Tài liệu Dung may tinh casio giai tim so du

2. Tìm số dư trong phép chia số a cho số b: Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b  0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho: a = bq + r và 0  r < |b| * Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm dư trong phép chia a cho b: + Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ A , số b vào ô nhớ B + Bước 2: Thực hiện phép chia A cho B + Bước 3: Thực hiện A {ghi nhớ phần nguyên q} - q  B =r Bài 5: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975 b) Tính số dư c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047. Tìm số dư đó. Giải: a) Quy trình ấn phím: 18901969 SHIFT ANPHA A SHIFT A STO A 3041975 SHIFT STO B  ANPHA B - 6  B = = (6,213716089) (650119) b) Số dư là: r = 650119 c) Tương tự quy trình ở câu a), ta được kết quả là: r = 240 Bài 6: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003) Tìm thương và số dư trong phép chia: 123456789 cho 23456 Đáp số: q = 5263; r = 7861 Bài 7: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tìm số dư trong phép chia: a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004 H.Dẫn: a) Số dư là: r = 9 b) Ta phân tích: 815 = 88.87 - Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là r1 = 1732 - Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là r2 = 968  Số dư trong phép chia 815 cho 2004 là số dư trong phép chia 1732 x 968 cho 2004  Số dư là: r = 1232 4. Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn của các số dư khi nâng lên luỹ thừa: Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số dư của phép chia a, a 2, a3, a4... cho m lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu). Chứng minh. Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên: a, a2, a3, a4..., am, am+1 và xét các số dư của chúng khi chia cho m. Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số dư {0, 1, 2, ..., m - 2, m - 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho m. Chẳng hạn hai số đó là ak và ak + l, trong đó l > 0. Khi đó: ak  ak + l (mod m) (1) Với mọi n  k nhân cả hai vế của phép đồng dư (1) với an - k sẽ được: an  an + l (mod m) Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tương ứng với ak các số dư lặp lại tuần hoàn. Số l được gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của a cho m. Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên: Bài toán: Xét các luỹ thừa liên tiếp của số 2: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,... Tìm xem khi chia các luỹ thừa này cho 5 nhận được các loại số dư nào ? Giải: Ta có: 21 = 2, 23 = 8  3 (mod 5), 22 = 4, 24 = 16  1 (mod 5) (1) Để tìm số dư khi chia 25 cho 5 ta nhân cả hai vế phép đồng dư (1) với 2 sẽ được: 25 = 24.2  1x2  2 (mod 5) 26 = 25.2  2x2  4 (mod 5) 27 = 26.2  4x2  3 (mod 5) ... Ta viết kết quả vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng dưới ghi số dư tương ứng khi chia các luỹ thừa này cho 5: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 ... (2 4 3 1) (2 4 3 1) (2 4 3 ...  hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lập lại một cách tuần hoàn: sau 4 số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo đúng thứ tự trên. Bài 10: Tìm số dư khi chia 22005 cho 5 Giải: * Áp dụng kết quả trên: ta có 2005  1 (mod 4)  số dư khi chia 22005 cho 5 là 2 4 Bài 11: Tìm chữ số cuối cùng của số: 23 Giải: - Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện theo quy trình sau: 1 SHIFT ANPHA STO A 2  : ta được kết quả sau: ANPHA A ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 = = ...) