I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG
I HÅC S× PHM
TRN THÀ MAI
IU KIN CN V Õ CHO NGHIM CÕA
BI TON C
N BNG VECTÌ QUA
D×ÎI VI PH
N SUY RËNG
LUN N TIN S TON HÅC
Th¡i Nguy¶n - 2020
I HÅC THI NGUYN
TR×ÍNG I HÅC S× PHM
TRN THÀ MAI
IU KIN CN V Õ CHO NGHIM CÕA
BI TON C
N BNG VECTÌ QUA
D×ÎI VI PH
N SUY RËNG
Ng nh: To¡n Gi£i t½ch
M¢ sè: 9460102
LUN N TIN S TON HÅC
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TS. é V«n L÷u
Th¡i Nguy¶n - 2020
Möc löc
Líi cam oan
ii
Líi c£m ìn
iii
Danh möc kþ hi»u v chú vi¸t tt
iv
Mð ¦u
1
1 Ki¸n thùc cì sð
9
1.1
B i to¡n c¥n b¬ng vectì v c¡c tr÷íng hñp ri¶ng . . . . .
9
1.2
Mët sè d÷îi vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3
Ph²p væ h÷îng hâa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.4
H m lçi suy rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì qua d÷îi vi
ph¥n MichelPenot
30
2.1
i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u Henig àa
ph÷ìng v nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng . . . . . . .
2.1.1
i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig àa
ph֓ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
31
32
p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v
b i to¡n tèi ÷u vectì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
vectì qua d÷îi vi ph¥n suy rëng
50
i
3.1
i·u ki»n c¦n Fritz John cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u
cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì . . . . . . .
3.2
51
i·u ki»n tèi ÷u kiºu KarushKuhnTucker cho nghi»m
húu hi»u y¸u cõa b i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì . . .
56
4 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng qua
d÷îi vi ph¥n suy rëng
63
4.1
B i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc . . . . . . .
64
4.2
i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m LUtèi ÷u àa ph÷ìng . . .
67
4.3
èi ng¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
K¸t luªn chung
90
Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n 92
T i li»u tham kh£o
93
Líi cam oan
Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS. é V«n L÷u.
Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh cõa ri¶ng tæi. C¡c k¸t qu£ ÷a v o
luªn ¡n ·u ÷ñc sü çng þ cõa çng t¡c gi£ GS.TS. é V«n L÷u. C¡c
k¸t qu£ cõa luªn ¡n l mîi v ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t ký cæng
tr¼nh khoa håc n o kh¡c. C¡c t i li»u tham kh£o ÷ñc tr½ch d¨n trung
thüc.
T¡c gi£
Tr¦n Thà Mai
ii
Líi c£m ìn
Luªn ¡n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc
Th¡i Nguy¶n v ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa GS.TS é
V«n L÷u. T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc
nh§t tîi ng÷íi th¦y cõa m¼nh. Th¦y ¢ tªn t¼nh d¼u dt, h÷îng d¨n v
luæn ëng vi¶n, kh½ch l» t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu.
T¡c gi£ công xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc
S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n, còng c¡c
th¦y, c¡c cæ tham gia gi£ng d¤y ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi håc
tªp v nghi¶n cùu. B¶n c¤nh â, t¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng c£m ìn
tîi Ban gi¡m hi»u, Khoa Khoa håc Cì b£n v Bë mæn To¡n cõa tr÷íng
¤i håc Kinh t¸ v Qu£n trà Kinh doanh - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢
luæn t¤o i·u ki»n thuªn lñi º tæi câ thº håc tªp v ho n th nh luªn
¡n cõa m¼nh.
Cuèi còng, t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng
nghi»p v c¡c anh chà em nghi¶n cùu sinh ¢ luæn ëng vi¶n, gióp ï tæi
trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn ¡n.
