bằng cách tịnh tiến các điểm này một vector mạng đảo. Do vậy chúng tương đương nhau.    Ba vectơ 1 ,  2 và  3 được xác định:  1  a 2   a       3ex  ey ,  2   3ex  ey ,  3  aey 2    (1.4) Các vectơ cơ sở của ô mạng Bravais được xác định:  3a      a1  3aex , a2  ex  3ey 2  (1.5) Có độ lớn: a  a1  a2  3a = 0.24 nm và diện tích của ô cơ sở: Auc  0.051 nm2 . Mật độ nguyên tử carbon: nC  2  39 nm2 . Do mỗi nguyên tử carbon chỉ đóng A uc góp một electron π nên mật độ electron π là: n  nC  2  39 nm2 . A uc Mạng đảo được biểu diễn trong hình 1.13 dựa trên các vectơ cơ sở:   2   ey   4  b1  ey  ex   , b2  3a 3a  3 (1.6)   Các vectơ mạng thỏa mãn hệ thức ai .b j  2 ij , với i, j = 1, 2 là chỉ số của vectơ mạng thuận và mạng đảo. Hình 1.11 biểu diễn tập hợp các điểm không tương đương trong không gian đảo, có thể là những điểm liên tiếp mà không được liên kết bởi vectơ mạng đảo hoặc là những điểm biểu diễn những kích thích dao động mạng khác nhau. Người ta phân biệt 6 góc của vùng BZ thứ nhất, bao gồm các điểm không tương đương K và K’ được xác định bởi các vectơ:  4  K ex 3 3a (1.7) Những điểm này có vai trò quan trọng trong tính chất điện của Graphene bởi vì những kích thích năng lượng thấp được tập trung quanh 2 điểm K và K’. Cấu trúc 13 của vùng BZ thể hiện bản chất bên trong của mạng Bravais với sự có mặt của 2 nguyên tử trong một ô sơ cấp. Dưới kính hiển vi điện tử, Graphene có hình dáng của một màng lưới, có thể xem graphene như thành phần cơ bản tạo nên các cấu trúc khác nhau của carbon như fullerene, carbon nanotube, graphite. Hình 1.12. Graphene được xem như là thành phần cơ bản tạo nên các cấu trúc khác của carbon. 1.3: Cấu trúc vùng năng lƣợng. Khi nghiên cứu về Graphene, năng lượng là vấn đề rất quan trọng, không thể thiếu. Trong phần này sẽ trình bày về cấu trúc vùng năng lượng của Graphene. Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene là chủ đề thu hút được sự nghiên cứu khá chi tiết bằng việc tính toán với gần đúng liên kết mạnh. Hamiltonian của electron (điện tử) trong Graphene: H  t   ai, b j ,  H .c   t '   ai, a j ,  bi, b j ,  H .c  ij  (1.8) ij  trong đó: 0, 02t  t '  0, 2t , t  2,8 eV là vùng năng lượng hopping lân cận gần nhất t ' là năng lượng hopping lân cận gần nhất tiếp theo (hopping trong cùng mạng nhỏ). ai , ai là các toán tử sinh hủy một electron có spin  ở nút Ri trên mạng nhỏ A. và ai  1 Nc e   ikRi  k 14 ak (1.9) bi , bi là các toán tử sinh hủy một electron có spin  ở nút Ri trên mạng nhỏ B, 1 Nc bi  và e   ikRi  k bk (1.10)    Ri    R j với (1.11)   Ở trên: N c là số ô cơ sở, k là vector sóng thuộc vùng Brilloulin,  là vector tịnh tiến gần nhất và có các thành phần:  1     a 1, 3 , 2 2     a 1,  3 , 2  3  a 1,0 (1.12) Ta sẽ thu được:              * ' *  b  f  a  t  a  f H  t  f k a k b f k a k bk bk  1 1 2 2 k k k k k k    k ,    k ,      f1 k   eik và f 2 k   eik  eik   trong đó:            (1.13) (1.14) Để tìm năng lượng, ta thực hiện chéo hóa: H   a  b    t ' f 2  tf1  tf1*  t ' f 2*   a b     a b  k      a b (1.15) Để có nghiệm không tầm thường thì: t ' f 2  tf1 tf1* t ' f 2*  det    k  t   0 (1.16) f1  t ' f 2 (1.17) 2 Xét trong liên kết mạnh gần nhất thì nếu t '  0 , ta có:     k  t f1 2 (1.18)  2 f1  3  f k   với: (1.19)   3  3 f k  2cos( 3k y a)  4cos( k x a).cos  k y a  2  2    suy ra:        k   3 f k (1.20) (1.21) Trong đó dấu “+” ứng với dải năng lượng liên kết π, dấu “-” ứng với dải năng lượng liên kết phản π. 15  Dùng khai triển k . p xung quanh điểm K và K’ ta thu được phổ năng lượng của electron: hay:   3a  k 2    k  vF k  vF k    k  t .   ( k  k là độ lớn của vector sóng), vF  (1.22) 3at m  106   là vận tốc Fermi.  s Hình 1.13. Cấu trúc dải năng lượng của tinh thể biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng với chuyển động của electron. Hình 1.14. Cấu trúc dải năng lượng của hệ vật liệu ba chiều (trái) có dạng parabolic, với một vùng cấm nằm giữa vùng năng lượng hóa trị thấp hơn và vùng dẫn có năng lượng cao hơn. Cấu trúc dải năng lượng của vật liệu hai chiều graphene (phải) gặp nhau tai điểm Dirac. 16