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 ... (2 4 8 6) (2 4 8 6) (2 4 8 ...  hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6) ta có 34 = 81  1 (mod 4)  số dư khi chia 23 cho 10 là 2 4 4 Vậy chữ số cuối cùng của số 23 là 2. Bài 12: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: A = 21999 + 22000 + 22001 Giải: Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các lu ỹ th ừa c ủa 2, th ực hi ện theo quy trình như bài 11), ta được kết quả sau: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 2 (4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 8 16  các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số 4 đến số 52). Ta có: 1999  19 (mod 20)  số dư khi chia 21999 cho 100 là 88 2000  0 (mod 20)  số dư khi chia 22000 cho 100 là 76 2001  1 (mod 20)  số dư khi chia 22001 cho 100 là 52 88 + 76 + 52 = 216  16 (mod 100)  số dư của A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 là 16 hay hai chữ số cuối cùng của số A là 16. Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia cho . Lời giải: Ta có: . Suy ra: . Vậy số dư của phép chia cho là: . Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho . Lời giải: Ta tìm số dư của phép chia Kết quả là cho . Tiếp tục tìm số dư của phép chia Kết quả là . cho . cho là . Vậy số dư của phép chia Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia cho . Lời giải: Vì là số nguyên tố và . Nên ta có: . Suy ra: . Suy ra: . Vậy số dư của phép chia cho Ví dụ 4: Tìm số dư của phép chia Lời giải: Cách 1: là cho . . . Ta có: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Vậy số dư của phép chia cho Cách 2: Ta có: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: . Suy ra: là . . Suy ra: . Vậy số dư của phép chia cho là . Bài 13: Chứng minh rằng  148  2004 +10 chia hết cho 11 Giải: - Ta có: 14  3 (mod 11)   148  2004 Do 38 = 6561  5 (mod 11), nên  38    38  2004 2004 (mod 11) = 65612004  52004 (mod 11) Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 5 cho 11: 51 52 53 54 55 56 57 58 ... (5 4 9 1) (5 4 9 1) ...  52004 = (54)501  1501 (mod 11)  1 (mod 11) Mặt khác: 10  10 (mod 11) (1) (2) Cộng vế với vế phép đồng dư (1) và (2) có: 148 2004 +10  11 (mod 11)  0 (mod 11)  148 2004 +10 chia hết cho 11. Bài 14: Chứng minh rằng số 222555 + 555222 chia hết cho 7. Giải: 1) Trước hết tìm số dư của phép chia 222555 cho 7: - Vì 222 = 7 x 31 + 5, nên 222  5 (mod 7)  222555  5555 (mod 7) - Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 5 cho 7: 51 52 53 54 55 56 57 58 ... (5 4 6 2 3 1) (5 4 ...  5555 = 56.92 + 3 = (56)92.53  53  6 (mod 7) (1) Vậy số dư khi chia 222555 cho 7 là 6. 2) Tương tự, tìm số dư của phép chia 555222 cho 7: - Vì 555 = 7 x 79 + 2, nên 555  2 (mod 7)  555222  2222 (mod 7) - Xét sự tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của 2 cho 7: 21 22 23 24 25 26 27 28 ... (2 4 1 2 4) (2 4 1 ...  2222 = 23.74 = (23)74  174  1 (mod 7) (2) Vậy số dư khi chia 555222 cho 7 là 1. Cộng vế với vế các phép đồng dư (1) và (2), ta được: 222555 + 555222  6 + 1  0 (mod 7) Vậy số 222555 + 555222 chia hết cho 7. 7.1 Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa: 1) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đuôi bất biến). 2) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến). 3) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến). 