Tài liệu Dùng phương pháp monte carlo để giải một lớp bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp liên quan đến quá trình điểm gắn mã và áp dụng

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Quý Hỷ và PGS.TS. Tống Đình Quỳ. Các kết quả được viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào trước thời gian công bố. Hà Nội, ngày 15 tháng 02 năm 2014 Tác giả của luận án Trần Thị Ngân ii LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy hướng dẫn, GS.TS. Nguyễn Quý Hỷ và PGS.TS. Tống Đình Quỳ. Em vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quí báu mà các thầy đã dành cho em trong suốt quá trình thực hiện luận án. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, góp ý của PGS.TS Bùi Khởi Đàm, TS. Trần Cảnh. Các thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và chỉ bảo cho em những vấn đề có liên quan đến luận án để em có thể hoàn thiện như ngày hôm nay. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các cán bộ nghiên cứu thuộc Viện Toán ứng dụng và tin học. Em xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô thuộc Viện đào tạo sau đại học trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo một môi trường làm việc hết sức thuận lợi giúp em thực hiện tốt công việc nghiên cứu của mình. Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ bản, đã hết sức tạo điều kiện về thời gian và công việc để em có thể tập trung hoàn thành quá trình học tập, nghiên cứu của mình. Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô, các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu. Em xin cảm ơn gia đình và bạn bè, người thân đã luôn là nguồn động viên để em có thể tiếp tục học tập và nghiên cứu. Các thành viên trong gia đình luôn sẻ chia những khó khăn vất vả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện đề tài. Em xin chân thành cảm ơn! Mục lục Mở đầu 1 Chương 1 Một số công cụ giải tích và ngẫu nhiên có liên quan 7 1.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Phương trình vi phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Phương pháp số giải bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . 20 1.2.1 Bài toán điều khiển tối ưu suy rộng . . . . . . . . . . . . 20 1.2.2 Giải số bài toán Mayer không có ràng buộc thông thường 22 1.2.3 Giải số bài toán Mayer có ràng buộc trạng thái cuối thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3 Các công cụ ngẫu nhiên hỗ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.1 Mô hình hợp lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.2 Mô hình dò tìm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 2 Thuật toán Monte Carlo giải 1 loại bài toán Mayer suy rộng không lồi 33 2.1 Đặt bài toán và các chú ý mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Nghiệm tựa tối ưu và sự hội tụ của nó . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Thuật toán Monte Carlo giải bài toán . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 iii iv Chương 3 Giải một loại bài toán Mayer không lồi mở rộng với ràng buộc trạng thái 67 3.1 Đặt bài toán và một số chú ý mở đầu . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Sự hội tụ của dãy điều khiển tựa tối ưu . . . . . . . . . . . . 75 3.3 Quy trình Monte Carlo giải bài toán . . . . . . . . . . . . . . 99 3.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Chương 4 Áp dụng vào mô hình hợp lý cực đại 4.1 Mô hình hợp lý cực đại liên tục hóa 108 . . . . . . . . . . . . . . 108 4.2 Mô hình hợp lý cực đại ước lượng tham hàm . . . . . . . . . . 113 4.3 Mô hình hợp lý cực đại liên tục hóa ước lượng tham số . . . . 120 4.