Tài liệu định lý rolle, quy tắt dấu descartes và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THANH DIỆU ĐỊNH LÝ ROLLE, QUY TẮC DẤU DESCARTES VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60. 46. 01. 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC TUẤN Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 6 năm 2015. Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Đa thức và các bài toán liên quan luôn đóng vai trò quan trọng trong toán học không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số mà còn là một công cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết biểu diễn, tối ưu... Đặc biệt bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với các hệ số thực là vấn đề được quan tâm của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu để xác định số nghiệm âm, dương của một đa thức thực dựa vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Bên cạnh đó Định lý Rolle và một số mở rộng (Định lý Lagrange, Định lý Cauchy) là các định lý quan trọng về giá trị trung bình trong chương trình giải tích cổ điển. Ứng dụng của các định lý này trong chương trình toán trung học phổ thông rất đa dạng và phong phú, đặc biệt là các dạng toán về giải phương trình, biện luận số nghiệm của phương trình trên một khoảng, chứng minh bất đẳng thức... Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế thì các bài toán về đa thức, phương trình và các vấn đề liên quan cũng được đề cập nhiều và được xem như những dạng toán khó ở bậc trung học phổ thông. Các bài toán liên quan đến đa thức và phương trình cũng nằm trong chương trình thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng trong cả nước về Giải tích và Đại số. Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu chúng tôi lựa chọn đề tài: “Định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes và ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu được nội dung, tính chất liên quan đến định lý olle, quy tắc dấu escartes và một số phương pháp để xác định số nghiệm âm, dương của một đa thức. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các đa thức với dãy các hệ số thực. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là định lý olle, quy tắc dấu escartes và ứng dụng. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến định lý olle và quy tắc dấu escartes. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. 5. Bố cục đề tài Luận văn được chia thành hai chương: Ở chương 1 giới thiệu các khái niệm, các tính chất về sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy, trình bày định lý olle, quy tắc dấu Descartes. Đến chương 2 trình bày các bài toán liên quan đến định lý olle và quy tắc dấu escartes. 3 6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến định lý olle, quy tắc dấu escartes và ứng dụng thực tế qua các ví dụ, bài tập áp dụng, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về định lý olle và quy tắc dấu Descartes. Chứng minh chi tiết các định lí và làm rõ một số tính chất, cũng như đưa ra một số ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập. CHƢƠNG 1 ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ QUY TẮC DẤU DESCARTES 1.1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ SỰ ĐỔI DẤU CỦA DÃY Trong luận văn này, khi nói đến các đa thức, chuỗi luỹ thừa hay dãy số ta đều xét chúng là các số thực. Tiếp đó, nếu không nói ngược lại, các hàm được đưa vào đều giả