T¡c gi£
Tr¦n Thà Mai
iii
Danh möc kþ hi»u v chú vi¸t tt
X∗
Khæng gian tæpæ èi ng¨u cõa khæng gian X
Q∗
Nân éi ng¨u cõa nân Q
Q#
Tüa ph¦n trong cõa Q∗
hx∗ , xi
Gi¡ trà cõa x∗ ∈ X ∗ t¤i x ∈ X
(CQ)
i·u ki»n ch½nh quy
(M F CQ)
i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz
(SM F CQ) i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz m¤nh hìn
f 0 (x; v)
¤o h m Clarke cõa f t¤i x theo ph÷ìng v
∂ C f (x)
D÷îi vi ph¥n Clarke cõa f t¤i x
∇f (x)
¤o h m Fr²chet cõa f t¤i x
∇G f (x)
¤o h m G¥teaux cõa f t¤i x
fd− (x, υ)
¤o h m d÷îi Dini cõa h m f theo ph÷ìng υ
fd+ (x, υ)
¤o h m tr¶n Dini cõa h m f theo ph÷ìng υ
f ♦ (x; υ)
¤o h m MichelPenot cõa h m f theo ph÷ìng υ
∂ M P f (x)
D÷îi vi ph¥n MichelPenot cõa f t¤i x
∂ ∗ f (x)
D÷îi vi ph¥n suy rëng tr¶n cõa h m f t¤i x
∂∗ f (x)
D÷îi vi ph¥n suy rëng d÷îi cõa h m f t¤i x
∂f (x)
D÷îi vi ph¥n suy rëng cõa h m f t¤i x
∂C f (x)
D÷îi vi ph¥n cõa h m lçi f t¤i x
iv
NC (x)
Nân ph¡p tuy¸n cõa C t¤i x ∈ C
T (C; x)
Nân ti¸p tuy¸n cõa C t¤i x
(VEP)
B i to¡n c¥n b¬ng vectì khæng r ng buëc
(CVEP)
B i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc
(CVVI)
B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì câ r ng buëc
(CVOP)
B i to¡n tèi ÷u vectì câ r ng buëc
(CIOP)
B i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc
(DCIOP1) B i to¡n èi ng¨u kiºu MondWeir
(DCIOP2) B i to¡n èi ng¨u kiºu Wolfe
L(X, Y )
Khæng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tø X v o Y
Rn+
Orthant d֓ng trong Rn
Rn++
Ph¦n trong cõa Rn+
T
Tªp t§t c£ c¡c kho£ng âng v bà ch°n trong R
LU
Lower-upper
domF
Mi·n húu hi»u cõa F
t.÷.,
t÷ìng ùng
intC
Ph¦n trong cõa tªp C
∀
Vîi måi
∃
Tçn t¤i
conv(A)
Bao lçi cõa tªp A
conv(A)
Bao lçi âng y¸u* cõa tªp A
cl(A)
Tªp âng y¸u* cõa tªp A
cone(A)
Nân sinh bði tªp A
Mð ¦u
Do nhu c¦u cõa kinh t¸ kÿ thuªt v íi sèng con ng÷íi, lþ thuy¸t c¡c
b i to¡n cüc trà ¢ ph¡t triºn tø nhúng giai o¤n sîm nh§t cõa to¡n håc.
Ba lîp b i to¡n cüc trà ÷ñc nghi¶n cùu bao gçm: Lîp c¡c b i to¡n cõa
ph²p t½nh bi¸n ph¥n cê iºn; Lîp c¡c b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v lîp
c¡c b i to¡n tèi ÷u (quy ho¤ch to¡n håc). Nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u
cho c¡c b i to¡n cõa ph²p t½nh bi¸n ph¥n cê iºn ¢ cho ta c¡c k¸t qu£
mæ t£ d÷îi d¤ng c¡c ph÷ìng tr¼nh Euler. Khi nghi¶n cùu c¡c b i to¡n
i·u khiºn tèi ÷u v c¡c b i to¡n tèi ÷u ¢ mang l¤i c¡c k¸t qu£ d¤ng
nguy¶n lþ cüc ¤i Pontriagin v quy tc nh¥n tû Lagrange. Lþ thuy¸t
c¡c i·u ki»n tèi ÷u d÷îi ngæn ngú gi£i t½ch h m cõa A. Ya. Dubovitsky
v A. A. Milyutin ra íi n«m 1965, nâ bao h m ÷ñc c¡c k¸t qu£ câ
d¤ng l ph÷ìng tr¼nh Euler, nguy¶n lþ cüc ¤i Pontriagin v quy tc
nh¥n tû Lagrange.
Lþ thuy¸t tèi ÷u hâa ¢ ph¡t triºn tø c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng câ
r ng buëc ¸n c¡c b i to¡n tèi ÷u câ r ng buëc, tø b i to¡n tèi ÷u ìn
möc ti¶u ¸n b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u, tø b i to¡n tèi ÷u trìn ¸n c¡c
b i to¡n tèi ÷u khæng trìn. Cuèn s¡ch "Optimization
and Nonsmooth
Analysis" cõa F. H. Clarke [11] ¡nh d§u mët b÷îc ph¡t triºn ð mët giai
o¤n mîi cõa gi£i t½ch khæng trìn v tèi ÷u khæng trìn.