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Kết luận chung 129 Danh mục các công trình đã công bố của luận án 130 Tài liệu tham khảo 131 Phụ lục: Phần code các chương trình chính 136 v DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT PTVP phương trình vi phân ĐKTƯ điều khiển tối ưu PPMC phương pháp Monte Carlo QHĐĐ quy hoạch đo được DTNN dò tìm ngẫu nhiên XXTT xấp xỉ tuyến tính HLCĐ hợp lý cực đại CNĐ chấp nhận được TƯ tối ưu vtnn vec tơ ngẫu nhiên đlnn đại lượng ngẫu nhiên MPTTƯ mô phỏng tựa tối ưu MPTT mô phỏng tuyến tính tựa tối ưu ĐKRR điều khiển rời rạc hcc hầu chắc chắn hkn hầu khắp nơi ƯL ước lượng ƯLKC ước lượng không chệch TSH tham số hóa BT bậc thang (hằng từng khúc) mes (B) độ đo Lebesgue của tập B CTTĐ công trình thủy điện RRĐĐ rủi ro động đất vi DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ HÌNH ẢNH Bảng 2.1: Bảng nghiệm dò tìm ngẫu nhiên thứ r = 1.000.000 Bảng 2.2: Bảng so sánh các nghiệm DTNN, tựa tối ưu, MPTTƯ và MPTT (r) Bảng 4.1: Bảng các giá trị Uk := (ak , dk ), k = 0, ..., 4. Bảng 4.2: Bảng tham số hàm mật độ chấn cấp từ dãy DTNN đơn giản. Hình 4.1: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 4.5 - 5.0 Hình 4.2: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 5.0 - 5.5 Hình 4.3: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 5.5 - 6.0 Hình 4.4: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 6.0 - 6.5 Hình 4.5: Mật độ và đường đồng mức xác suất trên dải chấn cấp 6.5 - 7.0 Hình 4.6: Đồ thị hàm g(s) = g(s; u), u = u(r) = u(100.000) = 0.182 1 MỞ ĐẦU Các bài toán điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) dạng tất định (deterministic optimal control) xuất hiện trên quốc tế đã quá nửa thế kỷ nay, gắn với tên tuổi của Pontriagin (1959), Bellman (1957) và với những mô hình ứng dụng phong phú trong điều khiển học của nhiều lãnh vực kỹ thuật và quản lý kinh tế. Trong bài toán này, vào mỗi thời điểm t ∈ [to , T ] ⊂ R1 (thời gian điều khiển) đối tượng được điều khiển y(t) ∈ Rn (gọi là biến trạng thái) liên hệ với yếu tố điều khiển u(t) ∈ Rm (gọi là biến điều khiển) bởi 1 hệ phương trình vi phân (PTVP) thường (hoặc đạo hàm riêng) theo ẩn hàm y(t) (to ≤ t ≤ T ) (gọi là hệ động lực) và biến điều khiển có thể không phụ thuộc biến trạng thái (gọi là điều khiển theo chương trình - programme
control) hoặc phụ thuộc biến trạng thái u(t) = u t; y(s) (to ≤ s ≤ t) (gọi là điều khiển tổng hợp - synthetic, feedback control). Ngoài ra, biến điều khiển u(t) (to ≤ t ≤ T ) còn cần phải thỏa mãn một số điều kiện ràng buộc nào đó, để nó trở thành điều khiển chấp nhận được (CNĐ). Việc giải bài toán ĐKTƯ nói trên đồng nghĩa với việc lựa chọn trong số các điều khiển CNĐ một điều khiển tối ưu, làm cho hàm mục tiêu của bài toán đạt mức cực đại (hoặc cực tiểu). Do tầm quan trọng của các bài toán ĐKTƯ nói trên đối với thực tiễn ứng dụng nên từ khi ra đời cho đến nay, việc giải số các bài toán này đã nhận được sự quan tâm của không ít tác giả trong và ngoài nước. Đã có nhiều phương pháp được sử dụng, tuy nhiên mỗi phương pháp chỉ giải được một lớp bài toán nhất định. Ta có thể điểm sơ lược 1 số phương pháp tiếp cận chính với vấn đề này như dưới đây. - Phương pháp gián tiếp [21] (tr.240): Đối với các bài toán điều khiển theo chương trình, xét bài toán điều khiển lồi, trong đó hàm mục tiêu có dạng Bolza, hệ động lực có dạng tuyến tính, tập hợp các điều khiển CNĐ không phụ thuộc thời gian và là một tập hợp lồi, đóng. Cơ sở của phương pháp gián tiếp dùng để giải bài toán này là nguyên lý cực đại Pontryagin (dưới 2 dạng điều kiện cần và đủ của ĐKTƯ [21] (240-258)), dùng để chuyển bài toán ĐKTƯ thành các bài toán cực đại trung gian. Liên quan đến việc giải số các bài toán cực đại này là bài toán giá trị biên 2 điểm. Các kỹ thuật Neuton - Raphson (Quasilinearization technique [21] tr.188-189) và bắn (Shooting method [21] tr.187-188) của giải tich số có thể thực hiện điều trên một cách gần đúng. Nhằm hữu hạn hóa số (không đếm được) các bài toán cực đại cần giải trong nguyên lý Pontryagin, ta có thể chọn biến điều khiển thuộc lớp hàm bậc thang (hoặc tuyến tính từng khúc) trên [to , T ] với lưu ý rằng: Do hàm mục tiêu trong các bài toán cực đại là hàm lõm (theo u) trên miền lồi, nên ta có thể sử dụng công cụ của quy hoạch lồi (xem, chẳng hạn [40]) để giải bằng số các bài toán đặt ra. Khi vượt ra ngoài khuôn khổ của những bài