Tài liệu đề thi thi vào 10 chuyên toán bình thuận có đáp án

ÑEÀ THI VAØO TRÖÔØNG CHUYEÂN TRAÀN HÖNG ÑAÏO BÌNH THUAÄN 2015 1. 1. ÑEÀ THI CHUYEÂN TOAÙN TRAÀN HÖNG ÑAÏO 2015 BAØI 1 (2 ñieåm). Giaûi phöông trình: x  8  2 x  9 x  20 ÑS: x = 25  GIAÛI x  8  2 x  9 x  20  x  9  x  21 2. -         3.   x  9  1 x  20  x 21  2  x  9  x  21  GIAÛI Döï ñoaùn ñieåm rôi (ñieåm xaûy ra daáu baèng) laø x  y z  2 . Kieåm tra laïi ta thaáy khi x  y z  2 thì moãi 1 soá cuûa veá traùi baèng 1 1 1    , toång cuûa ba soá 2 4 2x 2 x  3x  5x  8x haïng haïng ñuùng baèng 3/4 .  Moãi soá haïng cuûa veá traùi coù daïng 1 ab    x 21  x 21     x 25  x = 25  2 x  43x  450  0    x 18  BAØI 2 (2 ñieåm). Moät baùc noâng daân ñem tröùng ra chôï baùn. Toång soá tröùng baùn ra ñöôïc tính nhö sau: Ngaøy thöù nhaát baùn ñöôïc 8 tröùng vaø 1/8 soá tröùng coøn laïi. Ngaøy thöù hai baùn ñöôïc 16 tröùng vaø 1/8 soá tröùng coøn laïi. Ngaøy thöù ba baùn ñöôïc 24 tröùng vaø 1/8 soá tröùng coøn laïi. … Cöù nhö vaäy cho ñeán ngaøy cuoái cuøng thì baùn heát tröùng. Nhöng thaät thuù vò, soá tröùng baùn ñöôïc trong moãi ngaøy ñeàu baèng nhau. Hoûi toång soá tröùng baùn ñöôïc laø bao nhieâu vaø baùn heát trong maáy ngaøy? ÑS: 392 tröùng, 7 ngaøy GIAÛI Goïi x laø toång soá tröùng baùn ñöôïc (x  N*) thì : Soá tröùng baùn ñöôïc trong ngaøy thöù nhaát laø: x 8 8 8 Soá tröùng baùn ñöôïc trong ngaøy thöù hai laø: x 8  x   16  8   8   16  8 Theo ñeà toaùn ta coù phöông trình: x  8  x   16  8   x 8 8   8 16  8 8 Giaûi phöông trình ta ñöôïc x = 392 Vaäy toång soá tröùng baùn ñöôïc laø 392 tröùng. x 8 56 Soá tröùng baùn ñöôïc trong moãi ngaøy laø 8  8 Soá ngaøy laø 392 : 56 = 7 (ngaøy) BAØI 3 (2ñ). Cho caùc soá thöïc döông x,y,z thoûa x  y  z 3 2 . Chöùng minh raèng: 1 1 1 3    x  3y  5z  y  3z  5x  z  3x  5y  4 neân ta lieân töôûng 1 2  ñeán baát ñaúng thöùc (nghòch ñaûo cuûa trung ab a  b bình nhaân  nghòch ñaûo cuûa trung bình coäng suy ra töø a b baát ñaúng thöùc Coâ-si: ab  ). Daáu = xaûy ra khi a 2 =b. Trong phaân thöùc thöù nhaát cuûa veá traùi, khi daáu = xaûy ra thì 3y + 5z = 8x neân ta nhaân töû vaø maãu vôùi 8 2 2 ñeå laøm xuaát hieän 8x trong daáu caên, nghóa laø: 1 2 2 4 2   (1) 8x  3y  5z x  3y  5z  8x  3x  5y  1  Töông töï ta coù: 1 y  3z  5x  1 z  3x  5y        4 2  2 8y  3z  5x  4 2  3 8z  3z  5y Coäng töøng veá caùc baát ñaúng thöùc cuøng chieàu (1), (2), (3) ta ñöôïc:   1 1 1 VT 4 2     (*)  8x  3y  5z 8y  3z  5x 8z  3x  5y  1 1 1   ta lieân a b c 1 1 1 9    töôûng ñeán baát ñaúng thöùc chöùng a b c a bc minh nhö sau: Theo baát ñaúng thöùc Coâ-si aùp duïng cho ba soá khoâng aâm ta coù: a  b  c 3 3 abc   1 1 1   a  b  c      9  1 1 1 1  a b c    3 3 abc a b c 1 1 1 9    . Daáu = xaûy ra  a = b = c a b c a bc 1 1 1 9 AÙp duïng baát ñaúng thöùc    vaøo (*) ta a b c a bc 9 9 3 4 2.  