Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vecto qua dưới vi phân suy ...

Tài liệu điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vecto qua dưới vi phân suy rộng

.PDF
109
29
65

Mô tả:

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  TR†N THÀ MAI I—U KI›N C†N V€ Õ CHO NGHI›M CÕA B€I TON C…N BŒNG VECTÌ QUA D×ÎI VI PH…N SUY RËNG LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2019 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M TR†N THÀ MAI I—U KI›N C†N V€ Õ CHO NGHI›M CÕA B€I TON C…N BŒNG VECTÌ QUA D×ÎI VI PH…N SUY RËNG Ng nh: To¡n Gi£i t½ch M¢ sè: 9460102 LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TS. é V«n L÷u Th¡i Nguy¶n - 2019 Möc löc Líi cam oan ii Líi c£m ìn iii Danh möc kþ hi»u v  chú vi¸t t­t iv Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc cì sð 9 1.1 1.2 1.3 1.4 B i to¡n c¥n b¬ng vectì v  c¡c tr÷íng hñp ri¶ng Mët sè d÷îi vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . Ph²p væ h÷îng hâa . . . . . . . . . . . . . . . . H m lçi suy rëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . 15 . . . . . 25 . . . . . 27 2 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot 31 2.1 i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng v  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng . . . . . . . 2.1.1 2.2 i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 33 p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v  b i to¡n tèi ÷u vectì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì qua d÷îi vi ph¥n suy rëng 51 i 3.1 i·u ki»n c¦n Fritz John cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì . . . . . . . 3.2 52 i·u ki»n tèi ÷u kiºu KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì . . . 57 4 i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng qua d÷îi vi ph¥n suy rëng 64 4.1 B i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc . . . . . . . 65 4.2 i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m LUtèi ÷u àa ph÷ìng . . . 68 4.3 èi ng¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 K¸t luªn chung 91 Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n 93 T i li»u tham kh£o 94 Líi cam oan Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS. é V«n L÷u. Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh cõa ri¶ng tæi. C¡c k¸t qu£ ÷a v o luªn ¡n ·u ÷ñc sü çng þ cõa çng t¡c gi£ GS.TS. é V«n L÷u. C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n l  mîi v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t ký cæng tr¼nh khoa håc n o kh¡c. C¡c t i li»u tham kh£o ÷ñc tr½ch d¨n trung thüc. T¡c gi£ Tr¦n Thà Mai ii Líi c£m ìn Luªn ¡n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa GS.TS é V«n L÷u. T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t tîi ng÷íi th¦y cõa m¼nh. Th¦y ¢ tªn t¼nh d¼u d­t, h÷îng d¨n v  luæn ëng vi¶n, kh½ch l» t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu. T¡c gi£ công xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n, còng c¡c th¦y, c¡c cæ tham gia gi£ng d¤y ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi håc tªp v  nghi¶n cùu. B¶n c¤nh â, t¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng c£m ìn tîi Ban gi¡m hi»u, Khoa Khoa håc Cì b£n v  Bë mæn To¡n cõa tr÷íng ¤i håc Kinh t¸ v  Qu£n trà Kinh doanh - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ luæn t¤o i·u ki»n thuªn lñi º tæi câ thº håc tªp v  ho n th nh luªn ¡n cõa m¼nh. Cuèi