toán điều khiển lồi nói trên, nguyên lý Pontryagin (trong dạng điều kiện cần của điều khiển "tối ưu") cũng đã được phát biểu ([21] tr.231-232) cho bài toán điều khiển không có tính lồi và không có điều kiện ràng buộc, với hàm mục tiêu có dạng Mayer và biến điều khiển thuộc lớp những hàm liên tục từng khúc. Tuy nhiên, do bài toán điều khiển (theo chương trình) này không có tính lồi và do nguyên lý cực đại nói trên chỉ là điều kiện cần, nên khái niệm "tối ưu" trong trường hợp này chỉ được hiểu theo nghĩa địa phương (không phải là tối ưu toàn cục). Ngoài ra, do bài toán cực đại trong nguyên lý Pontryagin nói chung không có dạng của bài toán quy hoạch lồi nên phải dùng phương pháp Monte Carlo [13] (tr.271-309) để giải nó. - Phương pháp ẩn : Phương pháp này thường sử dụng cho bài toán điều khiển tổng hợp Mayer có biến trạng thái hoặc điều khiển là bình phương khả tích và có điều kiện ràng buộc đối với biến trạng thái. Cơ sở của phương pháp ẩn dùng để giải bài toán này là nguyên lý quy hoạch động Bellman [29] (Mục IV.3), mà liên quan đến việc thiết lập các bài toán cực đại trong nguyên lý này ta cần giải phương trình quy hoạch động (trong dạng phương trình đạo hàm riêng đối với ẩn hàm Bellman. Larson (1968) và Lamarechal (1972) đã dùng phương pháp lưới (sai phân) [21] (tr.184-185) để giải quyết 3 vấn đề này nhưng cũng gập nhiều khó khăn, khi phải nội suy kết quả tính toán trên lưới nhất là khi số chiều n lớn; thậm chí có khó khăn không khắc phục được như trường hợp n ≥ 4. Michailevich và Shor đã tránh được phần nào khó khăn nói trên bằng cách sử dụng phương pháp chổi Kiev [1] (tr.97-104). Nhưng phương pháp này cũng có nhược điểm bởi tính địa phương của những điều khiển "tối ưu" mà nó thu được và cũng bị hạn chế về số chiều n của biến trạng thái, khi sử dụng các phương pháp này trên các máy tính tuần tự (do sử dụng nhiều bộ nhớ cùng thời gian tính toán). - Phương pháp trực tiếp : Khác với các phương pháp ẩn và gián tiếp (chuyển bài toán điều khiển về các bài toán cực đại và giải các bài này), trong các phương pháp trực tiếp ta có thể dùng cách tiếp cận giải tích hàm hoặc tham số hóa (TSH) hàm điều khiển để giải trực tiếp bài toán ĐKTƯ. + Đối với cách tiếp cận giải tích hàm [21] (tr.193-195), người ta thường xét bài toán Mayer với hàm mục tiêu là một phiếm hàm xác định trên không gian hàm U nào đó của các hàm điều khiển, thông qua biến trạng thái vào thời điểm cuối T. Trên cơ sở này, thiết lập bài toán cực tiểu phiếm hàm. Các công cụ của phép tính biến phân [29] (Mục I.2-I.6) hoặc của giải tích số như: phương pháp đường dốc nhất [35] (Mục XV.4), gradient [21] (tr.192-195) đã được sử dụng để giải các bài toán cực tiểu phiếm hàm đã thiết lập. Đương nhiên là cách tiếp cận này không có điều kiện xét tới những ràng buộc trạng thái và ràng buộc hỗn hợp giữa biến trạng thái và điều khiển, cũng không xét tới bài toán điều khiển tổng hợp. + Đối với cách tiếp cận của phương pháp TSH hàm điều khiển, tuy ta có thể xét bài toán điều khiển theo chương trình với những điều kiện ràng buộc hỗn hợp nói trên trong bài toán điều khiển, nhưng cần chỉ ra rằng hàm điều khiển có thể TSH bởi các tham số để cho số không đếm được những điều kiện ràng buộc (phụ thuộc thời gian) được thay bằng một số hữu hạn các ràng buộc theo các tham số. Khi đó ta có thể chuyển bài toán trên về bài toán điều khiển theo tham số. Trong những năm gần đây nhiều tác giả trong và ngoài nước như [9], [30], [15], [17], [10], [14], [43] thường 4 quan tâm đến cách tiếp cận này. - Phương pháp sai phân : Khi chia thời đoạn [to , T ] bởi lưới điểm cách đều {tn := to + nh}N n=0 với bước lưới h và thay thế đạo hàm (thường hoặc riêng phần) trong hệ động lực của bài toán ĐKTƯ (trong mô hình liên tục) bởi sai phân tương ứng, ta có thể rời rạc hóa hệ động lực nói trên thành phương trình sai phân (gọi là hệ động lực rời rạc) và rời rạc hóa bài toán ĐKTƯ thành mô hình ĐKTƯ rời rạc ứng với bài toán ĐKTƯ ban đầu. Trong những điều kiện nhất định về hàm mục tiêu và hệ động lực của bài toán Mayer (có hoặc không có ràng buộc trạng thái), người ta đã chỉ ra [27] (tr.12-33) sự hội tụ (theo mục tiêu) của hàm điều khiển hằng từng khúc (còn gọi là điều khiển bậc thang (BT)) lập từ lời giải bài toán rời rạc về lời giải của bài toán ĐKTƯ (liên tục) tương ứng. Khi đó, nếu bài toán ĐKTƯ có tính lồi thì bài toán rời rạc tương ứng là 1 bài toán quy hoạch lồi và ta có thể dùng các phương pháp sai phân trực tiếp, như gradien, hướng có thể, Errou - Gurvitz...