thiết là giải tích trong các khoảng đã nêu. Tuy nhiên các định lý được khẳng định chỉ cần thay đổi không lớn lắm hoặc thậm chí hoàn toàn không cần một sự thay đổi nào khi thay giả thiết này bằng giả thiết yếu hơn, chẳng hạn với đòi hỏi tồn tại đạo hàm đến một cấp nào đó. Khắp nơi về sau, các không điểm được tính theo bội của nó. Và để thuận tiện cho việc lập luận, ta quy ước số 0 là số chẵn. Ta cần xét một số khái niệm sau: Định nghĩa 1.1. [7]. Không điểm của hàm số y f (x) là điểm x0 mà ở đó hàm số triệt tiêu f (x ) 0 . 0 Định nghĩa 1.2. [7]. Cho dãy a0 , a1 , a2 ,... gồm hữu hạn hay hạn các số hạng. vô Chỉ số m được gọi là vị trí đổi dấu của dãy nếu có am1am 0 , (m 1) hoặc là am1 am2 ... amk1 0 và amk am 0 , (m k 2) . Trong trường hợp thứ nhất thì am1 và am , còn trong trường hợp thứ hai thì amk và am lập thành vị trí đổi dấu. Định nghĩa 1.3. [7]. Hàm f (x) được gọi là duy trì dấu trong khoảng (a;b) nếu f (x) 0 hoặc f (x) 0 , x (a;b). Giả sử khoảng (a;b) được chia thành Z 1 khoảng con sao cho: a. f (x) không đồng nhất triệt tiêu trong khoảng con nào đó. b. Trong mỗi khoảng con f (x) duy trì dấu. c. Trong hai khoảng con kề nhau f (x) có dấu ngược nhau. Khi đó ta nói rằng trong khoảng (a;b) hàm f (x) có Z lần đổi dấu. Nhận xét 1.1. Khi vượt qua không điểm bậc lẻ, hàm giải tích bị thay đổi dấu còn khi vượt qua không điểm bậc chẵn thì không đổi dấu. Định nghĩa 1.4. [7]. Ta gọi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa thức a0 a1x ...  an1x n  1  an x , n hoặc của chuỗi luỹ thừa n a0 a1x ...  an1x n  1  an x ..., chính là sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy hữu hạn hoặc vô hạn các hệ số a0 , a1 , a2 ,..., an , tương ứng a0 , a1 , a2 ,... 1.2. CÁC TÍNH CHẤT VỀ SỰ ĐỔI DẤU CỦA DÃY VÀ HÀM Tính chất 1.1. [7]. Số vị trí đổi dấu của một dãy nào đó không thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn lại vẫn bảo toàn vị trị tương hỗ của nó. Tính chất 1.2. [7]. Các dãy a0 , a1 , a2 ,..., an và an , an1,..., a1, a0 có cùng một số vị trí đổi dấu. Tính chất 1.3. [7]. Khi gạch bỏ các số hạng của dãy, số vị trí đổi dấu không tăng thêm. Tính chất 1.4. [7]. Khi đặt vào giữa các số hạng của dãy một số lượng tùy ý các số hạng bằng 0, số vị trí đổi dấu của dãy vẫn không thay đổi. Tính chất 1.5. [7]. Số vị trí đổi dấu của dãy sẽ không thay đổi nếu bên cạnh một số hạng nào đó của dãy, ta đặt một số hạng mới có cùng dấu với số hạng đó. Tính chất 1.6. [7]. Nếu p0  p1  p2 0 ,... thì các dãy 0, 0, a0 , a1 , a2 ..., và a0 p0 , a1 p1 , a2 p2 ,..., có cùng những vị trí đổi dấu. Tính chất 1.7. [7]. Dãy a0 , a1 a0 , a2 a1,..., an có số vị  an1, an trí đổi dấu không lớn hơn so với dãy a0 , a1 , a2 ,..., an . Tính chất 1.8. [7]. Nếu dãy vô hạn a0 , a1 , a2 ,..., an ,... chỉ có một số hữu hạn W vị trí đổi dấu thì dãy tạo nên nhờ dãy đã cho: n  n  a0 , a0 a1 , a0 2a1 a2 ,..., a0  a1  a2 ... 1 2 an ,...,     cũng chỉ có một số hữu hạn vị trí đổi dấu và số đó không lớn hơn W. Tính chất 1.9. [7]. Trong khoảng mà khắp nơi (x) 0 , các hàm f (x) và f (x)(x) có cùng các không điểm. f (x) Tính chất 1.10. [7]. Cho hàm liên tục trên khoảng  a,b , và a, b không là không điểm của hàm f (x) . Khi đó i. Nế u f (a). f (b) 0 thì f (x) chứa một số lẻ các không điểm trên khoảng  a,b . ii. Nế u f (a). f (b) 0 thì f (x) chứa một số chẵn các không điểm trên khoảng  a,b . Tính chất 1.11. [7]. Giả sử a j , ak i. Nếu a và j ak