Tài liệu đề toán lớp 8 năm học 2015 2016

UBND HUYÊÊN HÒA BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYÊÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN : TOÁN LỚP : 8 Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (5 điểm) a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 b) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M59 Câu 2: (5 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2011x2 + 2010x + 2011 b) Giải phương trình: (x – 1)3 + x3 + (x+1)3 = (x+2)3 Câu 3: (5 điểm) a) Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3 b) Tìm các giá trị của x để biểu thức: P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 4: (5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh CE vuông góc với DF CM .CE  a CF c) Tính diện tích MDC theo a b) Chứng minh -----Hết----- UBND HUYÊÊN HÒA BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Hướng dẫn chấm gồm 02 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYÊÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN : TOÁN LỚP : 8 Thời gian : 150 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (5 điểm) a) Ta phải chứng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 M9 với n  Z A = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8 (0,5đ) 3 2 = 3n + 9n + 15n + 9 (0,5đ) = 3n3 – 3n + 9n2 + 18n + 9 (0,5đ) 2 = 3n(n – 1)(n + 1) + 9n + 18n + 9 (0,5đ) Nhận thấy n, n-1, n+1 là là ba số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n + 1) M3  3n(n – 1)(n + 1) M9. Ngoài ra 9n2 + 18n + 9 M9 Vậy A M9 (0,5đ) b) 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n) 59.5n M59 vaø 8(64n – 5n) M – 5) = 59 (64 n+2 n 2n+1 Vaäy 5 + 26.5 + 8 M59 Câu 2: (5 điểm) a) x4 + 2011x2 + 2010x + 2011 = x4 + x3 + x2 + 2010x2 + 2010x + 2010 – x3 + 1 = x2(x2 + x + 1) + 2010(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 + 2010 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2011) b) Giải phương trình: (x – 1)3 + x3 + (x + 1)3 = (x + 2)3 x3 – 3x2 + 3x – 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8 x3 – 3x2 – 3x – 4 = 0 x3 – 1 – 3x2 – 3x – 3 = 0 (x – 1)(x2 + x + 1) – 3(x2 + x + 1) = 0 (x2 + x + 1)(x – 4) = 0 Vì x2 + x + 1 ≠ 0 nên x – 4 = 0 Vậy S = {4} (0,75đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,75đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) Câu 3: (5 điểm) a) Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3 Từ a2 + b2 = 20  (a + b)2 – 2ab = 20  ab = -8 M = a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = 23 – 3.(-8).2 = 56 (0,75đ) (0,5đ) (0,75đ) b) Ta có: P = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2+5x-6)(x2+5x+6) = (x2+5x)2-36 (0,75đ) Ta thấy (x2+5x)2  0 nên P = (x2+5x)2-36  -36 (0,75đ) Do đó Min P = -36 khi (x2+5x)2 = 0 (0,75đ) Từ đó ta tìm được x = 0 hoặc x = -5 thì Min P = -36 (0,75đ) Câu 4: (5 điểm) Vẽ hình đúng (0,25đ) � � a) VBEC VCFD (c.g .c )  BCE  CDF (0,5đ) � � � � � VCDF vuông tại C  CFD  CDF  900  CFD  BCE  900  CMF  900  VCMF vuông tại M K Hay CE  DF. (0,75đ) � � b) Xét VCMF và VCBE có CMF  CBE  900 � và MCF chung => VCMF đồng dạng VCBE (gg) => (0,75đ) CM CF CM .CE    BC CB CE CF Mà BC =a A CM .CE a Do đó : CF CD CM  c) VCMD :VFCD ( g.g )  FD FC 2 B (0,75đ) F 2 S  CD   CD  Do đó : VCMD     SVCMD    .SVFCD (0,5đ) SVFCD  FD   FD  1 2 E M 1 4 Mà : SVFCD  CF .CD  CD 2 . Vậy : SVCMD  CD 2 1 . CD 2 2 FD 4 (0,5đ) D C Trong VDCF áp dụng định lý Pytago ta có : 1 5 1  DF 2  CD 2  CF 2  CD 2   BC 2   CD 2  CD 2  .CD 2 4 4 2  Do đó : SVMCD  CD 2 1 1 1 . CD 2  CD 2  a 2 5 5 5 CD 2 4 4 (0,5đ) (0,5đ) ( Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa) -----Hết-----