Tài liệu Dưới vi phân và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH DƯỚI VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH DƯỚI VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS. NGUYỄN QUỐC TUẤN HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời mở đầu 1 Lời cảm ơn 4 Lời cam đoan 5 Bảng ký hiệu 6 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 Hàm lồi và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tính nửa liên tục dưới và liên tục lipschitz của hàm lồi 13 1.2.1 Tính nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Xấp xỉ theo hàm affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 2 DƯỚI VI PHÂN 19 2.1 Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Một số tính chất cơ bản của dưới vi phân . . . . . . . . 21 2.3 Phép toán dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 ỨNG DỤNG 31 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH 3.1 Ứng dụng trong sự biểu diễn của các hàm lồi epi-pointed 31 3.2 Ứng dụng: Tính lồi của hàm epi-pointed . . . . . . . . 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH LỜI MỞ ĐẦU Trong giải tích, lớp hàm khả vi tương đối hạn hẹp. Kết quả nghiên cứu trên lớp hàm này chưa đủ để giải quyết các bài toán theo yêu cầu của thực tế. Do đó, chúng ta cần nghiên cứu những lớp hàm rộng hơn. Từ đó, sinh ra khái niệm dưới vi phân và lớp hàm khả dưới vi phân. Khái niệm dưới vi phân của hàm lồi được Jean Jacques Moreau và R. Tyrrell Rockafellar đưa ra đầu tiên vào những năm sáu mươi của thế kỷ 20 với nội dung: "Cho hàm lồi f : Rn → R. Một vector p ∈ Rn được gọi dưới gradient của f tại x0 nếu hp, x − x0 i + f (x0 ) ≤ f (x0 ), ∀x ∈ Rn . Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0 ". Trong năm 1970, R.T.Rockafellar cũng đã cho xuất bản cuốn sách "Convex analysis" trong đó chỉ rõ dưới vi phân là gì cũng như các phép toán dưới vi phân như thế nào. Đến đầu những năm 1980, Ông cũng đưa ra khái niệm dưới vi phân tổng quát đối với hàm không lồi với nội dung: "Cho hàm f : Rn → R (không nhất thiết phải lồi) thì dưới vi phân của f tại x là tập các vector s thỏa mãn f (y) ≥ f (x) + hs, y − xi, ∀y ∈ Rn ." Sau đó, các tính chất của dưới vi phân và các phép tính dưới vi phân cũng tiếp tục được các nhà khoa học khác nghiên cứu. Khái niệm dưới vi phân ra đời mở ra một kỷ nguyên mới, kỷ nguyên phát triển rực rỡ, kỷ nguyên của giải tích không trơn. 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Trong thực tiễn, ta bắt gặp rất nhiều các bài toán với đối tượng là hàm không khả vi. Những bài toán này đã làm cho các nhà khoa học lúng túng, đau đầu khi giải quyết chúng thì khi khái niệm dưới vi phân ra đời, nó đã trở thành một công cụ đắc lực cho chúng ta nghiên cứu các bài toán trên một cách dễ dàng hơn. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng của nó vào việc biểu diễn các hàm lồi đặc biệt, cũng là để tích lũy kinh nghiệm cho bản thân, phục vụ công tác học tập, giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho các bạn sinh viên có cái nhìn tổng quát và sâu sắc hơn về dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng của nó. Tôi mạnh dạn chọn đề tài "Dưới vi phân và ứng dụng" để hoàn thành Khóa luận tốt nghiệp. Khóa luận này được hoàn thành dựa trên bài báo [2]. Trong đó, hệ thống lại các khối kiến thức cơ bản về hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi cũng như các phép toán cơ bản của dưới vi