đồ án tốt nghiệp chuyên ngành toán tin ứng dụng.
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH
TOÁN TIN ỨNG DỤNG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CỦA LÍ THUYẾT
THÁC TRIỂN TRONG GIẢI TÍCH PHỨC VÀ
GIẢI TÍCH CLIFFORD NHIỀU BIẾN
Thầy hướng dẫn:
GS.TSKH Lê Hùng Sơn
Sinh viên thực hiện: Vũ Vệt Hùng
Lớp:
Toán Tin KSTN - K51
1
MỤC LỤC
Chương 1.Mở đầu..........................................................................................4
1.1. Một số kiến thức giải tích thực..........................................................4
1.1.1. Kí hiệu............................................................................................4
1.1.2. Giải tích thực..................................................................................5
a. Đạo hàm pháp tuyến.............................................................................5
b. Định lí Gauss-Green.............................................................................5
c. Định lí Lebesgue...................................................................................6
1.1.3. Phương trình Laplace và phương trình Poisson.............................6
a. Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace............................................6
b. Nghiệm của phương trình Poisson.......................................................7
1.2. Đa tạp và dạng vi phân.......................................................................8
1.2.1. Đa tạp.............................................................................................8
1.2.2. Dạng vi phân................................................................................10
1.2.3. Công thức Stoke...........................................................................11
1.3. Đại số Clifford...................................................................................11
1.3.1. Số phức.........................................................................................11
1.3.2. Đại số Quaternion.........................................................................11
1. 3.3. Đại số Clifford.............................................................................12
Chương 2.Các phương pháp của lí thuyết thác triển trong giải tích phức
nhiều biến.....................................................................................................14
2.1. Giải tích phức một biến....................................................................14
2.1.1. Mở đầu.........................................................................................14
2.1.2. Công thức tích phân Cauchy........................................................15
2.1.3. Định lí duy nhất............................................................................15
2.1.4. Định lí Runge và phương trình Cauchy-Riman không thuần nhất
................................................................................................................16
2.2. Các định lí thác triển kiểu Hactog...................................................16
2.2.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến và định lí thác triển Hactog..............16
a. Hàm chỉnh hình..................................................................................16
b. Định lí thác triển kiểu Hactog............................................................18
c. Miền chỉnh hình..................................................................................18
2.2.2. Biểu diễn tích phân và định lí Xevery..........................................19
a. Công thức Green.................................................................................19
2
b. Công thức Mactineli-Bockhone.........................................................20
c. Định lí Xevery....................................................................................22
2.2.3. Lược đồ Homander.......................................................................23
2.3. Bài toán Cousin.................................................................................25
2.3.1. Hàm phân hình và bài toán Cousin..............................................25
a. Hàm phân hình...................................................................................25
b. Các bài toán Cousin............................................................................26
2.3.2. Giải bài toán trong trên miền đa đĩa.............................................27
2.3.3. Lí thuyết bó và ứng dụng.............................................................31
a. Các khái niệm cơ bản.........................................................................31
b. Các nhóm đối đồng điều.....................................................................34
c. Dãy khớp bó.......................................................................................37
d. Ứng dụng............................................................................................39
e. Giải bài toán Cousin nhân tính...........................................................42
Chương 3.Giải tích Quaternion và giải tích Clifford.................................43
3.1. Định lí thác triển Hactog cho hàm chính quy Quaternion nhiều
biến............................................................................................................44
3.1.1. Toán tử vi phân và hàm chính quy...............................................44
3.2.2. Công thức Cauchy-Pompeu và toán tử tích phânTeodorescu......46
3.3.3. Định lí thác triển..........................................................................48
a. Khai triển thành chuỗi lũy thừa của một hàm chính qui....................48
b. Định lí thác triển với hàm đa chính qui nhiều biến Quaternion.........49
3.3.4. Kết quả đối với hàm H-chính quy................................................50
3.2. Bài toán Cousin trong giải tích Clifford.........................................53
3.2.1. Bài toán Cousin............................................................................53
3.2.2. Giải bài toán cộng tính Cousin.....................................................54
3.2.3. Bài toán nhân tính Cousin đối với hàm phân chính quy..............57
3.2.4. Kết quả đối với hàm H-chính quy................................................58
Tài liệu tham khảo.........................................................................................60
3
Chương 1.Mở đầu
1.1. Một số kiến thức giải tích thực
1.1.1. Kí hiệu
Cho R n
(i)Hàm nhiều biến u : R ta viết là u x u x1 ,..., xn , x
1
m
(ii)Hàm véc tơ u : R m ta viết là u x u x ,..., u x , x
(iii) Trung bình của f trên hình cầu B(x,r)
�
fdy
B x ,r
1
n r n
B x ,r
fdy
(iv) Trung bình của f trên mặt cầu đó
�
B x ,r
fdS
1
fdS
n n r n 1 B x ,r
(v)Tích chập
f * g x f y g x y dy f x y g y dy
(vi)Đạo hàm riêng u : R
u x hei u x 2u
u
u xi
x lim
; x x u xi x j ,...