còng, t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v  c¡c anh chà em nghi¶n cùu sinh ¢ luæn ëng vi¶n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn ¡n. T¡c gi£ Tr¦n Thà Mai iii Danh möc kþ hi»u v  chú vi¸t t­t X∗ Khæng gian tæpæ èi ng¨u cõa khæng gian X Q∗ Nân éi ng¨u cõa nân Q Q# Tüa ph¦n trong cõa Q∗ hx∗ , xi Gi¡ trà cõa x∗ ∈ X ∗ t¤i x ∈ X (CQ) i·u ki»n ch½nh quy (M F CQ) i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz (SM F CQ) i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz m¤nh hìn f 0 (x; v) ¤o h m Clarke cõa f t¤i x theo ph÷ìng v ∂ C f (x) D÷îi vi ph¥n Clarke cõa f t¤i x ∇f (x) ¤o h m Fr²chet cõa f t¤i x ∇G f (x) ¤o h m G¥teaux cõa f t¤i x fd− (x, υ) ¤o h m d÷îi Dini cõa h m f theo ph÷ìng υ fd+ (x, υ) ¤o h m tr¶n Dini cõa h m f theo ph÷ìng υ f ♦ (x; υ) ¤o h m MichelPenot cõa h m f theo ph÷ìng υ ∂ M P f (x) D÷îi vi ph¥n MichelPenot cõa f t¤i x ∂ ∗ f (x) D÷îi vi ph¥n suy rëng tr¶n cõa h m f t¤i x ∂∗ f (x) D÷îi vi ph¥n suy rëng d÷îi cõa h m f t¤i x ∂f (x) D÷îi vi ph¥n suy rëng cõa h m f t¤i x ∂C f (x) D÷îi vi ph¥n cõa h m lçi f t¤i x iv NC (x) Nân ph¡p tuy¸n cõa C t¤i x ∈ C T (C; x) Nân ti¸p tuy¸n cõa C t¤i x (VEP) B i to¡n c¥n b¬ng vectì khæng r ng buëc (CVEP) B i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc (CVVI) B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì câ r ng buëc (CVOP) B i to¡n tèi ÷u vectì câ r ng buëc (CIOP) B i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc (DCIOP1) B i to¡n èi ng¨u kiºu MondWeir (DCIOP2) B i to¡n èi ng¨u kiºu Wolfe L(X, Y ) Khæng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tø X v o Y Rn+ Orthant d÷ìng trong Rn Rn++ Ph¦n trong cõa Rn+ T Tªp t§t c£ c¡c kho£ng âng v  bà ch°n trong R LU Lower-upper domF Mi·n húu hi»u cõa F t.÷., t÷ìng ùng intC Ph¦n trong cõa tªp C ∀ Vîi måi ∃ Tçn t¤i conv(A) Bao lçi cõa tªp A conv(A) Bao lçi âng y¸u* cõa tªp A cl(A) Tªp âng y¸u* cõa tªp A cone(A) Nân sinh bði tªp A Mð ¦u Do nhu c¦u cõa kinh t¸ kÿ thuªt v  íi sèng con ng÷íi, lþ thuy¸t c¡c b i to¡n cüc trà ¢ ph¡t triºn tø nhúng giai o¤n sîm nh§t cõa to¡n håc. Ba lîp b i to¡n cüc trà ÷ñc nghi¶n cùu bao gçm: Lîp c¡c b i to¡n cõa ph²p t½nh bi¸n ph¥n cê iºn; Lîp c¡c b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v  lîp c¡c b i to¡n tèi ÷u (quy ho¤ch to¡n håc). Nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n cõa ph²p t½nh bi¸n ph¥n cê iºn ¢ cho ta c¡c k¸t qu£ mæ t£ d÷îi d¤ng c¡c ph÷ìng tr¼nh Euler. Khi nghi¶n cùu c¡c b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v  c¡c b i to¡n tèi ÷u ¢ mang l¤i c¡c k¸t qu£ d¤ng nguy¶n lþ cüc ¤i Pontriagin v  quy t­c nh¥n tû Lagrange. Lþ thuy¸t c¡c i·u ki»n tèi ÷u d÷îi ngæn ngú gi£i t½ch h m cõa A. Ya. Dubovitsky v  A. A. Milyutin ra íi n«m 1965, nâ bao h m ÷ñc c¡c k¸t qu£ câ d¤ng l  ph÷ìng tr¼nh Euler, nguy¶n lþ cüc ¤i Pontriagin v  quy t­c nh¥n tû Lagrange. Lþ thuy¸t tèi ÷u hâa ¢ ph¡t triºn tø c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng câ r ng buëc ¸n c¡c b i to¡n tèi ÷u câ r ng buëc, tø b i to¡n tèi ÷u ìn möc ti¶u ¸n b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u, tø b i to¡n tèi ÷u trìn ¸n c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng trìn. Cuèn s¡ch "Optimization and Nonsmooth Analysis" cõa F. H. Clarke [11] ¡nh d§u mët b÷îc ph¡t triºn ð mët giai o¤n mîi cõa gi£i t½ch khæng trìn v  tèi ÷u khæng trìn. Do nhu c¦u cõa kinh t¸ v  khoa håc kÿ thuªt, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ¢ ÷ñc · xu§t bði G. Stampacchia v  cëng sü v o nhúng n«m ¦u cõa thªp ni¶n 60 th¸ k XX. Mæ h¼nh b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 1 vectì h§p d¨n bði nhúng ¡p döng cõa nâ trong tèi ÷u vectì v  c¡c b i to¡n c¥n b¬ng m¤ng giao thæng ([18]). B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian væ h¤n chi·u v  c¡c ùng döng cõa nâ ÷ñc tr¼nh b y trong cuèn s¡ch "An Introdution to Variational Inequalities and Their Applications" cõa D. Kinderlehrer v  G. Stampachia [35]. B i to¡n c¥n b¬ng (equilibrium problem) ÷ñc E. Blum v  W. Oettli [10] ÷a ra l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1994, v  nhanh châng h§p d¨n nhi·u nh  to¡n håc nghi¶n cùu do ph¤m vi ùng döng rëng lîn cõa nâ. B i to¡n c¥n b¬ng vectì âng mët vai trá quan trång trong gi£i t½ch phi tuy¸n, nâ cho ta mët mæ h¼nh to¡n håc hñp nh§t bao gçm nhi·u b i to¡n kh¡c nhau nh÷: B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì; B i to¡n tèi ÷u vectì; B i to¡n iºm b§t ëng; B i to¡n bò vectì; B i to¡n c¥n b¬ng Nash vectì,.... C¡c l¾nh vüc nghi¶n cùu cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì bao gçm: i·u ki»n tèi ÷u; Sü tçn t¤i nghi»m; Thuªt to¡n; T½nh ch§t tªp nghi»m; T½nh ên ành nghi»m; ë nh¤y nghi»m,. . . Trong nhúng n«m g¦n ¥y, nhi·u nghi¶n cùu trong gi£i t½ch khæng trìn ¢ tªp trung ph¡t triºn c¡c lo¤i d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau. C¡c d÷îi vi ph¥n l  nhúng cæng cö tèt º nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u vîi c¡c h m khæng trìn. C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u vîi c¡c dú li»u khæng trìn ¢ v  ang ph¡t triºn m¤nh m³ qua ngæn ngú d÷îi vi ph¥n h m lçi, c¡c d÷îi vi ph¥n F.H.Clarke [11], P. Michel v  J.P. Penot [50], B.S. Mordukhovich [51], J.S. Treiman [64] v  d÷îi vi ph¥n suy rëng trong [31]. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng (convexificator) l  mët cæng cö tèt º thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u khæng trìn. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng lçi, compact l¦n ¦u ti¶n ÷ñc ÷a ra bði V.F. Demyanov [14]. Jeyakumar v  Luc ¢ ÷a ra kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng âng, khæng lçi cho h m væ h÷îng trong [31] v  Jacobian x§p x¿ cho h m vectì trong [32]. Kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n suy rëng l  têng qu¡t hâa mët sè kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n ¢ bi¸t nh÷ c¡c d÷îi vi ph¥n Clarke, MichelPenot, Mordukhovich, Treiman,. . . . Mët sè c¡c nh  khoa håc Vi»t Nam ¢ câ nhúng âng gâp ¡ng kº trong vi»c nghi¶n cùu b i to¡n c¥n b¬ng vectì v  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n nh÷ c¡c gi¡o s÷ H. Töy, D.T. Löc, P.Q. Kh¡nh, P.H. S¡ch, D.V. L÷u, L.D. M÷u, N.D. Y¶n v  nhi·u gi¡o s÷ kh¡c (xem [31], [32], [36][46], [54], [61] [71]). i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì v  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu (xem [10][13], [16][24], [26], [28], [35][49], [52], [54][56], [61], [62], [65], [67] [71]). F. Giannessi, G. Mastroeni v  L. Pellegrini [18] ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì trong khæng gian húu h¤n chi·u. J. Morgan v  M. Romaniello [52] ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u kiºu KuhnTucker cho b i to¡n b§t ¯ng thùc tüa bi¸n ph¥n suy rëng vectì trong khæng gian Hilbert. C¡c i·u ki»n tèi ÷u cho ε-nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì trong khæng gian Banach ¢ ÷ñc X. Q. Yang v  X. Y. Zeng [70] thi¸t lªp. C¡c i·u ki»n tèi ÷u trong [65], [68] ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch thi¸t lªp sü t÷ìng ÷ìng giúa b i to¡n tèi ÷u vectì v  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì. ¢ câ r§t nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu gi£i quy¸t c¡c v§n · tçn t¤i nghi»m v  i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c lo¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì. X. H. Gong [23] ¢ thi¸t lªp i·u ki»n tèi ÷u d÷îi ngæn ngú d÷îi vi ph¥n Clarke v  d÷îi vi ph¥n x§p x¿ cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u, nghi»m húu hi»u Henig, nghi»m si¶u húu hi»u v  nghi»m húu hi»u to n cöc cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì vîi r ng buëc tªp. X. H. Gong [24] ¢ chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v  c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc nân vîi c¡c h m kh£ vi Fr²chet. X. H. Gong [22] ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n v  õ cho nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì lçi câ r ng buëc nân vîi i·u ki»n ch½nh quy Slater. X. X. Long v  c¡c cëng sü [48] ¢ chùng minh c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc nân, r ng buëc tªp vîi c¡c h m kiºu C -d÷îi g¦n lçi (nearly C -subconvexlike). Chó þ r¬ng, d÷îi vi ph¥n MichelPenot l  mët d÷îi vi ph¥n suy rëng. Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v  si¶u húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot l  mët v§n · c¦n thi¸t v  ¥y l  mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n. Y. Feng v  Q. Qui [16] nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc trong khæng gian Banach. D. V. Luu v  D. D. Hang [41] ¢ d¨n i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u, nghi»m húu hi»u, nghi»m húu hi»u to n cöc cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì c¡c r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng qua d÷îi vi ph¥n Clarke, d÷îi vi ph¥n Michel-Penot. D. V. Luu v  D. D. Hang [43] ¢ nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì d÷îi ngæn ngú ph¦n trong tüa t÷ìng èi (quasirelative interior). D. V. Luu v  D. D. Hang [44] chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v  c¡c i·u ki»n õ tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vîi r ng buëc c¥n b¬ng qua d÷îi vi ph¥n Clarke. D. V. Luu [38] ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n Fritz John v  KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì trong khæng gian Banach qua d÷îi vi ph¥n suy rëng, trong â r ng buëc ¯ng thùc khæng nh§t thi¸t kh£ vi Fr²chet. A. Iusem v  F. Lara [28] ¢ ÷a v o lîp h m ti»m cªn v  chùng minh c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u v  húu hi»u y¸u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì khæng lçi v  ¡p döng cho b i to¡n quy ho¤ch th÷ìng. Chó þ r¬ng, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì. Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì khæng trìn câ r ng buëc nân, r ng buëc ¯ng thùc v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng l  mët v§n · c¦n thi¸t v  ¥y l  mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n. B i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u l  mët tr÷íng hñp quan trång cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì. Trong nhúng n«m g¦n ¥y, c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u khæng trìn ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ nghi¶n cùu qua c¡c d÷îi vi ph¥n kh¡c nhau v  ¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ µp v  s¥u s­c. Khi c¡c h» sè cõa h m möc ti¶u v  c¡c h m r ng buëc nhªn gi¡ trà kho£ng, ta nhªn ÷ñc c¡c b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng. C¡c b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng cho ta sü lüa chån khæng ch­c ch­n trong tèi ÷u. i·u ki»n tèi ÷u v  èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ trà kho£ng ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu (xem [7], [8], [29], [30], [53], [66]). H. C. Wu [66] ¢ d¨n c¡c i·u ki»n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ trà kho£ng kh£ vi vîi c¡c r ng buëc b§t ¯ng thùc trong khæng gian húu h¤n chi·u. A. K. Bhurjee v  G. Panda [7, 8] ¢ nghi¶n cùu c¡c nghi»m húu hi»u v  thi¸t lªp c¡c ành lþ èi ng¨u cho b i to¡n quy ho¤ch th÷ìng a möc ti¶u gi¡ trà kho£ng. A. Jayswal, I. StancuMinasian v  J. Banerjee [30] ¢ thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u v  c¡c ành lþ èi ng¨u cho b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n gi¡ trà kho£ng vîi r ng buëc b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng trong khæng gian húu h¤n chi·u. Vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n Fritz John v  KarushKuhnTucker v  c¡c ành lþ èi ng¨u y¸u v  m¤nh kiºu MondWeir v  kiºu Wolfe cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp trong khæng gian Banach d÷îi ngæn ngú d÷îi vi ph¥n suy rëng l  mët v§n · c¦n thi¸t v  ¥y công l  mët nëi dung ÷ñc nghi¶n cùu trong luªn ¡n. Möc ½ch cõa luªn ¡n l  thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot, mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa d÷îi vi ph¥n suy rëng; Chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n v  c¡c i·u ki»n õ cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì vîi r ng buëc nân, r ng buëc ¯ng thùc v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng; Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n Fritz John v  KarushKuhnTucker, c¡c i·u ki»n õ v  c¡c ành lþ èi ng¨u kiºu MondWeir v  kiºu Wolfe cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Nëi dung ch½nh cõa luªn ¡n bao gçm: a) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u Henig àa ph÷ìng v  nghi»m si¶u húu hi»u àa ph÷ìng cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp trong khæng gian Banach vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng v  i·u ki»n ch½nh quy kiºu Abadie qua d÷îi vi ph¥n MichelPenot còng vîi v½ dö minh håa cho k¸t qu£ thu ÷ñc. Vîi c¡c gi£ thi¸t v· t½nh lçi suy rëng, c¡c i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker trð th nh i·u ki»n õ tèi ÷u. C¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc ÷ñc ¡p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v  b i to¡n tèi ÷u vectì. b) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n Fritz John v  KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì khæng trìn câ r ng buëc ¯ng thùc, r ng buëc nân lçi a di»n v  r ng buëc tªp qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Vîi i·u ki»n ch½nh quy kiºu Mangasarian Fromovitz, tø i·u ki»n c¦n Fritz John chóng tæi chùng minh ÷ñc c¡c i·u ki»n KarushKuhnTucker. C¡c v½ dö cö thº minh håa cho c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc. C¡c i·u ki»n õ ÷ñc chùng minh vîi nhúng i·u ki»n v· t½nh