SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
x
3
sin x 1 tan x.tan tan x 2 3
.
2
2
cos
x
Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân
3
2
biệt lập thành một cấp số nhân: x 7 x (m 6) x m 0.
S
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tổng
1
1
1
2 2
2
A2 A3
A2016
Câu 4 (1,0 điểm). Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5
cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh
A, B, C , D, E , F , G , H , I , mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự
các cuốn sách). Tính xác suất để hai học sinh A và B nhận được phần thưởng giống nhau.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số
a) Chứng minh rằng dãy
xn
xn
2
được xác định bởi: x1 2016, xn1 xn xn 1, n 1, 2,3,...
tăng và lim xn .
1 1
1
yn 2016 ... .
xn
x1 x2
b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt
Tính lim yn .
Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc
ABCD
với mặt phẳng
. Biết AB a, BC a 3 và SD a 5.
a) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I , J . Gọi
H là hình chiếu vuông góc của A trên SC . Hãy xác định các giao điểm K , L của SB, SD với
HIJ và chứng minh rằng AK SBC .
b) Tính diện tích tứ giác AKHL.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , M là
7
K 3;
3 là trọng tâm tam giác ACM .
trung điểm của AB . Đường thẳng CM : y 3 0 và
D 1; 4
Đường thẳng AB đi qua điểm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M
có hoành độ dương và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng
2 x y 4 0.
Câu 8 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện xyz 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
P xy yz zx 15 x 2 y 2 z 2 7 x y z 1
------Hết------
.
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh…………………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11 - THPT
(Đáp án có 04 trang)
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm
theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Câu 6 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
1
(2,0 điểm)
x
cos x.cos 0
2
ĐKXĐ:
. Phương trình đã cho tương đương
x
x
0,5
cos x.cos 2 sin x.sin 2
2
sin x
tan x 2 3 3 3 tan x
x
cos x.cos
2
sin x
tan x 2 3 3 3 tan 2 x
0,25
cosx
1
tan x
.
0,5
2
3 tan x 2 tan x 3 0 tan x 3 hoặc
3
k .
3
1
tan x
x k .
6
3
tan x 3 x
2
Kiểm tra ĐK thỏa mãn. Vậy nghiệm của PT là
(1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương
0,25
0,25
x
k ; x k , k �.
3
6
x 1
( x 1)( x 2 6 x m) 0 2
x 6 x m 0 (1)
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt
' 9 m 0
m 9
2
1 6.1 m 0
m 5 (*).
khác 1, hay:
Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm x1 , x2 và x3 1 , trong đó x1 , x2 là nghiệm của (1).
x1 x2 6
x .x m
Theo định lý Viet ta có 1 2
(2).
Xét các trường hợp sau:
*) Nếu x1.x3 x x1 x (3). Từ (2) và (3) ta có hệ:
2
2
2
2
0,25
0,25
0,25
0,25
x1 x2 6
x1.x2 m
2
x1 x2
x22 x2 6 0
x2 2; x1 4; m 8
2
x1 x2
x2 3; x1 9; m 27
3
m
x
2
m 1
x1 x2 6
x .x 1
1 2
0,25
2
*) Nếu x1.x2 x3 x1.x2 1 (4). Từ (2) và (4) ta có hệ:
Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m 1, m 8, m 27 .
3
(1,0 điểm)
Ta có
Ak2
k!
1
1
, k 2.
2
(k 2)!
Ak k (k 1)
0,25
1
1
1
.
2
Suy ra Ak k 1 k
4
0,25
1 1 1
1
1
S 1
.
2 2 3
2015 2016
Cho k 2,3,..., 2016 ta được
1
2015
S 1
.
2016 2016
Vậy
(1,0 điểm)
Gọi
x, y, z ( x, y, z ��)
0,25
0,25
lần lượt là số học sinh được nhận các bộ giải thưởng (Toán-Lý);
(Toán-Hóa) và (Lý-Hóa). Ta có hệ:
x + y = 7 �x = 4
�
�
�
�
�
�x + z = 6 � �y = 3
�
�
�
�z = 2
�
�y + z = 5 �
�
0,25
.
2
Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh là: C .C .C2 = 1260.
Gọi T là biến cố “hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau”.
2
3
2
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Lý), có: C7 .C5 .C2 = 210 cách phát.
1
4
2
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Hóa) có: C7 .C6 .C2 = 105 cách phát.
4
9
3
5
C 4 .C 3 = 35
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Lý- Hóa) có: 7 3
cách phát.
210 +105 + 35 5
P(T ) =
= .
1260
18
Vậy xác suất cầm tìm là
5
0,25
0,25
0,25
a (0,5 điểm)
Ta có
xn 1
xn xn2 2 xn 1
xn
1
2
0
xn1
xn , n 1.
Do đó
xn
tăng.
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng xn n 1, n 1 (1). Thật vậy, (1) đúng với
n 1 .Giả sử (1) đúng với n (n 1) thì
xn 1 xn xn 1 1 n( n 1) 1 n 2 n 1 n 2
Vậy (1) đúng với mọi n. Từ
b (0,5 điểm)
Ta có
xn+1 - 1 = xn ( xn - 1)
xn
0,25
0,25
tăng ngặt và xn n 1, n 1 suy ra lim xn .