h 0
xi
h
i
j
(vii)Véc tơ Gradient
Du u x1 ,..., u xn
(viii) Laplacient
n
u u xi xi tr D 2u
i 1
(ix) Các không gian hàm
4
C u {u : R \ u liên tục}
C k u {u : R \ u liên tục khả vi k lần}
C u {u : R \ u khả vi vô hạn lần}
C0 u {u : R \ u có giá com pắc}
(x) ) Cho u : R n ta kí hiệu
n
divu u xi i
i 1
1.1.2. Giải tích thực
a. Đạo hàm pháp tuyến
Cho R n là một tập mở bị chặn
Định nghĩa: Giả sử trên xác định một trường pháp tuyến đơn vị
1
n
1
hướng ra ngoài v v ,..., v .Cho u C .Ta gọi
u
: v.Du
v
là đạo
hàm pháp tuyến hướng ra ngoài của u
b. Định lí Gauss-Green
1
Định lí 1.1.( Gauss-Green).Giả sử u C khi đó
u
xi
dx uv i dS , i 1,.., n
Áp dụng định lí trên ta có công thức tích phân từng phần
1
Định lí 1.2.( Công thức tích phân từng phần).Cho u, w C khi đó
u
xi
wdx uwxi dx uwvi dS , i 1,.., n
Từ các công thức trên dễ dàng chứng minh được các công thức Green
sau
2
Định lí 1.3.( Công thức Green).Cho u, w C khi đó
5
u
dS
v
(i)
udx
(ii)
DuDwdx uwdx
(iii)
uw wu dx
u
w
dS
v
u
w
u
w dS
v
v
c. Định lí Lebesgue
Định lí 1.4.( Lebesgue).Cho f : R n R là khả tổng địa phương.Khi đó
với hầu hết x0 R n ta có
�
B x0 , r
fdx f x0 , r 0.
1.1.3. Phương trình Laplace và phương trình Poisson
a. Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace
Phương trình Laplace là phương trình đạo hàm riêng sau
u 0
với u : R là hàm chưa biết.Ta sẽ tìm nghiệm dưới dạng
u(x) = v(r)
ở đây r x x12 ... xn2
1/2
Định nghĩa 1.1. Hàm số
1
2 log x , n 2
x
1
1
,n 2
n2
n n 2 n x
(1.1)
n
với x R , x 0, n là thể tích của hình cầu đơn vị trong R n được gọi
là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace.
Có thể kiểm tra x 0, x 0 dễ dàng.
6
b. Nghiệm của phương trình Poisson
Phương trình Poisson là phương trình đạo hàm riêng sau
u f
với u : R là hàm chưa biết, và f : R là hàm đã biết
Ta cho nghiệm ở dạng tích chập
u x n x y f y dy
(1.2)
R
Áp dụng các định lí đã giới thiệu ta có thể chứng minh định lí sau
2
Định lí 1.5.Định nghĩa u như công thức trên và giả thiết f C0
.Khi đó
2
n
(i) u C R và
(ii) u f trong R n .
Chứng minh. (Xem [5, tr 57])
(i)Ta có
u x n x y f y dy n y f x y dy
Do đó
u
f
x Rn y x y dy, i 1,..., n
xi
xi
Và
2u
2 f
x Rn y
x y dy, i, j 1,..., n
xi x j
xi x j
R
R
2
n
Từ giả thiết về f ta suy ra u C R .
