Tài liệu đề thi thử số 009

ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2013­2014  Môn: TOÁN; Khối D  Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề  SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  www.NhomToan.com www.LuyenThiThuKhoa.vn I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)  x - 2  có đồ thị là ( C ).  Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số:  y  = x - 1  a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  (C )  của hàm số.  b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  m  để đường thẳng ( d m ) : y = - x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm  A, B  phân biệt sao cho độ dài đoạn thẳng  AB nhỏ nhất.  Câu 2 (1,0 điểm).  Giải phương trình:  (2 tan 2  x - 1) cos x = 2 - cos 2 x .  ìï x 4 + x 2 y 2 - y 2 = y 3 + x 2 y + x 2  ( x, y ΠR).  Câu 3 (1,0 điểm).  Giải hệ phương trình:  í 2  3 0  1 = 2 5 x 2 y ïî  Câu 4 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  m  để phương trình:  m x 2  + 2  = x + m có hai  nghiệm thực phân biệt.  Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy  ABCD  là hình thang cân với  BC = CD = DA =  a ;  AB = 2 a ; cạnh bên  SA  vuông  góc với mặt phẳng  ( ABCD ) ;  SC  tạo với mặt phẳng  ( ABCD )  một góc  bằng  60 0 . Tính thể tích của khối chóp  S. ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD theo  a .  Câu 6 (1,0 điểm).  Cho  x, y, z  là các số thực  dương thoả mãn:  x 2 + y 2 + z 2  = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của  1  .  biểu thức:  T = 2 xy + 2 yz + 2 xz + x + y + z  II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)  A. Theo chương trình Chuẩn  Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ  Oxy , cho hình chữ nhật  ABCD  có  AB = 4 2 ,  điểm  A  có hoành độ âm. Đường thẳng  AB có phương trình  x + y + 2 = 0 , đường thẳng  BD có phương  trình  3 x + y = 0 . Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại của hình chữ nhật.  Câu 8.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác  ABC  đều. Đường tròn nội tiếp tam  æ 3  ö giác  ABC  có phương trình ( x - 4) 2 + ( y - 2) 2  = 5 ,  đường thẳng  BC  đi qua  M ç ; 2 ÷ . Tìm toạ độ điểm  A .  è 2  ø  n - 2  n -1 2 Câu  9.a  (1,0  điểm).  Cho  số  nguyên  dương  n  thỏa  mãn  An = Cn + Cn  + 4n + 6 .  Tìm  hệ  số  của  x 16  ( trong khai triển nhị thức Niu­tơn x3  - 2  x n  )  (với  x > 0 ).  B. Theo chương trình Nâng cao  Câu 7.b (1,0 điểm).  Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ  Oxy , cho các điểm  A(4; - 3); B(4;1) và đường  thẳng  (d ) : x + 6 y = 0 . Viết phương trình đường tròn  (C )  đi qua  A  và  B sao cho tiếp tuyến của  ( C ) tại  A  và  B cắt nhau tại một điểm  thuộc  (d ) .  æ 3 2  ö ; 2 ÷÷ và  Câu 8.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ  Oxy , cho elíp ( E )  đi qua điểm  M çç è 2  ø  có độ dài trục lớn bằng  6 . Tìm tọa độ của  điểm  N  thuộc ( E ) sao cho  ON =  5 .  Câu  9.b  (1,0  điểm).  Cho  số  nguyên  dương  n  thỏa  mãn  An 3 - 2  = 20( n - 2) . Tìm  số  hạng  không  chứa  x  n  1 ö æ trong khai triển nhị thức Niu­tơn  ç x 3  + ÷ (với  x ¹ 0 ).  x ø  è ­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­  Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.  [email protected] SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  ĐÁP ÁN KTCL ÔN THI ĐH LẦN 1 NĂM HỌC 2013­2014  Môn: TOÁN; Khối D  (Đáp án có 06 trang)  I. LƯU Ý CHUNG:  ­ Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm  theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.  ­ Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.  ­ Với bài hình học không gian nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm tương ứng  với phần đó.  II. ĐÁP ÁN:  Câu  Ý  Nội dung trình bày  Điểm  1  a  1,0 điểm  +  TXĐ: D =  R \ {1 }  0,25  1  + Sự biến thiên:  Ta có:  y¢ = > 0, "x Î D .  2  ( x - 1)  + Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  (-¥ ;1) và  (1; +¥ ) .  + Hàm số không có cực trị  + Giới hạn, tiệm cận.  0,25  lim y = +¥;lim y = -¥ Þ  đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng:  x = 1 .  x ®1- x ®1 + lim y = 1; lim y = 1 Þ  đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng  y = 1  ;  x ®+¥ x ®-¥ + Bảng Biến thiên  +  +  0,25  + Đồ thị hàm số cắt trục  Ox  tại điểm  (2; 0) , trục  Oy  tại điểm  (0; 2)  y  f(x)=(x­2 )/(x ­1 )  f(x)=1  7  x (t )=1  , y (t )=t  6  5  4  3  0,25  2  1  x  ­3  ­2  ­1  1  2  3  4  5  ­1  ­2  ­3  ­4  ­5  b  1,0 điểm  ­ Phương trình hoành độ giao điểm của  ( d m )  và  (C )  là:  x 2  - mx + m - 2 = 0  (1) ( x ¹ 1 ).  ì D = m 2  - 4m + 8 > 0  Vì  í với  " m nên (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với  " m .  î 1 - m + m - 2 = -1 ¹ 0  0,25  0,25  Suy ra  ( d m ) cắt  (C )  tại hai điểm phân biệt với  " m .  Gọi các giao điểm của (d m )  và  (C )  là:  A( xA ; yB ); B( xB ; y B ) với  x A ; x B  là các nghiệm  của  phương trình (1) . Theo Viet có:  x A + x B = m; x A x B  = m - 2 .  0,25 2  2 2 2  Ta có AB2 = 2( xA - xB )2  = 2[(xA + xB ) - 4xA.xB ù = 2[ m - 4(m - 2)ù = 2[ (m - 2) + 4ù ³ 8  û û û  Vậy  AB nhỏ nhất bằng  2 2 đạt được khi  m = 2 .  