Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (4,0 điểm)
Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016.
a) Tính A.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
c) A có là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết:
x 1 2 3
b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1
1
, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và
70
các mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
a) Tìm a.
b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác
ABM, ACN vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D.
a) Chứng minh: AMC = ABN.
b) Chứng minh: BN CM.
c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tính MN.
d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN.
Bài 5 (2,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên a, b sao cho: 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015
Họ và tên thí sinh: .......................................................................................................
Số báo danh: .................................................Phòng.....................................................
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 7
(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Bài 1 (4,0 điểm)
Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016.
a) Tính A.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
c) A có là số chính phương không? Vì sao?
Câu
Nội dung
Ta có: A = 3 + 3 + 3 + … + 32015 + 32016
3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017
Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 +
… + 32015 + 32016)
2
a/
(1,5 đ)
A=
b/
(1,5 đ)
c/
(1,0 đ)
32017 3
.
2
0,5
0,5
0,5
Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + … +(32013 + 32014 + 32015 + 32016)
= 3(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 32013(1 + 3 + 32 + 33)
= 3.40 + ... + 32013.40 = 40.(3 + 35 + ... + 32013)
Suy ra A có chữ số tận cùng là 0
Lập luận được A chia hết cho 3
Lập luận được A không chia hết cho 32
Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra A không là số chính phương
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết:
Điểm
3
0,75
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
x 1 2 3
b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1
1
, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và
70
các mẫu tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Nội dung
Lập luận được x 1 2 > 0.
Điểm
0,5
Nên x 1 2 3 x 1 2 = 3 x 1 1
0,75
x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 x = 2 hoặc x = 0.
Vậy x = 2 ; x = 0
0,5
0,25
Câu
a/
(2,0 đ)
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
a b c
; ; thì ta có
x y z
a b c
1
a b c x y z
1
và ;
x y z
70
3 4 5 5 1 2
Gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là
b/
(2,0 đ)
a b c
a x b y c z
y
: : :
x z
3 4 5
3 5 4 1 5 2
5 1 2
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c
1
a b c
1
x y z = x y z 70 = 1 a 3 ; b 4 ; c 5
3 4 5
3 4 5
71
x 35 y 7 z 14
7
5 1 2
5 1 2 10
3 4 5
Vậy 3 phân số cần tìm là
; ; .
35 7 14
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
a) Tìm a.
b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Câu
Nội dung
Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nên có:
a2- a = a(a+1) +4.
a/
(1,5đ) a2 - a = a2 +a + 4 a = -2.
Vậy a = -2 thì đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + 4
f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2.
1
b/
Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x) -6x + 6 = 6x + 2 x = .
(1,5đ)
3
Vậy khi x =
1
thì f(3x- 1) = f(1- 3x).
3
0,5
0,75
0,5
0,25
Điểm
0,5
0,75
0,25
0,5
0,75
0,25
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác
ABM, ACN vuông cân tại A. BN và MC cắt nhau tại D.
a) Chứng minh: AMC = ABN.
b) Chứng minh: BN CM.
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tính MN.
d) Chứng minh rằng DA là phân giác của góc MDN.
Nội dung
Câu
Điểm
M
N
A
E
F
D
B
C
a/
C/minh được MAC BAN (Cùng bằng 900 + BAC ).
(2,0đ) MA = AB (MAB vuông cân tại A)
AC = AN ( tam giác NAC vuông cân tại A)
AMC = ABN(c-g-c)
Gọi giao điểm của BN với AC là F.
Chỉ ra được AFN DFC ( vì AMC = ABN)
b/
ANF = FCD ( vì AMC = ABN )
(2,0đ)
Từ đó suy ra FDC = FAN = 900
Do đó: BN CM.
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông MDN, BDC,
c/
MDB, NDC để C/m được hệ thức MN2 = MB2 + NC2 – BC2.
(1,5đ)
Tính được MN = 21 cm
Trên tia BN lấy điểm E, sao cho BE = MD
d/
(1,5đ) CM AMD = ABE (c-g-c)
Suy ra AD = AE ADE cân tại A (1)
AMD = ABE MAD BAE DAE MAB 900 ADE
vuông tại A (2)
1
Từ (1) và (2) ADE 450 ADE MDN
2
DA là phân giác của MDN
0,75
0,75
0,5
0,5
0,5
1,0
1,0
0,5
0,5
0,75
0,25
Bài 5 ( 2,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên a, b sao cho: 2016a 13b 1 2016a 2016a b 2015
Gia sư Thành Được
Câu
www.daythem.edu.vn
Nội dung
*) Mäi c¸ch gi¶i kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a theo thang ®iÓm.
*) Gi¸m kh¶o b¸m s¸t biÓu ®iÓm th¶o luËn ®¸p ¸n vµ thèng nhÊt.
*) ChÊm vµ cho ®iÓm tõng phÇn, ®iÓm cña toµn bµi lµ tæng c¸c ®iÓm
thµnh phÇn kh«ng lµm trßn.
\
Điểm
1,75
0,25
- Xem thêm -
.PDF 
5 
494 
113 