ñöôïc VT 4 2. 16  x  y  z  16.3 2 4 Bieåu thöùc trong daáu ngoaëc coù daïng Daáu = xaûy ra 8x 3y  5z 8y 3z  5x   8z 3x  5y 8x  3y  5z 8y  3z  5x 8z  3x  5y x  y z  x yz 3 2   2 3 3   ÑEÀ THI VAØO TRÖÔØNG CHUYEÂN TRAÀN HÖNG ÑAÏO BÌNH THUAÄN 2015 4. BAØI 4 (3ñ). Cho ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB = 2R,  ñieåm C di ñoäng sao cho ACB 600 vaø caùc ñoaïn thaúng AC, BC laàn löôït caét ñöôøng troøn (O) taïi hai ñieåm D, E. a) Chöùng minh raèng khi ñieåm C di ñoäng thì ñöôøng thaúng DE luoân tieáp xuùc vôùi moät ñöôøng troøn coá ñònh. b) Goïi M, N laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A, B treân ñöôøng thaúng DE. Xaùc ñònh vò trí ñieåm C ñeå tích AM.BN ñaït giaù trò lôùn nhaát. GIAÛI      5a  1  5b  1 C   N E H D M A a) B O 1 1 0 0    DE   sñ ACB  sñ AB  60  180  DE  2 2  600  DOE  DE 600 maø OD = OE = R   ODE    ñeàu caïnh R  ñöôøng cao OH   R 3  DE tieáp xuùc 2 R 3 ) coá ñònh. 2 0  b) ACB 600  C di ñoäng treân hai cung chöùa goùc 60 döïng treân ñoaïn AB giôùi haïn sao cho caùc ñoaïn thaúng CA, CB phaûi caét ñöôøng troøn (O).  OA = OB, OH//AM//BN (cuøng vuoâng goùc vôùi DE)  OH laø ñöôøng trung bình cuûa hình thang ABNM  AM  BN 2OH R 3 khoâng ñoåi  tích AM.BN lôùn ñöôøng troøn (O, 2 5.  2 2014 laàn bieán ñoåi giaûm ñi 2014 soá vaø coøn laïi 01 soá. Giaû söû caùc soá treân baûng ñang laø a 1, a2, …, ak taïi moät thôøi ñieåm baát kyø. Cho töông öùng baûng soá treân vôùi tích  5a1  1  5a 2  1 ...  5a k  1 . Sau moãi laàn bieán ñoåi xoùa ñi hai soá a, b baát kyø vaø thay baèng soá a + b - 5ab thì tích treân maát ñi hai thöøa soá 5a  1 , 5b  1 nhöng ñöôïc theâm thöøa soá 5  a  b  5ab   1 5a  5b  25ab  1 = = 2 R 3 3R 2  AM  BN  nhaát =   AM = BN     =  2 4    2  C laø ñieåm chính giöõa cuûa hai cung chöùa goùc 600 döïng treân ñoaïn AB. BAØI 5 (2ñ). Treân baûng vieát caùc soá 1 2 2014 2015 , ,..., , . Moãi laàn bieán ñoåi, xoùa ñi 2015 2015 2015 2015 hai soá a, b baát kyø vaø thay baèng soá a + b – 5ab. Hoûi sau 2014 laàn thöïc hieän pheùp bieán ñoåi treân baûng coøn laïi soá naøo? ÑS: 1/5 GIAÛI Moãi laàn bieán ñoåi ta xoùa ñi hai soá vaø theâm laïi moät soá neân toång keát moãi laàn bieán ñoåi giaûm ñi moät soá. Sau Nhö vaäy sau moãi laàn bieán ñoåi tích chæ ñoåi daáu. Vì tích ban ñaàu baèng 0 (do baûng ban ñaàu coù thöøa soá 1 403 1  neân thöøa soá töông öùng baèng 5.  1 0 ) neân 5 2015 5 sau 2014 laàn thöïc hieän pheùp bieán ñoåi treân baûng soá vaø treân tích töông öùng thì soá cuoái cuøng x cuõng phaûi cho 1 tích baèng 0 töùc laø 5x – 1 = 0  x  5