khác 0 ( j k ). Khi đó: cùng dấu thì dãy số hữu hạn a j , a j 1 ,..., ak 1 , ak sẽ có một số chẵn vị trí đổi dấu. ii. Nếu a j và ak trái dấu thì dãy số hữu hạn a j , a j 1 ,..., ak 1 , ak sẽ có một số lẻ vị trí đổi dấu. 1 0 Tính chất 1.12. [7]. Nếu j 1 và k 1 là những vị trí đổi dấu kề nhau của dãy a0 , a1 , a2 ... thì dãy các hiệu số a j 1 a j , a j 2 a j 1,..., ak ak 1, ak 1 ak có một số lẻ vị trí đổi dấu (do đó có ít nhất một lần đổi dấu). Tính chất 1.13. [7]. Nếu dãy số a0 , a1,..., an , có W vị trí đổi dấu thì dãy hiệu lập thành từ dãy đó a1 a0 , a2 a1 ,..., an an1, sẽ có ít nhất W 1 vị trí đổi dấu . Tính chất 1.14. [7]. Nếu dãy hữu hạn a0 , a1,..., an , có W vị trí đổi dấu thì dãy tạo nên từ nó theo cách sau a0 , a1 a0 , a2 a1,..., an an1, , an , sẽ có không ít hơn W 1 vị trí đổi dấu (loại trừ trường hợp tầm thường khi mọi số hạng của dãy đều bằng 0). Tính chất 1.15. [7]. Nếu 0 thì các P(x) và P( đa thức x) sẽ có số vị trí đổi dấu như nhau. Tính chất 1.16. [7]. Giả sử dãy vô hạn a0 , a1 , a2 ,..., an ,... có W vị trí đổi dấu. Khi đó dãy  a0 , a1 a0 , a2 a1 ,...,an an1 ,... , 11 trong đó 0  có ít nhất W vị trí đổi dấu. Ngoài ra nếu thỏa điều kiện nlim a  0 n n thì thậm chí dãy đã nêu có cực tiểu là W 1 vị trí đổi dấu. Tính chất 1.17. [7]. Nếu dãy dấu thì dãy an ,... a0 , a1 , a2 ,..., an ,... có W vị trí đổi a0 , a0 a1 , a0 a1 a2 ,..., a0 a1 a2 ... có không quá W vị trí đổi dấu. Tính chất 1.18. [7]. Cho đa thức P(x)  an x  an x n1 ... a1x a0 n1 có số vị trí đổi dấu là W , khi đó đa thức P(x)(x 1) có số vị trí đổi dấu không lớn hơn W . Tính chất 1.19. [7]. Giả sử số a 0 và đa thức P(x) a0 a1x 2 n n ... a x , a2 x có số vị trí đổi dấu là W thì đa thức g(x) (a x).P(x), có số vị trí đổi dấu lớn hơn W . Tính chất 1.20. [7]. Giả sử chuổi lũy thừa a0 a1x  a2 x 2 a 3 x 3 có W vị trí đổi dấu thì chuỗi lũy thừa ..., a0 a1 x  a2 x 12 2 a ... 3 x 1 x 3 có số vị trí đổi dấu không thể tăng thêm. , 1.3. ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ CÁC HỆ QUẢ Cơ sở của định lý Rolle dựa vào hai định lý cơ bản nhất của Weierstrass đối với hàm liên tục khẳng định rằng khi f liên tục trên đoạn [a;b] thì nó phải đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó và định lý Fermat về điểm cực trị của hàm khả vi khẳng định rằng nếu hàm g(x) liên tục trên đoạn [a;b] , khả vi trong (a;b) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại một điểm trong khoảng đó thì đạo hàm tại điểm đó bằng 0. Định lý 1.1. [2]. (Định lý Rolle) Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm tại mọi tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) x (a;b) . Nếu f (a) f thì (b) sao cho f (c) 0 . Nhận xét 1.2. 1. Định lý Rolle sẽ không còn đúng nếu trong khoảng (a;b) có điểm c mà tại đó f (c) không tồn tại. Chẳng hạn, xét hàm f (x) 2 3 2  x , x [ 1;1] . Dễ thấy f (x) liên tục trên (1;1) và f (x)  , rõ ràng tại 2 f (x) thoả mãn các điều kiện: f (1) f (1) . Ta xét đạo hàm x  0(1; 1) 0 đạo hàm không tồn tại, 33 x nên hàm số không thoả mãn đủ các điều kiện của định lý Rolle. 2. Điều kiện liên tục trên đoạn [a;b] đối với hàm f (x) cũng không thể thay đổi bởi điều kiện f (x) liên tục trên khoảng (a;b) . Chẳng hạn, xét hàm x Ở đây  0 x0 (0;1) để 1, x 0 f (x)  0, 0 x 1. là điểm gián đoạn. Khi đó, rõ ràng không tồn tại f (x0 ) 0 . 3. Ý nghĩa hình học: Nếu các điều kiện của định lý olle được thoả mãn thì trên đồ thị của hàm số y f (x) , tồn tại x [a;b ] điểm M (c; f (c)) c mà tiếp tuyến tại đó song song với trục , (a; b) hoành Ox . Hệ quả 1.1. Nếu hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và phương trình f (x) 0 có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a;b) thì phương trình f (x) 0 khoảng (a;b) . (Phương trình có ít nhất n 1 nghiệm phân biệt thuộc (k ) f (x) 0 có ít nhất n k phân biệt thuộc khoảng (a;b) , với k 1, 2,3,....,n ). nghiệm Nhận xét 1.3. - Kết quả trên vẫn đúng nếu thay khoảng (a;b) bởi các nửa khoảng (a;b] , [a;b) hay đoạn [a;b] hoặc chỉ là một điểm x1 . - Nếu hàm f (x) là đa thức bậc n và có n nghiệm thực thì f (x) có n 1 nghiệm thực. Hệ quả 1.2. Giả sử hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) . Khi đó nếu phương trình f (x) 0 có không quá n nghiệm phân biệt trên (a;b) thì phương trình 1 f (x) 0 có không quá n nghiệm phân biệt trên khoảng đó. Hệ quả 1.3. Nếu lim f (x) 0 f (x) có số lượng các không thì x điểm trong khoảng (a; ) không ít hơn so với f (x) trên khoảng ấy. Kết quả vẫn đúng nếu thay bởi . Hệ quả 1.4. Giả sử hàm Khi đó hàm f (x) có N không điểm trong (0;) . f (x) f (x), , có ít nhất N 1 không điểm trong khoảng đó. Hơn nữa, nếu thoả mãn điều kiện lim e x f (x) 0, x thì hàm đã nêu có ít nhất là N không điểm. Định lý 1.2. [5]. Giả sử f là hàm liên tục trên [a; ) , có đạo hàm trên (a; ) và lim f (x) f (a) . Khi đó tồn tại ít nhất một số x thực c a sao cho f (c) 0 . Định lý 1.3. [2]. Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn và F (x) là một nguyên hàm của [a;b] f (x) trong đoạn đó. Nếu tồn tại các số thực x1 , x2 [a;b] x1  sao cho F(x1 ) F(x2 ) thì với x2 phương trình f (x) 0 có nghiệm trong đoạn [x1; x2 ] (hay có nghiệm trong đoạn [a;b] ). Định lý 1.4. [2]. (Định lý Lagrange) Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a;b) . Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c(a; b) sao cho f (b) f (a) f (c)(b a). Nhận xét 1.4: - Ta đã thu được định lý Lagrange như là một hệ quả của Định lý Rolle. Thế nhưng chính Định lý Rolle (về dạng biểu thức) lại là một trường hợp riêng của Định lý Lagrange (ứng với giả thiết f (a) f (b) ). - Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f (x) thoả mãn đầy đủ các điều kiện của Định lý Lagrange thì trên đồ thị của hàm số y f (x) phải tồn tại ít nhất một điểm M (c; f (c)) sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó song song với dây cung AB , ở đó A(a; f (a)) và B(b; f (b)) . Định lý 1.5. (Định lý Cauchy) Giả sử f , g liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a;b) , ngoài ra g(x) 0 với mọi sao c (a; cho b) x (a;b) . Khi đó tồn tại ít nhất một điểm f (b) f (a) f (c) .  g(b) g(a) g(c) Nhận xét 1.5. Định lý Lagrange là trường hợp riêng của Định lý Cauchy với giả thiết g(x) x . 1.4. QUY TẮC DẤU DESCARTES Việc tìm ra mối liên hệ giữa số vị trí đổi dấu của đa thức và số không điểm của nó là một kết quả cực kì lý thú. Kết quả đó sẽ giúp chúng ta ước lượng được số nghiệm của đa thức, đặc biệt là những đa thức bậc cao khi mà bằng phương pháp thông thường chúng ta khó có thể ước lượng được số nghiệm của nó. Quy tắc dấu Descartes sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề này. Định lý 1.6. [7]. (Quy tắc dấu Descartes) Giả sử N là số không điểm dương của đa thức P(x)  an x n ... a1x a0 , n1 a n1 x và W là số lần đổi dấu trong dãy hệ số của nó. Khi đó: i. W N. ii. W  là một số chẵn. N