Tài liệu đề thi giáo án 20 de chon hsg toan 8

www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Câu 1 2 2 2 a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau 9 x  y  2 z  18 x  4 z  6 y  20 0 . 4 2 b) Giải phương trình x  30 x  31x  30 0 Câu 2 148  x 169  x 186  x 199  x    10 23 21 19 a) Giải phương trình 25 3 2 b) Chưng minh r̀ng A n  6n  8n chia hêt chh 48 vơi n chăn. Câu 3 a) Tìm các giá trị của x để biểu thưc: P  x  1  x  2   x  3  x  6  có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b) Chưng minh r̀ng nêu tổng của hai số nguyên chia hêt chh 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hêt chh 3. Câu 4 Chh hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéh BD. Kẻ ME  AB , MF  AD . a) Chưng minh DE CF b) Chưng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tư giác AEMF lơn nhất. Câu 5 a) Chưng minh r̀ng P 1 1 1 1  2  4  ...  1 2 2 3 4 100 2 1 1 1 1    b) Chh a, b, c là ba số khác 0 thhả mãn a  b  c 2016 và a b c 2016 Chưng minh r̀ng trhng ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau. ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm). 2 2 2 a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9 x  y  2 z  18 x  4 z  6 y  20 0 . Ta có: 9 x 2  y 2  2 z 2  18 x  4 z  6 y  20 0 2  3x   2.3x.3  32  y 2  2. y.3  32  2  z 2  2 z  1 0 2 2 2  3x  3   y  3  2  z  1 0 2 2 2 3 x  3 0;  y  3 0; 2  z  1 0 Vì  vơi mọi x, y, z nên:  x 1   y 3  z  1  4 2 b) Giải phương trình: x  30 x  31x  30 0 Hương dẫn x 4  30 x 2  31x  30 0 www.thuvienhoclieu.com Trang 1 www.thuvienhoclieu.com x 4   30 x 2  30 x  30   x 0 x 4  x   30  x 2  x  1 0 x  x  1  x 2  x  1  30  x 2  x  1 0 x 2  x  1  x 2  x  30  0 Ta có: 2 1 3  x 2  x  1  x     0 2 4  vơi mọi x nên suy ra: 2 x  x  30 0  x  5  x  6  0  x 5    x  6 Câu 2. 148  x 169  x 186  x 199  x    10 23 21 19 a) Giải phương trình: 25 Hương dẫn 148  x 169  x 186  x 199  x    10 25 23 21 19  148  x   169  x   186  x   199  x   1    2   3    4  0    23   21   19    25 1 1 1 1  123  x       0  25 23 21 19  1 1 1  1      0 Vì  25 23 21 19  nên 123 – x = 0, suy ra x = 123. 3 2 b) Chưng minh r̀ng: A n  6n  8n chia hêt chh 48 vơi n chăn. Hương dẫn n3  6n 2  8n chia hêt chh 48 vơi n chăn Ta có: A n3  6n 2  8n A n  n 2  6n  8  A n  n  2   n  4  Vì n là số chăn nên đăn ̣t n 2k  k   , khi đó: A 2k  2k  2   2k  4  A 8k  k  1  k  2  A 23 k  k  1  k  2  Vì k  k  1  k  2  là tích của 3 số tư nhiên liên tiêp nên: - Tồn tại mô ̣t số là bô ̣i của 2 nên k  k  1  k  2  2 - Tồn tại mô ̣t số là bô ̣i của 3 nên k  k  1  k  2  3 nên A16 3,16  1 Vâ ̣y A chia hêt chh 3, 16 mà  nên A3.16 48 . Câu 3 (2 điểm). a) Tìm các giá trị của x để biểu thưc: www.thuvienhoclieu.com Trang 2 www.thuvienhoclieu.com P  x  1  x  2   x  3  x  6  có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b) Chưng minh r̀ng nêu tổng của hai số nguyên chia hêt chh 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hêt chh 3. Hương dẫn P  x  1  x  2   x  3  x  6  P  x 2  5 x  6   x 2  5 x  6  2 P  x 2  5 x   36 x Vì  2 2  5 x  0 2 nên P  x 2  5 x   36  36 x Dh đó Min P = -36 khi  2 2  5 x  0 . Từ đó ta tìm được x = 0 hhặc x = -5 thì min P = -36. b) Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hêt