[27] (tr.83-90) của quy hoạch phi tuyến để giải bài toán điều khiển rời rạc này. Ta cũng cũng có thể sử dụng các phương pháp của quy hoạch ngẫu nhiên như: phạt ngẫu nhiên [26](tr.212-214), tựa gradient ngẫu nhiên [26](tr.101-104)... để giải nó. Ngoài ra, người ta còn dùng các phương pháp sai phân gián tiếp để giải bài toán trên dựa vào nguyên lý cực đại rời rạc [27] (tr.61-83). - Phương pháp Monte Carlo (PPMC) : + Trong các bài toán ĐKTƯ có tính lồi, phương pháp TSH hàm điều khiển đã được sử dụng kết hợp với việc mô phỏng nghiệm của hệ động lực (tuyến tính) ngẫu nhiên hóa để chuyển nó về một bài toán cực tiểu phiếm hàm [31] hoặc quy hoạch ngẫu nhiên lồi [6] (tr.33-57) và dùng phương pháp xấp xỷ ngẫu nhiên để giải nó. + Trong các bài toán điều khiển rời rạc, phương pháp PPMC được xem là một loại phương pháp sai phân trực tiếp dùng để giải các bài toán quy hoạch đo được (không có tính lồi) [6], [5], [2] hoặc ngẫu nhiên hóa các bài toán này [9] để sử dụng các mô hình dò tìm ngẫu nhiên. Cũng có thể xem 5 PPMC là một loại phương pháp sai phân gián tiếp, dùng để thiết lập các nguyên lý cực đại rời rạc mô phỏng [4] và đưa về việc sử dụng các mô hình dò tìm ngẫu nhiên. + Không chỉ các bài toán ĐKTƯ rời rạc nói trên, PPCM còn được sử dụng trong các phương pháp trực tiếp để giải 1 số bài toán ĐKTƯ bằng phương pháp gradient [31], phương pháp xấp xỷ ngẫu nhiên [16], [30], phương pháp bắn ngẫu nhiên Markov [17], phương pháp dò tìm ngẫu nhiên hỗn hợp [6] (tr.122-145), phương pháp chiếu gradient ngẫu nhiên [6] (tr.73-95). Trong trường hợp bài toán ĐKTƯ (có tính lồi) được giải bằng phương pháp gián tiếp, PPMC cũng đã được sử dụng để mô phỏng nghiệm của hệ động lực ngẫu nhiên [7] (tr.114-119) hoặc của bài toán biên 2 điểm [8] (320-334). Bản luận án này nhằm mục đích mở rộng phạm vi ứng dụng của PPMC vào việc giải số 2 lớp mới trong số các bài toán ĐKTƯ (dạng Mayer) không có tính lồi và không (hoặc có) điều kiện ràng buộc trạng thái cuối, trong đó hệ động lực gồm cả phương trình vi phân thường lẫn đạo hàm riêng (với đạo hàm hiểu theo nghĩa thông thường hoặc suy rộng). Hai lớp bài toán trên đây có nguồn gốc từ việc giải quyết 1 chủ đề ƯD toán học của Semina Các phương pháp ngẫu nhiên & giải tích số (thuộc Hội ƯD Toán học VN) về việc mô phỏng các trận động đất trên vùng Tây Bắc bộ, để giải bài toán Giảm thiểu độ rủi ro động đất cho Công trình Thủy điện (CTTĐ) Sơn La [12] (tr.37-45). Cấu trúc của luận án bao gồm: Chương 1 : Giới thiệu một số công cụ được sử dụng trong luận án, trong đó: Phương trình vi phân với đạo hàm suy rộng và mô hình hợp lý cực đại dùng để đặt bài toán ĐKTƯ từ 1 thực tế ứng dụng, các phương pháp số trong ĐKTƯ và mô hình dò tìm ngẫu nhiên dùng để giải bài toán. Chương 2 : Thiết lập mô hình rời rạc của bài toán Mayer không có tính lồi, trong ngữ cảnh hệ động lực là PTVP (thường và đạo hàm riêng) với đạo hàm suy rộng và các giả thiết về tính Lipschitz theo tất cả các biến (trạng thái, điều khiển và thời gian) của hàm ở vế phải và hàm mục tiêu. Đồng thời chỉ ra sự hội tụ (theo mục tiêu) của điều khiển BT lập từ ĐKTƯ 6 trong bài toán rời rạc về ĐKTƯ trong bài toán liên tục. Phương pháp Monte Carlo được sử dụng để giải số bài toán rời rạc nói trên và để thiết lập điều khiển ngẫu nhiên BT hội tụ hầu chắc chắn (hcc) theo mục tiêu về ĐKTƯ của bài toán Mayer nói trên. Chương 3 : Thiết lập mô hình rời rạc của bài toán Mayer không lồi có ràng buộc trạng thái, trong đó hệ động lực là PTVP (thường và đạo hàm riêng) với