(ii)Chú ý rằng có kì dị tại 0.Cố định 0 .Khi đó
u x n y x f x y dy
R
B 0,
y x f x y dy n
R \ B 0,
y x f x y dy : I J
Ta thấy
I C D2 f
Do đó
L R n
B 0,
C 2 log , n 2
y dy 2
C , n 3
I 0 khi 0
7
Sử dụng công thức Green ta có
J n
R \ B 0,
y y f x y dy
y
f x y y f x y dS
R \ B 0,
B 0,
v
v
y
f x y dS
y f x y dS : K L
B 0,
B 0, v
v
y f x y dy
n
Lại thấy
K C Df
Nên
L
R
n
B 0,
C log , n 2
y dS
C , n 3
K 0 khi 0
y
y y
, y 0 và v
, y B 0,
y
n n y
Mặt khác
D y
Suy ra
1
, y B 0,
y v.D y
v
n n n 1
n
Từ đó
L
1
f x y dS
n n n 1 B 0,
�
B 0,
f x y dS f x , 0
Vậy ta đã chứng minh được u f
1.2. Đa tạp và dạng vi phân
Vì ta sẽ lấy tích phân theo các đa tạp những tổ hợp tích các vi phân
nào đó, gọi là dạng vi phân nên ta lần lượt nói qua các khái niệm này
để đảm bảo cơ sở cho những điều sẽ trình bày.
1.2.1. Đa tạp
Sau đây là các khái niệm tổng quát nhưng chú ý rằng ta sẽ quan tâm
chủ yếu tới các đa tạp trong không gian Ơclid.
8
Định nghĩa 1.2.Tập M trong không gian Haudooc X được gọi là đa
tạp m chiều nếu các điều sau được thỏa:
i) Tồn tại họ lân cận U j ( j J ) trong tô pô tương đối của M, phủ M
U j ) và đồng phôi với hình cầu Ơclid m chiều, tức là với mọi
(M U
j J
j J có đồng phôi:
Tj :U j B j
j
m
j
lên các hình cầu B j {t R : t 1} biến t j (t1j ,..., tmj ) được gọi
là tham số địa phương, tác dụng trong lân cận U j .
1
ii) Nếu U i U j ; thì ánh xạ T j oTi từ tập con mở tương ứng với
giao U i U j , của hình cầu Bi vào hình cầu B j là đồng phôi; các
ánh xạ đó được gọi là các quan hệ kề liên hệ các lân cận U i vàU j .
iii) Từ phủ M UU j có thể tách ra phủ đếm được M UU v .
j J
v 1
Định nghĩa 1.3.Ta nói rằng, trên đa tạp M đã cho hàm f nếu trong
mỗi lân cận U i đã cho hàm của tham số địa phương t i tác dụng
trong U i : f | U i fi (t i ), t i Bi đồng thời các yếu tố đã cho bất biến với
việc thay đổi tham số: nếu U i U j , thì trong tập con mở tương
ứng với giao U i U j của hình cầu Bi ta có:
fi (t i ) f j oT j oTi 1 (t i ).
9
Định nghĩa 1.4.Đa tạp M được gọi là khả vi, trơn, hoặc đa tạp lớp
C p nếu mọi quan hệ kề xác định nó tương ứng là khả vi, khả vi liên
tục, hoặc có mọi đạo hàm riêng liên tục đến cấp p.
1.2.2. Dạng vi phân
Định nghĩa 1.5.Dạng vi phân bậc p trên đa tạp trơn M là biểu thức
mà trong hệ tọa độ địa phương tùy ý t {t v }m có dạng:
a dt1 ...dt p , (1 ,..., p ) {1,..., m} ,
và khi chuyển sang tọa độ mới t nó chuyển về biểu thức tương tự
với các hệ số :
b a
t1
1
...
t p
p
a'
(t1 ,...t p )
( 1 ,..., p )
.
Dạng được gọi là dạng lớp C q nếu các hệ số của nó (như là hàm
của các tham số địa phương) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp q.
Các dạng vi phân có thể cộng nhân với hàm cũng như nhân ngoài với
nhau.Tập các dạng bậc p trên M lập thành nhóm cộng kí hiệu p .
Định nghĩa 1.6.Vi phân d của dạng được định nghĩa trong các
tọa độ địa phương t t1 ,..., tm theo cách sau đây: nếu trong các tọa
độ đó
f dt1 ...dt p ,
thì trong đó
d df dt1 ...dt p ,
trong đó df
f
f
dt1 ...
dtm là vi phân của hàm f.
t1
tm
Có thể chỉ ra các tính chất sau của vi phân các dạng:
10
i) d (1 2 ) d1 d2 ;
ii) d (12 ) d12 ( 1) p 1d2 , trong đó p là bậc của dạng 1
iii) d 2 d (d ) 0 .
