Tài liệu đề thi olimpic toán 11 tỉnh quảng nam 2016 2017 có đáp án

  • Số trang: 10 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 468 |
  • Lượt tải: 0
lechungchung

Tham gia: 07/01/2018

Mô tả:

đề thi olimpic toán 11 tỉnh quảng nam 2016 2017 có đáp án
Đề thi tham khảo dành cho hs lớp 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 11 CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 25/3/2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phương trình sau:   a) 2 cos  2 x    2sin x  1 0 3  b) 3(sin 2 x  cos x)  cos 2 x  sin x 2 Câu 2 (4,0 điểm). a) Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp: n n 1  (n  1) n , n  N , n 3 . 2  u1  3 b) Cho dãy số (un ) thỏa:  . 4u  u .u  6u 0, n  N * n  n 1 n 1 n Tìm số hạng tổng quát của (un ) và tính lim un . Câu 3 (4,0 điểm). a) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa: là số có 8 chữ số, trong đó có 2 chữ số lẻ khác nhau và 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng 2 lần. b) Một đa giác đều có 24 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác, tính xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu.  3 5x  3  2  x  1   x 1 f ( x )  Câu 4 (2,0 điểm). Cho hàm số  m.sin   x  2017      2  khi x  1 khi x 1 Tìm giá trị của m để hàm số f ( x) liên tục tại x 1 . Câu 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (1;0) và trực tâm H . Phương trình đường tròn đi qua ba trung điểm của ba cạnh HA , HB , HC là 2 2 5  1 25  . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .  x    y    6  6 18  Câu 6 (4,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhâ ̣t tâm O, AB a, BC a 3 , SA 3a . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD); M là trung điểm của OB. a) Gọi  góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SCD). Tính sin  . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM theo a . Page 1 Đề thi tham khảo dành cho hs lớp 11 –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ và tên thí sinh: …..…………………………………….; Số báo danh: ……………………... Page 2 Đề thi tham khảo dành cho hs lớp 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLIMPIC LỚP 11 CẤP TỈNH Năm học 2016 – 2017 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN (Đáp án – Thang điểm gồm 06 trang) Câu 1 (3,0 điểm) a   2 cos  2 x    2sin x  1 0 3     2  cos 2 x.cos  sin 2 x.sin   2sin x  1 0 3 3  0.25 3.sin 2 x  2sin x  1 0   2sin 2 x  2 3 sin x.cos x  2sin x 0 0.25   2 cos  2 x    2sin x  1 0  3   cos 2 x  1,5   2sin x(sin x  3.cos x  1) 0  sin x 0   sin x  3.cos x  1 0  sin x 0  x k .  1 sin x  3.cos x  1 0  sin( x  )  3 2    x  6  k .2   x   k .2  2   Vậy phương trình có nghiệm là: x k . , x   k .2 , x   k.2 6 2 0.25 0.25  b 3(sin 2 x  cos x)  cos 2 x  sin x 2 3(sin 2 x  cos x)  cos 2 x  sin x 2  3(2.sin x.cos x  cos x)  (2 cos 2 x  1)  sin x 2  2 3.sin x.cos x  3 cos x  sin x 1  2 cos 2 x 0.25 0.25 1,5 0.25  (3.cos 2 x  2. 3 cos x.sin x  sin 2 x)  ( 3 cos x  sin x) 0 0.25  ( 3 cos x  sin x) 2  ( 3 cos x  sin x) 0 0.25  3 cos x  sin x 0   3 cos x  sin x 1   * 3 cos x  sin x 0  cos( x  ) 0  x   k . 6 3  1  3.cos x  sin x 1  cos( x  )  6 2 0.25 Page 3 Đề thi tham khảo dành cho hs lớp 11 0.25    x  6  k .2   x    k .2  2    Vậy phương trình có nghiệm là: x   k . , x   k .2 , x   k .2 3 6 2 0.25 Câu 2 (4,0 điểm) a Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp quy nạp: n n 1  (n  1) n , n  N , n 3 . 