Tài liệu đề và đáp án thi hsg tỉnh vĩnh phúc năm 2016 môn toán 11

  • Số trang: 6 |
  • Loại file: DOCX |
  • Lượt xem: 281 |
  • Lượt tải: 0
phuongtran99439

Tham gia: 26/07/2016

Mô tả:

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 - THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. x 3  sin x 1  tan x.tan   tan x  2 3  . 2 2 cos x   Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình Câu 2 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân 3 2 biệt lập thành một cấp số nhân: x  7 x  (m  6) x  m  0. S Câu 3 (1,0 điểm). Tính tổng 1 1 1  2   2  2 A2 A3 A2016 Câu 4 (1,0 điểm). Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh A, B, C , D, E , F , G , H , I , mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách). Tính xác suất để hai học sinh A và B nhận được phần thưởng giống nhau. Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số a) Chứng minh rằng dãy  xn   xn  2 được xác định bởi: x1  2016, xn1  xn  xn  1, n  1, 2,3,... tăng và lim xn   . 1 1 1 yn  2016    ...  . xn   x1 x2 b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt Tính lim yn . Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc ABCD  với mặt phẳng  . Biết AB  a, BC  a 3 và SD  a 5. a) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I , J . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC . Hãy xác định các giao điểm K , L của SB, SD với  HIJ  và chứng minh rằng AK   SBC  . b) Tính diện tích tứ giác AKHL. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , M là 7  K  3;  3  là trọng tâm tam giác ACM . trung điểm của AB . Đường thẳng CM : y  3  0 và  D 1; 4 Đường thẳng AB đi qua điểm   . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M có hoành độ dương và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng 2 x  y  4  0. Câu 8 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện xyz  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P   xy  yz  zx  15 x 2  y 2  z 2  7  x  y  z   1 ------Hết------ . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11 - THPT (Đáp án có 04 trang) I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Câu 6 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (2,0 điểm) x cos x.cos  0 2 ĐKXĐ: . Phương trình đã cho tương đương x x  0,5  cos x.cos 2  sin x.sin 2  2 sin x    tan x  2 3  3  3 tan x x   cos x.cos  2  sin x   tan x  2 3  3  3 tan 2 x 0,25 cosx 1 tan x   . 0,5 2  3 tan x  2 tan x  3  0  tan x  3 hoặc 3   k . 3 1  tan x    x    k . 6 3 tan x  3  x  2 Kiểm tra ĐK thỏa mãn. Vậy nghiệm của PT là (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương 0,25 0,25 x    k ; x    k , k  �. 3 6 x  1 ( x  1)( x 2  6 x  m)  0   2 x  6 x  m  0 (1) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt  '  9  m  0 m  9    2 1  6.1  m  0  m  5 (*). khác 1, hay:  Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm x1 , x2 và x3  1 , trong đó x1 , x2 là nghiệm của (1).  x1  x2  6  x .x  m Theo định lý Viet ta có  1 2 (2). Xét các trường hợp sau: *) Nếu x1.x3  x  x1  x (3). Từ (2) và (3) ta có hệ: 2 2 2 2 0,25 0,25 0,25 0,25  x1  x2  6   x1.x2  m   2  x1  x2  x22  x2  6  0   x2  2; x1  4; m  8 2    x1  x2  x2  3; x1  9; m  27  3 m  x 2  m  1   x1  x2  6  x .x  1  1 2 0,25 2 *) Nếu x1.x2  x3  x1.x2  1 (4). Từ (2) và (4) ta có hệ: Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m  1, m  8, m  27 . 3 (1,0 điểm) Ta có Ak2  k! 1 1   , k  2. 2 (k  2)! Ak k (k  1) 0,25 1 1 1   . 2 Suy ra Ak k  1 k 4 0,25 1 1 1 1 1 S  1       . 2 2 3 2015 2016 Cho k  2,3,..., 2016 ta được 1 2015 S  1  . 2016 2016 Vậy (1,0 điểm) Gọi x, y, z ( x, y, z ��) 0,25 0,25 lần lượt là số học sinh được nhận các bộ giải thưởng (Toán-Lý); (Toán-Hóa) và (Lý-Hóa). Ta có hệ: x + y = 7 �x = 4 � � � � � �x + z = 6 � �y = 3 � � � �z = 2 � �y + z = 5 � � 0,25 . 