phân. Ngoài ra còn trình bày lại các ứng dụng của dưới vi phân. Ứng dụng 1: Biểu diễn các hàm ”epi − pointed” với hàm ”epi − pointed” được hiểu là "Một hàm chính thường nửa liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞} được gọi là epi − pointed nếu int (dom f ∗ ) 6= ∅." Ứng dụng 2: Sử dụng dưới vi phân để chứng minh tính lồi của hàm ”epi − pointed” thông qua mệnh đề: "Giả sử không gian Banach X có tính chất Radom-Nikodym. Cho x0 ∈ dom ∂f thì với mỗi x ∈ X, ta có convf (x) = f (x0 ) + sup ( n−1 X ) hx∗i , xi+1 − xi i + hx∗n , x − xn i i=0 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH trong đó giá trị lớn nhất được cho trên tất cả các số nguyên n, tất cả x1 , x2 , . . . , xn thuộc dom ∂f và tất cả x0 ∗ ∈ ∂f (x0 ), xj ∗ ∈ ∂f (xj )." Khóa luận của tôi gồm ba chương. Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị" trình bày những kiến thức cơ bản về hàm lồi và một số kiến thức liên quan để sử dụng cho việc tìm hiểu "dưới vi phân". Chương 2 "Dưới vi phân" trình bày dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất cũng như phép toán cơ bản của nó. Chương 3 "Ứng dụng" trình bày một số ứng dụng của dưới vi phân vào sự biểu diễn các hàm lồi đặc biệt. Mặc dù khóa luận đươc hoàn thành với sự cố gắng của bản thân, song do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân tôi, nên trong quá trình làm khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn chân thành cảm ơn ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu. Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này. Hà Nội, ngày 13/04/2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hoàng Anh 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp của tôi dược hoàn thành dựa trên bài báo [2] cùng với sự tổng hợp, tham khảo và kế thừa thành quả thành quả của các nhà khoa học khác. Tôi cam đoan đề tài "Dưới vi phân và ứng dụng" không có sự trùng lặp với các khóa luận khác. Hà Nội, ngày 13/04/2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hoàng Anh 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH BẢNG KÝ HIỆU R Tập tất cả cá số thực. Rn Tập tất cả các vector có n chiểu. h·, ·i Tích vô hướng giữa các phần tử. cl C Bao đóng của C. int C Phần trong của C. conv E Bao lồi của E. cone E Nón sinh bởi tập E. ri C Phần trong tương đối của tập C. convC Bao lồi đóng của tập C. exp C Tập các điểm tiếp xúc mạnh của C. dom f Miền hữu hiệu của f . epi f Tập trên đồ thị của f . ∂f Dưới vi phân của f . 6 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm lồi và một số tính chất cơ bản Định nghĩa 1.1. Cho S ⊂ Rn và hàm f : S → [−∞, +∞]. Khi đó, các tập dom f = {x ∈ S| f (x) < +∞} , epi f = {(x, α) ∈ S × R| f (x) ≤ α} tương ứng được gọi là miền hữu hiệu và tập trên đồ thị của hàm f . Nếu dom f 6= ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ S thì ta nói hàm f là hàm chính thường. Hàm f : S → [−∞; +∞] được gọi là hàm lồi nếu epi f là tập lồi trong R × Rn . Hàm f được gọi là lõm trên S nếu −f là lồi. Hàm f được gọi là affine trên S nếu f là hữu hạn và vừa lồi vừa lõm. 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Nhận xét 1.1. Cho S là tập lồi trong Rn , hàm f là hàm lồi khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 ∈ S và λ ∈ [0, 1] thì