đạo hàm thông thường và các giả thiết về tính Lipschitz theo biến trạng thái, liên tục theo biến điều khiển và Lebesgue-khả tích theo biến thời gian của hàm ở vế phải và hàm mục tiêu. Đồng thời chỉ ra sự hội tụ (theo mục tiêu) của điều khiển BT lập từ ĐKTƯ trong bài toán rời rạc về ĐKTƯ trong bài toán liên tục. Phương pháp Monte Carlo cũng được sử dụng để giải số bài toán rời rạc nói trên và để thiết lập điều khiển ngẫu nhiên BT hội tu hcc theo mục tiêu về ĐKTƯ của bài toán Mayer có ràng buộc trạng thái nói trên. Chương 4 : Mở rộng mô hình hợp lý cực đại (HLCĐ) kinh điển về ước lượng (ƯL) tham số thành Mô hình HLCĐ liên tục hóa ƯL tham hàm và Mô hình HLCĐ liên tục hóa ƯL tham số (trong dạng bài toán ở Chương 2 và 3), để dùng kết quả 2 chương này vào việc giải số bài toán UL tham hàm trong mật độ xác suất có điều kiện của chấn tâm động đất và bài toán UL tham số trong mật độ xác suất của biên độ chấn cấp động đất. Các kết quả tính toán đều gắn với các số liệu thực trên vùng Tây Bắc Bộ nước ta và có thể dùng để mô phỏng các trận động đất trên vùng này, phục vụ việc giải bài toán giảm thiểu độ rủi ro động đất cho CTTĐ Sơn La. Các nội dung trên đã được công bố trong các bài báo [2], [3], [4] của Tác giả luận án cùng người hướng dẫn và bài báo [1] của Tác giả cùng các đồng nghiệp. Một số phần trong đó có trong các báo cáo khoa học tại Hội nghị chuyên ngành quốc gia năm 2010, 2013 và báo cáo tại Hội nghị chuyên ngành quốc tế năm 2013; Đồng thời được báo cáo tại seminar Các phương pháp ngẫu nhiên & giải tích số (của Hội Ứng dụng Toán học VN) và seminar của Viện Toán ứng dụng & Tin học (trường ĐHBK HN). Chương 1 Một số công cụ giải tích và ngẫu nhiên có liên quan 1.1 1.1.1 Phương trình vi phân Phương trình vi phân thường
Xét hàm véc tơ (n-chiều) f (t) = f1 (t), · · · , fn (t) ∈ Rn của 1 biến số t ∈ [a, b] ⊂ R1 và ký hiệu : o n  n C(a, b) := f : [a, b] → R : kf kC := max kf (t)k < ∞ , a≤t≤b n C k (a, b) := f : [a, b] → Rn : kf kC k := o  (1) (k) = max kf (t)k, kf (t)k, · · · , kf (t)k < ∞ , a≤t≤b 1 n n L (a, b) := f : [a, b] → R : kf kL1 := Zb a kf (t)kdt < ∞ o (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3) lần lượt là B-không gian (không gian Banach) của những hàm véc tơ có các thành phần liên tục, khả vi liên tục đến cấp k [45] và Lebesgue khả tích (L-khả tích) [24] (Định lý III. 6) trên [a, b], trong đó: kf (t)k := n X i=1 fi2 (t)  12 , kf (k) (t)k := n X i=1 7 (k) (fi )2 (t)  12 . (1.1.4) 8 Từ giải tích cơ sở, ta biết rằng: Nếu f, F : [to , T ] → R1 là những hàm số, với f ∈ C(to , T ), F ∈ C 1 (to , T ) và các tích phân hiểu theo nghĩa Rieman, thì ta có công thức khôi phục hàm số từ nguyên hàm và Neuton-Leibnitz : d dt Zt to Zt to f (x)dx = f (t) (∀t ∈ [to , T ]), Ḟ (x)dx = F (t) − F (to ) (∀t ∈ [to , T ]). (1.1.5) (1.1.6)
Để mở rộng công thức (1.1.5) cho hàm vec tơ f (t) = f1(t), · · · , fn (t) với tích phân hiểu theo nghĩa Lebesgue [11] (tr.168-174), ta có thể mở rộng những kết quả trong [36] (Định lý VI.3.1) ra trường hợp n-chiều, dưới dạng: Định lý 1.1.1 Nếu hàm véc tơ f = (f1 , · · · , fn ) ∈ L1(to , T ) thì ∀t ∈ [to , T ] hầu khắp nơi (hkn) ta có: d dt Zt to d f (x)dx = f (t) ⇔ dt Zt to fi(x)dx = fi(t) (∀i = 1 ÷ n). (1.1.7) Nhằm mở rộng công thức (1.1.6) một cách tương tự, trước hết ta mở rộng ra trường hợp n-chiều khái niệm "hàm số tuyệt đối liên tục" trong [36] (Định nghĩa VI.3.1), để thu được: Định nghĩa 1.1.1 Hàm véc tơ f : [to , T ] → Rn gọi là tuyệt đối liên tục  K trên [to , T ], nếu ∀ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0, sao cho đối với mọi hệ (ak , bk ) k=1 hữu hạn khoảng: (ak , bk ) ⊂ [to , T ] (∀k = 1 ÷ K), (ak , bk ) ∩ (ai, bi ) = ∅ (k 6= i), (1.1.8) ta có : K X k=1 K X kf (bk ) − f (ak )k < ε (Khi (bk − ak ) < δ). (1.1.9) k=1 Đặc biệt, nếu f : [to , T ] → R1 thì công thức (1.1.9) trở thành : K X k=1 K X |f (bk ) − f (ak )| < ε (Khi (bk − ak ) < δ), k=1 (1.1.9*) 9 gắn với khái niệm hàm số f (t) tuyệt đối liên tục [36] (Định nghĩa VI.3.1).