. Suy ra
1
1
1
1
=
=
.
xn+1 - 1 xn ( xn - 1) xn - 1 xn
0,25
1
1
1
=
.
x
x
1
x
1
n
n
n
+
1
Từ đó
1 1
1
1
1
1
1
yn 2016 ... 2016
2016
xn
x1 x2
x1 1 xn 1 1
2015 xn 1 1
Do đó
1
2016
lim xn lim 0
lim yn
.
x
n
2015
Từ
. Vậy
6
a(1,0 điểm).
( SBC ) gọi K = SB �IH � K = SB �( HIJ )
( SCD) gọi L = SD �JH � L = SD �( HIJ )
Trong
Trong
0,5
�
IJ ^ AC
�
� IJ ^ ( SAC ) � IJ ^ SC
�
�
SC ^ ( IJH ) .
IJ
^
SA
�
Ta có
, mà AH ^ SC . Suy ra
BC ^ ( SAB ) � BC ^ AK
AK ^ ( SBC ) .
Suy ra AK ^ SC . Mà
. Vậy
b(1,0 điểm).
SA. AC
2a
SA. AB
2a
AH =
=
AK =
=
2
2
3;
6
SA2 + AC 2
SA2 + AB 2
Ta có SA = SD - AD = a 2 ;
Do
AK ^ ( SBC ) � AK ^ KH
Tương tự phần (a) thì
7
0,25
KH = AH 2 - AK 2 =
, do đó
AL ^ ( SCD ) � AL ^ HL
S AKHL = S AKH + S ALH
Suy ra
(1,0 điểm).
2a
6.
. Từ đó tính được
a 2
LH = AH 2 - AL2 =
.
15
1
1
8a 2
= AK .KH + AL.LH =
.
2
2
15
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trước hết ta chứng minh MC ^ IK .
Thật vậy, gọi H , N lần lượt là trung điểm BC , AC ; G = AH �CM . Suy ra G là trọng
tâm tam giác ABC. Mặt khác K là trọng tâm tam giác ACM nên KG || HE . Suy ra 0,25
KG || AB . Mà IM ^ AB nên KG ^ IM .
Rõ ràng AH ^ MK nên G là trực tâm tam giác MIK . Suy ra MC ^ IK .
Đường thẳng KI qua K và vuông góc với CM nên có phương trình: x + 3 = 0.
�
�x =- 3
x +3 = 0
�
��
� I ( - 3; - 2) .
�
�
�
�
Tọa độ I thỏa mãn hệ �2 x - y + 4 = 0 �y =- 2
uuuu
r
uuu
r
DM = ( m - 1; - 1) ; IM = ( m + 3;5) .
M ( m;3) �MC , m > 0.
Gọi
Ta có
uuuu
r uuur
�
m =- 4 (l )
DM ^ IM � DM .IM = 0 � ( m - 1)( m + 3) - 5 = 0 � m 2 + 2m - 8 = 0 � �
�
m = 2 (tm)
�
uuuu
r
M ( 2;3) DM = (1; - 1)
C ( c;3) �CM
Suy ra
,
. Từ đó suy ra AB : x + y - 5 = 0. Gọi
.
0,25
7
K 3;
3 là trọng tâm ACM nên A( - 11- c;1) . Mà A �AB suy ra
Do
0,25
- 11- c +1- 5 = 0 � c =- 15.
A( 4;1) , B ( 0;5) , C ( - 15;3) .
Từ đó
Thử lại ta thấy AB �AC . Suy ra không tồn tại
A,B,C .
8
(1,0 điểm).
P xy ya ax 15 x 2 y 2 a 2 7 x y a 1.
xya
1
Đặt a z thì
và
Xét hai trường hợp:
* Nếu cả 3 số x, y, a đều âm. Áp dụng BĐT Côsi ta được
xy + ya + ax �3 3 x 2 y 2 a 2 = 3
15 x 2 + y 2 + a 2 - 7 ( x + y + a ) �15 3 3 x 2 y 2 a 2 + 7.3 3 - xya = 15 3 + 21 > 16
Suy ra P > 48 +1 = 49.
* Nếu trong 3 số x, y , a có một số âm, hai số dương. Không mất tổng quát, giả sử
x < 0, y > 0, a > 0. Đặt x1 = - x > 0. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được
3 x12 + y 2 + a 2 �2 y + 2a + x1
0,25
.
0,25
0,25
�1 1 1 �
�
�
P ��
5 ( 2 y + 2a + x1 ) - 7 ( y + a - x1 ) �
+1.
� + + �
�
�
�
�
�x1 y a �
Do đó
2
�1
�
�1 1 1 �
1
1
�
�
�
P �3�
+ + �
.2 x1 +
. y+
. a�
+1 = 49.
( 4 x1 + y + a ) +1 �3�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x
y
a
�x1 y a �
� 1
�
0,25
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y = a = 2 x1 > 0 và x1 ya = 1 hay
3
�
2�
�
3
3
�
2
�
x
,
y
,
z
=�
2,
2,
.
(
)
�
x =.
�
3
�
�
2
P
=
49
�
�
y = a = 2 và
2 Vậy min
, chẳng hạn khi
3
-------Hết-------
0,25
- Xem thêm -
.DOCX 
6 
660 
124 