f (1 − λ) x1 + λx2 ≤ (1 − λ) f x1 + λf x2 . Tổng quát hơn, hàm f là lồi khi và chỉ khi với mọi tập hữu hạn P x1 , . . . , xk ∈ S và mọi số không âm λ1 , . . . , λk sao cho ki=1 λi = 1. Khi đó ta có k k X X i f( λi x ) ≤ λi f (xi ). i=1 i=1 Ví dụ 1.1.1. Cho C là một tập lồi. Các hàm sau là lồi: i. Hàm chỉ của C   0, x∈C ; δC (x) =  +∞, x ∈ /C ii. Hàm tựa của C sC (x) = sup hy, xi ; y∈C iii. Hàm khoảng cách dC (x) = inf kx− yk . y∈C Mệnh đề 1.1. Nếu f là hàm lồi phi chính thường thì f (x) = −∞ tại mỗi điểm trong tương đối thuộc miền hữu hiệu của nó. Chứng minh. Từ định nghĩa của hàm lồi phi chính thường, ta suy ra f (x0 ) = −∞ tại ít nhất một điểm nào đó x0 ∈ dom f (trừ khi dom f = ∅). Nếu x ∈ ri(dom f ) thì có x0 ∈ dom f sao cho x là điểm 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH trong tương đối của đoạn thẳng [x0 , x0 ], có nghĩa là tồn tại một số λ ∈ (0, 1) để x = λx0 + (1 − λ) x0 . Khi đó f (x0 ) < +∞, suy ra
f (x) ≤ λf x0 + (1 − λ) f (x0 ) = −∞. Suy ra điều phải chứng minh. Định lý 1.1. Một hàm giá trị thực f trên khoảng mở là lồi khi và chỉ khi f liên tục và có đạo hàm bên trái và phải hữu hạn tại mỗi x ∈ (a, b) tức là tồn tại: f (x + t) − f (x) , t→0 t f−0 (x) = lim f (x + t) − f (x) . t→0 t f+0 (x) = lim

Sao cho f+0 (x) là không giảm và f−0 (x) ≤ f+0 (x), f−0 x1 ≤ f+0 x2 với x1 < x2 . Chứng minh. Ta đi chứng minh chiều thuận. Cho f là hàm lồi, nếu 0 < s < t và x + t < b thì điểm (x + s, f (x + s)) thuộc đoạn [(x, f (x)) , (x + t, f (x + t))], vì vậy ta có f (x + s) − f (x) f (x + t) − f (x) ≤ . s t f (x + t) − f (x) là không tăng khi t → 0. Do đó, nó t có giới hạn f+0 (x) (hữu hạn hoặc −∞). Tương tự, ta cũng có f−0 (x) Suy ra hàm t 7→ tồn tại (hữu hạn hoặc −∞). Ngoài ra, đặt y = x + s, t = s + r, ta có f (x + s) − f (x) f (y + r) − f (y) ≤ . s r 9 (1.1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Suy ra f−0 (x) ≤ f+0 (y) với x < y, có nghĩa là f+0 (x) là không giảm. Từ (1.1) ta có f (y − s) − f (y) f (y + r) − f (y) ≤ , −s r khi đó cho −s → 0, r → 0 ta được f−0 (y) ≤ f+0 (y). Đặt x = x1 và y + r = x2 , từ (1.1) ta có



f x1 + s − f x1 f x2 − r − f x2 ≤ . s −r

Khi đó cho s, r → 0, ta được f−0 x1 ≤ f+0 x2 với x1 < x2 . Ta đi chứng minh chiều đảo. Giả sử rằng, hàm f có tất cả các tính chất của mệnh đề trên và cho a < c < d < b. Ta đi xét hàm g(x) = f (x) − f (c) − (x − c) f (d) − f (c) . d−c Từ đó, cho mọi x = (1 − λ) c + λd, ta có g (x) = f (x)−f (c)−λ [f (d) − f (c)] = f (x)−[(1 − λ) f (c) + λf (d)] . Khi đó để chứng minh tính lồi của f , ta cần chỉ ra rằng g(x) ≤ 0 với mọi x ∈ [c, d]. Giả sử ngược lại, max g (x) là dương. Lấy e ∈ [c, d] [c,d] mà tại đó g (·) đạt giá trị lớn nhất. Ta có g (c) = g (d) = 0, (do đó c < e < d). Từ dạng biểu thức của g (·) thì g(·) có tính chất giống với 0 0 0 0 f (·), cụ thể là tồn tại g− (·) , g+ (·) tại mỗi x ∈ [c, d], g− (x) ≤ g+ (x),

0 0 0 g+ (·) là hàm không giảm và g− x1 ≤ g+ x2 với x1 ≤ x2 . Khi đó, g(e) ≥ g (x) với mọi x ∈ [c, d], ta có 0 0 g− (e) ≥ 0 ≥ g+ (e) . 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Vì vậy 0 0 g− (e) = g+ (e) = 0. 0 0 Do đó g+ (·) là hàm không giảm, với mọi x ∈ [e, d]. Nếu g− (y) ≤ 0 tại một số y ∈ [e, d] thì g 0 (x) = 0 tại mọi x ∈ [e, y], từ đó g (y) = g (e) > 0. 0 Từ g(d) = 0, tồn tại y ∈ (e, d) với g− (y) > 0, lấy x1 ∈ [y, d) là điểm