Chú ý 1.1.1 Hàm véc tơ f (t) = f1(t), · · · , fn (t) là tuyệt đối liên tục trên [to , T ] nếu và chỉ nếu mọi thành phần fi(t) (i = 1 ÷ n) là những hàm số tuyệt đối liên tục trên [to , T ]. Khi đó hàm véc tơ f (t) là liên tục đều trên [to , T ]. Trường hợp n = 1 (hàm số tuyệt đối liên tục), ta có các mệnh đề sau: Bổ đề 1.1.1 ([36], Mục VI.4.4) Mọi hàm số f : [to , T ] → R1 liên tục tuyệt đối đều có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của 2 hàm đơn điệu không giảm, liên tục tuyệt đối trên [to , T ]. Bổ đề 1.1.2 ([36], Định lý VI.1.1) Mọi hàm số f : [to , T ] → R1 đơn điệu đều có trên [to , T ] (hkn) đạo hàm (hữu hạn): |f˙(t)| < +∞ (∀t ∈ [to , T ] (hkn)). Từ Chú ý 1.1.1 và các Bổ đề 1.1.1 ÷ 1.1.2 ta có thể mở rộng ra trường hợp n-chiều các Định lý VI.4.2 - VI.4.3 trong [36] về hàm số tuyệt đối liên tục, dưới dạng véc tơ: Định lý 1.1.2 Giả sử hàm véc tơ f = (f1 , · · · , fn ) ∈ L1 (to , T ). Khi đó hàm véc tơ F (t) = F1 (t), · · · , Fn (t) là tuyệt đối liên tục trên [to , T ], nếu nó có dạng tích phân phiếm định: F (t) = Zt to f (x)dx ⇔ Fi(t) = Zt to fi (x)dx (∀i = 1 ÷ n). (1.1.10) Định lý 1.1.3 Giả sử hàm véc tơ F (t) = F1 (t), · · · , Fn (t) là tuyệt đối liên tục trên [to , T ]. Khi đó sẽ tồn tại đạo hàm (hữu hạn): Ḟ (t) = Ḟ1(t), · · · , Ḟn (t) (∀t ∈ [to , T ] (hkn)) với Ḟ ∈ L1 (to , T ) và ta có "công thức Neuton-Leibnitz" sau: Z t t  Z  Ḟi(x)dx = Fi(t) − Fi(to ) to Ḟ (x)dx = F (t) − F (to ) ⇔   (∀i = 1 ÷ n). to (1.1.11) 10 Bây giờ ta xét Bài toán Cauchy trên [to , T ] trong Rn :
ẏ(t) = g t, y(t) ∈ Rn (to < t ≤ T ), y(to ) = yo := (yo1 , · · · , yon) ∈ Rn , (1.1.12) (1.1.13) trong đó (1.1.12) là hệ n phương trình vi phân (gọi là phương trình vi phân
(thường) trong Rn ) với ẩn hàm y(t) = y1 (t), · · · , yn (t) (t ∈ [to , T ]) có
đạo hàm ẏ(t) = ẏ1(t), · · · , ẏn(t) thông thường và hàm đã cho g(t, y) =
g1 (t, y), · · · , gn (t, y) , xác định với mọi (t, y) ∈ [to , T ] × Rn ; Còn (1.1.13) là điều kiện đầu, xác định bởi véc tơ yo := (yo1 , · · · , yon) ∈ Rn (đã cho). Liên quan đến sự tồn tại duy nhất lời giải của bài toán Cauchy (còn gọi là nghiệm của phương trình vi phân) (1.1.12)-(1.1.13), người ta thường đưa ra 1 loại điều kiện đủ (gọi là điều kiện Lipschitz) dưới đây: kg(t, y 0) − g(t, y”)k ≤ Lky 0 − y”k (∀t ∈ [to , T ], y 0, y” ∈ Rn ), (1.1.14) trong đó hằng số L>0 gọi là hằng số Lipschitz toàn cục, theo nghĩa gắn với mọi y 0, y” ∈ Rn . Khi đó, ta có: Định lý 1.1.4 ([45], Mục 13.35). Nếu hàm véc tơ g(t, y) ∈ Rn liên tục ∀(t, y) ∈ [to , T ] × Rn và nếu hàm này thỏa mãn điều kiện Lipschitz (1.1.14) thì phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13) có nghiệm duy nhất y(t) ∈ Rn (to ≤ t ≤ T ), khả vi trên [to , T ]. Để nghiên cứu phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13) thông qua phương trình tích phân, người ta thường dùng phương pháp chuyển nó về phương trình tích phân Voltera tương ứng (gọi là phương pháp tích phân phương trình vi phân), nêu trong mệnh đề sau:
Định lý 1.1.5 Nếu hàm hợp véc tơ g(t) := g t, y(t) là L-khả tích theo t ∈ [to , T ]:
g(·) := g ·, y(·) ∈ L1 (to , T ), (1.1.15) thì mọi nghiệm của phương trình tích phân: y(t) = yo + Zt to
g x, y(x) dx (∀t ∈ [to , T ]). (1.1.16) 11 đều là nghiệm của phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13), trong đó đẳng thức (1.1.12) đúng với mọi t ∈ (to , T ] (hkn). Ngoài ra, nếu phương trình này có nghiệm khả vi duy nhất trên [to , T ] thì phương trình tích phân (1.1.16) tương ứng cũng có duy nhất nghiệm. Chứng minh. Giả sử y(t) ∈ Rn (t ∈ [to , T ]) là nghiệm của phương trình (1.1.16). Khi đó từ giả thiết (1.1.15) và biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm định của nghiệm này trong (1.1.16), ta có thể sử dụng Định lý 1.1.2 để thu được tính liên tục tuyệt đối của hàm véc tơ y(t) trên [to , T ] và do đó, từ Định lý 1.1.3 suy ra sự tồn tại hữu hạn đạo hàm ẏ(t) (∀t ∈ [to , T ] (hkn)). Trên cơ sở này, khi lấy đạo hàm 2 vế của (1.1.16) ta có: ẏ(t) = d dt Zt to
g x, y(x) dx (∀t ∈ [to , T ] (hkn)). Khi đó, từ giả thiết (1.1.15) và Định lý 1.1.1 ta suy ra: d ẏ(t) = dt Zt to
g x, y(x) dx = g t, y(t) (∀t ∈ [to , T ] (hkn)). (1.1.17) Mặt khác, từ (1.1.16) ta còn suy ra y(to ) = yo . Kết hợp điều này với (1.1.17) ta thấy rằng: Nghiệm y(t) (t ∈ [to , T ]) nói trên của phương trình tích phân (1.1.16) cũng là nghiệm của phương trình vi phân (1.1.12)-(1.1.13). Ngoài ra, nếu phương trình (1.1.16) có 2 nghiệm phân biệt thì 2 nghiệm này cũng là các nghiệm phân biệt của phương trình (1.1.12)-(1.1.13). Điều này chỉ ra tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.1.16), khi phương trình (1.1.12)-(1.1.13) có nghiệm duy nhất. 1.1.2 Phương trình vi phân suy rộng Để xét phương pháp tích phân phương trình vi phân với đạo hàm hiểu theo nghĩa suy rộng (distribution), trước hết ta xét các khái niệm liên quan đến "hàm suy rộng" dưới đây. 12 Cho khoảng đóng [a, b] ⊂ R1 và hàm số khả vi vô hạn ϕ ∈ C ∞ (a, b) trên [a,b], nghĩa là ϕ ∈ C k (a, b) (∀k ≥ 1) (ϕ có đạo hàm liên tục ở mọi cấp). Một khoảng đóng [α, β] ⊂ (a, b) được gọi là giá (support) compac trên [a,b] của ϕ ∈ C ∞ (a, b), nếu: ϕ(k) (t) ≡ 0 (∀k ≥ 0, t ∈ [a, b] \ [α, β]), với : ϕ(o) (t) := ϕ(t), (1.1.18) và ký hiệu : [α, β] := supp ϕ. Định nghĩa 1.1.2 Lớp các hàm khả vi vô hạn có giá compac nói trên:  D(a, b) := ϕ ∈ C ∞ (a, b) : supp ϕ 6= ∅ (1.1.19) gọi là không gian cơ sở trên (a,b). Mỗi hàm (số) ϕ ∈ D(a, b) gọi là một hàm cơ sở. Trong không gian cơ sở D(a, b), ta đưa vào phép cộng (2 phần tử) và phép nhân (phần tử với 1 số), dưới dạng thông thường: ϕ D(a,b) := ϕ1 + ϕ2 (∀ϕ1 , ϕ1 ∈ D(a, b)) ⇒ ϕ(t) := ϕ1 (t) + ϕ2 (t) (∀t ∈ (a, b)), (λϕ) D(a,b) := λ.ϕ (∀ϕ ∈ D(a, b), λ ∈ R1 ) ⇒ (λϕ)(t) := λ.ϕ(t) (∀t ∈ (a, b)). Khi đó, D(a, b) trở thành 1 không gian tuyến tính. Tuy nhiên, nó không thể là 1 không gian tuyến tính định chuẩn 1 .  Định nghĩa 1.1.3 Dãy hàm cơ sở ϕn n≥1 ⊂ D(a, b) gọi là hội tụ về hàm cơ sở ϕ ∈ D(a, b), nếu: Tồn tại giá compac chung cho mọi hàm của dãy,  (k) trên đó mọi dãy ϕn (t) n≥1 đạo hàm cấp k (k ≥ 0) hội tụ đều về đạo hàm ϕ(k) (t) (cấp k) của ϕ(t): ∃ [α, β] ≡ supϕn ⊂ (a, b) (∀n ≥ 1) : lim ϕ(k) n n→∞ và ký hiệu: lim ϕn n→∞ D(a,b) = [α,β] = ϕ , hay : ϕn ϕ(k) (∀k ≥ 0), (1.1.20) D(a,b) → ϕ (n → ∞). Định nghĩa 1.1.4 [22], [36] (IV.4.3) Một phiếm hàm Y : D(a, b) → R1 1 Mà chỉ là 1 không gian tuyến tính đa chuẩn [36] (Mục IV.4.2) 13 được gọi là hàm suy rộng (distribution) trên (a,b), nếu nó liên tục theo nghĩa hội tụ trong không gian cơ sở D(a, b): lim ϕn n→∞ D(a,b) = ϕ ∈ D(a, b) ⇒ lim Y (ϕn ) = Y (ϕ). n→∞ (1.1.21) Một hàm suy rộng trên (a,b) được gọi là chính quy, nếu nó là 1 phiếm hàm tuyến tính trên D(a, b) với biểu diễn tích phân gắn với hàm số y ∈ L1 (a, b): Y (ϕ) = Yy (ϕ) = Zb a y(t)ϕ(t)dt = (y, ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)). (1.1.22) Hàm khả tích y : (a, b) → R1 trong biểu diễn tích phân nói trên gọi là hàm sinh của hàm suy rộng chính quy Y = Yy : D(a, b) → R1 . Hàm suy rộng Y : D(a, b) → R1 được gọi là kỳ dị (phi chính quy), nếu nó không biểu diễn được dưới dạng tích phân (1.1.22). Để đơn giản cách trình bày, dưới đây ta chỉ xét các hàm suy rộng chính quy và gọi tắt nó là hàm suy rộng. Khi đó, có thể mở rộng Định nghĩa 1.1.4 thành khái niệm "hàm suy rộng véc tơ", như sau: Định nghĩa 1.1.5 Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục Y = (Y1, · · · , Yn ) : D(a.b) → Rn được gọi là một hàm suy rộng véc tơ (n-chiều) trên (a,b), nếu mọi thành phần Yi : D(a.b) → R1 (i = 1 ÷ n) đều là những hàm suy rộng trên (a,b) và có thể biểu diễn mỗi ánh xạ này dưới dạng tích phân, gắn với một hàm véc tơ y = (y1, · · · , yn ) ∈ L1 (a, b):  Z b    Y (ϕ) = Yy (ϕ) = y(t)ϕ(t)dt (∀ϕ ∈ D(a, b)) ⇔ Z ba   Yi(ϕ) = Yyi (ϕ) = yi(t)ϕ(t)dt = (yi, ϕ) (i = 1 ÷ n), (1.1.22*) a trong đó y = (y1, · · · , yn ) ∈ L1(a, b) gọi là hàm sinh của hàm suy rộng véc tơ Y = Yy . Chú ý 1.1.2 Từ định nghĩa trên ta thấy rằng: Mỗi hàm suy rộng véc tơ Y = Yy được đặc trưng bởi hàm sinh y tương ứng. Bởi vậy, việc xác định hàm suy rộng này (theo (1.1.22*)) đưa về việc xác định hàm sinh (véc tơ) y = (y1, · · · , yn ) ∈ L1 (a, b). 14 Định nghĩa 1.1.5* Tập hợp D∗ (a, b) được gọi là không gian các hàm suy rộng véc tơ trên (a,b), nếu nó là lớp các ánh xạ tuyến tính liên tục (dạng (1.1.22*)) Y = Yy : D(a.b) → Rn (∀y ∈ L1 (a, b)), nghĩa là:  Z b   D∗ (a, b) := Yy : Yy (ϕ) = y(t)ϕ(t)dt a  (∀ϕ ∈ D(a, b)), y ∈ L1 (a, b) , trong đó : D∗ (a,b) := Yy 1 Yy 2 ⇔ y 1 y 2 (∀ Yy1 , Yy2 ∈ D∗ (a, b)). L1 (a,b) := (1.1.23) (1.1.23*) Trong không gian D∗(a.b) ta đưa vào phép cộng (2 hàm suy rộng) và phép nhân (hàm suy rộng với 1 số), dưới dạng thông thường:  Y 1 2 D∗ (a,b) Y 1 + Y 2 (∀Y 1 , Y 2 ∈ D∗ (a, b)) y +y y y y y := ⇒ Y 1 2 (ϕ) = Y 1 (ϕ) + Y 2 (ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)), y +y y y  Yλy D∗ (a,b) λ.Yy (∀ϕ ∈ D∗ (a, b), λ ∈ R1 ) :=  ⇒ Y (ϕ) = λ.Y (ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)). λy (1.1.24) (1.1.24*) y Chú ý 1.1.3 Từ (1.1.23) ta dễ dàng nhận thấy rằng: Các phép toán đưa ra trong (1.1.24)-(1.1.24*) có tính đóng trong không gian D∗(a, b) và nó trở thành 1 không gian tuyến tính. Không gian tuyến tính nói trên tuy không định chuẩn, nhưng ta có thể đưa ra khái niệm "hội tụ" (phép tính giới hạn trong D∗(a, b)) theo nghĩa sau:  Định nghĩa 1.1.6 Dãy các hàm suy rộng véc tơ Yn n≥1 ⊂ D∗(a, b) gọi là hội tụ về hàm suy rộng véc tơ Y ∈ D∗ (a, b), nếu: lim Yyn (ϕ) = Yy (ϕ) (∀ϕ ∈ D(a, b)), với : Yyn := Yn , Yy := Y n→∞ và ký hiệu : lim Yn n→∞ D∗ (a,b) = (1.1.25) Y. Chú ý 1.1.4 Với các khái niệm "hội tụ" (trong định nghĩa trên) và "liên tục" (trong Định nghĩa 1.1.4), D∗ (a, b) trở thành không gian tuyến tính của những ánh xạ Y : D(a, b) → Rn tuyến tính liên tục (trong dạng tích phân (1.1.23)). Với chú ý rằng: Nếu ϕ ∈ D(a, b) thì đạo hàm cấp 1 của nó ϕ(1) ∈ D(a, b).