Mô tả:
1
Phßng Gi¸o dôc- §µo t¹o
®Ò thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn
n¨m häc 2008 - 2009
m«n: To¸n 6
*****
®Ò chÝnh thøc
(Thêi gian lµm bµi: 120 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
§Ò thi nµy gåm 1 trang
Bµi 1: (6 ®iÓm)
C©u 1: TÝnh:
a) 2008.57 1004.( 86) : 32.74 16.( 48)
b) 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – … + 2006 – 2007 – 2008 + 2009
C©u 2: Cho: A =
B=
TÝnh
1 1 1 1
1
1
.................
2 3 4 5
308 309
308 307 306
3
2
1
...................
1
2
3
306 307 308
A
?
B
Bµi 2: (5 ®iÓm)
C©u 1: T×m sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng khi chia sè ®ã cho c¸c sè 25 ; 28 ; 35 th×
®îc c¸c sè d lÇn lît lµ 5 ; 8 ; 15.
2
C©u 2: T×m x biÕt:
1
1 2
0
16
x 3
Bµi 3: (3 ®iÓm) Cho a ; b lµ hai sè chÝnh ph¬ng lÎ liªn tiÕp.
Chøng minh r»ng: (a – 1).( b – 1) 192
Bµi 4: (4 ®iÓm)
T×m sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè abcd biÕt nã tho¶ m·n c¶ 3 ®iÒu kiÖn sau:
1) c lµ ch÷ sè tËn cïng cña sè M = 5 + 52 + 53 + … + 5101
2) abcd 25
3) ab a b 2
Bài 5: (2 ®iÓm)
C©u 1: Cã hay kh«ng mét sè nguyªn tè mµ khi chia cho 12 th× d 9? Gi¶i thÝch?
C©u 2: Chøng minh r»ng: Trong 3 sè nguyªn tè lín h¬n 3, lu«n tån t¹i 2 sè nguyªn tè
mµ tæng hoÆc hiÖu cña chóng chia hÕt cho 12.
2
®¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm thi häc sinh giái
n¨m häc 2008 - 2009
m«n: To¸n 6
Phßng Gi¸o dôc- §µo t¹o
*****
Bµi 1: (6 ®iÓm)
C©u 1:
a) KÕt qu¶ :
251
= - 1 25,5
2
(2 ®iÓm)
(2 ®iÓm)
b) KÕt qu¶: 1
C©u 2: (2 ®iÓm)
308 307 306
3
2
1
...................
1
2
3
306 307 308
307
306
305
3
2
1
B = 1
1
1
......... 1
1
1
1 (0,75®)
2
3
4
306
307
308
309 309 309
309 309 309
B=
(0,5®)
..........
2
3
4
307 308 309
1 1 1 1
1
1
B = 309. .................
308 309
2 3 4 5
B=
(0,5®)
(0,25®)
B = 309.A
A
A
1
B 309. A 309
Bµi 2: (5®)
a) (2,75 ®) Gäi sè tù nhiªn ph¶i t×m lµ x.
- Tõ gi¶ thiÕt suy ra (x 20) 25 vµ (x 20) 28 vµ (x 20) 35 x+ 20 lµ béi chung
cña 25; 28 vµ 35.
(1 ®)
- T×m ®îc BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 k N .
(1 ®)
- V× x lµ sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè suy ra x 999 x 20 1019 suy ra k = 1 suy ra
x + 20 = 700 suy ra x = 680.
(0,75 ®).
b) (2,25 ®)
2
- Tõ gi¶ thiÕt ta cã: 1 2 1 (1)
x 3
16
(0,25 ®).