lçi suy rëng cho dú li»u cõa b i to¡n. c) Thi¸t lªp c¡c i·u ki»n Fritz John v  KarushKuhnTucker cho nghi»m LU-tèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng vîi c¡c r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp trong khæng gian Bannach qua d÷îi vi ph¥n suy rëng vîi c¡c nghi»m l  ch½nh quy theo ngh¾a Ioffe [27]. Vîi gi£ thi¸t v· t½nh gi£ lçi ti»m cªn cõa h m möc ti¶u v  t½nh tüa lçi ti»m cªn cõa r ng buëc b§t ¯ng thùc v  t½nh tüa tuy¸n t½nh ti»m cªn cõa cõa r ng buëc ¯ng thùc, c¡c i·u ki»n õ cho nghi»m LU-tèi ÷u ÷ñc chùng minh. Thi¸t lªp c¡c ành lþ èi ng¨u m¤nh v  y¸u cho c¡c b i to¡n èi ng¨u kiºu MondWeir v  kiºu Wolfe. Mët sè v½ dö ÷ñc cung c§p º minh håa cho c¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc. Luªn ¡n bao gçm ph¦n mð ¦u, bèn ch÷ìng, k¸t luªn chung, danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè cõa t¡c gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n v  danh möc c¡c t i li»u tham kh£o. Bèn ch÷ìng cõa luªn ¡n câ ti¶u · nh÷ sau: Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc cì sð. • Ch÷ìng 2: i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì qua d÷îi vi • ph¥n MichelPenot. • Ch÷ìng 3: i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. • Ch÷ìng 4: i·u ki»n tèi ÷u cho b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v  ki¸n thùc bê trñ cho c¡c ch÷ìng sau cõa luªn ¡n nh÷: Mët sè ki¸n thùc v· b i to¡n c¥n b¬ng vectì, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v  b i to¡n tèi ÷u vectì; C¡c ành lþ væ h÷îng hâa cho b i to¡n c¥n b¬ng vectì; Mët sè ành ngh¾a v  k¸t qu£ v· c¡c d÷îi vi ph¥n; Mët sè ki¸n thùc v· h m lçi suy rëng. Ch÷ìng 2 thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u v  c¡c i·u ki»n õ tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì vîi c¡c h m Lipschitz àa ph÷ìng trong khæng gian Banach câ r ng buëc ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v  r ng buëc tªp b¬ng cæng cö d÷îi vi ph¥n MichelPenot. Chó þ r¬ng, d÷îi vi ph¥n MichelPenot l  mët d÷îi vi ph¥n suy rëng. C¡c k¸t qu£ â ¢ ÷ñc ¡p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì v  b i to¡n tèi ÷u vectì. Ch÷ìng 3 thi¸t lªp c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u Fritz John cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng bi¸n ph¥n vectì khæng trìn vîi r ng buëc nân, r ng buëc ¯ng thùc v  r ng buëc tªp, trong â nân l  mët a di»n lçi trong khæng gian húu h¤n chi·u v  nghi»m húu hi»u ÷ñc x²t theo mët nân lçi, âng, nhån. Vîi i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz, chóng tæi chùng minh c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u KarushKuhnTucker cho nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì qua d÷îi vi ph¥n suy rëng. Vîi c¡c gi£ thi¸t v· t½nh tüa lçi ti»m cªn cho r ng buëc b§t ¯ng thùc, t½nh tüa tuy¸n t½nh ti»m cªn cho r ng buëc ¯ng thùc, khi â c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u cho nghi»m húu hi»u y¸u trð th nh c¡c i·u ki»n õ tèi ÷u. Trong Ch÷ìng 4, chóng tæi ¢ thi¸t lªp i·u ki»n c¦n Fritz John qua d÷îi vi ph¥n suy rëng cho nghi»m LUtèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n tèi ÷u gi¡ trà kho£ng (CIOP) trong khæng gian Banach. Sû döng i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz (CQ1), tø i·u ki»n c¦n Fritz John chóng tæi chùng minh ÷ñc i·u ki»n c¦n KarushKuhnTucker cho nghi»m LUtèi ÷u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CIOP). Vîi