4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến). ... Bài 31: Tìm số dư khi chia số 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317) Giải: - Giả sử A, B là hai số tự nhiên có tận cùng là 376, thì: A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762 = 2000t + 1376; với a, b t  N  A.B chia 2000 có số dư là 1376. Với k > 1 khi chia 13376k cho 2000 (thực hiện (k - 1) lần phép nhân 2 số đều có tận cùng là 376 rồi chia cho 2000) thì được dư là 1376. Đề bài ứng với k = 2005! Bài 32: Tìm 2 chữ số tận cùng của số: A = 21999 + 22000 + 22001 H.Dẫn: - Ta có: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 22) = 7 x 29 x 210 x 21980 = 7 x 29 x 210 x (220)99 29 = 512 210 = 1024 ; 220 = 1048576 Nhận xét: số có 2 chữ số tận cùng là 76, luỹ thừa bậc bất kỳ cũng có 2 chữ số tận cùng là 76. - Ta có (dùng máy): Vậy (220)99 cũng có 2 số tận cùng là 76.  21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x (...76) = .....16. Vậy 2 chữ số cuối cùng của A là 16 (Xem cách giải khác ở bài 12) Bài 33: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994. Giải: - Ta có: 54 = 625 - Nhận thấy số có tận cùng là 625 luỹ thừa bậc bất kỳ vẫn có tận cùng là 625 - Do đó: 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625. Vậy bốn chữ số tận cùng của số 51994 là 5625. 7.2 Khai triển nhị thức Newton và bài toán chia hết: -Ta có khai triển:  a  b n a n  Cn1 a n  1b  Cn2 a n  2b 2  ...  Cnn  1ab n  1  b n a n  na n  1b  n(n  1) n  2 2 n(n  1)(n  2) n  3 3 n( n  1) 2 n  2 a b  a b  ...  a b  nab n  1  b n 1.2 1.2.3 1.2 - Khi chứng minh về tính chia hết của các luỹ thừa, cần nhớ một số kết quả sau: 1) an - bn chia hết cho a - b (a  b) 2) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b (a  -b) 3) (a + b)n = BS a + bn (BS a: bội số của a) Đặc biệt: (a + 1)n = BS a + 1 2n = BS a + 1 (a - 1) (a - 1)2n + 1 = BS a - 1 Bài 34: Tìm số dư khi chia 2100 cho: a) 9 b) 5 c) 125 Giải: a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội của 9 là 23 = 8 = (9 - 1) - Ta có: 2100 = 2(23)33 = 2(9 - 1)33 = 2(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7 Vậy số dư khi chia 2100 cho 9 là 7. b) Luỹ thừa của 2 sát với một bội của 25 là 210 = 1024 = (BS 25 - 1) - Ta có: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1 Vậy số dư khi chia 2100 cho 25 là 1 c) Dùng công thức Newton: 2100  5  1 50 550  50.549  ...  50.49 2 .5  50.5  1 2 Để ý rằng 48 số hạng đầu đều chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết cho 125, hai số hạng kế tiếp cũng chia hết cho125, số hạng cuối là 1. Vậy 2100 = BS 125 + 1  Số dư của 2100 khi chia cho 125 là 1 Tổng quát: Nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì chia n100 cho 125 ta được số dư là 1. Bài 35: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100. H.Dẫn: - Ta tìm dư trong phép chia 2100 cho 1000. - Trước hết tìm số dư của phép chia 2 100 cho 125. Theo bài 34: 2 100 = BS 125 + 1, mà 2 100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là (dùng máy tính để thử): 126, 376, 626 hoặc 876. 100 - Hiển nhiên 2 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8. Bốn số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này. Vậy ba chữ số tận cùng của 2100 là 376. Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên chẵn không chia hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n 100 là 376. Bài 36: Tìm ba chữ số tận cùng của 3100. 100 Giải: - Ta phân tích như sau: 3  10  1 50 1050  ...  50.49 2 .10  50.10  1 2 = BS 1000 + ...500 - 500 + 1 = BS 1000 + 1. 