Tài liệu đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7 năm học 2014 2015

UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN – Lớp 7 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (1,5 điểm): a) Cho A = 31 + 32 + 33 + ... + 32015. Tìm n biết rằng: 2A + 3 = 3n. b) Cho S1 = 1; S2 = 2 + 3; S3 = 4 + 5 + 6; ... Hãy tính S100. Bài 2 (1,5 điểm): 3a  4b 3c  4d a c  . Chứng minh rằng:  . 5a  6b 5c  6d b d a1 a2 a3 a   ...  9 . b) Cho dãy tỷ số bằng nhau: a2 a3 a4 a10 a) Cho tỷ lệ thức 9  a  a  ...  a9  a1 Chứng minh rằng:  1 2   a10  a2  a3  ...  a10  Bài 3 (2,0 điểm): Tìm x biết: a) 3x  3x 1  3x 2  3x 3 3240 2 2 b) 4 x  3 x  2 4 x  2 x  3 Bài 4 (2,0 điểm): x 2  15 Cho A = 2 . x 3 a) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. b) Tìm giá trị lớn nhất của A khi x thay đổi. Bài 5 (3,0 điểm): Tam giác ABC vuông cân tại A có AD là trung tuyến. Trên đoạn thẳng DC lấy điểm H. Hạ BE và CF vuông góc với đường thẳng AH (E, F thuộc đường thẳng AH) a) Chứng minh BE = AF. b) Gọi G là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng GH song song với AC. c) Chứng minh tam giác DEF vuông cân tại D. d) Chứng minh HE > HD. KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN – Lớp 7 UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1(1,5 điểm): 2A + 3 = 3A – A + 3 = 32 + 33 + ... + 32016 – (31 + 32 + 33 + ... + 32015) + 3 = 32016. 32016 = 3n  n = 2016 S1 + S2 + S3 + ... + S99 = 1 + 2 + 3 + ... + n trong đó n = 1 + 2 + 3 + ... + 99 = 99(99+1):2 = 4950. S100 = (4950 + 1) + (4950 + 2) + ... + (4950 + 100) = 4950.100 + (1 + 2 + 3 + ... + 100) = 495000 + 5050 = 500050 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2(1,5 điểm):  3a  4b   5c  6d   3c  4d   5a  6b  15ac  18ad  20bc  24bd 15ac  18bc  20ad  24bd 38bc 38ad a c ad = bc   b d a a  a  ...  a9  1 1 2 (Tính chất dãy tỷ số bằng nhau). a2 a2  a3  ...  a10 9  a   a  a  ...  a9    1   1 2   a2   a2  a3  ...  a10  0,25 0,25 0,25 0,25 9 0,25 9 a  a a a a Có:  1   1 . 2 ... 9  1  đpcm a2 a3 a10 a10  a2  0,25 Bài 3(2,0 điểm): 3x  3.3x  9.3x  27.3x 3240 x 3 (1 + 3+ 9 + 27) = 3240 3x = 3240: 40 = 81 3x = 34 x = 4. 2 2 2 Vì 4 x  3x  2 ≥0 nên được: 4 x  3x  2 4 x  2 x  3 3 x  2 2 x  3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3x  2 2 x  3 được x = 1 3x  2 0 0,25  3x  2 2 x  3 được x = -1 3x  2  0 0,25 Giải:  Giải:  Bài 4(2,0 điểm): x 2  3  12 12  1  x2  3 x2  3 12 Để A nguyên thì 2 nguyên  x2 + 3 là ước của 12 x 3 A= (*) x2 + 3 ≥ 3 nên x2 + 3 { 3; 4; 6; 12} x  Z được x = 0; x = ±1; x = ±3 Từ (*) được A lớn nhất khi 12 lớn nhất x 3 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 12 lớn nhất khi x2 + 3 nhỏ nhất x 3 0,25 x2 ≥ 0 nên x2 nhỏ nhất khi x = 0 Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 + 12:3 = 5 khi x = 0 0,25 0,25 2 Bài 5(3,0 điểm): Hai tam giác vuông EBA và FAC bằng nhau vì: - AB = AC (ABC cân tại A)    - EBA (Cùng phụ với BAE ) = FAC  BE = AF. Tam giác ABH có AD, CE là các đường cao  HG là đường cao thứ ba  HG AB  HG song song với AC    Chứng tỏ được: DAE (cùng phụ với cặp góc: FHC = DCF  AHD ) Từ ABC vuông cân chứng minh được AD = CD Từ a) có AE = CF  DAE = DCF (*)  DE = DF  DEF cân tại D.   Từ (*) có ADE . = CDF    EDF  ADC  EDF  900 . Vậy DEF vuông cân tại D.  Từ c) được DEH  450   EHD  900  EDH  450    EDH  DEH  HE  HD (Quan hệ cạnh đối diện) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25