i·u ki»n ch½nh quy kiºu MangasarianFromovitz m¤nh hìn (CQ(s) 2), chóng tæi ¢ ch¿ ra ÷ñc th nh ph¦n kh¡c khæng cõa nh¥n tû Lagrange t÷ìng ùng vîi th nh ph¦n cõa h m möc ti¶u. C¡c i·u ki»n õ cho nghi»m LUtèi ÷u ÷ñc chùng minh vîi c¡c gi£ thi¸t v· t½nh gi£ lçi ti»m cªn cõa h m möc ti¶u, t½nh tüa lçi ti»m cªn cõa r ng buëc b§t ¯ng thùc, t½nh tüa tuy¸n t½nh ti»m cªn cõa r ng buëc ¯ng thùc. C¡c b i to¡n èi ng¨u kiºu Wolfe v  MondWeir ÷ñc nghi¶n cùu, còng vîi c¡c ành lþ èi ng¨u y¸u v  èi ng¨u m¤nh t÷ìng ùng ÷ñc thi¸t lªp. C¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n ÷ñc vi¸t düa v o c¡c cæng tr¼nh [A1 ], [A2 ] v  [A3 ] trong Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n. C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i: - Seminar Tèi ÷u, Vi»n To¡n håc v  Khoa håc Ùng döng Th«ng Long, Khoa To¡n - Tin, ¤i håc Th«ng Long, H  Nëi; - Seminar Nghi¶n cùu sinh cõa Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð º thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ v· i·u ki»n tèi ÷u v  c¡c ành lþ èi ng¨u cho c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng trìn c¦n sû döng c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cõa c¡c d÷îi vi ph¥n v  mët sè k¸t qu£ li¶n quan kh¡c. Trong Ch÷ìng 1, chóng tæi tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc bê trñ c¦n thi¸t cho c¡c ch÷ìng sau cõa luªn ¡n. Möc 1.1 tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m li¶n quan ¸n b i to¡n c¥n b¬ng vectì còng vîi hai tr÷íng hñp ri¶ng l  b i to¡n tèi ÷u vectì v  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vectì vîi c¡c lo¤i nghi»m nh÷: Nghi»m húu hi»u y¸u, húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»u. Möc 1.2 nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa c¡c d÷îi vi ph¥n nh÷ d÷îi vi ph¥n Clarke, d÷îi vi ph¥n MichelPenot, d÷îi vi ph¥n suy rëng, mèi quan h» giúa c¡c d÷îi vi ph¥n v  mët sè k¸t qu£ c¦n sû döng trong c¡c ch÷ìng sau. Möc 1.3 tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ væ h÷îng hâa cõa X.H. Gong [23] cho nghi»m húu hi»u y¸u, nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì. Möc 1.4 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· h m lçi suy rëng l m cì sð thi¸t lªp c¡c i·u ki»n õ tèi ÷u cõa b i to¡n (CVEP). Nëi dung cõa Ch÷ìng 1 ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [1][5], [11], [15], [27], [30], [31], [38], [50], [51], [57], [58]. 1.1 B i to¡n c¥n b¬ng vectì v  c¡c tr÷íng hñp ri¶ng B i to¡n c¥n b¬ng vectì l  mët bë phªn quan trång cõa gi£i t½ch phi tuy¸n v  trong nhúng n«m g¦n ¥y b i to¡n n y ¢ ÷ñc nhi·u t¡c gi£ 9 trong v  ngo i n÷îc quan t¥m nghi¶n cùu. Mët chõ · quan trång cõa b i to¡n c¥n b¬ng vectì m  chóng tæi quan t¥m l  nghi¶n cùu i·u ki»n tèi ÷u cho c¡c nghi»m húu hi»u y¸u, húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»u. Xuy¶n suèt luªn ¡n, ta luæn gi£ sû r¬ng c¡c khæng gian X, Y, Z, W l  c¡c khæng gian Banach. 