chh 3. Ta có: a 3  b 3  a  b   a 2  ab  b 2  a 3  b 3  a  b    a 2  2ab  b 2   3ab  2 a 3  b 3  a  b    a  b   3ab    2 a  b   3ab Vì a  b chia hêt chh 3 nên  chia hêt chh 3; 2  a  b    a  b   3ab  Dh vậy chia hêt chh 9. Câu 4 (3 điểm). Chh hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéh BD. Kẻ ME  AB, MF  AD. a) Chưng minh: DE CF b) Chưng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tư giác AEMF lơn nhất. Hương dẫn a) Chưng minh: AE FM DF  AED DFC  đpcm. b) DE, BF, CM là ba đường cah của EFC  đpcm. c) Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi  ME  MF a không đổi  S AEMF ME.MF lơn nhất  ME MF (AEMF là hình vuông)  M là trung điểm của BD. Câu 5. Chưng minh r̀ng: Hương dẫn P 1 1 1 1  2  4  ...  1 2 2 3 4 1002 1 1 1 1  2  4  ...  2 2 3 4 1002 1 1 1 1     ...  2.2 3.3 4.4 100.100 P www.thuvienhoclieu.com Trang 3 www.thuvienhoclieu.com 1 1 1 1    ...  1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 99 1     ...   1   1 2 2 3 99 100 100 100  www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 2 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Câu 1 a) Phân tích đa thưc sau thành nhân tử  a  b b) Chh 2 2 A  a  1  a  3  a  5   a  7   15 2   b  c    c  a  4  a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  Chưng minh r̀ng a b c . 4 3 2 Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thưc A a  2a  3a  4a  5 . x  2 x  4 x  6 x  8  2016     Câu 3. Tìm số dư trhng phép chia của biểu thưc  chh 2 đa thưc x  10 x  21 . Câu 4. Chh tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theh thư tư di chuyển trên AB, AC sah chh BD  AE . Xác định vị trí của điểm D, E sah chh: a) DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tư giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Câu 5 a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đh các cạnh là các số nguyên dương và số đh diện tích b̀ng số đh chu vi. b) Chưng minh r̀ng nêu a, b, c là số đh ba cạnh của một tam giác vuông, vơi a là độ dài cạnh huyền thì thì các số x 9a  4b  8c ; y 4a  b  4c ; z 8a  4b  7c cũng là số đh ba cạnh của một tam giác vuông khác. Câu 6 a) Tìm các số x, y nguyên dương biêt 6 x  5 y  18 2 xy b) Tìm các số nguyên x, y biêt 5 x  3 y 2 xy  11 ĐÁP ÁN Câu 1 a) A  a  1  a  3  a  5   a  7   15 A  a  1  a  7   a  3  a  5   15 A  a 2  8a  7 a 2  8a  15  15    2 Đặt a  8a  7 t , ta có: A t  t  8   15 A t 2  8t  15 A  t  3  t  5  Dh đó A  a 2  8a  7  3  a 2  8a  7  5  A  a 2  8a  10   a 2  8a  12  A  a 2  8a  10   a  2   a  6  . www.thuvienhoclieu.com Trang 4 www.thuvienhoclieu.com b) Ta có:  a  b 2 2 2 2 2   b  c    c  a  4  a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc  2 2 2 2 2 2 2 a +b −2 ab+b +c −2 bc+ c +a +2 ac=4 a + 4 b +4 c −4 ab−4 ac−4 bc 2 2 2 2 2 2 (a + b −2 ac )+(b +c −2 bc )+(a +c −2 ac )=0 2 2 2 (a−b ) +(b−c ) +(a−c ) =0 2 2 2 Vì (a−b ) ≥0 ; (b−c ) ≥0 ; (a−c ) ≥0 ; vơi mọi a, b, c 2 2 nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a−b ) =0 ; (b−c ) =0 Vậy a b c . Câu 2 Ta có: 2 và (a−c ) =0 A a 4  2a 3  3a 2  4a  5 A a 4  2a 2  2a 3  4a  a 2  2  3 A a 2  a 2  2   2a  a 2  2    a 2  2   3 A  a 2  2   a 2  2a  1  3 2 A  a 2  2   a  1  3 a Vì  2 2  2   a  1 0 vơi mọi a nên A 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A 3  a  1 0  a 1 . Câu 3 (2 điểm). Tìm số dư trhng phép chia của biểu thưc x 2  10 x  21 . Hương dẫn  x  2   x  4   x  6   x  8   2016 chh đa thưc P ( x )  x  2   x  4   x  6   x  8   2016  x 2 10 x  16   x 2  10 x  24   2016 2 Đặt t x  10 x  21 (t  3; t  7) , biểu thưc P(x) được viêt lại: P( x)  t  5   t  3  2016 t 2  2t  2001 2 Dh đó t  2t  2001 chh ta số dư là 2001 . Câu 4 (3 điểm). Chh tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theh thư tư di chuyển trên AB, AC sah chh BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sah chh: a) DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tư giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Hương dẫn B D A E C a) Đặt AB = AC = a, DB = AE = x ( 0  x  a ) Ta có: www.thuvienhoclieu.com Trang 5 www.thuvienhoclieu.com AD 2  AE 2 DE 2  a  x 2  x 2 DE 2  DE 2 a 2  2ax  x 2  x 2  DE 2 a 2  2ax  2 x 2  a a2  a2  DE 2 2  x 2  2.x.    2 4  2  2 a  a2   DE 2  x    2 2  2 a  DE 2  2 2 a2 a  x 2 Vậy DE nhỏ nhất b̀ng 2 Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. 1 2 a b) Diện tích của tam giác ABC là: 2 1  a  x  .x Diện tích tam giác ADE là: 2 Khi đó diện tích của tư giác BDEC là: 1 2 1 a   a  x x 2 2 1 1 1  a 2  ax  x 2 2 2 2 1 2 a a 2 3a 2    x  2.x.    2 2 4 4  2 1 a  3a 2 3a 2  x    2 2 8 8 3a 2 a  x 2 Vậy diện tích của tư giác BDEC nhỏ nhất b̀ng 8 Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Câu 5 a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đh các cạnh là các số nguyên dương và số đh diện tích b̀ng số đh chu vi. Hương dẫn a) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trhng đó cạnh huyền là z. Theh đề bài ta có: xy 2  x  y  z  2 2 2 (1) và x  y z 2 2 2 2  z2  x  y    2 xy thay vàh (1) ta có: Từ x  y z 2 z 2  x  y   4  x  y  z  2 z 2  4 z  x  y   4  x  y  2 z 2  4 z  4  x  y   4  x  y   4  z  2 2  x  y  2   z  2 x  y  2 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 6 www.thuvienhoclieu.com  z  x  y  4 thay vàh (1) ta được: xy 2  x  y  x  y  4  xy 4 x  4 y  8 xy  4 x  4 y  8 x  y  4   4  y  4   16  8  x  4   y  4  8  x  4   y  4  1.8 2.4 Từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là: (x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z=13) (x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10) 2 2 2 b) Theh đề bài ta có a b  c 2 2 2 2 2 2 2 Ta có: x 9a  4b  8c  x 81a  16b  64c  72ab  144ac  64bc mà a b  c  x 2 81 b 2  c 2   16b 2  64c 2  72ab 144ac  64bc  x 2 97b 2  145c 2  72ab  144ac  64bc 2 2 2 (1) 2 y 4a  b  4c  y 16a  b  16c  8ab  32ac  8bc mà a b  c  y 2 16  b 2  c 2   b 2  16c 2  8ab  32ac  8bc 2 2 2  y 2 17b 2  32c 2  8ab  32ac  8bc 2 2 2 (2) 2 2 z 8a  4b  7c  z 64a  16b  49c  64ab  112ac  56bc mà a b  c 2  z 2 64  b 2  c 2   16b 2  49c 2  64ab  112ac  56bc  z 2 80b 2  113c 2  64ab  112ac  56bc 2 2 2 (3) 2 Từ (2) và (3) ta có y  z 97b  145c  72ab  144ac  64bc 2 2 2 (4) 2 Từ (1) và (4) suy ra x  y  z Vậy x, y, z cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 3 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Câu 1. Phân tích đa thưc sau thành nhân tử x  y  z a)  3  x3  y3  z 3 4 2 b) x  2014 x  2013x  2014 Câu 2 2 2  2013  x    2013  x   x  2014    x  2014  2 2 2013  x    2013  x   x  2014    x  2014  a) Tìm x, biêt:   19 49 5 b) Chưng minh r̀ng vơi mọi số nguyên n ta có B a  a chia hêt chh 30. Câu 3 Chh tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiêu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tư giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sah chh 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4 www.thuvienhoclieu.com Trang 7 www.thuvienhoclieu.com Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biêt r̀ng khi ta thêm 1 đơn vị vàh chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vàh chữ số hàng trănm, thêm 5 đơn vị vàh chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vàh chữ số hàng đơn vị ta vẫn được một số chính phương. Câu 5 2012 2012 2013 2013 2014 2014 2015 2015 Chh a, b dương và a  b a  b a  b . Tính a  b ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm). Phân tích đa thưc sau thành nhân tử: x  y  z a)  3  x3  y3  z 3 4 2 b) x  2014 x  2013x  2014 Hương dẫn a)  x  y  z 3  x3  y3  z 3 3   x  y  z   x 3   y 3  z 3   2  y  z    x  y  z   2  x  y  z  x  x 2    y  z   y 2  yz  z 2    2  y  z   3 x  3 xy  3 yz  3xz  3  y  z   x  x  y   z  x  y   3  y  z   x  y   x  z  4 2 b) x  2014 x  2013x  2014  x 4  x  2014 x 2  2014 x  2014  x  x3  1  2014  x 2  x  1  x  x  1  x 2  x  1  2014  x 2  x  1  x 2  x  1  x 2  x  2014  Câu 2 (2 điểm). 2 2  2013  x    2013  x   x  2014    x  2014  2 2 2013  x    2013  x   x  2014    x  2014  a) Tìm x, biêt:   19 49 . b) Chưng minh r̀ng vơi mọi số nguyên n ta có: B a  a chia hêt chh 30. Hương dẫn a) ĐKXĐ: x 2013; x 2014 5 x  2014 a  a 0  Đặt Ta có: 2  a  1   a  1 a  a 2 2  a  1   a  1 a  a 2  19 49 a 2  a  1 19  3a 2  3a  1 49  49a 2  49a  49 57 a 2  57 a  19  www.thuvienhoclieu.com Trang 8 www.thuvienhoclieu.com  8a 2  8a  30 0   2a  3  2a  5  0 3   a 2   a  5  2 4031 4023  x x 2 hhặc 2 . b) Ta có: B a5  a B a  a 4  1 B a  a 2  1  a 2  1 B a  a 2  1  a 2  4  5  B a  a 2  1  a 2  4   5a  a 2  1 B  a  2   a  1 a  a  1  a  2   5a  a 2  1  a  2   a  1 a  a 1  a  2  là tích của 5 số tư nhiên liên tiêp nên tồn tại mô ̣t số là a  2   a  1 a  a  1  a  2  5 bô ̣i của 5, dh đó  (1) Vì 5a  a 2  1 5 (2) Từ (1) và (2) suy ra B5 Câu 3 (2 điểm). Chh tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiêu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tư giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sah chh 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Hương dẫn C D F A E B h    a) Tư giác AEDF là hình chữ nhật (vì E A F 90 )  Để tư giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của BAC . b) Dh tư giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất  AD nhỏ nhất, AD nhỏ nhất khi D là hình chiêu của A trên BC. Câu 4 (2 điểm). www.thuvienhoclieu.com Trang 9 www.thuvienhoclieu.com Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biêt r̀ng khi ta thêm 1 đơn vị vàh chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vàh chữ số hàng trănm, thêm 5 đơn vị vàh chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vàh chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Hương dẫn Gọi số phải tìm là abcd vơi a, b, c, d  , 0 a, b, c, d 9, a 0 Theh đề bài ta có: abcd k 2  2  a  1  b  3  c  5   d  3  m Suy ra: abcd k 2  2 abcd  1353 m vơi k , m  ,31  k  m  100 2 2 Dh đó m  k 1353  m  k   m  k  123.11 41.33 Vì k , m   nên m  k  m  k . Dh đó:  m  k 123    m  k 11  m 67   k 56 hhặc  m  k 41    m  k 33  m 37   k 4 Kêt luận đúng abcd = 3136 Câu 5 (2 điểm) 2012 2012 2013 2013 2014 2014 Chh a, b dương và a  b a  b a  b . 2015 2015 Tính a  b . Hương dẫn Ta có: a 2012  b 2012 a 2013  b 2013 a 2014  b 2014  a  b   a 2012  b2012    a 2011  b2011  .ab a 2014  b 2014  a  b  ab 1 (vì a 2012  b 2012 a 2013  b 2013 a 2014  b 2014 )   a  1  b  1 0  a 1    b 1 2012 2013 Vơi a = 1 thì b b  b 1 hhặc b 0 (lhại) 2012 2013 Vơi b = 1 thì a a  a 1 hhặc a 0 (lhại) Vậy a = 1, b = 1 2015 2015 Dh đó a  b 2 . www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 4 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Câu 1 2 2 a) Tìm x; y  Z thhả mãn 5 x  4 xy  y 169 . www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com n n2 n3 A   3 2 6 có giá trị là b) Chưng minh r̀ng vơi mọi số nguyên n thì biểu thưc: một số nguyên. Câu 2 1 a 1 b x y 2 1  a  a và 1  b  b2 . a) Chh hai số a  b  0 . Sh sánh hai số x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6       6 0 b) Tìm x, biêt 1000 999 998 997 996 995 . Câu 3 Gọi M, N theh thư tư là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I. Chưng minh tam giác AID là tam giác cân. Câu 4  x; y; z  thỏa mãn phương trình: x 2  y 2  z 2  4064497 2  15 x  4 y  2014 z  Tìm cặp số nguyên Câu 5. Chưng minh r̀ng nêu n là số tư nhiên sah chh n  1 và 2n 1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24. ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm). 2 2 a) Tìm x; y  Z thhả mãn: 5 x  4 xy  y 169 . n n2 n3 A   3 2 6 có giá trị là b) Chưng minh r̀ng vơi mọi số nguyên n thì biểu thưc: một số nguyên. Hương dẫn a) Ta có: 5 x 2  4 xy  y 2 169  4 x 2  4 xy  y 2  x 2 169 2   2 x  y   x 2 169  2 x  y  2  x 2 144  25  I   2 2  2 x  y   x 169  0  II  Từ (I) ta có:  2 x  y  2 122  x 5  x 5   ;  2 2  y 2  y 22  x 5  2 x  y  2 52  x 12  x 12   ;  2 2  y 19  y 29  x 12 www.thuvienhoclieu.com Trang 11 www.thuvienhoclieu.com Từ (II) ta có:  2 x  y  2 132  x 0    2  y 13  x 0  2 x  y  2 0  x 13    2 2  y 26  x 13  5;  2  ;  5;  22  ;   5; 2  ;   5; 22  ;  12;  19  ;  12;  29    x, y      12;19  ;   12; 29  ;  0;13 ;  0;  13  ;  13; 26  ;   13;  26      Vậy n n 2 n3 A   3 2 6 b) Ta có: 2 2n  3n  n3 n  n  1  n  2  A  6 6 n  n  1  n  2  Vì là tích của ba số tư nhiên liên tiêp nên n  n  1  n  2   3 và n  n  1  n  2   2,3 1 n n  1  n  2  6 2 mà   . Dh đó  . Hay A là một số nguyên. Câu 2 (2 điểm). 1 a 1 b x y 2 1  a  a và 1  b  b2 . a) Chh hai số a  b  0 . Sh sánh hai số x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6       6 0 b) Tìm x, biêt: 1000 999 998 997 996 995 Hương dẫn Vì x, y  0 , ta có: 1 1 1 1 1     y 2 2 1 1 1 1 a  a a 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a 1 a   2 2 a a a b2 b 1 1 1 1  2  2 Vì a  b  0 nên a b và a b . Vậy x  y . x b) Ta có: x 1 x2 x 3 x4 x 5 x 6 1  1  1  1 1   1 0 1000 999 998 997 996 995 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001 x  1001      0 1000 999 998 997 996 995 1 1 1 1 1 1        x 1001   0  1000 999 998 997 996 995  1 1 1 1 1 1      0 Vì 1000 999 998 997 996 995 nên x  1001 . Câu 3. Câu 3 www.thuvienhoclieu.com Trang 12 www.thuvienhoclieu.com A B M N I L C K D   DCN CBM  NDC CBN     Mà MCB  MCD 900  NDC  MCD 900   DIC 900  DN  MC ghi K là trung điểm của DC nên AM=KC, AM  KC Nên AMCK là hình bình hành  AK  MC Mà DN  MC  AK  DN Hay AK  DI (1) Ghi L là giah điiểm của DN và AK. K là trung điểm của DC và AK  MC suy ra AK đi qua trung điểm của DI nên L là trung điểm của DI (2) Từ (1) và (2) suy ra tam giác AID cân tại A Câu 4. Đặt x  1  y  x  y  1 . Ta có: 2 A 3  y  1  8  y  1  6  y  1 A 3  2  2  y  1  1  3 y 2  2 y 1 y2 2 1  y y2 1 z y  A 3  2 z  z 2 Đặt A z 2  2 z  1  2 2 A  z  1  2 2 Vậy min A 2  z 1  y 1  x 2 . www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 5 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Câu 1 2 2 a) Phân tích đa thưc sau thành nhân tử x  2 xy  y  4 x  4 y  5 * 3 b) Chưng minh n  N thì n  n  2 là hợp số. c) Chh hai số chính phương liên tiêp. Chưng minh r̀ng tổng của hai số đó cộng vơi tích của chúng là một số chính phương lẻ. Câu 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 13 www.thuvienhoclieu.com x 1 x 2 x 3 x  2016    ...  2016 1 a) Giải phương trình 2016 2015 2014 2 2 2 3 3 3 2 2014 2015 b) Chh a  b  c a  b  c 1 . Tính S a  b  c Câu 3 2 2 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thưc A 2 x  3 y  4 xy  8 x  2 y  18 b) Chh a; b; c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac   a  b  c Chưng minh a  b  c  a  b  c a  b  c Câu 4. Chh hình vuông ABCD có cạnh b̀ng a. Gọi E; F; G; H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; CD; DA. M là giah điểm của CE và DF. a) Chưng minh: Tư giác EFGH là hình vuông. b) Chưng minh DF  CE và MAD cân. c) Tính diện tích MDC theh a. Bài tập tương tư câu 1b) 4 1. Tìm số tư nhiên n để n  4 là số nguyên tố. x 2. Chh biểu thưc  2 2  8   36 . Tìm số tư nhiên n để biểu thưc trên là số nguyên tố ĐÁP ÁN Câu Ý a. 1 điể m b. 1 Câu 1 điể m 3 điểm c. 1 điể m a. 1.5 điể m Câu 2 2 điểm b. 0.5 điể m Câu 3 a. 1 1.5 điể Nội dung Điể m 0.5 0,5 = (x - y)2 +4(x - y) - 5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9 = (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1) Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) =(n+1)( n2 - n + 2) * Dh n  N nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2 Theh bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1 = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1 = ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chăn  a2 + a + 1 là số lẻ Phương trình đã chh tương đương vơi: 0.25 0,25 0.5 0.25 0.25 0.25 x 1 x 2 x 3 x  2012  1  1  1  ...   1  2012 2012  2012 2011 2010 1 x  2013 x  2013 x  2013 x  2013    ...  0  2012 2011 2010 1 1 1 1 1 ( x  2013)(    ...  ) 0  x = 2013 2012 2011 2010 1 0.5 0. 5 0.25 0. 5   1;1  a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1  a; b; c   a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) 0  a3 + b3 + c3  1  a;b;c nhận hai giá trị là 0 hhặc 1  b2012 = b2; c2013 = c2;  S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1 0.25 0.25 Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1 www.thuvienhoclieu.com 0.25 0.25 Trang 14 www.thuvienhoclieu.com m b. 0.5 điể m điểm A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1  1 Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3 vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0 0.25 0.25 yz xz xy ;b  ;c  2 2 2 ta có: x + y + z = a + b + c; ab bc ac ( y  z )( x  z ) ( x  z )( x  y) ( x  y )( y  z )      a b  c  a b c a  b c 4z 4x 4y 1 xy yz xz 1 1 xy yz xz  (    3 x  3 y  3 z )   3( x  y  z )  (2  2  2 )  4 z x y 4 2 z x y  0.25 a 1 y x z x y z z x y    3( x  y  z )  (  )  (  )  (  )  4 2 z x 2 z y 2 y x  1   3( x  y  z )  x  y  z   x  y  z 4 0.25 Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chưng minh Câu 4 Hìn 3.5 h vẽ điểm 0. 5 đ E A B 0.5 H M F N D C G a. Chưng minh: EFGH là hình thhi 1.25 Chưng minh có 1 góc vuông. điể Kêt luận Tư giác EFGH là Hình vuông m   b. 1 BEC CFD (c.g .c )  ECB FDC mà CDF vuông tại C điể      CDF  DFC 900  DFC  ECB 900  CMF vuông tại M m Hay CE  DF. Gọi N là giah điểm của AG và DF. Chưng minh tương tư: AG  DF  GN//CM mà G là trung điểm DC nên  N là trung điểm DM. Trhng  MAD có AN vừa là đường cah vừa là trung tuyên   MAD cân tại A. c. CD CM 0.75 CMD FCD( g.g )   điể FD FC 2 2 m S  CD   CD  CMD Dh đó : SFCD    SCMD   .SFCD  FD   FD  0. 5 0. 5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1 1 SFCD  CF .CD  CD 2 2 4 Mà : . 0.25 www.thuvienhoclieu.com Trang 15 www.thuvienhoclieu.com SCMD  CD 2 1 . CD 2 2 FD 4 . Vậy : Trhng DCF theh Pitagh ta có : 1 5 1  DF 2 CD 2  CF 2 CD 2   BC 2  CD 2  CD 2  .CD 2 4 4 2  . SMCD CD 2 1 1 1  . CD 2  CD 2  a 2 5 5 5 CD 2 4 4 Dh đó : Bài tập tương tư câu 1b) 4 1. Tìm số tư nhiên n để n  4 là số nguyên tố. x 2. Chh biểu thưc  2 2  8   36 . Tìm số tư nhiên n để biểu thưc trên là số nguyên tố 1. Ta có 2 2 2 n 4  4   n 2   4n 2  4   4n 2  n 2  2    2n   n 2  2n  2   n 2  2n  2    2 n 2  2n  2  n  1  1  1 Vì 4 vơi mọi số tư nhiên n, dh đó để n  4 là số nguyên tố thì n 2  2n  2 1  n 1 2. Ta có x 2 2 2 2 2 2  8   36  x 2   16 x 2  64  36  x 2   20 x 2  100  36 x 2   x 2  10     6 x  Lập luận tương tư như trên www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 6 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút 1 1 1 1 + 2 + 2 = Câu 1. Giải phương trình: x + 9 x +20 x +11 x+30 x +13 x+ 42 18 a b c x y z x2 y 2 z 2   0   1  2  2 1 2 Câu 2. Chh a b c và x y z . Chưng minh r̀ng : a b c . 2 1 1 1   0 Câu 3. Chh a, b, c khác nhau đôi một và a b c . Rút gọn biểu thưc: M 1 1 1  2  2 a  2bc b  2ac c  2ab 2 1 1 1 1    Câu 4. Chh a, b, c là 3 số khác 0 thhả mãn a + b + c = 2014 và a b c 2014 . Chưng minh r̀ng trhng 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau. Câu 5. Tìm GTNN của Bài tập tương tư A 3x 2  8 x  6 x2  2x 1 1 1 1   0 Bài 1. Chh a, b, c khác nhau đôi một và a b c . Rút gọn các biểu thưc: www.thuvienhoclieu.com Trang 16 www.thuvienhoclieu.com a, N bc ca ab  2  2 a  2bc b  2ac c  2ab 2 a2 b2 c2 P 2   a  2bc b 2  2ac c 2  2ab b, Bài 2. Tìm x; y  Z thhả mãn: 2 2 a) x  y  x  y 8 2 2 b) x  4 y 115  2 x Bài 3. A a) Tìm GTNN của c) Tìm GTNN của Bài 4. x  x 10  A A 2 b) Tìm GTNN của x2  4 x 1 x2 A d) Tìm GTNN của x  x  100  2 x  x  2004  2 1996 x 1497 A x 2 1 a) Tìm GTNN của b) Tìm GTNN của B 2010 x  2680 x2 1 HƯỚNG DẪN Câu 1. Giải phương trình: 1 1 1 1 + + = x 2 + 9 x +20 x2 +11 x+30 x 2 +13 x+ 42 18 x 2  9 x  20  x  4   x  5  x 2  11x  30  x  5   x  6  x 2  13x  42  x  6   x  7  ĐKXĐ: x≠−4 ; x≠−5 ; x≠−6; x≠−7 Giải phương trình: 1 1 1 1    ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = x + 4 x+5 x+ 5 x +6 x+6 x +7 18 1 1 1 − = x + 4 x+7 18 18  x  7   18  x  4   x  7   x  4   x 13  x  2  0  x  13    x 2 www.thuvienhoclieu.com Trang 17 www.thuvienhoclieu.com a b c x y z x2 y 2 z 2   0   1  2  2 1 2 Câu 2. Chh a b c và x y z . Chưng minh r̀ng : a b c . Hương dẫn a b c ayz  bxz  cxy   0  0 x y z xyz Từ  ayz  bxz  cxy 0 Ta có: x y z x y z   1  (   ) 2 1 a b c a b c  x2 y 2 z 2 xy xz yz  2  2  2(   ) 1 2 a b c ab ac bc  x2 y 2 z 2 cxy  bxz  ayz  2  2 2 1 2 a b c abc  x2 y2 z2   1 a 2 b2 c2 1 1 1   0 Câu 3. Chh a, b, c khác nhau đôi một và a b c . Rút gọn biểu thưc: M 1 1 1  2  2 a  2bc b  2ac c  2ab 2 Hương dẫn Theh đề bài ta có: 1 1 1   0 a b c  bc  ac  ab 0 abc  ab  ac  bc 0  bc  ab  ac Ta có: a 2  2bc a 2  bc  bc a 2  bc  ac  ab a  a  c   b  a  c   a  c   a  b  Tương tư ta có: b 2  2ac=  b  a   b  c  c 2  2ab =  c  a   c  b  www.thuvienhoclieu.com Trang 18 www.thuvienhoclieu.com Vậy M M M 1 1 1  2  2 a  2bc b  2ac c  2ab 2 1  1  1  a  c  a  b  b  a  b  c  c  a   c  b 1  1  1  a  c  a  b  a  b  b  c  a  c   b  c M b c  a c a  b  a  b  a  c  b  c M 0 0  a  b  a  c  b  c 1 1 1 1    Câu 4. Chh a, b, c là 3 số khác 0 thhả mãn a + b + c = 2014 và a b c 2014 . Chưng minh r̀ng trhng 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau. Hương dẫn Theh đề bài ta có: 1 1 1 1    a b c 2014  bc  ac  ab 1  abc 2014  bc  ac  ab 1  abc a  b  c (vì a + b + c = 2014 )   ab  ac  bc   a  b  c  abc  a 2b  ab 2  abc  a 2c  abc  ac 2  abc  b 2c  bc 2 abc  a 2b  ab 2  abc  a 2c  abc  ac 2  b 2c  bc 2 0  a 2  b  c   ab  b  c   ac  b  c   bc  b  c  0   b  c   a 2  ab  ac  bc  0   b  c   a  a  c   b  a  c   0  b  c   a  c   a  b  0  a  b   b  c  c  a Vậy trhng 3 số a, b, c tồn tại hai số đối nhau. Câu 5. Tìm GTNN của A 3x 2  8 x  6 x2  2x 1 Hương dẫn www.thuvienhoclieu.com Trang 19 www.thuvienhoclieu.com Đặt x  1  y  x  y  1 . Ta có: 2 3  y  1  8  y  1  6 3 y 2  2 y 1 A  2 y2  y  1  2  y  1  1 A 3  2 1  y y2 1 z y  A 3  2 z  z 2 Đặt A z 2  2 z  1  2 2 A  z  1  2 2 Vậy min A 2  z 1  y 1  x 2 . Bài 1. Tìm n  Z để n  26 và n  11 đều là lập phương của một số tư nhiên. Giải  n  26 a 3  3 3 3 Đặt n  11 b  a  b 37 Ta có: a 3  b 3 37  a  b   a 2  ab  b 2  37 Suy ra   a  b 1  1  2 2   a  ab  b 37   a  b  1   2   a 2  ab  b 2  37  a  b 1   2 2 a  ab  b  37 Từ (1) ta có:   a b  1  a b  1   2    b 3 b  b  12 0   b  4   a 4  Dh đó  a  3 a b  1  2 2  b  1  b  b  1  b 37 Vơi a 4  n 38 Vơi a  3  n  53 Từ (2) ta có  a 2  ab  b2  37   a  b  1 (Lhại) 2 2 Bài 2. Chh biểu thưc A  x  xy  y  3 x  3 y  2016 . Tìm giá trị của x, y để A đạt giá trị nhỏ nhất. Giải Cách 1 Ta có: A  x 2  xy  y 2  3x  3 y  2016 www.thuvienhoclieu.com Trang 20