2 Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh là: C .C .C2 = 1260. Gọi T là biến cố “hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau”. 2 3 2 +) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Lý), có: C7 .C5 .C2 = 210 cách phát. 1 4 2 +) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Hóa) có: C7 .C6 .C2 = 105 cách phát. 4 9 3 5 C 4 .C 3 = 35 +) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Lý- Hóa) có: 7 3 cách phát. 210 +105 + 35 5 P(T ) = = . 1260 18 Vậy xác suất cầm tìm là 5 0,25 0,25 0,25 a (0,5 điểm) Ta có xn 1  xn xn2 2 xn 1  xn 1 2 0 xn1 xn , n 1. Do đó  xn  tăng. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng xn  n  1, n  1 (1). Thật vậy, (1) đúng với n  1 .Giả sử (1) đúng với n (n  1) thì xn 1  xn  xn  1  1  n( n  1)  1  n 2  n  1  n  2 Vậy (1) đúng với mọi n. Từ b (0,5 điểm) Ta có xn+1 - 1 = xn ( xn - 1)  xn  0,25 0,25 tăng ngặt và xn  n  1, n  1 suy ra lim xn   . . Suy ra 1 1 1 1 = = . xn+1 - 1 xn ( xn - 1) xn - 1 xn 0,25 1 1 1 = . x x 1 x 1 n n n + 1 Từ đó 1 1  1  1 1 1  1  yn  2016    ...    2016      2016   xn   x1 x2  x1  1 xn 1  1   2015 xn 1  1  Do đó 1 2016 lim xn    lim  0 lim yn  . x n 2015 Từ . Vậy 6 a(1,0 điểm). ( SBC ) gọi K = SB �IH � K = SB �( HIJ ) ( SCD) gọi L = SD �JH � L = SD �( HIJ ) Trong Trong 0,5 � IJ ^ AC � � IJ ^ ( SAC ) � IJ ^ SC � � SC ^ ( IJH ) . IJ ^ SA � Ta có , mà AH ^ SC . Suy ra BC ^ ( SAB ) � BC ^ AK AK ^ ( SBC ) . Suy ra AK ^ SC . Mà . Vậy b(1,0 điểm). SA. AC 2a SA. AB 2a AH = = AK = = 2 2 3; 6 SA2 + AC 2 SA2 + AB 2 Ta có SA = SD - AD = a 2 ; Do AK ^ ( SBC ) � AK ^ KH Tương tự phần (a) thì 7 0,25 KH = AH 2 - AK 2 = , do đó AL ^ ( SCD ) � AL ^ HL S AKHL = S AKH + S ALH Suy ra (1,0 điểm). 2a 6. . Từ đó tính được a 2 LH = AH 2 - AL2 = . 15 1 1 8a 2 = AK .KH + AL.LH = . 2 2 15 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trước hết ta chứng minh MC ^ IK . Thật vậy, gọi H , N lần lượt là trung điểm BC , AC ; G = AH �CM . Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt khác K là trọng tâm tam giác ACM nên KG || HE . Suy ra 0,25 KG || AB . Mà IM ^ AB nên KG ^ IM . Rõ ràng AH ^ MK nên G là trực tâm tam giác MIK . Suy ra MC ^ IK . Đường thẳng KI qua K và vuông góc với CM nên có phương trình: x + 3 = 0. � �x =- 3 x +3 = 0 � �� � I ( - 3; - 2) . � � � � Tọa độ I thỏa mãn hệ �2 x - y + 4 = 0 �y =- 2 uuuu r uuu r DM = ( m - 1; - 1) ; IM = ( m + 3;5) . M ( m;3) �MC , m > 0. Gọi Ta có uuuu r uuur � m =- 4 (l ) DM ^ IM � DM .IM = 0 � ( m - 1)( m + 3) - 5 = 0 � m 2 + 2m - 8 = 0 � � � m = 2 (tm) � uuuu r M ( 2;3) DM = (1; - 1) C ( c;3) �CM Suy ra , . Từ đó suy ra AB : x + y - 5 = 0. Gọi . 0,25  7 K  3;  3  là trọng tâm ACM nên A( - 11- c;1) . Mà A �AB suy ra Do  0,25 - 11- c +1- 5 = 0 � c =- 15. A( 4;1) , B ( 0;5) , C ( - 15;3) . Từ đó Thử lại ta thấy AB �AC . Suy ra không tồn tại A,B,C . 8 (1,0 điểm).   P   xy  ya  ax  15 x 2  y 2  a 2  7  x  y  a   1. xya   1 Đặt a   z thì và Xét hai trường hợp: * Nếu cả 3 số x, y, a đều âm. Áp dụng BĐT Côsi ta được xy + ya + ax �3 3 x 2 y 2 a 2 = 3 15 x 2 + y 2 + a 2 - 7 ( x + y + a ) �15 3 3 x 2 y 2 a 2 + 7.3 3 - xya = 15 3 + 21 > 16 Suy ra P > 48 +1 = 49. * Nếu trong 3 số x, y , a có một số âm, hai số dương. Không mất tổng quát, giả sử x < 0, y > 0, a > 0. Đặt x1 = - x > 0. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được 3 x12 + y 2 + a 2 �2 y + 2a + x1 0,25 . 0,25 0,25 �1 1 1 � � � P �� 5 ( 2 y + 2a + x1 ) - 7 ( y + a - x1 ) � +1. � + + � � � � � �x1 y a � Do đó 2 �1 � �1 1 1 � 1 1 � � � P �3� + + � .2 x1 + . y+ . a� +1 = 49. ( 4 x1 + y + a ) +1 �3� � � � � � � � � � x y a �x1 y a � � 1 � 0,25 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y = a = 2 x1 > 0 và x1 ya = 1 hay 3 � 2� � 3 3 � 2 � x , y , z =� 2, 2, . ( ) � x =. � 3 � � 2 P = 49 � � y = a = 2 và 2 Vậy min , chẳng hạn khi 3 -------Hết------- 0,25
- Xem thêm -