0 tại đó g (·) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [y, d]. Nên g+ x1 ≤ 0, mâu 0 0 thuẫn với g+ (y) ≥ g− (y) > 0. Do đó g (x) ≤ 0 với mọi x ∈ [c, d]. Hệ quả 1.1. Một hàm thực f khả vi trên một khoảng mở là lồi khi và chỉ khi đạo hàm f 0 hàm không giảm. Một hàm thực f khả vi hai lần trên một khoảng mở là lồi khi và chỉ khi đạo hàm cấp hai f 00 luôn không âm trên khoảng đó. Mệnh đề 1.2. Một hàm thực f khả vi hai lần trên tập lồi, mở C trong Rn là lồi khi và chỉ khi vơi mọi x ∈ C ta có ma trận Hessian ∂ 2f Q(x) = (qij (x)), qij (x) = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∂xi .∂xj là nửa xác định dương, có nghĩa là hu, Qx ui ≥ 0, ∀u ∈ Rn . Chứng minh. Một hàm f là lồi trên C khi và chỉ khi với mỗi a ∈ C và u ∈ Rn thì hàm ϕa,u (t) = f (a + tu) là tập lồi trên khoảng thực mở {t |a + tu ∈ C }. Mệnh đề ϕ00 (t) = hu, Qx ui với x = a + tu. Đặc biệt, hàm bậc hai f (x) = 1 hx, Q(x)i + hx, ai + a, 2 trong đó Q là ma trận đối xứng cấp n × n, là lồi trên Rn khi và chỉ khi Q là nửa xác định dương, là lõm trên Rn khi và chỉ khi ma trận Q là nửa xác định âm. 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Mệnh đề 1.3. Một hàm lồi chính thường f trên Rn là liên tục tại mọi điểm trong của miền hữu hiệu. Chứng minh. Cho x0 ∈ int(dom f ). Từ định lí 1.1, với i = 1, 2, . . . , n   sự hạn chế của f đến khoảng mở t x◦ + tei ∈ int(dom f ) là liên tục tương đối trên khoảng này. Do đó, cho bất kì ε > 0 và cho mỗi   i = 1, · · · , n, ta chọn δi > 0 đủ nhỏ để f (x) − f (x0 ) ≤ ε, với mọi   x ∈ −δi ei , δi ei . Cho δ = min {δi |i = 1, ..., n} và B = {x |kxk1 ≤ δ }. Kí hiệu ui = δei , ui+n = −δei , i = 1, .., n. Khi đó, với mọi x ∈ B có 2n 2n P P i dạng x = λi u , với x = λi = 1, 0 ≤ λi ≤ 1. Do đó i=1 i=1 f (x) ≤ 2n X λi f (ui ). i=1 Tương tự |f (x) − f (x0 )| ≤ 2n P   λi f (xi ) − f (x0 ). Cho nên i=1 |f (x) − f (x0 )| ≤ 2n X   λi f (xi ) − f (x0 ) ≤ ε, ∀x ∈ B i=1 ta chứng minh được f liên tục tại x0 . Mệnh đề 1.4. Cho f là một hàm giá trị thực trên tập lồi C ⊂ Rn nếu với mọi x ∈ C, tồn tại một lân cận lồi mở Ux của x, sao cho f là lồi trên Ux ∩ C thì f là lồi trên C. Chứng minh. Ta đi chứng minh hàm ϕ(t) = f (a + tu) là lồi với mọi a ∈ C, u ∈ R2 trên khoảng ∆ := {t |a + tu ∈ C }. Theo giả thiết, hàm số này lồi trong lân cận của mọi t ∈ ∆, do đó nó liên tục và có đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải ϕ0− (t) ≤ ϕ0+ (t) trong lân cận của mọi 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH t ∈ ∆. Như vậy, tồn tại đạo hàm và thỏa mãn điều kiện mô tả trong đinh lí 1.1 trên mọi khoảng ∆. Do đó, ϕ(t) là lồi. 1.2 Tính nửa liên tục dưới và liên tục lipschitz của hàm lồi 1.2.1 Tính nửa liên tục dưới Định nghĩa 1.2. Cho hàm số f : Rn → [−∞; +∞]. Các tập hợp {x|f (x) ≤ α} , {x|f (x) ≥ α} với α ∈ [−∞, +∞] được gọi là tập mức dưới và tập mức trên, tương ứng, của f . Định nghĩa 1.3. Một hàm số f từ một tập tới [−∞, +∞] được gọi là nửa liên tục dưới tại một điểm x ∈ S nếu lim inf f (y) ≥ f (x). y→x Nó được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ S nếu lim sup f (y) ≤ f (x). y→x Một hàm nếu tồn tại cả liên tục trên và liên tục dưới tại x thì được gọi là liên tục tại x theo nghĩa thông thường. Mệnh đề 1.5. Tập mức dưới (trên) của một hàm f lồi (lõm) là lồi. 