100 Vậy 3 tận cùng là 001. Tổng quát: Nếu n là số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n100 là 001. Bài 37: Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp: 896 = 496 9 * * 290 961. H.Dẫn: - Ta có: (896 - 1) M(89 - 1)  (896 - 1) M11 (896 - 1) M(893 + 1)  (896 - 1) M(89 + 1)  (896 - 1) M9 - Đặt A = (896 - 1) = 496 9 x y 290 960. Ta có A chia hết cho 9 và 11. Ta có tổng các chữ số hàng lẻ (từ phải sang trái) của A bằng: 36 + y ; tổng các chữ số hàng chẵn của A bằng: 18 + x A chia hết cho 9 nên: 54 + x + y M9  x + y  {0 ; 9 ; 18} A chia hết cho 11 nên: [(36 + y) - (18 + x)] M11  x - y  {-4 ; 7} + Nếu x + y = 0 thì x = y = 0 (loại) + Nếu x + y = 18 thì x = y = 9 (loại) + Nếu x + y = 9 : chú ý rằng (x + y) và (x - y) cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên: x - y = 7  x = 8 ; y = 1. Vậy 896 = 496 981 290 961 7.3 Tìm chữ số thứ k (k  N) trong số thập phân vô hạn tuần hoàn: Định lí: (Dấu hiệu nhận biết một phân số đổi được ra số thập phân hữu hạn) Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra số thập phân hữu hạn là mẫu số của nó không chứa những thừa số nguyên tố ngoài 2 và 5. * Từ định lí trên ta rút ra nhận xét sau: Nếu phân số tối giản a có mẫu b không chứa các thừa số nguyên tố 2, 5 hoặc ngoài thừa số b nguyên tố 2, 5 còn chứa cả thừa số nguyên tố khác thì do các số dư trong quá trình chia bao giờ cũng phải nhỏ hơn b nên các số dư chỉ có thể là các số trong: {1; 2; 3;...;b-1} Như vậy trong phép chia a cho b, nhiều nhất là sau (b - 1) lần chia có thể gặp các số dư khác nhau, nhưng chắc chắn rằng sau b lần chia thì thế nào ta cũng gặp lại số dư đã gặp trước. Do đó, nếu ta cứ tiếp tục chia thì các số dư sẽ lặp lại và dĩ nhiên các chữ số trong thương cũng lặp lại. Từ đó để tìm chữ số thứ k sau dấu phảy của số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta chỉ cần xác định được chu kỳ lặp lại của các chữ số trong thương, từ đó dễ dàng suy ra được chữ số cần tìm. Bài 38: Tìm chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phảy của số: a) A 1 1 10 1 ; b) B  ; c ) C  ; d ) C  37 41 51 49 H.Dẫn: a) Số A  1 0, 027 027 (027)... tuần hoàn chu kỳ 3 chữ số 027. 37 Vì 2005  1 (mod 3) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của A là: b) Số B  1 0, 02439 02439 (02439)... tuần hoàn chu kỳ 5 chữ số 02439. 41 Vì 2005  0 (mod 5) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của B là: 10 c) Số C  0, (1960784313725490) TH chu kỳ 16 chữ số:1960784313725490 51 Vì 2005  5 (mod 16) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của C là: d) Số D  1 0,(020408163265306122448979591836734693877551) 49 tuần hoàn chu kỳ 42 chữ số 020408163265306122448979591836734693877551 Vì 2005  31 (mod 42) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy của D là: Bài toán 1. Tìm 2 chữ số tận cùng của số A = 20072008 + 20082009 Bài toán 2: Tìm số dư trong phép chia số: 17762010 cho 2000 Bài toán 3: Tìm số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 Bài toán 4: Tìm 2 chữ số tận cùng của Tổng 39999 + 29999 Đáp án Bài toán 1. 1. Ta tìm 2 chữ số tận cùng của 20072008 = 20078 . 20072000 20072  49(mod 100) (20072)4  494(mod 100)  01(mod 100) 20072000 = (20078)250  01(mod 100) Vậy: 20072008  01(mod 100) 2. Tìm 2 chữ số tận cùng của 20082009 Ta có: 20082009 = 2008 . 20088 . 20082000 * 20082  64(mod 100) (20082)4  644(mod 100)  16(mod 100) 20088  16(mod 100) (20088)5  165(mod 100)  76(mod 100) * 200840  76(mod 100) do đó: 20082000  76(mod 100) 20088 .20082000 16.76(mod 100)  16(mod 100) Do đó: 2008 . 20082008  2008.16(mod 100)  28(mod 100) Vậy A có 2 chữ số tận cùng là 29 Bài toán 2. 17761  1776(mod 2000) 17762  176(mod 2000) 17763  576(mod 2000) 17764 = (17762)2  976(mod 2000) 17765 = 17762 . 17763  176 . 576(mod 2000)  1376(mod 2000) 17766= 1776 . 17765  176 . 1736(mod 2000)  1776(mod 2000) 17767  976(mod 2000) Vậy chu kỳ được lặp lại sau 5 bước mà: 2010 = 5 . 