SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
1 x x
1
1 1
.
x
x 1
Tính giá trị của biểu thức P khi x 4 2 3 .
a)
Rút gọn biểu thức P
b) Cho 4 x y 8, hãy tính giá trị của biểu thức A =
y 8 3x 2 y 4
x
y 8
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình 2 x 1 x x 2 2 .
x y z
4 3 12 1
b) Giả sử hệ phương trình
có nghiệm x; y; z .
x
y
z
1
3 10 5
Chứng tỏ x y z không đổi.
Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y x có đồ thị là (G). Trên đồ
thị (G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là 1 và 3 .
a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d.
Bài 4: (3,0 điểm)
a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn. Từ trung
điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và PD lần
lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F. Chứng minh DCE = DPE + CAF và tam giác
PBC đồng dạng tam giác DBP.
b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB. Trong tam giác ABC lấy điểm O
tùy ý. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA,
AB. Chứng minh rằng:
OI + OJ + OK < BC
----- HẾT ----Họ và tên thí sinh: .................................................
Số báo danh:.....................................................
Chữ ký của giám thị 1: ..........................................
Chữ ký của giám thị 2:......................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
BÀI CÂU
Bài Câu a
1
1,75
2,50
đ
đ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỐP 9
NỘI DUNG
x
0,
x
1.
ĐK:
x 1 x x 1
x1
P
1 .
x
x1
x 1
P
x
x1
.
x
x1
x
0,25
3 1
2
P 3 1.
Câu b
1,00
đ
Bài Câu a
3 100 đ
2,0
đ
Câu b
1,00 đ
0,50
0,25
y 8
4
x
4 x y 8 y 4 x 8
3 x 2 y 4 3x 2(4 x 8) 4 3 x 8 x 16 4 5 x 20 5( x 4)
y 8 4 x 16 4( x 4)
4 x y 8
0,25
0,25
0,25
5 11
4
4
0,25
Điều kiện x 0 .
0,25
A= 4
Bài Câu a
2
1,50
2,50
đ
đ
0,50
Khi x 4 2 3 thì P
Câu b
0,75
đ
ĐIỂM
PT x x
0,25
x 2 0 .
0,25
x 2
x x1
x 2 0 .
Suy ra: x 2 0, x x 1 0 x 1; x 4 .
KL: Nghiệm PT là x 1; x 4.
3 x 4 y z 12 (1)
HPT
.
10 x 3 y 6 z 30 (2)
0,50
0,25
(2) Trừ (1): 7 x y z 18
18
KL : x y z không đổi.
7
HS vẽ đúng đồ thị y x .
0,50
Ta có: A 1;1 , B 3;3 .
0,25
1
3
PT đường thẳng AB: y x .
2
2
Nhận xét tam giác OAB vuông tại O.
1
1
1
2
Hạ OH vuông góc với AB
.
2
OH
OA OB 2
3 5
KL: Khoảng cách cần tìm là
.
5
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
Bài Câu a
4 1,75 đ
3,0
đ
A
E
B
O
C
P
F
sđ DCE =
D
1
1
1
sđ DE, sđ DPE = sđ(DE - CF), sđ CAF = sđ CF
2
2
2
0,50
1
1
sđ(DE - CF + CF) =
sđ DE
2
2
Vậy: DCE = DPE + CAF
BC BA
Ta có: BA2 = BC . BD
nhưng BA = BP
BA BD
BC BP
; PBC = PBD
Do đó:
BP BD
Vậy: tam giác PBC và DBP đồng dạng
0,25
Do đó sđ(DPE + CAF) =
Câu a
1,25 đ
0,25
0,25
0,25
0,25
A
F
F
K
J
O
E
AK
J
M
E
L
M
B
L
B
X
I
D
Y
X
I
D Y
C
C
Vẽ các tia AO, BO, CO lần l;ượt cắt BC, CA, AB tại D, E, F ta có:
(1)
OI OD ; OJ OE ; OK OF
Qua O vẽ các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt BC tại các điểm
X và Y. Qua X vẽ đường thẳng song song với CF cắt AB tại M; qua Y vẽ đường
thẳng song song với BE cắt AC tại L. Ta có các kết quả sau:
(2)
OE = YL ( OELY là hình bình hành); OF = XM
(3) OXY ABC OX < OY < XY mà 2OD < OX+OY OD < XY
(4) MBX FBC MX < BX (vì FBC cũng có cạnh BC lớn nhất)
(5) LYC EBC YL < YC (vì EBC cũng có cạnh BC lớn nhất)
Từ 5 kết quả suy luận trên ta được:
OI + OJ + OK OD + OE + OF < XY + YC + XM = BC
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
HƯỚNG DẪN CHẤM:
Học sinh có lời giải khác với đáp án chấm thi nếu có lập luận đúng dựa vào SGK hiện hành và
có kết quả chính xác đến ý nào thì cho điểm tối đa ở ý đó; chỉ cho điểm đến phần học sinh làm
đúng từ trên xuống dưới và phần làm bài sau không cho điểm. Điểm toàn bài thi không làm
tròn số.
Điểm ở mỗi ý nhỏ cần thảo luận kỹ để được chấm thống nhất . Tuy nhiên , điểm từng câu và
từng ý không được thay đổi.
…HẾT…
- Xem thêm -