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Chú ý 1.1. Kết quả ngược lại là không đúng. Ví dụ một hàm giá trị thực trên trục số thực không giảm có tất cả các tập mức dưới, nhưng có thể không lồi. Một hàm số f mà mọi tập mức dưới là lồi (hoặc, tương đương nó thỏa mãn f ((1 − λ)x1 + λx2 ) ≤ max{f (x1 ), f (x2 )} với mọi λ ∈ (0, 1) và với mọi x1 , x2 ∈ Rn , được nói là gần lồi. Nếu mọi tập mức dưới là lồi thì f được gọi là hàm gần lồi. Mệnh đề 1.6. Với bất kỳ hàm chính thường lồi f : i. Giá trị lớn nhất của f trên đoạn thẳng bất kỳ đạt được tại điểm cuối của đoạn thẳng; ii. Nếu f là hữu hạn và bị chặn trên một nửa đường thẳng thì giá trị lớn nhất của nó trên nửa đường thẳng đó đạt được tại gốc của nửa đường thẳng; iii. Nếu f là hữu hạn và bị chặn trên một tập afin thì nó là bất biến trên tập đó. Chứng minh. i. Có ngay từ mệnh đề 1.5 ii. Nếu f (b) > f (a) thì với bất kì x = b + λ(b − a) với λ ≥ 0, ta có b= 1 1+λ x + λ 1+λ a, do đó (1 + λ)f (b) ≤ f (x) + λf (a), (với bất kỳ f (x) < +∞), tức là f (x) ≥ λ[f (b) − f (a)] + f (b), nghĩa là f (x) → +∞ khi λ → +∞. Vì thế, nếu f là hữu hạn và bị chặn trên bởi một nửa đường thẳng tại gốc a, thì phải có f (b) ≤ f (a) 14 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH với mọi b thuộc nửa đường thẳng này. iii. Cho M là một tập affine mà trên đó f hữu hạn. Nếu f (b) > f (a) với a, b ∈ M , thì bởi ii. f không bị chặn trên nửa đường thẳng trong M từ a đến b. Vì thế, nếu f bị chặn trên M , thì f phải là bất biến trên M . Định nghĩa 1.4. Cho C là một tập lồi trên Rn , một vector y được gọi là phương lùi xa của tập lồi C nếu x + αy ∈ C với mọi x ∈ C và α > 0. Mệnh đề 1.7. Cho f là một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới. Khi đó tất cả các tập mức dưới khác rỗng {x|f (x) ≤ α}, có chung một nón lùi xa và có chung không gian tuyến tính. Nón lùi xa được tạo thành bởi 0 và các phương lùi xa của nửa đường thẳng mà trên đó f bị chặn, trong khi đó không gian tuyến tính là không gian song song với tập affine mà trên đó f bất biến. Hệ quả 1.2. Nếu tập mức dưới {x|f (x) ≤ α} của một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới f là khác rỗng và bị chặn bởi một số α0 thì nó bị chặn với mọi α. Chứng minh. Mọi tập mức dưới của f là một tập lồi đóng. Vì thế, nó bị chặn nếu và chỉ nếu nón lùi xa của nó là tập có duy nhất một phần tử {0}. Hệ quả 1.3. Nếu một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới f bị chặn trên một nửa đường thẳng thì nó bị chặn trên bởi mọi nửa đường thẳng song song xuất phát một điểm của dom f . Nếu nó là bất biến trên một đường thẳng thì nó bất biến trên mọi đường thẳng song song đi qua một điểm của dom f . 15 Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ HOÀNG ANH Mệnh đề 1.8. Cho f là một hàm lồi chính thường bất kỳ trên Rn . Với mọi y ∈ Rn , tồn tại t ∈ R sao cho (y, t) thuộc về không gian tuyến tính của epi f nếu và chỉ nếu f (x + λy) = f (x) + λt, ∀x ∈ dom f, ∀λ ∈ R. Khi f là nửa liên tục dưới, điều kiện này được chứng minh thỏa mãn với x bất kỳ thuộc dom f hàm số λ 7→ f (x + λy) là affine. 1.2.2 Liên tục Lipschitz Định nghĩa 1.5. Một hàm f sao cho |f (x) − f (y)| ≤ C|x − y| với mọi x và y, trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào x và y, được gọi là hàm Lipschitz. Mệnh đề 1.9. Cho f là một hàm lồi trên Rn và D là một đa diện chứa trong dom f . Thì f là nửa liên tục trên tương đối với D. Vì vậy, nếu f là nửa liên tục dưới thì f là liên tục tương đối với D. Định lý 1.2. Cho một hàm lồi chính thường f trên Rn . Các khẳng định sau là tương đương: i. Hàm f là liên tục tại một điểm nào đó; ii. Hàm f bị chặn trên bởi một tập mở nào đó; iii. Tập int(epi f ) 6= ∅; iv. Tập int (dom f ) 6= ∅ và f là lipschitz trên mỗi tập giới hạn chứa trong int (dom f ); v. Tập int (dom f ) 6= ∅ và f liên tục tại đó. 16