402 có dạng 5k. Do đó số 17762010 chia 2000 cho số dư là 1376. Bài toán 3. * Ta t ìm số dư khi chia 182008 cho 49 Ta có: 182008 = 18.182007 = (183)669 . 18 183  1(mod 49)  (183)669  1(mod 49) 18. (183)669  18(mod 49) * Ta tìm số dư khi chia 82009 chia cho 49 Ta có 82009 = (87)287 87  1(mod 49)  (87)287  01(mod 49) Kết luận: Vậy số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 là 19. Bài toán 5: * Có 39999 = 320.499.319 319 = 1162261467  67(mod 100) 320 = 3486784401  01(mod 100)  (320)499  01(mod 100) Do đó (320)499.319  67(mod 100) * Có 29999 = 220.499.219 219 = 524288  88(mod 100) 220 = 1048576  76(mod 100)  (220)499  76(mod 100) Do đó (220)499.219  76.88(mod 100)  88(mod 100) 39999 + 29999  (67+88)(mod 100) = 55(mod 100) Vậy chữ số tận cùng của tổng là 55 Thuật toán tìm số chữ số của luỹ thừa: Ví dụ tìm xem có bao nhiêu chữ số. Ta có Như vậy gồm số. Lưu ý: ở đây là logarit cơ số 10 của 2 làm tròn thành . Tìm chu kì của phép chia có dư: Thí dụ Ta nói phép chia có chu kì là . Nhận xét rằng, với phép chia trên, chu kì có thể dễ dàng tìm ra bằng mtbt. Tuy nhiên với những số lớn ví dụ ; việc tìm ra chu kỳ khó khăn hơn nhiều. Phương pháp chung, có lẽ ai cũng biết, là bấm 1*(10^8)/57 để tìm chu kì( là phần nguyên), rồi lấy 1*10^8-phần nguyên vừa tìm được*57; lấy kết quả đó thế vào số 1.... cứ thế ta sẽ tìm ra chi kỳ. Tuy nhiên cứ tìm 1 lượt như vậy phải bấm ko dưới 20 phím, để tiết kiệm sức, mình xin nêu 1 cách bấm, sau 1 giải thuật ban đầu, cứ bấm 2 dấu = ta sẽ tìm được khoảng 8 số trong chu kỳ. cách bấm như sau: A=1 B=57 (((A*10^8)/B)+9.5)*10^-11+1-1)*10^11-10{ĐỌC CHU KÌ}:A=A*10^8-ANS*B C2:nhấn MODE MODE 3 (BASE), rồi nhấn fím x^2( chữ DEC màu xanh đó) Chẳng hạn như tìm chu kì của 1 |shift| |sto| |A| (chỉ 7 số 0 thôi) Ax10000000-49 x |ans| |shift| |sto| |A| ấn dấu mũi tên lên rồi nhấn |shift| |copy| chỉ việc nhấn = = =... là ra chu kì của fép chia ĐS: ) Lưu ý: cứ mỗi phép chia luôn cho ta 7 chữ số thập fân, nếu chỉ hiện 6 hay 5 chữ số, ta hiểu ngầm có 1 hay 2 chữ số 0 ở trước!!!!! Tìm n chữ số tận cùng của một luỹ thừa: Để tìm n chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm dư của luỹ thừa đó với 10^n Heheh , có phải rất hay không nào . Tuy nhiên . Nếu người ta kiu tìm từ 1 đến 3 chữ số tận cùng của một luỹ thừa mà ta làm theo bài học trên thì thật là , quá oải . Chính vì thế , tui xin post một bài như sau : Tìm 1 chữ số tận cùng của : * Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 . * Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 : 2^4k đồng dư 6 ( mod 10 ) 3^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) 7^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của a^n với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 . Giả sử n = 4k + r với r thuộc { 0 , 1 , 2 , 3 } Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư 3 ( mod 10 ) thì a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 ) _ Tìm 2 chữ số tận cùng của a^n Ta có nhận xét sau : 2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 3^20 đồng dư 1 ( mod 100 ) 6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 7^4 đồng dư 01 ( mod 100 ) Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 1 và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= 2 Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 : a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) Vậy túm lại , để tìm 2 chữ số tận cùng của a^n ta lấy số mũ 2 chia cho 20 _ Ta có : a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) Túm lại , để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ . Nhưng dù sao đi chăng nữa thì cái nguyên tắc Để tìm n