Do nhu c¦u cõa kinh t¸ v khoa håc kÿ thuªt, b i to¡n b§t ¯ng thùc
bi¸n ph¥n ¢ ÷ñc · xu§t bði G. Stampacchia v cëng sü v o nhúng
n«m ¦u cõa thªp ni¶n 60 th¸ k XX. Mæ h¼nh b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
1
vectì h§p d¨n bði nhúng ¡p döng cõa nâ trong tèi ÷u vectì v c¡c b i
to¡n c¥n b¬ng m¤ng giao thæng ([18]). B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
trong khæng gian væ h¤n chi·u v c¡c ùng döng cõa nâ ÷ñc tr¼nh b y
trong cuèn s¡ch "An
Introdution to Variational Inequalities and Their
Applications" cõa D. Kinderlehrer v G. Stampachia [35].
B i to¡n c¥n b¬ng (equilibrium problem) ÷ñc E. Blum v W. Oettli
[10] ÷a ra l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1994, v nhanh châng h§p d¨n nhi·u
nh to¡n håc nghi¶n cùu do ph¤m vi ùng döng rëng lîn cõa nâ. B i to¡n
c¥n b¬ng vectì âng mët vai trá quan trång trong gi£i t½ch phi tuy¸n,
nâ cho ta mët mæ h¼nh to¡n håc hñp nh§t bao gçm nhi·u b i to¡n kh¡c
nhau nh÷: B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì; B i to¡n tèi ÷u
vectì; B i to¡n iºm b§t ëng; B i to¡n bò vectì; B i to¡n c¥n b¬ng
Nash vectì,.... C¡c l¾nh vüc nghi¶n cùu cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì bao
gçm: i·u ki»n tèi ÷u; Sü tçn t¤i nghi»m; Thuªt to¡n; T½nh ch§t tªp
nghi»m; T½nh ên ành nghi»m; ë nh¤y nghi»m,. . .
Trong nhúng n«m g¦n ¥y, nhi·u nghi¶n cùu trong gi£i t½ch khæng
trìn ¢ tªp trung ph¡t triºn c¡c lo¤i d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau. C¡c d÷îi
vi ph¥n l nhúng cæng cö tèt º nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i
to¡n tèi ÷u vîi c¡c h m khæng trìn. C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i
to¡n tèi ÷u vîi c¡c dú li»u khæng trìn ¢ v ang ph¡t triºn m¤nh m³
qua ngæn ngú d÷îi vi ph¥n h m lçi, c¡c d÷îi vi ph¥n F.H.Clarke [11],
P. Michel v J.P. Penot [50], B.S. Mordukhovich [51], J.S. Treiman [64]
v d÷îi vi ph¥n suy rëng trong [31]. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng
(convexificator) l mët cæng cö tèt º thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u khæng
trìn. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng lçi, compact l¦n ¦u ti¶n ÷ñc
÷a ra bði V.F. Demyanov [14]. Jeyakumar v Luc ¢ ÷a ra kh¡i ni»m
d÷îi vi ph¥n suy rëng âng, khæng lçi cho h m væ h÷îng trong [31] v
Jacobian x§p x¿ cho h m vectì trong [32]. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy
rëng l têng qu¡t hâa mët sè kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n ¢ bi¸t nh÷ c¡c
d÷îi vi ph¥n Clarke, MichelPenot, Mordukhovich, Treiman,. . . . Mët sè
2
c¡c nh khoa håc Vi»t Nam ¢ câ nhúng âng gâp ¡ng kº trong vi»c
nghi¶n cùu b i to¡n c¥n b¬ng vectì v b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
nh÷ c¡c gi¡o s÷ H. Töy, D.T. Löc, P.Q. Kh¡nh, P.H. S¡ch, D.V. L÷u,
L.D. M÷u, N.D. Y¶n v nhi·u gi¡o s÷ kh¡c (xem [31], [32], [36][46], [54],
[61] [71]).