2,0 - Xét n 3 : Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 81  64 (đúng). - Giả sử bất đẳng trên đúng với một số tự nhiên k tùy ý ( k 3 ) tức là: k k 1  (k  1) k + Ta đi chứng minh bất đẳng thức đã cho đúng với n k  1 , tức là đi chứng minh (k  1) k 2  (k  2) k 1 (1) k k 1 1 Từ giả thiết quy nạp ta có: k  (k  1)  (k  1) k Do đó để chứng minh (1), ta chỉ cần chứng minh: k k 1 k 2 k 1 (k  1)  (k  2) . (2) (k  1) k k 1 k 2 k 1 Ta có: (k  1)  (k  2) . k 1 k k k 1 k 1  (k  1) 2k 2   k (k  2)  k (k 1) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 k 1   (k  1)2    k ( k  2)   (k 2  2k 1) k 1  (k 2  2k ) k 1 (đúng) Suy ra (1) đúng, hay bất đẳng thức đã cho đúng với n k  1 . Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số thự nhiên n thỏa n 3 . b 0.25 2  u1  3 Cho dãy số (un ) thỏa:  . 4u  u .u  6u 0, n  N * n  n 1 n 1 n 0.25 0.25 2,0 Tìm số hạng tổng quát của (un ) và tính lim un . 4un 1  un 1.un  6un 0  un 1 (4  un ) 6un  un1  6un 4  un 0.25 * Dễ dàng chứng minh được un  0, n  N . 6un 1 1 2 1 1       (1). 4  un un 1 2 3  un 2  n 1 n 1 1 1 2  2  2 v   Đặt n ; khi đó từ (1) suy ra: vn 1  vn  vn v1 .     . un 2 3  3  3 Do đó un 1  0.5 0.5 0.5 Page 4 Đề thi tham khảo dành cho hs lớp 11 1 1  2   Suy ra: un 2  3  n 1  un  1 1  2   2  3     1   2 Do đó lim un lim  1  2  n 1       2  3  n 1 . 0.25 Page 5 Đề thi tham khảo dành cho hs lớp 11 Câu 3 (4,0 điểm) a b Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa: là số có 8 chữ số, trong đó có 2 chữ số lẻ khác nhau và 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng 2 lần. 2,0 * Bước 1: Xét số có 8 chữ số , trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu). 2 3 - Từ 10 chữ số chọn ra 5 chữ số khác nhau gồm 2 số lẻ và 3 số chẵn có C5 .C5 cách chọn. 0.25 + Với mỗi cách chọn trên ta có: số các số có 8 chữ số trong đó có 2 chữ số lẻ khác nhau 0.5 8! và 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần là số. 2!2!2! 8! 2 3 2 3 0.25 504000 số (kể cả số 0 + Vậy với C5 .C5 cách chọn ở trên ta tạo được C5 .C5 . 2!2!2! đứng đầu tiên) * Bước 2: Xét các số thoả mãn điều kiện ở bước 1 mà có chữ số 0 đứng đầu . - Từ 9 số đã cho (bỏ số 0) chọn ra 4 số khác nhau gồm 2 số lẻ và 2 số chẵn (vì đã có số 0 2 2 0.25 đứng đầu) có C5 .C4 cách chọn. + Với mỗi cách chọn trên ta có: số các số có 8 chữ số có số 0 đứng đầu, trong đó có mặt 2 chữ số lẻ khác nhau, 3 chữ số chẵn khác nhau và mỗi chữ số chẵn khác 0 có mặt đúng 0.25 7! hai lần là số. 2!2! 7! 2 2 2 2 75600 số ( ở bước 2) + Vậy với C5 .C4 cách chọn ở trên ta tạo được C5 .C4 . 2!2! 0.25 * Từ 2 bước trên suy ra số các số thoả đề bài là: 504000  75600 428400 số 0.25 b) Một đa giác đều có 24 đỉnh, tất cả các cạnh của đa giác sơn màu xanh và tất cả các đường chéo của đa giác đó sơn màu đỏ. Gọi X là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh 2,0 là các đỉnh của đa giác đều trên. Người ta chọn ngẫu nhiên từ X một tam giác, tính xác suất để chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu. Gọi đa giác là A1A2.....A24 0.25 Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)= C324 =2024 0.25 Gọi A là biến cố chọn được tam giác có ba cạnh cùng màu, ba cạnh này cùng màu đỏ. Gọi B là biến cố chọn được tam giác có đúng 1 cạnh màu xanh (cạnh đa giác) 0.25 Giả sử xét cạnh màu xanh A1A2, ta có 20 cách chọn đỉnh Ai ( Ai  {A4; A5;...;A23}) 0.25 Nên số phần tử của B là n(B) = 24.20 = 480 . Gọi C là biến có chọn được tam giác có hai cạnh màu xanh, như vậy tam giác đó có hai cạnh là hai cạnh liên tiếp của đa giác, nên n(C) = 24 0.25 Ta có n(A) + n(B) + n(C) = n(  ) 0.25 Suy ra số phần tử biến cố A là 0.25 n  A  = n()  n(B)  n  C  2024  480  24 1520 Vậy xác suất của biến cố A là P(A)= n(A) 190  n(Ω) 253 0.25 Câu 4 (2,0 điểm) Page 6 Đề thi tham khảo dành cho hs lớp 11  3 5x  3  2  x  1   x 1 Cho hàm số f ( x)  m.sin   x  2017      2  khi x  1 khi x 1 Tìm giá trị của m để hàm số f ( x) liên tục tại x 1 .   