1.2.3. Công thức Stoke
Kí hiệu d là phép lấy vi phân các dạng, là phép tính topo lấy biên.
Định lí 1.6.Giả sử trên đa tạp m chiều định hướng được M, cho mặt p
chiều và dạng vi phân bậc p-1 trên nó, nếu M, , , thuộc
lớp C 1 thì:
d
Đó là công thức Stoke
Chứng minh. Xem [1, tr 103]
1.3. Đại số Clifford
1.3.1. Số phức
Nhắc lại rằng C z x iy / x, y R trong đó i là đơn vị ảo.Ta có
i 2 1 , z1 z2 x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2
z1.z2 x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1
z x iy; z zz x 2 y 2
1.3.2. Đại số Quaternion
Mỗi phần tử của một đại số Quaternion H tương ứng với một véc tơ
trong không gian R 4 .Các phần tử cơ sở của một đại số Quaternion H
là:
11
e0
e1
e2
e3
1, 0, 0, 0
0,1, 0, 0
0, 0,1, 0
0, 0, 0,1
Người ta còn đồng nhất e0 với phần tử đơn vị 1.Một phần tử x của đại
số Quaternion H có dạng:
x x0 x1e1 x2 e2 x3e3
x0 , x1 , x2 , x3
Tích các phần tử cơ sở:
ei2 1, i 1, 2,3
e1e2 e3 , e2e3 e1 , e3e1 e2
ei e j e j ei 0, i , j 1, 2,3; i j
Phần tử liên hợp của x là
x x0 x1e1 x2 e2 x3e3
Ta có
xx xx x02 x12 x22 x32
Chuẩn của x là
x xx
1. 3.3. Đại số Clifford
Cho trường số K và không gian vec tơ n chiều V trên K có hệ cơ sở
trực chuẩn: { e1 , e2 ,..., en }.
Kí hiệu K là V0 , V là V1 và là tích ngoài.Ta định nghĩa tích ngoài 2
phần tử đồng thời xây dựng 1 không gian vec tơ mới V2 từ V:
V V V2
e ,e a
i
j
ei e j
12
Tiếp tục V 3 từ V:
V V V V3
e ,e ,e a
i
j
k
ei e j ek
.v.v….
Cuối cùng là Vn {ke1e2 ...en /k K} vì tích ngoài của nhiều hơn n
phần tử luôn bằng không do tính phản xứng.
Bây giờ đặt A V0 V1 V2 ... Vn .
Một
phần
tử
a
thuộc A có
dạng:
a a e , a F , với
{1 ,..., h } là 1 tập con của {1,…,n} và e e1 e 2 ...eh , e0 1
Do đó ta cần định nghĩa tích Clifford của các phần tử cơ sở.
Trước hết xét tích của 2 phần tử thuộc V1 .Ta lấy:
ei e j ei e j
ei e j e j ei 0(i j ), ei2 1.
Tổng quát:
e1 e2 ...e h e1 e2 ...e h e ,
Và:
e e e1 e 2 ...e h e1 e 2 ...e k
Từ đó có thể thấy phép nhân Clifford kết hợp nhưng không giao hoán.
Công việc còn lại ta chỉ cần chú ý tới cấu trúc không gian vec tơ tự
nhiên trên A.Ta gọi A là một đại số Clifford.
Ta kết thúc phần này bằng việc nói tới khái niệm liên hợp trên A.Ta
gọi là liên hợp và kí hiệu:
e0 e0 , e1 e1 ,
13
h
Tổng quát: e e1 e 2 ...e h (1) e h e h1 ...e 1 ,
Hay e e 1
a a e .
Và :
Chương 2.Các phương pháp của lí thuyết thác triển trong
giải tích phức nhiều biến
Chương 2 sẽ trình bày các phương pháp đó trong giải tích phức và sẽ
tranh thủ sự tương tự khi mở rộng ra các vấn đề trên giải tích Clifford.
2.1. Giải tích phức một biến
2.1.1. Mở đầu
1
Cho u là một hàm nhận giá trị phức, u C , ở đây là một tập mở
trên C.