i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì v b i to¡n b§t ¯ng
thùc bi¸n ph¥n vectì ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu (xem
[10][13], [16][24], [26], [28], [35][49], [52], [54][56], [61], [62], [65], [67]
[71]). F. Giannessi, G. Mastroeni v L. Pellegrini [18] ¢ thi¸t lªp c¡c
i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì trong khæng
gian húu h¤n chi·u. J. Morgan v M. Romaniello [52] ¢ thi¸t lªp c¡c
i·u ki»n tèi ÷u kiºu KuhnTucker cho b i to¡n b§t ¯ng thùc tüa bi¸n
ph¥n suy rëng vectì trong khæng gian Hilbert. C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho
ε-nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì trong khæng gian
Banach ¢ ÷ñc X. Q. Yang v X. Y. Zeng [70] thi¸t lªp. C¡c i·u ki»n
tèi ÷u trong [65], [68] ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch thi¸t lªp sü t÷ìng
÷ìng giúa b i to¡n tèi ÷u vectì v b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
vectì. ¢ câ r§t nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu gi£i quy¸t c¡c v§n · tçn
t¤i nghi»m v i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c lo¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n
b¬ng vectì. X. H. Gong [23] ¢ thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u d÷îi ngæn ngú
d÷îi vi ph¥n Clarke v d÷îi vi ph¥n x§p x¿ cho c¡c nghi»m húu hi»u
y¸u, nghi»m húu hi»u Henig, nghi»m si¶u húu hi»u v nghi»m húu hi»u
to n cöc cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì vîi r ng buëc tªp. X. H. Gong [24]
¢ chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m húu
hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc nân vîi c¡c h m kh£ vi
Fr²chet. X. H. Gong [22] ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n v õ cho nghi»m
húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì lçi câ r ng buëc nân vîi i·u ki»n
ch½nh quy Slater. X. X. Long v c¡c cëng sü [48] ¢ chùng minh c¡c i·u
ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v nghi»m si¶u húu hi»u cõa
b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc nân, r ng buëc tªp vîi c¡c h m
3
kiºu C -d÷îi g¦n lçi (nearly C -subconvexlike). Chó þ r¬ng, d÷îi vi ph¥n
MichelPenot l mët d÷îi vi ph¥n suy rëng. Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c
i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v si¶u húu hi»u cõa b i
to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot l mët
v§n · c¦n thi¸t v ¥y l mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n.
Y. Feng v Q. Qui [16] nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n
b¬ng vectì câ r ng buëc trong khæng gian Banach. D. V. Luu v D. D.
Hang [41] ¢ d¨n i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u, nghi»m
húu hi»u, nghi»m húu hi»u to n cöc cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n
ph¥n vectì c¡c r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp
vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng qua d÷îi vi ph¥n Clarke, d÷îi vi ph¥n
Michel-Penot. D. V. Luu v D. D. Hang [43] ¢ nghi¶n cùu i·u ki»n
tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì d÷îi ngæn ngú
ph¦n trong tüa t÷ìng èi (quasirelative interior). D. V. Luu v D. D.
Hang [44] chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v c¡c i·u ki»n õ tèi ÷u cho
nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vîi r ng buëc c¥n b¬ng
qua d÷îi vi ph¥n Clarke. D. V. Luu [38] ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n Fritz
John v KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n c¥n
b¬ng vectì trong khæng gian Banach qua d÷îi vi ph¥n suy rëng, trong
â r ng buëc ¯ng thùc khæng nh§t thi¸t kh£ vi Fr²chet. A. Iusem v F.
Lara [28] ¢ ÷a v o lîp h m ti»m cªn v chùng minh c¡c i·u ki»n tèi
÷u cho nghi»m húu hi»u v húu hi»u y¸u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì
khæng lçi v ¡p döng cho b i to¡n quy ho¤ch th÷ìng. Chó þ r¬ng, b i
to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì l mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i
to¡n c¥n b¬ng vectì. Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho
nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì khæng
trìn câ r ng buëc nân, r ng buëc ¯ng thùc v r ng buëc tªp qua d÷îi
vi ph¥n suy rëng l mët v§n · c¦n thi¸t v ¥y l mët nëi dung ÷ñc
nghi¶n cùu trong luªn ¡n.
B i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u l mët tr÷íng hñp quan trång cõa b i
4
to¡n c¥n b¬ng vectì. Trong nhúng n«m g¦n ¥y, c¡c i·u ki»n tèi ÷u
cho b i to¡n tèi ÷u khæng trìn ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ nghi¶n cùu qua
c¡c d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau v ¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ µp v s¥u sc. Khi
c¡c h» sè cõa h m möc ti¶u v c¡c h m r ng buëc nhªn gi¡ trà kho£ng,
ta nhªn ÷ñc c¡c b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng. C¡c b i to¡n tèi ÷u
gi¡ trà kho£ng cho ta sü lüa chån khæng chc chn trong tèi ÷u. i·u
ki»n tèi ÷u v èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ trà kho£ng
÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu (xem [7], [8], [29], [30], [53],
[66]). H. C. Wu [66] ¢ d¨n c¡c i·u ki»n tèi ÷u KarushKuhnTucker
cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ trà kho£ng kh£ vi vîi c¡c r ng buëc
b§t ¯ng thùc trong khæng gian húu h¤n chi·u. A. K. Bhurjee v G.
Panda [7, 8] ¢ nghi¶n cùu c¡c nghi»m húu hi»u v thi¸t lªp c¡c ành
lþ èi ng¨u cho b i to¡n quy ho¤ch th÷ìng a möc ti¶u gi¡ trà kho£ng.
A. Jayswal, I. StancuMinasian v J. Banerjee [30] ¢ thi¸t lªp c¡c i·u
ki»n tèi ÷u v c¡c ành lþ èi ng¨u cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡
trà kho£ng vîi r ng buëc b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp qua d÷îi vi
ph¥n suy rëng trong khæng gian húu h¤n chi·u. Vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u
ki»n Fritz John v KarushKuhnTucker v c¡c ành lþ èi ng¨u y¸u v
m¤nh kiºu MondWeir v kiºu Wolfe cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng
câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp trong khæng
gian Banach d÷îi ngæn ngú d÷îi vi ph¥n suy rëng l mët v§n · c¦n
thi¸t v ¥y công l mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n.
Möc ½ch cõa luªn ¡n l thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n
c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc
tªp qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot, mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa d÷îi vi
ph¥n suy rëng; Chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v c¡c i·u ki»n õ cho
b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì vîi r ng buëc nân, r ng buëc
¯ng thùc v r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng; Thi¸t lªp c¡c
i·u ki»n c¦n Fritz John v KarushKuhnTucker, c¡c i·u ki»n õ v
c¡c ành lþ èi ng¨u kiºu MondWeir v kiºu Wolfe cho b i to¡n tèi ÷u
5
gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp
qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Nëi dung ch½nh cõa luªn ¡n bao gçm:
a) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker cho nghi»m húu
hi»u Henig àa ph÷ìng v nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n
c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp
trong khæng gian Banach vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng v i·u ki»n
ch½nh quy kiºu Abadie qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot còng vîi v½ dö
minh håa cho k¸t qu£ thu ÷ñc. Vîi c¡c gi£ thi¸t v· t½nh lçi suy rëng,
c¡c i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker trð th nh i·u ki»n õ tèi ÷u.
C¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc ÷ñc ¡p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n
ph¥n vectì v b i to¡n tèi ÷u vectì.
b) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n Fritz John v KarushKuhnTucker cho
nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì khæng
trìn câ r ng buëc ¯ng thùc, r ng buëc nân lçi a di»n v r ng buëc tªp
qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Vîi i·u ki»n ch½nh quy kiºu Mangasarian
Fromovitz, tø i·u ki»n c¦n Fritz John chóng tæi chùng minh ÷ñc c¡c
i·u ki»n KarushKuhnTucker. C¡c v½ dö cö thº minh håa cho c¡c k¸t
qu£ nhªn ÷ñc. C¡c i·u ki»n õ ÷ñc chùng minh vîi nhúng i·u ki»n
v· t½nh lçi suy rëng cho dú li»u cõa b i to¡n.
c) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n Fritz John v KarushKuhnTucker cho
nghi»m LU-tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng vîi c¡c
r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp trong khæng gian
Bannach qua d÷îi vi ph¥n suy rëng vîi c¡c nghi»m l ch½nh quy theo
ngh¾a Ioffe [27]. Vîi gi£ thi¸t v· t½nh gi£ lçi ti»m cªn cõa h m möc ti¶u
v t½nh tüa lçi ti»m cªn cõa r ng buëc b§t ¯ng thùc v t½nh tüa tuy¸n
t½nh ti»m cªn cõa cõa r ng buëc ¯ng thùc, c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m
LU-tèi ÷u ÷ñc chùng minh. Thi¸t lªp c¡c ành lþ èi ng¨u m¤nh v y¸u
cho c¡c b i to¡n èi ng¨u kiºu MondWeir v kiºu Wolfe. Mët sè v½ dö
÷ñc cung c§p º minh håa cho c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc.
Luªn ¡n bao gçm ph¦n mð ¦u, bèn ch÷ìng, k¸t luªn chung, danh
6
möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè cõa t¡c gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n v danh
möc c¡c t i li»u tham kh£o. Bèn ch÷ìng cõa luªn ¡n câ ti¶u · nh÷ sau:
Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc cì sð.
• Ch÷ìng 2: i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì qua d÷îi vi
•
ph¥n MichelPenot.
•
Ch÷ìng 3: i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
vectì qua d÷îi vi ph¥n suy rëng.
