Mô tả:
PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ
ĐỀ THI KIỂM TRA NĂNG LỰC
---------o0o--------
HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút
72
a) Tìm các chữ số x, y sao cho 2013xy M
Bài 1:
b) Đa thức bậc bốn f(x) thỏa mãn f(1) = 2035; f(2) = 2221; f(0) = 2013 và f(x) = f(-x).
Tính f(3)
c) Độ dài 3 cạnh của một tam giác tỷ lệ với 2, 3, 4. Hỏi ba chiều cao tương ứng với 3
cạnh đó tỷ lệ với 3 số nào ?
72
Giải: a) Ta có 72 = 9. 8 và (9; 8) = 1. Do đó 2013xy M 2013xy chia hết cho 8, cho 9
2013xyM 3xyM
8
8
8
8
300 xy M 4 xy M
xy 04;12; 20; 28;36; 44;52;60;68;76;84;92 (1)
2013xy M
9
9
6 x y M (2). Từ (1) và (2) ta tìm được x; y 1; 2 ; 8; 4
b) Đa thức bậc bốn có dạng f x ax 4 bx 3 cx 2 dx e , theo bài ra f(x) = f(-x) do đó
ax 4 bx 3 cx 2 dx e ax 4 bx 3 cx 2 dx e bx 3 dx 0
Vậy f x ax 4 cx 2 e với f(1) = 2035; f(2) = 2221; f(0) = 2013
a c e 2035
16a 4c e 2221
e 2013
a c 22
4a c 52
e 2013
a 10
c 12
f x 10x 4 12x 2 2013
e 2013
f 3 10.34 12.32 2013 2931
c) Gọi độ dài 3 cạnh của một tam giác là a, b, c. Diện tích là S và 3 chiều cao tương
2S
2S
2S
ứng là x, y, z ta có: a x ; b y ;c z . Vì 3 cạnh tỷ lệ với 2, 3, 4 nên
a b c
2S 2S 2S
2 3 4
2x 3y 4z
2x 3y 4z
x y y z
x y z
;
. Vậy ba chiều cao tỷ lệ với 6, 4, 3
3 2 4 3
6 4 3
5x 4y
xy 2
a) Giải hệ phương trình
60y 80x 1
xy
Bài 2:
b) Giải phương trình
9x 4 15x 3 3x 2 3x 2 0
Giải: a) ĐKXĐ: x, y 0.
Hệ phương trình tương đương
4 5
x y 2
60 80 1
x
y
64 80
x y 32
60 80 1
x
y
124
31
x 4
x
80 60
y5
1
x
y
(TMĐK)
x 4
y 5
Vậy nghiệm của hệ phương trình
b) Phương trình tương đương
9x 4 6x 3 9x 3 6x 2 9x 2 6x 3x 2 0
3x 2 3x 3 3x 2 3x 1 0
2
3
3x – 2 = 0 x =
3x 3 3x 2 3x 1 0 4x 3 x 3 3x 2 3x 1 4x 3 x 1 x 3 4 x 1 x
3
2
3
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = ; 3
Bài 3: Cho biểu thức C
3
1
4 1
1
4 1
15 x 11 3 x 2 2 x 3
x 2 x 3 1 x
x 3
a) Rút gọn biểu thức
b) So sánh giá trị của C với
2
3
x 0
x 0
Giải: ĐKXĐ: x 2 x 3 0
x 1
1 x 0
a) C
=
15 x 11
x 3
x 1
x 3 2 x 3
3 x 2 2 x 3 15 x 11 3 x 2
x 1
x 3
x 3
x 1
x 3 x 1 x 3
5x 7 x 2
x 1 2 5 x
x 1
2 5
x
x 3
x 1
2
3
2 5 x
x 3
b) Ta có C
2
3
3 2 5 x 2
3
x 3
x 3
17 x
3
x 3
0
2
3
C
Bài 4: Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) và một điểm M bất kì trên cung nhỏ AC.
Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D
�
�
a) Chứng minh rằng AMD ABC
b) Chứng minh rằng BMD cân
c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên đường nào ? Có nhận xét gì về độ
�
lớn BDC khi vị trí điểm M thay đổi
�
�
Giải: a) Từ giác ABCM nội tiếp nên ABC AMC 1800
D
�
�
�
�
AMD AMC 1800 (kề bù) AMD ABC
�
�
b) Ta có AMB ACB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
A
�
�
�
AMB ABC AMD ; MH BD (gt)
H
Do đó MH vừa là đường cao, vừa là phân giác của BMD
nên BMD cân tại M
M
O
0
0
�
�
�
� 180 2AMD 180 2ABC A không đổi
c) Ta có D
2
2
2
�
A
dựng trên đoạn BC
2
D chạy trên cung tròn chứa góc
B
C
Bài 5: Cho các số thực a, b thỏa mãn 0 b a 4 và a b 7 . Chứng minh rằng a 2 b 2 25
Giải: Ta có a 2 b2 a b a b a b 4 a b 7b 4a 3b . Áp dụng BĐT Bunhia ta có:
4a 3b
2
a
42 32 a 2 b 2
2
b2
2
25 a 2 b 2 a 2 b 2 25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 4; b = 3
Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn
- Xem thêm -