1,0 điểm  p Điều kiện:  cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp ( k Î Z )  2  æ 2  ö Ta có: (2 tan 2 x - 1) cos x = 2 - cos 2 x Û ç - 3 ÷ cos x = 2 - ( 2 cos 2  x - 1 )  2  è cos  x ø  3 2  Û 2 cos x - 3cos x - 3cos x + 2 = 0  é êt  = -1  ê Đặt t = cos x; t ¹ 0, t Î [ - 1;1 ]  ta được:  2t 3 - 3t 2  - 3t + 2 = 0 Û ê t  = 2  ê 1  êt = ë  2  Với  t = -1 Þ cos x = -1 Û x = (2k + 1)p ; k ΠZ (thoả mãn).  Với  t = 2  (loại)  1 1  p Với  t = Þ cos x = Û x = ± + k 2p ; k ΠZ (thoả mãn)  2 2 3  Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  (2k + 1) p ;  ± 3  p 3  + k 2 p ( k ΠZ )  1,0 điểm ìï x 4 + x 2 y 2 - y 2 = y 3 + x 2 y + x 2  (1 ) 5  Đk:  x £  .  í 3 2  2  2 y 5 2 x 1 = 0 2  ( )  ïî  Phương trình  (1) Û ( x 2 - 1 - y )( x 2 + y 2 ) = 0  é x = y  = 0  Û ê 2  ë x = y + 1  Trường hợp  x = y = 0  thế vào (2) không thoả mãn.  0,25  0,25  0,25  0,25  0,25  0.25  0.25  Trường hợp  x 2  = y + 1  thế vào phương trình (2): 2 y 3  - 3 - 2 y - 1 = 0 ( 3 )  3 ù æ Xét hàm  f (t ) = 2t 3  - 3 - 2t - 1; t Î ç -¥;  ú 2 û  è 1  3 ö æ f ¢(t ) = 6 t 2  + ;  f ¢(t ) > 0; "t Î ç -¥;  ÷ 2 ø  3 - 2 t è 3ù æ Vậy hàm số  f (t )  đồng biến trên  ç -¥;  ú ; mà  f (1) = 0  2 û  è Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất  y = 1  0.25  Với  y = 1 Þ x 2  = 2 Û x = ±  2  (thỏa mãn điều kiện)  4  0.25  Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  ( 2;1); ( -  2;1) .  1,0 điểm  ­ Tập xác định:  D = R ­ Ta có: m x 2 + 2 = x + m    (1) Û m )  ( x 2  + 2 - 1 = x Û m = 2 - x 2  + 2  ­ Ta có: f '( x) = 2 x +2 ( 2  2  )  x + 2 - 1  x  = f ( x )  x + 2 - 1  0.25  2  ,  "x ΠR 0.25 é x  = - 2  = 0 Û 2 - x 2  + 2 = 0 Û ê êë x = 2  x 2  + 2 - 1  2 - x 2  + 2  f '( x ) = 0 Û x2 + 2 ( 2  )  lim f ( x ) = - 1  ;  lim f ( x ) = 1  x ®-¥ x ®+¥ ­ Bảng biến thiên:  x  ­  ­¥ 2  _  f'(x)  0  +¥ 2  +  0  _  0.25  f(x)  2  ­1  ­  ( 1  2  ) ( )  ­ Từ bảng biến thiên ta được m Î - 2; -1 È  1; 2  thỏa mãn.  5  0.25  1,0 điểm  ­ Vì  BC = CD = DA = a ;  AB = 2 a nên  AB  là đáy lớn;  C D  là đáy nhỏ của hình thang  ABCD . Gọi  O  là trung điểm của  AB .  ­ Ta có  các tứ giác  AOC D ;  OBC D  là các hình thoi và các tam giác  AO D ;  O DC ;  OCB  là các tam giác đều  cạnh  a Þ  O  là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC D .  a 2 3 3a 2  3  ­ Ta có:  S ABCD = 3S AOD  = 3.  (đvdt).  =  4 4  ­ Trong hình thoi  AOC D , ta có:  AC = a 3  ·  = 60 0  Þ  SA = AC.tan 600  = a 3. 3 = 3a  ­ Trong tam giác vuông  SAC  có góc  SCA 1 1 3a 2 3 3a 3  3  Þ  VS . ABCD = .SA.S ABCD  = .3a.  =  (đvtt)  3 3 4 4  ­ Gọi  I  là trung điểm của  SB Þ  IO//SA  Þ  đường thẳng  I O  là trục của đường tròn  ngoại tiếp đa giác đáy nên  IA = IB = IC = ID .  ­ Mặt khác tam giác  SAB  vuông tại đỉnh  A Þ  IA = IB = IS  Þ  IS = IA = IB = IC = ID  hay  I  là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  S . ABCD .  ­ Bán kính của mặt cầu đó là:  SA2 + AB 2 9a 2 + 4a 2  a  13  = =  .  2 2 2  13a 2  2 ­ Diện tích của mặt cầu đó là:  4p R = 4p = 13 p a 2  (đvdt)  4  1,0 điểm  ­ Đặt  x +  y + z  = t ; t > 0  R = IA = IB = IS = 6  SB = 2 ­ Ta có: xy +  yz + zx  = ( x + y + z )2 - (x 2  + y 2  + z 2 )  = 2  2  2  t 2  - 1  Þ t  > 1  2  2  0.25  0.25  0.25  0.25 Lại có: ( x -  y ) + ( y - z ) + ( z - x )  ³ 0  nên ( x +  y + z ) £ 3 (x  + y  + z  )  2 0.25  2  2  2  Þ t 2 £ 3 Þ t £ 3 .  ­ Khi đó:  T  = t 2 - 1 + 1  với t Î  1;  3  t  ]  ( ­ Xét hàm  f ( t ) = t 2 - 1 + 1  với t Î  1;  3  ;  t  ]  ( 0.25  ]  ( ]  ( 1  f ¢ ( t ) = 2 t  - 2  ; f ¢ (t ) > 0 ; "t Î 1 ;  3  t  ­ Ta có bảng biến thiên của hàm số trên 1 ;  3  1  t  3  f'(t)  +  0.25  1  2 +  3  f(t)  1  ­ Từ bảng biến thiên suy ra  T £ 2 +  Vậy  T  lớn nhất  bằng ( 2 +  7.a  1  3  , dấu “ = ” xảy ra khi  x =  y = z  = 1 3  0.25  1  1 )  đạt được khi  x =  y = z  = .  3  3  1,0 điểm  3x + y = 0  D  A  C  4  2  B  x + y + 2 = 0  0.25  ­ Ta có:  B = AB Ç BD Þ B(1; - 3)  +  A Î AB Þ A(t ; -t - 2); (t < 0)  ­ Ta có  BA = 4 2 Û (t - 1) 2 + ( -t + 1) 2  = 32  ét = -3  Û (t - 1)2  = 16 Û ê ë t = 5  Với  t = 5  loại vì  t < 0 .  Với  t = -3 Þ A(-3;1) Þ  AD qua  A  và vuông góc với AB  nên có phương trình  ( x + 3) - ( y - 1) = 0  Û  x - y + 4 = 0 .  ­ Đường thẳng  BC  qua  B  và vuông góc với  AB  nên có phương trình:  ( x - 1) - ( y + 3) = 0 Û x - y - 4 = 0 .  +  D = AD Ç BD Þ D(­1:3)  ­ Đường thẳng  DC qua  D  và song song với  AB  nên có phương trình :  ( x + 1) + ( y - 3) = 0 Û x + y - 2 = 0  Vậy:  BC : x - y - 4 = 0;  DC : x + y - 2 = 0 ;  AD : x - y + 4 = 0  0.25  0.25  0.25 8.a  1,0 điểm  A  I (4; 2)  0.25  B  3  C  M (  ;2)  2  H  ­  Gọi  (C ) : ( x - 4)2 + ( y - 2) 2  = 5 Þ (C )  có tâm  I (4; 2) ; bán kính  R =  5  ­  Gọi  H  là trung điểm của  BC , tam giác  ABC  đều Þ  I  là trọng tâm của tam giác  uur uuur  ABC  Þ AI = 2 IH r  ­ Gọi  n( a; b )  ( ( a 2 + b 2 ) ¹ 0 ) là véctơ pháp tuyến của đường thẳng  AB  .  3  ­ Phương trình đường thẳng  BC :  a ( x - ) + b( y - 2) = 0 .  2  5 a  é a = 2 b  2  Ta có:  d ( I , AB ) = IH = R Û = 5  Û 5a 2 = 4(a 2 + b 2 ) Û ê 2 2  a + b ë a = -2 b ­ Trường hợp  a = 2 b Þ Phương trình đường thẳng  BC :  2 x + y - 5 = 0 Þ H (t ;5 - 2t )  IH ^ BC Þ t = 2 Þ H (2;1) Þ  A(8; 4) .  