•
Ch÷ìng 4: i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng qua
d÷îi vi ph¥n suy rëng.
Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v ki¸n thùc bê trñ cho c¡c ch÷ìng
sau cõa luªn ¡n nh÷: Mët sè ki¸n thùc v· b i to¡n c¥n b¬ng vectì, b i
to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v b i to¡n tèi ÷u vectì; C¡c ành
lþ væ h÷îng hâa cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì; Mët sè ành ngh¾a v k¸t
qu£ v· c¡c d÷îi vi ph¥n; Mët sè ki¸n thùc v· h m lçi suy rëng.
Ch÷ìng 2 thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u v c¡c i·u ki»n õ tèi ÷u
cho nghi»m húu hi»u Henig v nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n c¥n
b¬ng vectì vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng trong khæng gian Banach
câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp b¬ng cæng cö
d÷îi vi ph¥n MichelPenot. Chó þ r¬ng, d÷îi vi ph¥n MichelPenot l
mët d÷îi vi ph¥n suy rëng. C¡c k¸t qu£ â ¢ ÷ñc ¡p döng cho b i
to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v b i to¡n tèi ÷u vectì.
Ch÷ìng 3 thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u Fritz John cho nghi»m
húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng bi¸n ph¥n vectì khæng trìn vîi
r ng buëc nân, r ng buëc ¯ng thùc v r ng buëc tªp, trong â nân
l mët a di»n lçi trong khæng gian húu h¤n chi·u v nghi»m húu hi»u
÷ñc x²t theo mët nân lçi, âng, nhån. Vîi i·u ki»n ch½nh quy kiºu
MangasarianFromovitz, chóng tæi chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u
KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng
thùc bi¸n ph¥n vectì qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Vîi c¡c gi£ thi¸t v·
7
t½nh tüa lçi ti»m cªn cho r ng buëc b§t ¯ng thùc, t½nh tüa tuy¸n t½nh
ti»m cªn cho r ng buëc ¯ng thùc, khi â c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u cho
nghi»m húu hi»u y¸u trð th nh c¡c i·u ki»n õ tèi ÷u.
Trong Ch÷ìng 4, chóng tæi ¢ thi¸t lªp i·u ki»n c¦n Fritz John qua
d÷îi vi ph¥n suy rëng cho nghi»m LUtèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n tèi
÷u gi¡ trà kho£ng (CIOP) trong khæng gian Banach. Sû döng i·u ki»n
ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz (CQ1), tø i·u ki»n c¦n Fritz
John chóng tæi chùng minh ÷ñc i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker
cho nghi»m LUtèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CIOP). Vîi i·u ki»n
ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz m¤nh hìn (CQ(s) 2), chóng tæi
¢ ch¿ ra ÷ñc th nh ph¦n kh¡c khæng cõa nh¥n tû Lagrange t÷ìng ùng
vîi th nh ph¦n cõa h m möc ti¶u. C¡c i·u ki»n õ cho nghi»m LUtèi
÷u ÷ñc chùng minh vîi c¡c gi£ thi¸t v· t½nh gi£ lçi ti»m cªn cõa h m
möc ti¶u, t½nh tüa lçi ti»m cªn cõa r ng buëc b§t ¯ng thùc, t½nh tüa
tuy¸n t½nh ti»m cªn cõa r ng buëc ¯ng thùc. C¡c b i to¡n èi ng¨u
kiºu Wolfe v MondWeir ÷ñc nghi¶n cùu, còng vîi c¡c ành lþ èi
ng¨u y¸u v èi ng¨u m¤nh t÷ìng ùng ÷ñc thi¸t lªp.
C¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n ÷ñc vi¸t düa v o c¡c cæng tr¼nh
[A1 ], [A2 ] v [A3 ] trong Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan
¸n luªn ¡n.
C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i:
- Seminar Tèi ÷u, Vi»n To¡n håc v Khoa håc Ùng döng Th«ng Long,
Khoa To¡n - Tin, ¤i håc Th«ng Long, H Nëi;
- Seminar Nghi¶n cùu sinh cõa Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m,
¤i håc Th¡i Nguy¶n.
8
Ch֓ng 1
Ki¸n thùc cì sð
º thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ v· i·u ki»n tèi ÷u v c¡c ành lþ èi ng¨u
cho c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng trìn c¦n sû döng c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t
cõa c¡c d÷îi vi ph¥n v mët sè k¸t qu£ li¶n quan kh¡c. Trong Ch÷ìng
1, chóng tæi tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc bê trñ c¦n thi¸t cho c¡c ch÷ìng sau
cõa luªn ¡n. Möc 1.1 tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m li¶n quan ¸n b i to¡n c¥n
b¬ng vectì còng vîi hai tr÷íng hñp ri¶ng l b i to¡n tèi ÷u vectì v b i
to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì vîi c¡c lo¤i nghi»m nh÷: Nghi»m
húu hi»u y¸u, húu hi»u Henig v nghi»m si¶u húu hi»u. Möc 1.2 nhc
l¤i mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa c¡c d÷îi vi ph¥n nh÷ d÷îi
vi ph¥n Clarke, d÷îi vi ph¥n MichelPenot, d÷îi vi ph¥n suy rëng, mèi
quan h» giúa c¡c d÷îi vi ph¥n v mët sè k¸t qu£ c¦n sû döng trong c¡c
ch÷ìng sau. Möc 1.3 tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ væ h÷îng hâa cõa X.H.
Gong [23] cho nghi»m húu hi»u y¸u, nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n
c¥n b¬ng vectì. Möc 1.4 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· h m lçi suy rëng
l m cì sð thi¸t lªp c¡c i·u ki»n õ tèi ÷u cõa b i to¡n (CVEP). Nëi
dung cõa Ch÷ìng 1 ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [1][5], [11], [15],
[27], [30], [31], [38], [50], [51], [57], [58].
1.1 B i to¡n c¥n b¬ng vectì v c¡c tr÷íng hñp ri¶ng
B i to¡n c¥n b¬ng vectì l mët bë phªn quan trång cõa gi£i t½ch phi
tuy¸n v trong nhúng n«m g¦n ¥y b i to¡n n y ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£
9
trong v ngo i n÷îc quan t¥m nghi¶n cùu. Mët chõ · quan trång cõa
b i to¡n c¥n b¬ng vectì m chóng tæi quan t¥m l nghi¶n cùu i·u ki»n
tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u, húu hi»u Henig v nghi»m si¶u húu
hi»u.
Xuy¶n suèt luªn ¡n, ta luæn gi£ sû r¬ng c¡c khæng gian X, Y, Z, W l
c¡c khæng gian Banach.
1.1.1. B i to¡n c¥n b¬ng vectì
Cho X, Y, Z v W l c¡c khæng gian Banach v C l tªp con kh¡c réng
cõa X ; Q v S l¦n l÷ñt l c¡c nân lçi trong Y v Z ; F : X × X → Y
l mët song h m vectì vîi F (x, x) = 0, vîi måi x ∈ X ; g : X → Z v
h : X → W l c¡c ¡nh x¤ r ng buëc.
• B i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc, k½ hi»u l (CVEP), ÷ñc ph¡t
biºu nh÷ sau: T¼m vectì x ∈ K sao cho
F (x, y) ∈
/ −Q\ {0} , vîi måi y ∈ K,
trong â Q l nân lçi trong Y v K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0} l
tªp ch§p nhªn ÷ñc cõa b i to¡n.
N¸u int Q 6= ∅, vectì x ∈ K thäa m¢n
F (x, y) ∈
/ −intQ, vîi måi y ∈ K,
(1.1)
÷ñc gåi l nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (CVEP). N¸u tçn t¤i mët
l¥n cªn U cõa x sao cho (1.1) thäa m¢n vîi måi y ∈ K ∩ U th¼ x ÷ñc
gåi l nghi»m húu hi»u y¸u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP).
Tr÷íng hñp Y = Rr , Z = Rm , W = R` v c¡c nân Q = Rr+ , S = Rm
+,
b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc (CVEP) câ d¤ng: T¼m x ∈ K
sao cho
F (x, y) ∈
/ −Rr+ \ {0}, vîi måi y ∈ K,
(1.2)
trong â tªp nhªn ÷ñc
K = x ∈ C : gi (x) ≤ 0, vîi måi i ∈ I; hj (x) = 0, vîi måi j ∈ L ,
10
vîi gi , hj (i ∈ I := {1, 2, ..., m} , j ∈ L := {1, 2, ..., `}) l c¡c h m sè thüc
x¡c ành tr¶n Rn v h m vectì F = (F1 , F2 , ..., Fr ).
°t Fx (y) = F (x, y), Fk,x (y) = Fk (x, y), vîi måi k ∈ {1, 2, .., r} v gi£
sû r¬ng Fx (x) = 0. Khi â, vectì x ∈ K l nghi»m húu hi»u àa ph÷ìng
(t.÷., nghi»m húu hi»u y¸u àa ph÷ìng) cõa b i to¡n (CVEP) n¸u tçn
t¤i δ > 0 sao cho khæng tçn t¤i y ∈ K ∩ B(x, δ) thäa m¢n
Fk,x (y) ≤ 0, vîi måi k ∈ J;
Fs,x (y) < 0, vîi ½t nh§t mët s ∈ J;
(t.÷., Fk,x (y) < 0, vîi måi k ∈ J).
