www.thuvienhoclieu.com
CHƯƠNG I. VECTƠ
BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA VECTƠ
1. Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối
thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng
có hướng.
Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ
có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu
là
AB và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ được vectơ
AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu
nút B.
a
Vectơ còn được kí hiệu là , b , x , y, ... khi
không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.
2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của
vectơ đó.
Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song
hoặc trùng nhau.
A
,
B
,
C
Nhận
xét. Ba điểm phân biệt
thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB
và AC cùng phương.
3. Hai vectơ bằng nhau
Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của
AB ,
AB AB.
vectơ đó. Độ dài của AB được kí hiệu là
như vậy
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
b
a
Hai vectơ và
được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ
dài, kí hiệu a b
a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A
Chú ý. Khi cho
trước
vectơ
duy nhất sao cho OA a.
4. Vectơ – không
Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được
xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.
Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu
và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là AA và được gọi là vectơ –
không.
www.thuvienhoclieu.com
1
www.thuvienhoclieu.com
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH VECTƠ
Câu 1. Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là
DE .
DE
.
ED
.
A.
B.
C.
D. DE.
Câu 2. Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu
và điểm cuối là các đỉnh A, B, C ?
A. 3.
B. 6.
C. 4.
D. 9.
Câu 3. Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu
và cuối là các đỉnh của tứ giác?
A. 4.
B. 6.
C. 8.
D. 12.
Vấn đề 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Câu 5. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó:
A
,
B
,
C
AB
A. Điều kiện cần và đủ để
thẳng hàng là
cùng phương với AC.
A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với
B.
Điều
kiện
đủ
để
AB.
A
,
B
,
C
M
,
MA cùng phương với
thẳng hàng là với mọi
C. Điều kiện cần để
AB.
A
,
B
,
C
D. Điều kiện cần để
thẳng hàng là AB AC.
Câu 6. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều
ABC . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
MN
CB
.
MB
.
MB
.
AN
CA
.
AB
MA
A.
và
B.
và
C.
và
D.
và
Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ - không,
cùng phương với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 9.
2
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
Vấn đề 3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU
Câu 8. Với DE (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn ED được gọi là
A. Phương của ED.
B. Hướng của ED.
ED
.
C. Giá của
D. Độ dài của ED.
Câu 9. Mệnh
đề nào sau đây sai?
A. AA 0.
B. 0 cùng hướng với mọi vectơ.
AB 0.
0
C.
D. cùng phương với mọi vectơ.
Câu 10. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 12. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C , D. Điều kiện nào trong các đáp án A,
B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để AB CD ?
A. ABCD là hình bình hành.
B. ABDC là hình bình hành.
C. AC BD.
D. AB CD.
A
,
B
,
C
,
D
AB
CD . Khẳng định
Câu 13. Cho bốn điểm phân biệt
thỏa mãn
nào sau đây sai?
CD
.
CD
.
AB
AB
A.
cùng hướng
B.
cùng phương
AB CD .
C.
D. ABCD là hình bình hành.
Câu 14. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD .
Đẳng thức nào sau đây sai?
AB
DC
.
OB
DO
.
OA
OC
.
CB
DA.
A.
B.
C.
D.
Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB,
BC , CD, DA. Khẳng định nào sau đây sai?
QP
MN
.
MN
AC .
A. MN QP.
B.
C. MQ NP.
D.
Câu 16. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
AC
BD
.
A.
B. AB CD.
www.thuvienhoclieu.com
3
AB BC .
www.thuvienhoclieu.com
AB
, AC cùng hướng.
C.
D. Hai vectơ
Câu 17. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A. OA OC.
B. OB và OD cùng hướng.
AC BD .
C. AC và BD cùng hướng.
D.
Câu 18. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều
ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng?
BC
2 MN .
A. MA MB.
B. AB AC.
C. MN BC.
D.
Câu 19. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC . Khẳng định
nào sau đây đúng?
a 3
a 3
AM
.
AM
.
2
2
A. MB MC. B.
C. AM a.
D.
Câu 20. Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD 60 . Đẳng thức nào sau đây
đúng?
BD a.
A. AB AD.
B.
C. BD AC.
D. BC DA.
Câu 21. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?
AB AF .
AB
ED
.
OD
BC
.
OB
OE.
A.
B.
C.
D.
Câu 22. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng OC có điểm đầu
và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 6.
Câu 23. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B qua
tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây
đúng?
