ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015
M«n thi: To¸n häc
(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo trêng chuyªn)
Thêi gian lµm bµi :120 phót
Câu 1:
1) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a 2 3a b 2 3b 2
a) Chứng minh rằng a b 3
b) Chứng minh rằng a 3 b3 45
2 x 3 y 5 xy
2) Giải hệ phương trình 2
2
2
4 x y 5 xy
Câu 2
1) Tìm các số nguyên x, y không nhỏ hơn 2 sao cho xy 1 chia hết cho x 1 y 1
2) Với x, y là những số thực thỏa mãn đẳng thức x 2 y 2 2 y 1 0. Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức
xy
P
3y 1
Câu 3.
Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt
BC tại D. Gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC,IB.
1) Chứng minh rằng EF song song với BC.
2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường tròn ngoại tiếp
tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A. Chứng minh rằng bốn
điểm M,N,P,J cùng nằm trên một đường tròn.
3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.
Câu 4.
1) Cho bảng ô vuông 2015 2015 . Kí hiệu ô i, j là ô ở hàng thứ i , cột thứ j. Ta viết các số
nguyên dương từ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc sau:
i) Số 1 được viết vào ô (1,1).
1
3
6
10 …
ii) Nếu số k được viết vào ô i, j , i 1 thì số k+1 2
5
9
…
4
8
…
được viết vào ô i 1, j 1 .
…
iii) Nếu số k được viết vào ô 1, j thì số k+1 được viết 7
…
vào ô j 1,1 . (Xem hình 1.)
Hình 1
Khi đó số 2015 được viết vào ô m, n. . Hãy xác định m
và n.
2) Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ac abc 4. Chứng minh rằng
a 2 b 2 c 2 a b c 2 ab bc ac
Hướng dẫn:
Câu 1. a) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn
a 2 3b 2
a) 2
b 3a 2
a2 b2 3 a b 0
a b a b 3 a b 0
a b a b 3 0
a b 0 loai
a b 3
3
a b 27
3
3
b) a b 3ab a b 27
a 3 b3 9ab 27
a 2 3a b 2 3b 4
2
vì a b 2ab 3 a b 4
ab 2
vậy a 3 b3 45
2 x 3 y 5 xy
b). Giải hệ phương trình 2
2
2
4 x y 5 xy
Ta thấy x-y =0 là nghiệm của phương trình.
Nếu y 0 nhân hai vế của phương trình với y
2
2
2 xy 3 y 5 xy
2
2
2
4 x y 5 xy
2 x 3 y 5 xy
2 x 3 y 5 xy
2 x 3 y 5 xy
2 x 3 y 5 xy
2
2
2
2
2
2
2
2
x y 2 x y 0
4 x y 5 xy
2 x xy y 0
4 x y 5 xy
2 x 3 y 5 xy
x y 1
x
y
0
2 x 3 y 5 xy
x
y
2
x
y
0
2 x 3 y 5 xy x 2 , y 4
x y 0
5
5
Câu 2.
a) Tìm các số nguyên x, y không nhỏ hơn 2 sao cho xy 1 chia hết cho x 1 y 1
Ta có xy – 1 x 1 y 1 suy ra xy - 1 xy +1- x –y
Mà xy +1- x –y xy +1- x –y
Suy ra : (x-1) + (y -1) x 1 y 1 suy ra x-1 y -1 và y-1 x -1
Suy ra x = y
x2 – 1 (x - 1)2 ta có x + 1 x - 1 suy ra 2 x - 1 suy ra x = 2 hoặc x = 3
3) Với x, y là những số thực thỏa mãn đẳng thức x 2 y 2 2 y 1 0. Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức
P
x3 y 3 2 y 1 0. 2 y x 2 y 2 1 y
P
xy
3y 1
x2 y 2 1
2
xy
xy
2
2 2
3 x y 1 2 3x y 1
2
3 px 2 y 2 2 xy p 0
4 12 p 2
Phương trình có nghiêm khi 0 suy ra 4 – 12p2 0 3 p 2 3 p 3
1
1
1
14
1 27
Vây max P = 3 khi xy
suy ra y 27
x
.
2
27
3 3
3 3 14
Câu 3:
A
E
F
J
M
B
a) Ta có: AD là phân giác
P
N
D
BD AB
mà BED, CDF là tam giác cân,
DC AC
BE AB
BC FE
CF AC
b) Ta có : BC FE FED EDB BED
mà APM 180 AEM BED APM DEF
Tương tự : DFE APN
APN APM DFE FED MPN
mà MJN MDN EDF MJN MPN 180 MPNJ nội tiếp
C
c) Ta có : APM DEF và JPM JNM JEM JPM APM A, PJ thẳng hàng
Câu 4:
1) Theo đề bài, các số nguyên dương được sắp xếp theo từng hàng chéo của bảng: Hàng chéo thứ
nhất có 1 số, hàng chéo thứ hai có 2 số, ...
Giả sử số x nằm ở hàng chéo thứ k thì ta có:
1 1 8 x
k (k 1)
k (k 1)
1 1 8 x
1 1 8x
x
k
k
2
2
2
2
2
1 1 8.2015
Áp dụng x 2015 ta có k
63
2
k (k 1)
1 1954
Số đầu tiên ở hàng chéo thứ k 63 là
2
Như vậy số 2015 nằm ở vị trí thứ 2015 1954 1 62 của hàng chéo thứ 63 (Vị trí áp chót)
Tọa độ của nó là (2, 62)
2) Theo Cauchy 4 số ta có : 4 abc ab bc ac 4 4 a 3b3c 3 1 abc
a b c 3 3 abc 3 3 a 2b 2c 2
BĐT tương đương : a 2 b 2 c 2 3 3 a 2b 2c 2 2 ab bc ac (1)
Đặt
3
a 2 x, 3 b 2 y , 3 c 2 z x , y , z 0
1 x3 y 3 z 3 3xyz 2
x3 y 3 2 z 3 x3 2 z 3 y 3
Áp dụng BĐT Schur bậc 3: x3 y 3 z 3 3xyz xy x y yz y z xz x z
x x y x z y y x y z z z x z y 0 với mọi số thực không âm x, y, z
Chứng minh BĐT :
Do vai trò x, y, z như nhau , giả sử x y z
z z x z y 0
Ta xét : x x z y y z x 2 xz yz y 2 x y x y z 0
x x z x y y y z x y 0 x x z x y y y z y x 0
x x y x z y y x y z z z x z y 0
dpcm
Ta có : x3 y 3 z 3 3xyz xy x y yz y z xz x z 2 x3 y 3 2 z 3 x3 2 z 3 y 3
x y z
Dấu = xảy ra khi
a b c 1
x y, z 0
- Xem thêm -