Ti¸p theo, chóng tæi x¥y düng c¡c lo¤i nghi»m cán l¤i cho b i to¡n
(CVEP).
Gåi Y ∗ l khæng gian èi ng¨u cõa khæng gian Y . Kþ hi»u, Q∗ l nân
èi ng¨u cõa nân Q ⊂ Y nh÷ sau:
Q∗ = y ∗ ∈ Y : hy ∗ , yi ≥ 0, vîi måi y ∈ Q .
Tüa ph¦n trong (quasi-interior) cõa Q∗ l Q# ÷ñc ành ngh¾a bði
Q# = y ∗ ∈ Y ∗ : hy ∗ , yi > 0, vîi måi y ∈ Q\ {0} .
Mët tªp con lçi kh¡c réng B cõa Q ÷ñc gåi l mët cì sð cõa nân Q n¸u
Q = coneB v 0 ∈
/ clB. Cho B l cì sð cõa Q, k½ hi»u
Q4 (B) = y ∗ ∈ Q# : ∃t > 0 thäa m¢n hy ∗ , yi ≥ t, vîi måi b ∈ B .
Theo X.H. Gong [23], ta câ Q4 (B) 6= ∅. Sû döng ành lþ t¡ch c¡c tªp
lçi ríi nhau {0} v B , suy ra tçn t¤i y ∗ ∈ Y ∗ \ {0} sao cho
α = inf {hy ∗ , bi : b ∈ B} > y ∗ (0) = 0.
X²t mët l¥n cªn VB tuy»t èi lçi, mð cõa 0 ∈ Y (xem trong [23])
n
αo
∗
VB = y ∈ Y : | hy , yi | <
.
2
Khi â, ta ÷ñc
inf {hy ∗ , yi : y ∈ B + VB } ≥
11
α
.
2
Vîi méi mët l¥n cªn lçi U cõa 0 vîi U ⊆ VB , ta câ 0 ∈
/ cl(B + U ). M°t
kh¡c, tªp QU (B) = cone(U + B) l mët nân lçi nhån v
Q\ {0} ⊆ intQU (B).
ành ngh¾a 1.1. ([3]) Gi£ sû A l mët tªp con cõa khæng gian X .
a) A ÷ñc gåi l lçi, n¸u vîi måi x, y ∈ A, vîi måi λ, µ ≥ 0 : λ + µ = 1,
ta ·u câ λx + µy ∈ A;
b) A ÷ñc gåi l c¥n, n¸u vîi måi x, y ∈ A, vîi måi λ : |λ| ≤ 1, ta ·u
câ λx ∈ A;
c) A ÷ñc gåi l tuy»t èi lçi, n¸u A lçi v c¥n.
Düa tr¶n c¡ch mæ t£ tr¶n, c¡c ành ngh¾a v· nghi»m húu hi»u Henig
v nghi»m si¶u húu hi»u ÷ñc tr¼nh b y nh÷ sau.
ành ngh¾a 1.2. ([23]) Vectì x ∈ K gåi l nghi»m húu hi»u Henig
cõa b i to¡n (CVEP) n¸u tçn t¤i l¥n cªn tuy»t èi lçi mð U cõa 0 vîi
U ⊆ VB sao cho
coneF (x, K) ∩ (−intQU (B)) = ∅,
trong â, F (x, K) =
S
y∈K
F (x, y).
Do QU (B) l nân lçi nhån, x l nghi»m húu hi»u Henig n¸u v ch¿ n¸u
F (x, K) ∩ (−intQU (B)) = ∅.
(1.3)
L÷u þ r¬ng, x ∈ K l nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP) n¸u
v ch¿ n¸u tçn t¤i l¥n cªn tuy»t èi lçi mð U cõa 0 vîi U ⊆ VB sao cho
(xem [23])
coneF (x, K) ∩ (U − B) = ∅.
(1.4)
ành ngh¾a 1.3. ([23]) Vectì x ∈ K gåi l nghi»m si¶u húu hi»u cõa
b i to¡n (CVEP) n¸u vîi méi mët l¥n cªn V cõa 0, tçn t¤i mët l¥n cªn
U cõa 0 sao cho
coneF (x, K) ∩ (U − Q) ⊆ V.
12
(1.5)
- Xem thêm -