HA
CD
AD
CH
HA
CD
A.
và
.
B.
và AD HC .
HA
CD
AC
CH
HA
CD
AD
HC
OB
OD
C.
và
.
D.
và
và
.
AB
0
Câu 24. Cho
và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
AB CD ?
A. 0.
4
B. 1.
www.thuvienhoclieu.com
C. 2.
D. Vô số.
www.thuvienhoclieu.com
AB 0 và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
Câu 25.
Cho
AB CD ?
A. 1.
B. 2.
C. 0.
D. Vô số.
BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. Tổng của hai vectơ
AB a và
b
.
a
A
Định
nghĩa.
Cho
hai
vectơ
và
Lấy
một
điểm
tùy
ý,
vẽ
BC b . Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b . Ta kí hiệu tổng của
b
a
b
.
AC
a
b.
a
hai vectơ và là
Vậy
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
B
r
b
r
a
r
a
C
r r
a +b
A
r
b
2. Quy tắc hình bình hành
ABCD
Nếu
là hình bình hành thì AB AD AC.
B
C
A
D
3. Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ a , b , c tùy ý ta có
a
b b a (tính chất giao hoán);
a b c a b c
(tính chất kết hợp);
a 0 0 a a (tính chất của vectơ – không).
4. Hiệu của hai vectơ
www.thuvienhoclieu.com
5
www.thuvienhoclieu.com
a) Vectơ đối
a được gọi là vectơ
Cho vectơ a. Vectơ có cùng
độ
dài
và
ngược
hướng
với
a
,
a
.
đối của vectơ
kí hiệu là
AB là BA, nghĩa là
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của
AB BA.
0
0.
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ là vectơ
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
b
.
b
a
a
Định nghĩa. Cho hai vectơ và
Ta gọi hiệu của hai vectơ và là vectơ
a
b
a
b
.
a b ,
kí hiệu a b . Như vậy
Từ
nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có
định
AB OB OA.
A
O
B
Chú ý
1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
A, B, C ta luôn có
2) Với
ba điểm
tùy ý
AB BC AC (quy tắc ba điểm);
AB AC CB (quy tắc trừ).
Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.
5. Áp dụng
a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IB 0.
G
ABC
b) Điểm
là trọng tâm của tam giác
khi và chỉ khi GA GB GC 0.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
6
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
A
,
B
,
C
Câu 1.Cho
phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?
ba điểm
AB
AC
BC
.
MP
NM
NP
.
CA
BA CB.
A.
B.
C.
D. AA BB AB.
Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định
nào sau đây sai?
a
,
b
a
A. Hai vectơ
cùng phương.
B. Hai vectơ , b ngược hướng.
a
,
b
a
C. Hai vectơ
cùng độ dài.
D. Hai vectơ , b chung điểm đầu.
Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng?
BA BC.
AB AC BC.
A. CA
B.
CB.
C. AB CA
D. AB BC CA.
Câu 4. Cho AB CD . Khẳng định nào sau đây đúng?
AB và CD cùng độ dài.
A. AB và CD cùng hướng.
B.
C. ABCD là hình
D. AB DC 0.
bình
hành.
Câu 5.Tính tổng MN PQ RN NP QR.
MR
.
MN
.
PR
.
A.
B.
C.
D. MP.
AB là:
Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm
A. IA IB.
B. IA IB.
C. IA IB.
D. AI BI .
Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng
AB ?
IA
IB
.
IA
IB
0.
IA
IB
0.
A.
B.
C.
D. IA IB.
Câu 8. Cho tam giác ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây
sai?
AB
AC .
AB
AC
.
HC
HB
.
A.
B.
C.
D. BC 2 HC.
Câu 9. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
AD
CB .
A. AB BC.
B. AB CD.
C. AC BD.
D.
Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?
MA MB 0.
A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì
GB GC 0.
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA
C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB CD CA.
www.thuvienhoclieu.com
7
www.thuvienhoclieu.com
D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì
AB BC AC .
Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
OA OB CD.
A.
B.
OB OC OD OA.
AB
AD
DB
.
C.
D. BC BA DC DA.
Câu 12.
Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức
nào sau đây đúng?
DB.
A. AB BC
B. AB BC BD.
C. AB BC CA.
D. AB BC AC.
Câu 13.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB OC .
OB
OC
BC
.
OB
OC DA.
A.
B.
C. OB OC OD OA.
D. OB OC AB.
ABC đều cạnh a. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 14.