chữ số tận cùng của a^b thì ta tìm số dư của a^b với 10^n Tìm số dư trong phép chia: Các dạng thường gặp: 1) Chia một số có nhiều hơn 10 chữ số cho một số có ít hơn 10 chữ số Phương pháp: Chia để trị (divide and conquer) chặt số có hơn 10 chữ số thành nhiều số nhỏ hơn có nhiều nhất 10 chữ số Ví dụ: Lấy từng số nhỏ chia cho số chia, sau khi có kết quả dư nhớ nhân với lũy thừa cơ số 10 đi cùng với nó 2) Chia một số là một lũy thừa bậc cao cho số khác: Phương pháp: quan sát xem có nằm trong dạng Fermat không? Nếu không, hãy quan sát chu kỳ số dư Nếu không có chu kỳ số dư hãy làm từng bước: lấy cơ số lũy thừa lên vài bậc (không tràn máy), tìm số dư rồi tiếp tục lũy thừa lên cho đến khi số mũ nhỏ dần. Chú ý sử dụng tính chất: phép chia cho b và phép cho b có cùng số dư với để làm nhỏ a lại, tạo điều kiện tính nhanh hơn. Dạng 1:Tìm số dư khi chia số a cho số b. -Tuỳ vào số mũ của a để phân tích, tìm một số a’ thích hợp (Không làm tràn máy) rồi tìm số dư của a’ cho b. Tiếp tục làm như vậy cho đến cuối cùng. VD: Tìm số dư của 1112 cho 2001. Giải: 116=1771561 khi chia cho 2001 dư là 676. Vì 1112=(116)2 chia cho 2001 dư là: 6762:2001 dư là 748 Vậy dư của phép chia trên là 784. -Cơ sở lý luận: Để tìm số dư an cho b ta làm như nhau: -Nếu a chia cho b thương là q; dư là r ta có: a=bq+r (Công thức này không quan tâm đến hệ số của các số hạng khi khai triển. Vậy chỉ tìm xem rn chia cho b dư là mấy. Bài tập áp dụng: Tìm số dư trong phép chia a cho b: 1/ a=736; b=2003. Đáp số 892 3/ a= 1318+1320; b=6954 2/ a=7218 ; b=2009. Đáp số 918 Đáp số 170 4/ a=1358+2475 ; b= 3311 Đáp số 2514 Dạng 3: Tìm n chữ số cuối cùng: * Nếu là tìm 1 chữ số cuối cùng: -Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng. -Hạ bậc của cơ số bằng cách áp dụng quy luật trên. Ví dụ 1: Tìm chữ số cuối cùng của 3202. 31 = 3 32 = 9 -Ta có 33 = 27 34 = 81 35 = 243 Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng. -Chữ số cuối là 5 thì 5n có chữ số cuối cùng là 5 (n ≥ 1) -Chữ số cuối là 6 thì 6n có chữ số cuối cùng là 6 (n ≥ 1) 3202=3200.32=(35)40.32(1) Vì 35 có chữ số cuối cùng (chữ số ở hàng đơn vị) bằng 3 nên chữ số cuối cùng của (35)40 là 340; 340=(35)8 Và chữ số cuối cùng là 38; 38=35.33 nên chữ số cuối cùng của 38 là 34. Kết hợp với 1 thì chữ số cuối cùng của bài toán chính là chữ số cuối cùng của 32.34=35.3. Vậy chữ số cối cùng của biểu thức là 9. Ví dụ 3: Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức A= 3202+3203+3204. Ta có: A=3202(1+3+9)=3202.13 Theo ví dụ 1 chữ số cuối cùng của 3 202 là 9. Nên chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối cùng của tích 13.9=27. *Tìm hai hoặc ba chữ số cuối cùng: Theo nguyên tắc, không có cách giải cụ thể, xong tuỳ từng bài để vận dụng: Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3512. 356=1838265625. Hai chữ số cuối cùng của 356 là 25. Mà 3512=(356)2 nên hai chữ số cuối cùng của chúng là hai chữ số cuối cùng của (25) 2=625. Vậy hai chữ số cuối cùng là 25. Ví dụ 5: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3523. Ta có: 315=14248907. Hai chữ số cuối cùng là 07 Và 3523=(315)34.513; và 513=1594323. Hai chữ số cuối cùng của biểu thức chính là hai chữ số cuối cùng của tích (07)34.23={(07)7}4.(07)6.23 (07)7=823543; 76=117649 Suy ra (43)4 .49.23 . hai chữ số cuối cùng chính là hai chữ số cuối cùng của tích 01.49.23=1127. Vậy hai chữ số cuối cùng là 27. Ví dụ 6: Tìm ba chữ số cuối cùng của biểu thức 64501+64502. -Trước hết tính ba chữ số cuối cùng của 64501. Ta có: 645=1073741824. Và 64501=(645)100.64 nên ba chữ số cuối cùng là ba chữ số cuối cùng của tích: (824)100.64.  