2
1 2 1
1 2
1
- V× 1 1 nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi hoÆc
16
x
4
- Tõ ®ã t×m ra kÕt qu¶ x =
12
12
hoÆc x =
11
5
3
4
x
3
4
(1 ®)
(1 ®)
Bµi 3: (3®)
- ChØ ra d¹ng cña a,b lµ: a = 2k 1 2 vµ b = 2k 1 2 (Víi k N * )
(0,5®)
2
- Suy ra a – 1 = (2k – 1)(2k – 1) – 1 = ....... = 4k – 4k + 1 – 1 = 4k.(k – 1)
(0,5®)
b – 1 = (2k + 1)(2k + 1) – 1 = ....... = 4k2+ 4k + 1 – 1 = 4k(k + 1)
(0,5®)
(a – 1)(b – 1) = 16k(k – 1)k(k + 1)
(0,5®)
Tõ ®ã lËp luËn k(k – 1)k(k + 1) 4 vµ k(k – 1)(k + 1) 3
(0,75®)
mµ (4; 3 ) = 1 k (k – 1)k(k + 1) 4.3 suy ra (a – 1)(b – 1) 16.4.3
(a – 1)(b – 1) 192 (®pcm)
(0,25®)
Bµi 4: (4®)
- Tõ gi¶ thiÕt dÉn ®Õn ®iÒu kiÖn: a,b,c,d N; 1 a 9; 0 b;c;d 9
(0,5 ®)
3
- Lý luËn dÉn ®Õn M cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5 c = 5
(0,75 ®)
- Tõ ®iÒu kiÖn: abcd 25, lý luËn dÉn ®Õn (10c + d) 25, tõ ®ã t×m ®îc d = 0 ( 0,75 ®)
- Tõ ®iÒu kiÖn: ab = a + b2
10a + b = a + b2
= b2 – b
9a
9a = b(b – 1)
(0,5 ®)
Lý luËn dÊn ®Õn b(b – 1) 0 vµ b(b – 1) 9
(0,5 ®)
Mµ b vµ b -1 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau; 0 < b – 1< 9 b(b – 1) 9 chØ khi b 9
(0,75
a=8
®)
KÕt luËn: Sè cÇn t×m 8950
(0,25 ®)
Bµi 5: (2 ®iÓm):.
C©u 1:
- Kh«ng thÓ cã mét sè nguyªn tè mµ khi chia cho 12 th× d 9. V×: nÕu cã sè tù nhiªn a mµ
khi chia cho 12 d 9 th× a = 12.k + 9 ; k N a 3 vµ a 3 a lµ hîp sè, kh«ng thÓ lµ
sè nguyªn tè.
(0,75 ®).
C©u 2: (1,25 ®).
- Mét sè tù nhiªn bÊt kú khi chia cho 12 th× cã sè d lµ mét trong 12 sè sau: 0; 1; 2; ...; 11
- Chøng minh t¬ng tù c©u 1 ta cã: mét sè nguyªn tè lín h¬n 3 (bÊt kú) khi chia cho 12
kh«ng thÓ cã sè d lµ 2; 3; 4; 6; 8; 10.
(0,25 ®)
- Suy ra mét sè nguyªn tè lín h¬n 3 khi ®em chia cho 12 th× ®îc sè d lµ mét trong 4 gi¸
trÞ : 1; 5; 7; 11.
(0,25 ®)
- Chia c¸c sè nguyªn tè lín h¬n 3 thµnh hai nhãm :
+ Nhãm 1: Gåm c¸c sè nguyªn tè khi chia cho 12 th× d 1 hoÆc 11 .
+ Nhãm 2: Gåm c¸c sè nguyªn tè khi chia cho 12 th× d 5 hoÆc 7.
(0,25 ®)
- Gi¶ sö p1; p2; p3 lµ ba sè nguyªn tè bÊt kú lín h¬n 3. Cã ba sè nguyªn tè, chØ n»m ë hai
nhãm, theo nguyªn lý Dirichle th× trong ba sè nguyªn tè trªn, tån t¹i Ýt nhÊt hai sè nguyªn
tè cïng thuéc mét nhãm , ch¼ng h¹n p1 vµ p2 cïng thuéc mét nhãm:
+ NÕu p1 vµ p2 khi chia cho 12 cã sè d kh¸c nhau (tøc lµ d 1 vµ 11; hoÆc 5 vµ 7) th×
p1 + p2 = 12 k1 + 1 + 12 k2 + 11 = 12(k1+ k2) + 12 ; k1 ; k2 N suy ra p1 + p2 12 .
hoÆc p1 + p2 = 12 n1 + 5 + 12 n2 + 7 = 12(n1+ n2) + 12 ; n1 ; n2 N suy ra p1 + p2 12 .
+ NÕu p1 vµ p2 khi chia cho 12 cã sè d b»ng nhau th× hiÖu p1 – p 2 12 .
(0,5 ®)
4
- Xem thêm -