f (1) m.sin   2017   m 2  0,25 lim f ( x)  m 0,25   3 5x  3  2   2  x  1    ( 3 5 x  3  2)  ( 2  x  1)  lim f ( x) lim   lim       x  1   x 1 x 1 x  1 x  1     x  1     0,25 x  1 + Tính được: lim  x 1 3 5x  3  2 5  x 1 12 0,5 2 x  1 1  x 1 x 1 2 11 Suy ra lim f ( x)  x 1 12 Để f ( x) liên tục tại x 1 thì lim f ( x) lim f ( x)  f (1) + Tính được: lim  x 1 Suy ra: m  x 1 0,25 0,25 0,25 11 là giá trị cần tìm. 12 Câu 5 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (1;0) và trực tâm H . Phương trình đường tròn đi qua ba trung điểm của ba cạnh HA , HB , HC là 2 2 5  1 25  . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .  x    y    6  6 18  Page 7 Đề thi tham khảo dành cho hs lớp 11 - Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. - Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh HA, HB, HC. + CH  IE và CH / / ME . Suy ra ME  IE (1). + Tương tự, chứng minh được MF  IF (2). 0.5 0.25 Từ (1) và (2) suy ra M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF. 0.25 - Tương tự, N và P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF. Suy ra sáu điểm: M, N, P, I, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 0.25 0.25 Như vậy đường tròn qua I;E;F cũng qua ba trung điểm ba cạnh. Do đó xét phép vị tự tâm G tỉ số k  2 biến đường tròn (IEF) thành đường tròn (ABC) 0.25 5 1 6 6 Ta có đường tròn (IEF) có tâm O1 ( ; ) bán kính R1    5 3 2 . 0.25 4 1 ) 3 3 Gọi O2 là tâm đường tròn (ABC) ta có: GO2  2GO1 , ta tìm được O2 ( ' 0.5 5 2 . Khi đó phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 3 2 2 4  1  50  là:  x     y    3  3 9  0.25 Bán kính R2  0.25 Câu 6 (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhâ ̣t tâm O, AB a, BC a 3 , SA 3a . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD); M là trung điểm của OB. a) Gọi  góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SCD). Tính sin  . b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM theo a . Page 8 Đề thi tham khảo dành cho hs lớp 11 (Hình vẽ phục vụ câu a - 0,5 điểm) a Gọi  góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SCD). Tính sin  . + Lâ ̣p luâ ̣n được SA vuông góc với (ABCD). + Gọi H là là hình chiếu vuông góc của A lên SD + Chứng minh được AH vuông góc với (SCD). + Gọi E là trung điểm của CH. Suy ra OE  (SCD) + Suy ra hình chiếu vuông góc của SO lên (SCD) là SE.   + Suy ra được góc giữa SO và (SCD) là góc OSE , hay  OSE . OE   +Trong tam giác vuông SOE tại E có: sin  sin OSE OS b 1,5 0,25 0,25 0,25 1 1 1 1 1 4 3a 3a = + = + =  AH=  OE= + AH 2 AS2 AD2 9a 2 3a 2 9a 2 2 4 0,25 AC= AB2 +BC 2 =2a  AO=a ; SO= SA 2 +AO 2 =a 10 0,25 3   Suy ra sin  sin OSE 4 10 0,25 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM theo a . 2,0 + Qua B dựng đường thẳng d song song với CM, hạ AK vuông góc với d tại K . + Đường thẳng CM căt AB và AK lần lượt tại N và F. Chứng minh được NA=2NB. 0,25 1 3 + Suy ra: d  CM,SB  =d(CM,(SKB))=d(N,(SKB))= .d(A,(SKB)) . 0,25 + Chứng minh được (SKB)  (SAK) . Suy ra được d(A,(SKB))=AP 0,25 2 2 1 2 1 a2 2a 7 SΔANC = .SΔABC = . SABCD  . .a.a 3  , CN= BC 2 +BN 2 = 3 3 2 3 2 3 3 0,25 Page 9 Đề thi tham khảo dành cho hs lớp 11 Suy ra: AF= a 3 3 3 a 3 3a 3 = ; AK= AF= . 2 2 7 2 7 7 3a 3 3a 3 hay d(A,(SKB))=AP= 31 31 1 a 3 Suy ra d  CM,SB  = .d(A,(SKB))= 3 31 Tính được: AP= 0,25 0,5 0,25 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm. ĐỀ THI HAY THAM KHẢO.CHÚC CÁC E THI ĐẠT ĐIỂM CAO Page 10
- Xem thêm -