1.1.1. B i to¡n c¥n b¬ng vectì Cho X, Y, Z v  W l  c¡c khæng gian Banach v  C l  tªp con kh¡c réng cõa X ; Q v  S l¦n l÷ñt l  c¡c nân lçi trong Y v  Z ; F : X × X → Y l  mët song h m vectì vîi F (x, x) = 0, vîi måi x ∈ X ; g : X → Z v  h : X → W l  c¡c ¡nh x¤ r ng buëc. • B i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc, k½ hi»u l  (CVEP), ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m vectì x ∈ K sao cho / −Q\ {0} , vîi måi y ∈ K, F (x, y) ∈ trong â, Q l  nân lçi trong Y v  K = {x ∈ C : g(x) ∈ −S, h(x) = 0} l  tªp ch§p nhªn ÷ñc cõa b i to¡n. N¸u int Q 6= ∅, vectì x ∈ K thäa m¢n / −intQ, vîi måi y ∈ K, F (x, y) ∈ (1.1) ÷ñc gåi l  nghi»m húu hi»u y¸u cõa b i to¡n (CVEP). N¸u tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x sao cho (1.1) thäa m¢n vîi måi y ∈ K ∩ U th¼ x ÷ñc gåi l  nghi»m húu hi»u y¸u àa ph÷ìng cõa b i to¡n (CVEP). Tr÷íng hñp Y = Rr , Z = Rm , W = R` v  c¡c nân Q = Rr+ , S = Rm +, b i to¡n c¥n b¬ng vectì câ r ng buëc (CVEP) câ d¤ng: T¼m x ∈ K sao cho F (x, y) ∈ / −Rr+ \ {0}, vîi måi y ∈ K, (1.2) trong â tªp nhªn ÷ñc  K = x ∈ C : gi (x) ≤ 0, vîi måi i ∈ I; hj (x) = 0, vîi måi j ∈ L , vîi gi , hj (i ∈ I := {1, 2, ..., m} , j ∈ L := {1, 2, ..., `}) l  c¡c h m sè thüc x¡c ành tr¶n Rn v  h m vectì F = (F1 , F2 , ..., Fr ). °t Fx (y) = F (x, y), Fk,x (y) = Fk (x, y), vîi måi k ∈ {1, 2, .., r} v  gi£ sû r¬ng Fx (x) = 0. Khi â, vectì x ∈ K l  nghi»m húu hi»u àa ph÷ìng (t.÷., nghi»m húu hi»u y¸u àa ph÷ìng) cõa b i to¡n (CVEP) n¸u tçn t¤i δ > 0 sao cho khæng tçn t¤i y ∈ K ∩ B(x, δ) thäa m¢n Fk,x (y) ≤ 0, vîi måi k ∈ J; Fs,x (y) < 0, vîi ½t nh§t mët s ∈ J; (t.÷., Fk,x (y) < 0, vîi måi k ∈ J). Ti¸p theo, chóng tæi x¥y düng c¡c lo¤i nghi»m cán l¤i cho b i to¡n (CVEP). Gåi Y ∗ l  khæng gian èi ng¨u cõa khæng gian Y . Kþ hi»u, Q∗ l  nân èi ng¨u cõa nân Q ⊂ Y nh÷ sau:  Q∗ = y ∗ ∈ Y : hy ∗ , yi ≥ 0, vîi måi y ∈ Q . Tüa ph¦n trong (quasi-interior) cõa Q∗ l  Q# ÷ñc ành ngh¾a bði  Q# = y ∗ ∈ Y ∗ : hy ∗ , yi > 0, vîi måi y ∈ Q\ {0} . Mët tªp con lçi kh¡c réng B cõa Q ÷ñc gåi l  mët cì sð cõa nân Q n¸u Q = coneB v  0 ∈ / clB. Cho B l  cì sð cõa Q, k½ hi»u  Q4 (B) = y ∗ ∈ Q# : ∃t > 0 thäa m¢n hy ∗ , yi ≥ t, vîi måi b ∈ B . Theo X.H. Gong [23], ta câ Q4 (B) 6= ∅. Sû döng ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi ríi nhau {0} v  B , suy ra tçn t¤i y ∗ ∈ Y ∗ \ {0} sao cho α = inf {hy ∗ , bi : b ∈ B} > y ∗ (0) = 0. X²t mët l¥n cªn VB tuy»t èi lçi, mð cõa 0 ∈ Y (xem trong [23]) n αo ∗ VB = y ∈ Y : | hy , yi | < . 2 Khi â, ta ÷ñc inf {hy ∗ , yi : y ∈ B + VB } ≥ α . 2 Vîi méi mët l¥n cªn lçi U cõa 0 vîi U ⊆ VB , ta câ 0 ∈ / cl(B + U ). M°t kh¡c, tªp QU (B) = cone(U + B) l  mët nân lçi nhån v  Q\ {0} ⊆ intQU (B). ành ngh¾a 1.1. ([3]) Gi£ sû A l  mët tªp con cõa khæng gian X . a) A ÷ñc gåi l  lçi, n¸u vîi måi x, y ∈ A, vîi måi λ, µ ≥ 0 : λ + µ = 1, ta ·u câ λx + µy ∈ A; b) A ÷ñc gåi l  c¥n, n¸u vîi måi x, y ∈ A, vîi måi λ : |λ| ≤ 1, ta ·u câ λx ∈ A; c) A ÷ñc gåi l  tuy»t èi lçi, n¸u A lçi v  c¥n. Düa tr¶n c¡ch mæ t£ tr¶n, c¡c ành ngh¾a v· nghi»m húu hi»u Henig v  nghi»m si¶u húu hi»u ÷ñc tr¼nh b y nh÷ sau. ành ngh¾a 1.2. ([23]) Vectì x ∈ K gåi l  nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP) n¸u tçn t¤i l¥n cªn tuy»t èi lçi mð U cõa 0 vîi U ⊆ VB sao cho coneF (x, K) ∩ (−intQU (B)) = ∅, trong â, F (x, K) = S y∈K F (x, y). Do QU (B) l  nân lçi nhån, x l  nghi»m húu hi»u Henig n¸u v  ch¿ n¸u F (x, K) ∩ (−intQU (B)) = ∅. (1.3) L÷u þ r¬ng, x ∈ K l  nghi»m húu hi»u Henig cõa b i to¡n (CVEP) n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i l¥n cªn tuy»t èi lçi mð U cõa 0 vîi U ⊆ VB sao cho (xem [23]) coneF (x, K) ∩ (U − B) = ∅. (1.4) ành ngh¾a 1.3. ([23]) Vectì x ∈ K gåi l  nghi»m si¶u húu hi»u cõa b i to¡n (CVEP) n¸u vîi méi mët l¥n cªn V cõa 0, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa 0 sao cho coneF (x, K) ∩ (U − Q) ⊆ V. (1.5)
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan