Tài liệu đề toán lớp 9 năm học 2013 2014

UBND HUYÊÊN HÒA BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYÊÊN NĂM HỌC 2013 -2014 MÔN : TOÁN LỚP : 9 Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (5 điểm) Chứng minh: 42n - 32n – 7 M24 (n  1) Câu 2: ( 5 điểm ) a) Giải phương trình: 2 x  2  2 2 x  3  2 x  13  8 2 x  3  7 b) Giải hệ phương trình: 3xy  4 x  y   5 yz  6 y  z  7 zx  8 z  x   Câu 3: ( 5 điểm ) a) Chứng minh rằng: 2013 + 2014 2014 > 2013 2013 + 2014 b) Cho x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2 Câu 4: ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng. b) Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC. c) Cho AB = 6 cm; AC = 8 cm. Tính diện tích tứ giác MDEN. -----Hết----- 1 UBND HUYÊÊN HÒA BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYÊÊN NĂM HỌC 2013 -2014 MÔN : TOÁN LỚP : 9 Thời gian : 150 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: ( 5 điểm) Ta có: 42n - 32n -7=16n - 9n -7 Chứng minh 16n - 9n -7 M3 Vì 16 1(mod 3) 16n 1(mod 3) 9  0(mod 3)  9n 0(mod 3) 7  1(mod 3) Nên 16n  9n  7  1  0  1  0(mod 3) Chứng minh 16n - 9n -7 M8 Vì 16  0(mod 8) 16n 0(mod 8) 9 1(mod 8) 9 n 1(mod 8) 7  1(mod 8) Nên 16n  9n  7  0  1  1  0(mod 8) Mà: (3;8)=1 Do đó : 16n - 9n -7 M24 Vậy: 42n - 32n -7 M24 (n 1) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) (0.25đ) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) (0.25đ) (0.5đ) (0.25đ) (0.25đ) (0.5đ) Câu 2: ( 5 điểm) a) (2 điểm) Điều kiện: x  3 2 (0.25đ) 2 x  2  2 2 x  3  2 x  13  8 2 x  3  7  2 x  3  2 2 x  3  1  2 x  3  2.4 2 x  3  16  7 (0.25đ) 2  ( 2 x  3  1) 2  ( 2 x  3  4) 2  7 (0.25đ)  2x  3 1  (0.25đ)  2x  3 1 2x  3  4  7 2x  3  4  7 (0.25đ) (0.25đ)  2 2x  3  2  2x  3  1  x  2 (TMĐK) (0.25đ) (0.25đ) Vậy nghiệm của phương trình là x=2 b) (3 điểm) + Dễ thấy x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ đã cho ( 0,5 đ) + Xét trường hợp x, y, z  0, hệ pt được viết như sau: 1 1 3 x  y  4  1 1 5 (I) ( 0,75 đ)    y z 6  1 1 7    z x 8 Cộng theo vế ba phương trình của hệ pt (I) ta được: 1 1 1 59 1 1 1 59 2         ( 1) x y z 48  x y z  24 ( 0,75 đ) Lấy (1) trừ theo vế lần lượt các pt của hệ (I ) ta được: 48 z = 23 ; x = 48 19 ;y= 48 17 ( 0,75 đ) 48 48 48 Vậy hệ pt có hai nghiệm ( 0;0;0) và ( 19 ; 17 ; 23 ) ( 0,25 đ) Câu 3 ( 5 điểm ) a) (2 điểm) Ta có 2013 + 2014 2014 2014  1 2013  1 = + 2013 2014 2013 = 2014 - 1 + 2014 ( 0,5 đ) 2013 + 1 2013 ( 0,5 đ) 3 = 2013 + Vì ( Vậy 2013 + 2014 2014 > 2013 2014 + ( 1 2013 1 2013 1 )>0 2014 2013 + 1 )> 2014 2013 + 2014 ( 0,5 đ) ( 0,5 đ) 2014 b) (3đ) Ta có: x + y = 2  y = 2-x Do đó: A = x2+y2 = x2 + (2-x)2 = x2 + 4 - 4x + x2 2 =2x2 - 4x + 4 = 2  x  2 x  1  1   (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) = 2  x  1  2  2 Vậy: MinA=2 tại x = y = 1 2 (1đ) (0.5đ) Câu 4: ( 5 điểm ) A E O D B M H N C � � � a) Tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì có � = D = H = E = 900 (0,5đ) A Vì O là trung điểm AH nên O cũng là trung điểm DE hay D, O, E thẳng hàng. (0,5đ) 4 b) Ta có MD = MH, OD = OH  OM là trung trực của DH  OM  DH  AD // OM. AHB có OM là đường trung bình  M là trung điểm BH. Chứng minh tương tự N là trung điểm HC. c) Ta có SHMO = SDMO ; SHNO = SENO  SMDEN = 2 SOMN (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) 1 SABC 4 1 1 1  SMDEN = SABC = . .6.8 = 12 (cm2) 2 2 2 Do SOMN = (0,5đ) (0,5đ) -----Hết----Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó 5