Cho
tam
giác
AB
BC
CA
.
CA
AB.
A.
B.
AB BC CA a.
CA
BC.
C.
D.
Câu 15. Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
BA 0.
A. AM MB
C. MA MB MC.
MB AB.
B. MA
D. AB AC AM .
Câu 16. Cho tam giác ABC với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB
. Khẳng
sau đây sai?
định
nào
CA 0.
AP BM CN 0.
A. AB BC
B.
MN
NP
PM
0.
PB
MC MP.
C.
D.
Câu 17. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Mệnh
đây đúng?
đề
nào
sau
A. AB BC AC.
B. AB BC CA 0.
AB BC CA BC .
C.
D. AB CA BC.
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB AC và đường cao AH . Đẳng thức nào sau đây
đúng?
A. AB AC AH .
B. HA HB HC 0.
8
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
C. HB HC 0.
D. AB AC.
Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào
sau đây sai?
AH HB AH HC .
A.
B. AH AB AH AC.
AH
AB AH .
C. BC BA HC HA.
D.
AB, BC , CA của tam giác
Câu 20. Gọi M , N , P lần
lượt là trung điểm các cạnh
ABC. Hỏi vectơ MP NP bằng vectơ nào trong các vectơ sau?
AP.
BP.
MN .
A.
B.
C.
D.
MB NB.
Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với
O
B. Mệnh đề nào sau đây đúng?
tại hai điểm A và
A. OA OB. B. AB OB.
C. OA OB.
D. AB BA.
Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT , MT ( T và T là hai tiếp
điểm). Khẳng định nào sau đây đúng?
MT
MT
TT
.
MT
MT
.
MT
MT
.
OT
OT .
A.
B.
C.
D.
A, B, C , D. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 23.
Cho
bốnđiểm phân biệt
AD CB.
AB BC CD DA.
A. AB CD
B.
AB
BC
CD
DA
.
C.
D. AB AD CD CB.
Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới
CA ?
đâybằng
BC
AB
.
OA
OC
.
BA
DA
.
A.
B.
C.
D. DC CB.
ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?
Câu 25.
Cho
lục giác đều
OA
OC
OE
0.
OA
OC OB EB.
A.
B.
AB
CD
EF
0.
BC
EF
AD.
C.
D.
Câu 26. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Hỏi
AO DO
vectơ
bằng vectơ nào trong các vectơ sau?
BA
.
BC
.
DC
.
A.
B.
C.
D. AC.
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo.
Đẳng thức nào sau đây sai?
OA
OB
OC
OD
0.
A.
B. AC AB AD.
www.thuvienhoclieu.com
9
www.thuvienhoclieu.com
BA BC DA DC .
C.
D. AB CD AB CB.
Câu 28. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi
E , F lần lượt là trung điểm của AB, BC . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. DO EB EO.
B. OC EB EO.
OA
OC
OD
OE
OF
0.
BE
BF
DO
0.
C.
D.
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
GA
GC
GD
BD
.
GA
GC GD CD.
A.
B.
GA
GC
GD
O
.
GA
GD
GC CD.
C.
D.
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
AC
BD
.
AB
AC
AD
0.
A.
B.
C.
AB AD AB AD .
D.
BC BD AC AB .
Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
AB AC .
Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính
a 3
AB AC
.
AB AC a 3.
2
A.
B.
AB AC 2a.
D.
C.
AB AC 2a 3.
AB AC .
Câu 32. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB a . Tính
a 2
AB AC
.
AB AC a 2.
2
A.
B.
AB AC 2a.
AB AC a.
C.
D.
Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB 2. Tính độ dài của
AB AC.
AB AC 5.
AB AC 2 5.
A.
B.
AB AC 3.
AB AC 2 3.
C.
D.
10
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
CA
AB
Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB 3, AC 4 . Tính
.
CA AB 2.
CA AB 2 13.
CA AB 5.
A.
B.
C.
CA AB 13.
D.
AB AC .
Câu 35. Tam giác ABC có AB AC a và BAC 120 . Tính
AB AC a 3.
AB AC a.
A.
B.
a
AB AC .
AB AC 2a.
2
C.
D.
ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC . Tính
Câu 36.
Cho tam giác
CA HC .
a
3a
CA HC .
CA HC .
2 B.
2
A.
C.
2 3a
a 7
CA HC
.
CA HC
.
3
2
D.
Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC 12. Tính
v
GB GC .
