KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
NĂM HỌC 2018-2019
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2.5 điểm).
a) Cho hàm số y x 3 3mx 2 4m 2 2 có đồ thị là Cm . Tìm m để đồ thị hàm số Cm có
hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 với điểm C 1; 4 .
2x 4
có đồ thị là C và hai điểm M 3;0 , N 1; 1 . Tìm trên đồ thị
x 1
hàm số C hai điểm A, B sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng MN .
Câu 2 (2.0 điểm).
a) Giải phương trình: 4cos 2 x 1 sin x 2 3 cos x cos 2 x 1 2sin x.
b) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác
b) Cho hàm số y
suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn
5
.
6
3 x 2 2 x 5 2 x x 2 1 2 y 1 y 2 2 y 2
Câu 3 (1.0 điểm).Giải hệ phương trình
2
2
x 2 y 2 x 4 y 3
x, y
Câu 4 (1.5 điểm). Cho hình hộp đứng ABCD. A1B1C1D1 có các cạnh AB AD 2, AA1 3
600 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh A D và A B .
và góc BAD
1
1
1 1
a) Chứng minh rằng AC1 vuông góc với mặt phẳng BDMN .
b) Tính thể tích khối chóp A.BDMN .
Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 3, BC 6,
mặt phẳng SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng SBC và SCD cùng tạo với mặt
phẳng ABCD các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng
6. Tính thể tích khối chóp S . ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BD.
Câu 6 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường
tròn tâm J 2;1 . Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình:
2 x y 10 0 và D 2; 4 là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường
thẳng có phương trình x y 7 0.
Câu 7 (1.0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A
7
121
.
2
2
a b c 14 ab bc ca
2
------------------- Hết -------------------
- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………………………….; Số báo danh:………………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài thí
sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với
phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu 1.a (1.25 điểm) Cho hàm số y x 3 3mx 2 4m 2 2 có đồ thị là Cm . Tìm m để đồ thị
hàm số Cm có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 với điểm
C 1; 4 .
Nội dung
Điểm
TXĐ: D .
Đạo hàm: y ' 3 x 2 6mx
x 0
y ' 0 3 x 2 6mx 0
. Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì m 0.
x 2m
Tọa độ hai điểm cực trị là A 0; 4m 2 2 , B 2m; 4m3 4m 2 2 .
Ta có: AB 2m; 4m3 AB 4m 2 16m6 2 m 1 4m 4 .
0.25
0.5
Phương trình đường AB : 2m 2 x y 4m 2 2 0.
d C ; AB
6 2m 2
1 4m 4
, suy ra S ABC
1
d C ; AB . AB 6m 2m3 .
2
m 1
.
Do đó 6m 2m3 4
m 2
0.25
0.25
2x 4
có đồ thị là C và hai điểm
x 1
M 3;0 , N 1; 1 . Tìm trên đồ thị hàm số C hai điểm A, B sao cho chúng đối xứng
nhau qua đường thẳng MN .
Nội dung
Điểm
Phương trình đường MN : x 2 y 3 0 .
Phương trình đường AB : y 2 x m .
0.25
2x 4
2 x m . ĐK: x 1.
Khi đó hai điểm A, B có hoành độ thỏa mãn:
0.25
x 1
2
Pt 2 x mx m 4 0 1
Câu 1.b (1.25 điểm) Cho hàm số
y
Trang 1/6, HDC HSG12-Môn Toán
Để đường AB cắt C tại hai điểm phân biệt thì pt 1 có hai nghiệm phân biệt
m 4 4 3
0
.
khác -1
m 2 8m 32 0
2 m m 4 0
m 4 4 3
x x
Trung điểm I của đoạn AB có tọa độ 1 2 ; x1 x2 m với x1 , x2 là nghiệm
0.5
2
m
m m
của pt 1 . Mà x1 x2 nên I ; .
2
4 2
m
m
Ta có: I MN nên 2. 3 0 m 4 ( thỏa mãn).
0.25
4
2
Suy ra A 0; 4 , B 2;0 hoặc A 2;0 , B 0; 4 .
Câu 2.a (1.0 điểm) 4cos 2 x 1 sin x 2 3 cos x cos 2 x 1 2sin x.
Nội dung
Điểm
Phương trình tương đương với:
0.25
2sin x(2cos 2 x 1) 2 3 cos x cos 2 x 4cos 2 x 1 0.
2sin x cos 2 x 2 3 cos x cos 2 x 3cos 2 x sin 2 x 0
2cos 2 x sin x 3 cos x
3 cos x sin x 2cos 2 x
0.25
3 cos x sin x 0
3 cos x sin x 0
3 cos x sin x
+) 3 cos x sin x 0 tan x 3 x
3
k .
0.25
5
x
k 2
0.25
5
6
.
+) 2cos 2 x 3 cos x sin x 0 cos 2 x cos x
6
x 5 k 2
18
3
5
5 k 2
Vậy phương trình có nghiệm: x k , x
.
2 k , x
6
18
3
3
Câu 2.b (1.0 điểm) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao
nhiêu thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn
5
.
6
Nội dung
Điểm
Trong 9 thẻ đã cho có hai thẻ ghi số chia hết cho 4 (các thẻ ghi số 4 và 8), 7 thẻ còn 0.25
lại ghi số không chia hết cho 4.
Giả sử rút x 1 x 9; x , số cách chọn x từ 9 thẻ trong hộp là C9x , số phần tử
của không gian mẫu là: C9x .
Gọi A là biến cố:” Trong số x thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4”
Suy ra A là biến cố:” Lấy x tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4”
Số cách chọn tương ứng với biến cố A là A C7x
Trang 2/6, HDC HSG12-Môn Toán
Ta có P A
C7x
C7x
1
P
A
C9x
C9x
0.25
Do đó P A
Cx 5
5
1 7x x 2 17 x 60 0 5 x 12 6 x 9
C9 6
6
0.25
Vậy giá trị nhỏ nhất của x là 6. Vậy số thẻ ít nhất phải rút là 6.
3 x 2 2 x 5 2 x x 2 1 2 y 1 y 2 2 y 2
Câu 3. (1.0 điểm)
2
2
x 2 y 2 x 4 y 3
0.25
x, y
Nội dung
Điểm
3 x 2 2 x 5 2 x x 2 1 2 y 1 y 2 2 y 2 0 (1)
Hệ đã cho trở thành:
2
2
x 2 y 2 x 4 y 3 0 (2)
3x 2 2 x 5 2 x x 2 1 2 y 1 y 2 2 y 2 x 2 2 y 2 2 x 4 y 3
x 2 x x 2 1 y 1 y 1
2
y 1
2
0.25
1 (*)
Xét hàm số: f (t ) t 2 t t 2 1 (t ) có f '(t ) 2t t 2 1
Suy ra f t là hàm số đồng biến trên
t2
t2 1
2t 2t 0
0.25
Do đó từ phương trình (*) ta có: x y 1 thế vào phương trình (2) ta được:
2
y
2
2
2
y
1
2
y
2
y
1
4
y
3
0
3
y
4
y
4
0
3
y
2
+) Với y 2 x 1
2
5
+) Với y x
3
3
5 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y là: 1; 2 ; ; .
3 2
Câu
4.a
(0.75
0.25
0.25
điểm)
Cho hình hộp đứng ABCD. A1 B1C1 D1 có các cạnh
600 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB AD 2, AA1 3 và góc BAD
A1D1 và A1B1. Chứng minh rằng AC1 vuông góc với mặt phẳng BDMN .
Trang 3/6, HDC HSG12-Môn Toán
Điểm
Nội dung
Ta có: BD AC , BD AA1 BD mp( ACC1 A1 ) AC1 BD.
1
1 2 1 2
Mặtkhác: AC1.BN AB BC CC1 BB1 BA AB BA.BC BB1 =
2
2
2
2 1 3 0. Suy ra AC1 BN 2 .
0.25
0.5
Từ 1 và 2 AC1 ( BCMN ).
Câu 4.b (0.75 điểm) Tính thể tích khối chóp A.BDMN .
Nội dung
Gọi AA1 DM BN I A1 , M , N lần lượt là trung điểm của AI , DI , BI .
Điểm
0.25
VI . AMN IA.IM .IN 1
3
VA. BDMN VI . ABD
4
VI . ABD
IA.IB.ID 4
3 1
1
3 3
dvtt
Suy ra VA. BCMN . .IA.SABD .2 3.22.
4 3
4
4
2
3
Vậy thể tích khối chóp A.BDMN bằng .
2
0.5
Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB 3, BC 6,
mặt phẳng SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng SBC và SCD cùng tạo với mặt
phẳng ABCD các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng
6. Tính thể tích khối chóp S . ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BD.
Trang 4/6, HDC HSG12-Môn Toán
Điểm
Nội dung
Hạ SH AB H AB SH ABCD
Kẻ HK CD K CD tứ giác HBCK là hình chữ nhật.
Ta có: BC SAB Góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD là: SBH
CD SHK Góc giữa mặt phẳng SCD và ABCD là: SKH
SKH
SHB SHK g c g HK HB BC 6 .
Theo giả thiết: SBH
Do đó A là trung điểm của HB.
Ta thấy ABDK là hình bình hành BD / / AK BD / / SAK mà SA SAK
0.25
0.25
Suy ra d BD, SA d BD, SAK d D, SAK d H , SAK h 6.
Do tam diện H .SAK vuông tại H nên:
SH 6
1
1
1
1
1
1
1 1
2
2
2
2
2
6 HS
9 36
h
HS
HA HK
0.25
1
1
Suy ra VS . ABCD .SH .S ABCD .6.3.6 36 (dvtt).
3
3
Gọi là góc giữa hai đường thẳng SA và BD BD, SA AK , SA
Ta có: SA 6 2, SA AK 3 5. Trong tam giác SAK có:
AS 2 AK 2 SK 2 45 45 72 1
.
2. AS . AK
2.3 5.3 5 5
arccos 1 .
Vậy SAK
5
cos SAK
0.25
Câu 6. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường
tròn tâm J 2;1 . Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình:
2 x y 10 0 và D 2; 4 là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường
thẳng có phương trình x y 7 0.
Nội dung
Điểm
Trang 5/6, HDC HSG12-Môn Toán
AJ đi qua J 2;1 và D 2; 4 nên AJ có phương trình : x 2 0
Gọi H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A . Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ :
0.25
x 2 0
x 2
A 2;6 .
2 x y 10 0
y 6
Gọi E là giao điểm thứ hai của BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
DC
DB DC và EA
EC
Ta có DB
1 sd EC
sd DC
1 sd EA
sd DB
DJB
DBJ cân tại D.
DBJ
2
2
DB DC DJ hay D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC.
0.25
Suy ra B, C nằm trên đường tròn tâm D 2; 4 bán kính JD 0 5 5 có phương
2
trình x 2 y 4 25. Khi đó tọa độ B là hệ của nghiệm:
2
2
2
2
B 3; 4
x 2 y 4 25 x 3 x 2
y 4 y 9 B 2; 9
x y 7 0
0.25
Do B có hoành độ âm nên B 3; 4 .
BC đi qua B 3; 4 và vuông góc AH nên có phương trình: x 2 y 5 0 .
x 2 2 y 4 2 25
Khi đó C là nghiệm của hệ:
x 2 y 5 0
Vậy A 2;6 , B 3; 4 , C 5; 0 .
C 5;0
0.25
Câu 7. (1.0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A
7
121
.
2
2
a b c 14 ab bc ca
2
Nội dung
Ta có 1 a b c a 2 b 2 c 2 2 ab bc ca ab bc ca
2
Do đó A
7
121
2
2
2
a b c 7 1 a b2 c 2
2
1 a b c
2
2
2
2
Điểm
0.25
Trang 6/6, HDC HSG12-Môn Toán
Đặt t a 2 b 2 c 2 .
Vì a, b, c 0 và a b c 1 nên 0 a 1, 0 b 1, 0 c 1
Suy ra t a 2 b 2 c 2 a b c 1
2
Mặt khác 1 a b c a 2 b 2 c 2 2 ab bc ca 3 a 2 b 2 c 2
1
0.25
1
Suy ra t a 2 b 2 c 2 . Vậy t ;1 .
3
3
7
t
Xét hàm số f t
f 't
121
1
; t ;1
7(1 t )
3
7
121
2
2
t
7 1 t
f 't 0 t
0.25
7
18
Lập BBT của hàm số f t
324
1
; t ;1 .
7
3
324
1
1
1
Vậy min A
đạt được khi a ; b ; c .
7
2
3
6
Dựa vào BBT suy ra f t
0.25
------------------- Hết -------------------
Trang 7/6, HDC HSG12-Môn Toán
- Xem thêm -
.PDF 
8 
247 
147 