Cho z là một số phức bất kì, z x iy .Ta có
x
zz
zz
,y
2
2
Nên vi phân của u có thể biểu diễn như tổ hợp tuyến tính của dz và dz
du
u
u
u
u
dx dy
dz dz
x
y
z
z
ở đây ta kí hiệu
u 1 u u u 1 u u
i ,
i
z 2 x
y z 2 x
y
1
Định nghĩa 2.1.Hàm u C được gọi là chỉnh hình nếu u / z 0
trên .Tập các hàm chỉnh hình trên kí hiệu là A .
Nếu u là một hàm chỉnh hình thì:
14
du
u
dz u ' dz .
z
Ví dụ:
de z e z dz; dz n z n 1dz (n Z )
Các hàm nói tới xét trên tập xác định của chúng.
2.1.2. Công thức tích phân Cauchy
Cho là một tập mở bị chặn trên C.Giả sử rằng C1 .
1
Định lí 2.1.(Cauchy) Nếu u C ta có:
u ( )
1 u( z)
u / z
dz
dzdz ,
2 i z
z
Chứng minh.Xem [3, tr 3]
Ngược lại ta có
k
Định lí 2.2.Cho hàm C0 C , k 1 , xét tích phân
u ( )
1
( z)
dz dz ,
2 i z
k
Ta có u C C và u / z .Hiển nhiên u là hàm chỉnh hình ngoài
giá của .
Chứng minh. Xem [3, tr 3]
Hệ quả 2.1.Cho u A ta có u C , đồng thời u ' A .
k
Hệ quả 2.2.Phương trình u / z với C0 C , k 1 có một nghiệm
u C k C .Nếu phụ thuộc chỉnh hình vào một tham số nào đó thì cả u cũng
vậy.
2.1.3. Định lí duy nhất
Định lí 2.3.Cho u là hàm chỉnh hình trên z \ z r , ta có
15
u z u n 0
0
zn
n!
Chuỗi vế phải hội tụ đều trên mọi tập con compac của
Chứng minh. Xem [3, tr 5]
Hệ quả 2.3.(Định lí duy nhất) Nếu u A và có một điểm z trên
sao cho
u k z 0, k 0
thì u = 0 trên nếu liên thông.
Chứng minh. Xem [3, tr 5]
2.1.4. Định lí Runge và phương trình Cauchy-Riman không thuần nhất
Định lí 2.4.(Runge) Cho là một tập mở trong C và K là một tập con
compac của sao cho \K liên thông.Khi đó mọi hàm chỉnh hình
trong một lân cận của K có thể xấp xỉ trên K bởi những hàm chỉnh
hình trên .
Chứng minh. Xem [3,tr 6]
Hệ quả 2.4.Với mọi f C phương trình u / z f có một
nghiệm u C .
Chứng minh. Xem [3, tr 12]
2.2. Các định lí thác triển kiểu Hactog
2.2.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến và định lí thác triển Hactog
a. Hàm chỉnh hình
Cho miền D C n , xét hàm phức: f : D C .
Giả sử rằng f khả vi tại z hữu hạn thuộc D theo nghĩa giải tích thực (
R 2n -khả vi) tức là tồn tại vi phân:
16
df
f
f
f
dx1
dx2 ...
dx2 n
x1
x2
x2 n
Khi đưa vào các biến phức zv và zv theo các công thức:
xv
zv zv
z z
, xv n v v (v 1,..., n)
2
2i
Ta có thể viết lại một cách hình thức dưới dạng:
df
f
f
f
f
dz1 ...
dzn
d z1 ...
d zn f f ,
z1
zn
z1
zn
trong đó với v=1,…,n đặt:
f 1 f
f f
1 f
f
i
i
,
. và kí hiệu
zv 2 xv
xnv zv 2 xv
xnv
f
f
f
f
f
dz1 ...
dzn , f
d z1 ...
d zn
z1
zn
z1
zn
Định nghĩa 2.2.Hàm f xác định trong lân cận nào đó của điểm z C n
, được gọi là khả vi tại điểm đó theo nghĩa giải tích phức( C n -khả vi),
nếu nó R 2n -khả vi tại điểm đó và tại điểm này:
f
0(v 1,..., n) hay là f 0 .
zv
Tức là vi phân có dạng: df
f
f
dz1 ...
dzn .
z1
zn
Định nghĩa 2.3.Hàm C n -khả vi tại mỗi điểm của lân cận nào đó của
điểm z C n , được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm đó.Hàm chỉnh hình
tại mỗi điểm của tập mở nào đó C n được gọi là chỉnh hình trên
tập .