Vì 8243=559476224; (824)100.64={(824)3}33824.64 � ba chữ số cuối cùng là ba chữ số của tích( 224)33.52736.  Vì 2244=2517630976 nên ba chữ số cuối cùng của tích ( 224)33.52736 là ba chữ số cuối cùng của tích (224)4}8.224.736 và là ba chữ số cuối cùng của (976)8. 164864.  Vì 8963=719323136 nên Ba chữ số cuối cùng của (976) 8. 164864. là ba chữ số cuối cùng của (136)2.8962.864=18496.802816.864  Vậy ba chữ số cuối cùng của chúng là ba chữ số cuối cùng của tích 496.816.864=349691904.  Ba chữ số cuối cùng của 64501 là 904.  A=64501(1+64)=65.64501. Ba chữ số cuối cùng của A là ba chữ số cuối cùng của tích 904.65=58760. II. TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN a) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số: Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b) Suy ra r = a – b . q Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia sau: 1) 9124565217 cho 123456 2) 987896854 cho 698521 b) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số: Phương pháp: Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số) - Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi chia cho B. - Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy. Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567. Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203 Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567. Kết quả số dư cuối cùng là 26. Bài tập: Tìm số dư của các phép chia: a) 983637955 cho 9604325 b) 903566896235 cho 37869. c) 1234567890987654321 : 123456 c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư. * Phép đồng dư: + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a �b(mod c) + Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+ a �a (mod m) �‫ۺ‬ a b���(mod m) b a (mod m) a � b(mod � m); b c(mod m) a c (mod m) a ��� b(mod  � m); c d (mod m) a c b d (mod m) a � b(mod ��m); c d (mod m) ac bd (mod m) �‫ۺ‬ a b���(mod m) an bn (mod m) Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19 Giải: 122  144 �11(mod19)   126  122 3 �113 �1(mod19) Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1 Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975 Giải: Biết 376 = 62 . 6 + 4 Ta có: 20042 �841(mod1975) 20044 �8412 �231(mod1975) 200412 �2313 �416(mod1975) 200448 �4164 �536(mod1975) Vậy 200460 �416.536 �1776(mod1975) 200462 �1776.841 �516(mod1975) 200462.3 �5133 �1171(mod1975) 200462.6 �11712 �591(mod1975) 200462.6 4 �591.231 �246(mod1975) Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246 Bài tập thực hành: Tìm số dư của phép chia : a) 138 cho 27 b) 2514 cho 65 c) 197838 cho 3878. d) 20059 cho 2007 e) 715 cho 2001 III. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM... CỦA MỘT LUỸ THỪA: Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002 Giải: 17 2 �9(mod10)  17  2 1000  17 2000 �91000 (mod10) 92 �1(mod10) 91000 �1(mod10) 17 2000 �1(mod10) Vậy 17 2000.17 2 �1.9(mod10) . Chữ số tận cùng của 172002 là 9 Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005. Giải + Tìm chữ số hàng chục của số 232005 231 �23(mod100) 232 �29(mod100) 233 �67(mod100) 234 �41(mod100) Do đó:  2320  234  5 �415 �01(mod100) 232000 �01100 �01(mod100) � 232005  231.234.232000 �23.41.01 �43(mod100) Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43) + Tìm chữ số hàng trăm của số 232005 231 �023(mod1000) 234 �841(mod1000) 235 �343(mod1000) 2320 �3434 �201(mod1000) 232000 �201100 (mod1000) 2015 �001(mod1000) 201100 �001(mod1000) 232000 �001(mod1000) 232005  231.234.232000 �023.841.001 �343(mod1000) Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)