độ dài
của vectơ
v 2.
v 2 3.
v 8.
v 4.
A.
B.
C.
D.
AC BD
Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC 2a và BD a. Tính
.
AC BD 3a.
AC BD a 3.
A.
B.
AC BD a 5.
AC BD 5a.
C.
D.
AB DA .
Câu 39. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính
AB DA 0.
AB DA a.
AB DA a 2.
AB DA 2a.
A.
B.
C.
D.
OB
OC
Câu 40. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O. Tính
.
a
OB
OC .
OB OC a.
OB OC a 2.
2
A.
B.
C.
a 2
OB OC
.
2
D.
www.thuvienhoclieu.com
11
www.thuvienhoclieu.com
Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
ABC
MA
MB
MC
0
Câu 41. Cho tam giác
có M thỏa mãn điều kiện
. Xác
định vị trí điểm M .
A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .
B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
C. M trùng với C.
D. M là trọng tâm tam giác ABC.
ABC. Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức
Câu 42.
Cho
tam
giác
MB MC BM BA
là
A. đường thẳng AB.
B. trung trực đoạn BC.
C. đường tròn tâm A, bán kính BC. D. đường thẳng qua A và song song với
BC.
Câu 43. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng
thức MA MB MC MD là
A. một đường tròn.
B. một đường thẳng.
C. tập rỗng.
D. một đoạn
thẳng.
ABC
MB
MC
AB . Tìm vị trí điểm
M
Câu 44. Cho tam giác
và điểm
thỏa mãn
M.
A. M là trung điểm của AC.
B. M là trung điểm của AB.
C. M là trung điểm của BC.
ABCM .
D. M là điểm thứ tư của hình bình hành
Câu 45. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA MB MC 0 .
Mệnh đề nào sau đây sai?
AM AB AC.
A. MABC
là
hình
bình
hành.
B.
C. BA BC BM .
D. MA BC.
BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
1. Định nghĩa
k
0
a
0.
a
Cho số
và vectơ
Tích của vectơ với số k là một vectơ, kí hiệu
là k a , cùng hướng với a nếu k 0, ngược hướng với a nếu k 0 và có độ dài
12
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
k .a.
bằng
2. Tính chất
Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k , ta
có
k a b k a k b
;
h k a h a k a
;
h k a hk a
;
1.a a , 1 .a a.
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
AB thì với mọi điểm M thì ta có
a) Nếu I là trung điểm của đoạn
thẳng
MA MB 2 MI .
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có
GA GB GC 3 MG.
4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
b 0
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b
cùng phương là có một số k
để
a k b .
Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0
để
AB k AC.
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
a
b
Cho hai vectơ và không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích
b
được một cách duy nhất theo hai vectơ a và , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k
x
h
a
k b.
sao cho
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
www.thuvienhoclieu.com
13
www.thuvienhoclieu.com
2
OA
OB .
O
,
Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân tại
cạnh OA a. Tính
1 2 a.
B.
C. a 5.
D. 2a 2.
Câu 2. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA a. Khẳng định nào sau
đây sai ?
3 OA 4 OB 5a.
2 OA 3 OB 5a.
A.
B.
7 OA 2 OB 5a.
11OA 6 OB 5a.
C.
D.
Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ
A. a.
Câu 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , I là trung điểm của
AM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
0.
IC 2 IA 0.
A. IB 2IC IA
B. IB
C. 2 IB IC IA 0.
D. IB IC IA 0.
Câu 4. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , I là trung điểm của
AM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
1
1
AI AB AC .
AI AB AC .
4
4
A.
B.
1
1
1
1
AI AB AC.
AI AB AC.
4
2
4
2
C.
D.
Câu 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , G là trọng tâm của tam
giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
2
1
AG AB AC .
AG AB AC .
3
3
A.
B.
1 2
2
AG AB AC.
AI AB 3 AC.
3
2
3
C.
D.
ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao
Câu 6. Cho
tứgiác
3
AM
2
AB
3
DN
2
DC
.
MN
cho
và
Tính vectơ
theo hai vectơ AD, BC.
1 1
1 2
MN AD BC.
MN AD BC .
3
3
3
3
A.
B.
1 2
2 1
MN AD BC.
MN AD BC.
3
3
3
3
C.
D.
Câu 7. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là
14
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
BC
. Khẳng định nào sau đây sai ?
trung
điểm
của AD và
A. MN MD CN DC.
B. MN AB MD BN .
1
1
MN AB DC .
MN AD BC .
2
2
C.
D.
Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào
sau đây đúng ?
1
1
DM CD BC.
DM CD BC.
2
2
A.
B.
1
1
DM DC BC.
DM DC BC.
2
2
C.
D.
M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM AB và N
Câu 9. Cho tam giác ABC , điểm
AC
.
MN
là trung điểm của
Tính
theo AB và AC.
1 1
1 1
MN AC AB.
MN AC AB.
2
3
2
3
A.
B.
1 1
1 1
MN AB AC.
MN AC AB.
2
3
2
3
C.
D.
BC theo ba phần bằng
Câu 10. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N chia
cạnh
nhau BM MN NC. Tính AM theo AB và AC.
1 2
2 1
AM AB AC .
AM AB AC.
3
3
3
3
A.
B.
2 1
1 2
AM AB AC .
AM AB AC.
3
3
3
3
C.
D.
ABC
BC
.
M
AB
Câu 11. Cho tam giác
có
là trung điểm của
Tính
theo AM và
BC.
1
1
AB AM BC.
AB BC AM .
2
2
A.
B.
1
1
AB AM BC.
AB BC AM .
2
2
C.
D.
Câu 12. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên
cạnh AC sao cho NC 2 NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó
1 1
1 1
AK AB AC.
AK AB AC.
6
4
4
6
A.
B.
1 1
1 1
AK AB AC.
AK AB AC.
4
6
6
4
C.
D.
www.thuvienhoclieu.com
15
www.thuvienhoclieu.com
ABCD
.
AC
AB
Câu 13. Cho hình bình hành
Tính
theo
và BD.
1
1
1 1
AB AC BD.
AB AC BD.
2
2
2
2
A.
B.
1
1
AB AM BC.
AB AC BD.
2
2
C.
D.
Câu 14. Cho tam giác ABC và đặt a BC , b AC. Cặp vectơ nào sau đây cùng
phương?
2
a
b
,
a
2
b
.
2
a
b , a 2b . C.
A.
B.
5a b , 10 a 2b . D. a b , a b .
ABC
MA
MB MC. Khẳng định
M
Câu 15. Cho tam giác
và điểm
thỏa mãn
nào sau đây đúng ?
A. Ba điểm C , M , B thẳng hàng.
B. AM là phân giác trong của góc
BAC.
C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.
AM
BC
0.
D.
Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 16. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC. Đẳng
thức nào sau đây đúng ?
1
IG IA.
GA
2
GI
.
GB
GC
2 GI . D. GB GC GA.
3
A.
B.
C.
Câu 17. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng
định nào sau đây sai ?
2
GA AM .
AB
AC
3
AG
.
GA
BG CG.
3
A.
B.
C.
D. GB GC GM .
Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định
nàosauđây đúng ?
A. AM MB MC.
B. MB MC.
BC
AM
.
2
C. MB MC.
D.
Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và
16
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
AC. Khẳng định nào sau đây sai ?
1
CN AC.
2
A. AB 2 AM . B. AC 2 NC.
C. BC 2 MN .
D.
Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
2
AB AC AG.
3
A.
B. BA BC 3BG.
CA
CB CG.
D.
C.
AB AC BC 0.
ABC
I
Câu 21. Cho tam giác đều
và điểm thỏa mãn IA 2 IB. Mệnh đề nào sau
đây đúng ?
CA 2 CB
CA 2 CB
CI
.
CI
.
3
3
A.
B.
CA 2 CB
CI
.
3
C. CI CA 2 CB.
D.
ABC và một điểm M tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Câu 22.Cho
tam
giác
2
MA
MB
3
MC
AC
2
BC
.
2
MB 3MC 2 AC BC .
A.
B. MA
C. 2 MA MB 3MC 2CA CB.
D. 2 MA MB 3MC 2CB CA.
Câu 23. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ?
1
AD DO CA.
2
A. AB AD 2 AO.
B.
1
OA OB CB.
AC
DB
2 AB.
2
C.
D.
ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng ?
Câu 24.
Cho
hình
bình hành
A. AC BD2 BC.
B. AC BC AB.
AC
BD
2
CD
.
C.
D. AC AD CD.
Câu 25. Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo.
Mệnh
đề
nào
sau đây sai ?
A. AB BC AC.
B. AB AD AC.
C. BA BC 2 BM .
D. MA MB MC MD.
Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 26. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2 MA MB CA. Khẳng định
www.thuvienhoclieu.com
17
www.thuvienhoclieu.com
nào sau đây là đúng ?
A. M trùng A.
C. M trùng C.
B. M trùng B.
D. M là trọng tâm của tam giác ABC.
GA
a, GB b . Hãy tìm m, n
G là trọng
Câu 27. Gọi
tâm tam giác ABC . Đặt
để có BC ma nb.
A. m 1, n 2.
B. m 1, n 2. C. m 2, n 1.
D. m 2, n 1.
A, B, C không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng thức
Câu 28. Cho
ba
điểm
vectơ MA x MB y MC.
Tính giá trị biểu thức P x y.
A. P 0.
B. P 2.
C. P 2.
D. P 3.
Câu 29. Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k 0. Tập hợp các điểm M thỏa
mãn đẳng thức MA MB MC MD k là
A. một đoạn thẳng.
B. một đường thẳng.
C. một đường tròn.
D. một điểm.
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tập
MA
MB
MC MD là
M
hợp các điểm
thỏa mãn
A. trung trực của đoạn thẳng AB.
B. trung trực của đoạn thẳng AD.
AC
.
C. đường tròn tâm I , bán kính 2
D. đường tròn tâm I , bán kính
AB BC
.
2
Câu 31. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.
MA MB MA MB
Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
là
AB
.
A. đường tròn tâm I , đường kính 2
B. đường tròn đường kính AB.
C. đường trung trực của đoạn thẳng AB.
D. đường trung trực đoạn thẳng IA.
Câu 32. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.
2 MA MB MA 2MB
Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
là
A. đường trung trực của đoạn thẳng AB.
18
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
B. đường tròn đường kính AB.
C. đường trung trực đoạn thẳng IA.
D. đường tròn tâm A, bán kính AB.
Câu 33. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Ttập hợp các điểm M thỏa
MA MB MA MC
mãn
là
A. đường trung trực của đoạn BC.
B. đường tròn đường kính BC.
a
C. đường tròn tâm G, bán kính 3 .
D. đường trung trực đoạn thẳng AG.
Câu 34. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn
2 MA 3MB 4 MC MB MA
đẳng thức
là đường tròn cố định có bán kính
R. Tính bán kính R theo a.
a
a
a
a
R .
R .
R .
R .
3
9
2
6
A.
B.
C.
D.
Câu 35. Cho tam giác
MA MB MC 3
?
1.
A.
B. 2.
ABC . Có bao nhiêu điểm
C. 3.
M
thỏa mãn
D. Vô số.
BÀI 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Trục và độ dài đại số trên trục
a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường
thẳng trên đó đã xác định một
điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e .
O; e .
Ta kí hiệu trục đó là
O
r
e
M
O; e . Khi đó có duy nhất một số
là một điểm tùy ý trên trục
k
sao cho OM k e. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
O; e .
hai điểm A và B trên trục
Khi đó có duy nhất số a sao cho
c) Cho
AB a e . Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu
a AB.
M
b) Cho
www.thuvienhoclieu.com
19
www.thuvienhoclieu.com
Nhận xét.
Nếu AB cùng hướng với e thì AB AB, còn nếu AB ngược hướng với e
thì AB AB.
Nếu hai điểm A và B trên trục
AB b a.
2. Hệ trục tọa độ
O; e
có tọa độ lần lượt là a và b thì
O; i , j
a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ
O; i và O; j vuông
gồm hai trục
1
r
O
;
i
x
được
j
O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục
góc với nhau. Điểm
gốc
r
O i
1
O
;
j O
gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục
được gọi là trục tung và kí hiệu là
y
i
Oy. Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và j 1. Hệ trục
O; i , j
tọa độ
còn được kí hiệu là Oxy.
Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt
phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ
A, A
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA u và gọi 1 2 lần
A lên Ox và Oy. Ta có OA OA1 OA2 và
lượt là hình chiếu của vuông góc của
x; y
OA
x
i
,
OA
y
j
.
u
x
i
y
j.
1
2
cặp số duy nhất
để
Như vậy
x; y
r u đối với hệ tọa độ
Cặp số duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ
u
Oxy và viết u x; y hoặc u x; y . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y
A
A2
gọi là tung độ của vectơ u .
Như vậy
u x; y u x i y j
r
j
O
r
u
r
i
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ,
ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi
20
www.thuvienhoclieu.com
A1
- Xem thêm -
.DOCX 
49 
36 
69 
