Tài liệu đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán lớp 9

PHÒNG GD – ĐT ĐỨC CƠ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Trường : THCS Nguyễn Trãi Môn: Toán Lớp: 9 Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI Bài 1: (3,0 điểm) Cho a,b,c > 0. Chứng minh : a) a b  2 b a  1 1 1 1  1 1 b) a.     b.     c.    6 b c c a a b Bài 2: (3,0 điểm)  x4 x   1 2 x 1     :   , với x  0, x 4 . x   x 4 2 x   x 2 x Cho biểu thức A=  a) Rút gọn A. b) Tìm x sao cho A < 1 Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình. a) b) x  6 x  9 2 x  2 x  4 x  6 x  8 x  10 x  12      17 15 13 11 9 7 Bài 4: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để n  18 và n  41 là hai số chính phương. Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh đa thức sau. A = n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n Bài 6: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt cạnh AB tại điểm D và đường tròn đường kính CH cắt cạnh AC tại điểm E. Gọi I,J theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH a,Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm trên một đường tròn . Xác định hình dạng tứ giác ADHE. b,Chứng minh DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn c,Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng DE? GV ra đề Nguyễn Thị Kim Yến ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài 1: (3,0 điểm) a) Do a, b  0 (0,25điểm) a b  2 b a a2  b2  2 ab  (0,25điểm)  a 2  b 2  2ab 0 (0,25điểm) a b 2 (0,25điểm) 1 1 1 1 1 1       b) a.     b.     c.   6 b c c a  a b a a b b c c vt       b c c a a b (0,25điểm) a b a c b c =         b a  c (0,5điểm) b a bất đẳng thức này đúng =>  2   a  b  0 a c b Áp dụng câu a, ta có: a b  2 b a (1) (0,25điểm) a c  2 c a (2) (0,25điểm) b c  2 c b (3) (0,25điểm) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được điều phải chứng minh (0,5điểm) Bài 2: (3,0 điểm) a) Với x > 0 thì  x 4 x 2 x 2 x  x    x  2 và x 2  (0,25điểm) Thực hiện biến đổi  x4 x   1 2 x 1     :   x   x 4 2 x   x 2 x A=  = x4 x   x 2  x 2 x 2   : 1 2 x x  x 2 x 2  (0,5điểm) = x x2 x 4  x 2  x 2  . x  x 2  x 3 (0,5điểm) = 2   x 2 x 2   x 2  . x  x 2  x 3 (0,5điểm) = 2 x x 3 (0,25điểm) b) A  1 khi 2 x  1 * vì x  0  x 3 (0,25điểm) Do đó *  2 x  x  3 (0,25điểm)  x 3  x 9 (0,5điểm) x 3  0 Bài 3: Giải phương trình. (4,0 điểm) a) Điều kiện x 0 (0,25điểm) x  6 x  9 2   x 3  2 2 (0,25điểm)  x  3 2 (0,25điểm)  x  3 2 hoặc x  3  2 (0,25điểm)  x 25 hoặc x 1 (0,25điểm) b) x  2 x  4 x  6 x  8 x  10 x  12      17 15 13 11 9 7 (1)  x  2   x  4   x  6   x  8   x  10   x  12  (1)    1    1    1   1    1    1  17   15   13   11   9   7  điểm) (1,0  x  19   x  19   x  19   x  19   x  19   x  19               17   15   13   11   9   7  (0,5điểm)  1 1 1 1 1 1  ( x  19)        0  17 15 13 11 9 7  (0,5điểm) 1 1 1 1 1 1   do        0  17 15 13 11 9 7   x  19 0  x  19 (0,75điểm) Bài 4 : (2,5 điểm) Số n  18 và n  41 là hai số chính phương 2  n  18  p 2 và n  41 q  p, q  N (0,5điểm)  p 2  q 2  n  18   n  41 59   p  q   p  q  59 (0,5điểm) p q  1   p  q 59 Nhưng 59 là số nguyên tố nên:  (0,5điểm) Ta có : n  18  p 2 302 900 suy ra n 882 (0,5điểm)  p 30   q 29 Thay vào n  41 , ta được 882  41 841 292 q 2 . (0,5điểm) Vậy với n 882 thì n  18 và n  41 là hai số chính phương. (0,5điểm) Bài 5: (1,5 điểm) A = n3 + 3n2 + 2n A = n(n2 + 3n +2) (0,25điểm) = n (n+1)(n+2) (0,5điểm) Trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 mà ƯCLN(2,3)=1 (0,25điểm)  A = n (n+1)(n+3)  6 với mọi số nguyên n (0,25điểm) Vậy A = n3 + 3n2 +2n 6 với mọi số nguyên n (0,25điểm) Bài 6: (6,0 điểm ) A 1 - Vẽ hình đúng 2 E 1 2 3 D B C I H J 0,25 điểm   Ta có D E 900 0,25 điểm  Hai điểm D, E nằm trên đường tròn đường kính AH. 0,25 điểm Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.(Tứ giác có 3 góc vuông)   Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, suy ra A1 E1 0,5 điểm 0,25 điểm    Ta lại có : A1 C (cùng phụ với A2 ) 0,25 điểm   C E3 ( EJC cân)    E1 E3    mà E2  E3 900 0,25 điểm   E  E 900  DÊJ 900 1 2  DE  JE DE là tiếp tuyến tại E của đường tròn (J). Chứng minh tương tự, ta có DE là tiếp tuyến tại D của đường tròn (I) hay DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (I) và (J). 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Trong tam giác vuông ABC, áp dụng định lí Pytago ta có : BC 2 62  82  BC 10 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm AB2 = BH.BC  BH  AB 2 36  3, 6 BC 10 0,25 điểm 0,25 điểm CH= 10 – 3,6 = 6,4 Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên 0,5 điểm 2 DE = AH; AH = CH. BH = 3,6 . 6,4  DE  3,6.6, 4  36.64 4,8 100 0,5 điểm