9.a  ­ Trường hợp  a = -2 b Þ Phương trình đường thẳng BC : 2 x - y - 1 = 0 Þ H ( s, 2 s - 1)  IH ^ BC Þ s = 2 Þ H (2;3) Þ  A(8;0)  Vậy các điểm  A  thoả mãn là  A (8;0)  ;  A (8; 4) .  1,0 điểm  ­ Đk:  n ³ 2, n ΠN *  n! n! n !  = + + 4n + 6  ­ Ta có:  An2 = Cnn -1 + Cn n - 2  + 4n + 6 Û ( n - 2)! ( n - 2)!(2!) ( n - 1)!  é n = 12  Û n 2  - 11n - 12 = 0 Û ê Þ n = 12  (thỏa mãn).  ë n = -1  12 12  k ( -2) k  x ­ Với  n = 12  ta có :  ( x 3 - 2 x )12 = å C12k ( x 3 )12 - k ( -2 x ) k = å C12  k =0 k ­ Hệ số của  x 16  là  C12  ( - 2) k  trong đó : 36 - 7.b  k = 0  5 k  = 16 Û k = 8  2  8 Vậy hệ số của  x 16  là:  C12  ( -2)8  = 126720 .  1,0 điểm  36 - 0.25  0.25  0.25  0.25  0.25  5 k  2  0.25  0.25  A(4; ­3)  (C)  M  H  I  0.25 (d): x + 6y = 0  B (4; 1)  ­ Giả sử hai tiếp tuyến của ( C ) tại  A, B  cắt nhau tại  M Π(d ) .  ­  Phương trình đường thẳng  AB  là:  x = 4 .  ­ Gọi  I  là tâm của đường tròn  (C ) ; H  là trung điểm  AB  Þ H (4; - 1)  IM ^ AB; IM Ç AB = H Þ phương trình của đường thẳng  IM  là  : y + 1 = 0  uuur  + M = d Ç IM Þ M (6; -1) Þ MA(-2; -2)  uur  + Giả sử  I ( a; -1) Þ IA(4 - a; -2)  Mà  IA ^ MA Þ -2(4 - a ) + 4 = 0 Û a = 2  Vậy  I (2; - 1)  ; bán kính của  (C )  là  IA = 2 2  Þ (C ) : Vậy đường tròn  (C )  có phương trình là 8.b  0.25  2  ( x - 2 )  + ( y + 1)2  = 8  2  ( x - 2 )  + ( y + 1)2  = 8  0.25  1,0 điểm  x 2 y 2  = 1 .( a > b > 0 )  + a 2 b 2  Vì độ dài trục lớn bằng 6 nên  2a = 6 Û a = 3 .  Giả sử phương trình của  ( E )  là:  Vì M ( 9.b  0.25  3 2 18 2  x 2 y 2  ; 2 ) Î ( E ) Þ 2 + 2  = 1 Û b 2  = 4  Þ ( E ) : + = 1 .  4  9 4 a b 2 ì 9 3 5  ì x 2 + y 2  = 5  ìï x 2  = ï x = ± ï ï ï 5  5 Ûí Ûí +) Giả sử N ( x; y ) , ta có hệ phương trình:  í x 2 y 2  = 1  ï y 2  = 16  ï 4 5  ï + y=± 4  î9 ïî ï 5  5  î  æ 3 5 4 5 ö æ 3 5 4 5 ö æ 3 5 4 5 ö æ 3 5 4 5 ö Vậy có 4 điểm :  N ç ; N ç ;  N ç ;  N ç .  ;  ;  ; ;  ÷ ÷ ÷ ÷ ç 5 ÷ ÷ ç 5 ç 5 ç 5 - 5  ÷÷ 5  5  5  è è è ø  è ø  ø  ø  1,0 điểm  Đk : n ³ 5, n ΠN . Ta có  (n - 2)!  An 3 - 2  = 20(n - 2)  Û = 20(n - 2) Û (n - 3)(n - 4) = 20  (n - 5)!  é n = 8  Þ n = 8  (thỏa mãn)  Û n 2  - 7 n - 8 = 0 Û ê ë n = -1  8  0.25  0.25  0.25  0,25  0.25  0.25  k  8  8 8 - k  æ 1 ö 1ö æ Với  n = 8  ta có : ç x 3 + ÷ = å C8k ( x 3 )  . ç ÷ = å C8 k x 24- 4 k  x ø k =0 èxø è k = 0  Số hạng không chứa  x  ứng với  24 - 4k = 0 Û k = 6 .  Vậy số hạng không phụ thuộc  x  là  C8 6  = 28 .  ­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­  0.25  0.25