Tập các hàm chỉnh hình trong miền D nào đó lập thành 1 vành kí hiệu
là H(D).
17
b. Định lí thác triển kiểu Hactog
Định lí 2.5.(Hactog) Giả sử cho các miền D ' C n1 ( z '), Dn C ( zn ) ,
hàm f tùy ý chỉnh hình trong lân cận (theo nghĩa C n ) của tập
M (ȴD'
Dn )
({z '0 } Dn ), z '0
D'
thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D D ' Dn
Chứng minh.(Xem [1, tr 145])
Xét hàm
1
f ( z ', n )
�
f ( z)
dn
2 i Dn n zn
(2.1)
f chỉnh hình.Mặt khác theo công thức tích
Ta có thể chứng minh �
f f trong một lân cận của tập {z '0 } Dn .
phân Cauchy ta có �
Theo định lí duy nhất dễ thấy rằng nó bằng f trên khắp những nơi mà
f chỉnh hình.
c. Miền chỉnh hình
Khái niệm sau liên quan trực tiếp tới các bài toán thác triển và có vai
trò vô cùng quan trọng.
Định nghĩa 2.4.Miền D C n được gọi là miền chỉnh hình của hàm f
nếu f chỉnh hình trong D và không thác triển giải tích được ra ngoài
giới hạn của miền này theo nghĩa sau: đối với điểm tùy ý z D hàm f
chỉnh hình trong đa đĩa lớn nhất U z, r không thác triển chỉnh hình
được vào bất kì đa tròn nào tâm z và bán kính lớn hơn.Miền được gọi
là miền chỉnh hình nếu nó là miền chỉnh hình của hàm nào đó.
18
2.2.2. Biểu diễn tích phân và định lí Xevery
Trong mục này ta đưa ra 1 công thức biểu diễn tích phân có tính chất
tổng quát so với công thức tích phân Cauchy.Công thức đó là công
thức Mactineli-Bockhone.Để làm điều đó ta cần tới công thức Green
dạng phức tương tự thực.
a. Công thức Green
Đối với các miền D C n , ta sẽ viết công thức Green dưới dạng
phức.Ta đưa vào các tọa độ Z1 ,..., Z 2 n :
Z v zv , Z n v zv ,(v 1,..., n)
Với v=1,…,2n đặt:
v (1)v 1 dZ1... ...dZ 2 n ,(vi phân dZ v bị bỏ).
v
Và xét dạng:
g nv
f v
f
g
zv
zv
v 1
m
Vi phân của dạng này là:
2g
2 f
1
d f
g
dZ1...dZ 2 n f g g f dZ ,
4
zv zv
zv zv
v 1
m
Với chú ý rằng ta đã sử dụng :
2
2
2
4
x 2v y 2 v
zv zv
Sử dụng công thức Stoke ta có:
g nv
f v 1
g
f g g f dZ ,
f
zv
zv 4
D v 1
D
m
Trong đó dZ dZ1... v ...dZ 2 n .
19
(2.2)
Ta đã có công thức Green.bây giờ ta tìm biểu diễn tích phân.
b. Công thức Mactineli-Bockhone
Chọn hàm g là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace với kì dị tại
z=0 (giả thiết D chứa điển này).Với n>1 nó có dạng:
1
g ( z)
( n 1) z
2 n2
1
n 1
n
( n 1) zv zv
v 1
(2.3)
Bởi vì với z 0 ta có
2
z nzv zv
g
z
g
v2 n ;
; g 0
2 n2
zv z
zv z v
z
Loại bỏ khỏi D một hình cầu tâm z.Kí hiệu D D \ { z <}
f
0, f 0 .Áp dụng
Giả thiết hàm f chỉnh hình trên D , ta có
zv
công thức Green ta có:
D
n
g nv
g nv 1
f
f g g f dZ 0
z
4D
v 1 zv
v
1
v
z
n
f
D
Trên mặt cầu { z <} , ta có
g
z
2vn , mặt khác f liên tục tai 0, ta có
zv
thể viết
z
n
g nv f (0)
2 n zv nv ( )
z v1
v 1 zv
n
f
Áp dụng công thức Stoke ta có:
n
z
v 1
zv nv n
z
dZ1...dZ 2 n
Theo tính chất tích ngoài ta có dZ v dZ nv 2idxv dxnv , suy ra
20
- Xem thêm -