Tài liệu De_thi_so_1_thi_ngay_20_6933

Thi toán cao cấp học phần một Đề thi số 1 Trần trung kiên Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ Câu I: a/ Phát biểu và tổ hợp tuyến tính của một hệ véc tơ và sự biểu diễn tuyến tính của một véc tơ qua một hệ véc tơ trong không gian véc tơ ¡ n . b/ Trong không gian ¡ 3 , cho H = { A 1,A 2,A 3,X } . Biết rằng tập hợp 3 T = t= (t, 1 t2,t3)∈ ¡ :X = tA 1 1 + t2A 2 + tA 3 3 ≠ ∅ . Cho nhận định về số phần tử của { } T. Câu II: Xét sự hội tụ của chuỗi số b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: +∞ ( ∑ n=1 +∞ n + 1 − n − 1) ( 23n+−31(x − 1) ) ∑ n=1 n n Câu III: Cho hệ véc tơ { A 1 = (1,0,2);A 2 = (3,2,5);A 3 = (0,1,α);B = (4,2,7)} . Với giá trị nào của α thì rank{ A 1,A 2,A 3} = rank{ A 1,A 2,A 3,B} Câu IV: Cho hệ phương trình tuyến tính: A X = Ο, trong đó:  2 A = 7  1  −4 −3 −8 −2 3 5 1 1 5 −3 1 1 −3 3 2 0 . 1 Hãy chỉ ra công thức nghiệm tổng quát với x1 ,x4 ,x5 làm ẩn cơ sở và một hệ nghiệm cơ bản của hệ đã cho. H ết 1 Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên Đáp án đề thi số 1 ngày 20/6/2008 – Đề lẻ Câu I: b/ Mỗi phần tử của T tương ứng với một cách biểu diễn tuyến tính của X qua hệ véc tơ { A 1,A 2,A 3} và cũng là tương ứng với một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tA (*1). 1 1 + t2A 2 + tA 3 3=X Giả thiết T ≠ ∅ cho phép ta khẳng định hệ phương trình (*1) có nghiệm ⇔ rank{ A 1,A 2,A 3} = rank{ A 1,A 2,A 3,X } . Nếu rank{ A 1,A 2,A 3} = 3 thì hệ (*1) chỉ có một nghiệm (vì hệ (*1) là hệ phương trình tuyến tính Cramer) ⇒ T chỉ có một phần tử. Nếu rank{ A 1,A 2,A 3} = 2 thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào một tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của một đường thẳng. Nếu rank{ A 1,A 2,A 3} = 1, (tức là 4 véc tơ A 1,A 2,A 3,X tỷ lệ với nhau và có ít nhất một trong các véc tơ A 1,A 2,A 3 khác véc tơ không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào hai tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của một mặt phẳng. Nếu rank{ A 1,A 2,A 3} = 0 , (tức là cả 4 véc tơ A 1,A 2,A 3,X đều là những véc tơ không) thì hệ (*1) có vô số nghiệm phụ thuộc bậc nhất vào ba tham số ⇒ T có vô số phần tử, số các phần tử của nó tương đương với số các điểm của toàn không gian ¡ 3. +∞ Câu II: a/ ( ∑ n=1 +∞ n + 1 − n − 1) = ∑ Nhận thấy rằng n=1 2 là chuỗi số dương n+ 1+ n−1 2 > 1 ⇔ 2n > n + 1 + n − 1 ∀ n ≥ 2 (*1) n+ 1+ n−1 n * Tam thức bậc 2: y = x2 − x − 1 có 2 nghiệm: x1 = 1 − 5 vµ x2 = 1 + 5 nên 2 2 x2 − x − 1 > 0 ∀ x > 1+ 5 ⇒ n2 − n − 1 > 0 ⇔ n > n + 1 ∀ n ≥ 2 2 ( ) 2 * n2 − n + 1 = n − 1 + 3 > 0 ∀ n ⇔ n > n − 1 ∀ n > 1 2 4 (*2) (*3) Từ (*2) và (*3) ⇒ (*1) +∞ Chuỗi ∑ 1 phân kỳ, theo dấu hiệu so sánh 1 thì chuỗi n=1 n kỳ. +∞ ( ∑ n=1 n + 1 − n − 1) phân 2 Thi toán cao cấp học phần một Trần trung kiên u 2 1 im n = 1, mặt khác chuỗi Cách 2: Đặt un = , vn = ⇒ nl →+∞ vn n+1+ n−1 n phân kỳ ⇒ chuỗi +∞ ( ∑ n=1 +∞ 1 ∑ n=1 n n + 1 − n − 1) phân kỳ. b/ Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: Đề thi số 2 +∞ ( 23n+−31(x − 1) ) ∑ n=1 n n Thi ngày 20/6/2008 – Đề lẻ Câu I: a/ Phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính. b/ Dùng định lý trên để chứng tỏ hệ hai véc tơ sau là độc lập tuyến tính: { A 1 = (2,3,0,1);A 2 = (6,9,0,2)} . +∞ ( ) n x+ 5 Câu II: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: ∑ n=1 ln(n + 1) 3x + 1 n  1 2 −α 2 α  Câu III: Cho ma trận A =  1 5 α 1   1 1 −4 2α    Với giá trị nào của α thì rankA = 2 ? rankA = 3 ? Câu IV: Cho hệ phương trình tuyến tính: A X = Ο, trong đó:  2 A = 7  1  −4 −3 −8 −2 3 5 1 1 5 −3 1 1 −3 3 2 0 . 1 Hãy chỉ ra công thức nghiệm tổng quát với x1 ,x4 ,x5 làm ẩn cơ sở và một hệ nghiệm cơ bản của hệ đã cho. H ết 3