www.thuvienhoclieu.com
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 2/05/2019
Bài 1. (6,0 điểm)
3
2
a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x 2019 x 2019 x 2018
2
2
b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x y 4 x 2 y 5 0
c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59
Bài 2. (4,0 điểm)
2
2
2
a. Chứng minh a b c 2 ab bc ca với mọi số thực a, b, c.
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.
P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16.
Bài 3 (3.0 điểm):
P
1
1
1
1
1
2
2
2
2
x x x 3x 2 x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20
2
Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.
Bài 4. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia
đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt
đường thẳng AC tại P.
a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.
b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.
Bài 5 (2.0 điểm):
ˆ
ˆ
ˆ ABC
ˆ
Cho tam giác ABC có A B . Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HAC
. Đường
ˆ
phân giác của góc BAH cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại
F. Chứng minh rằng: CF // AE.
________________Hết________________
\ĐÁP ÁN
3
2
Câu 1: a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x 2019 x 2019 x 2018
A = x 3 2019 x 2 2019 x 2018
A = x 3 1 2019( x 2 x 2019)
A = (x - 1)(x 2 x 1) 2019( x 2 x 1)
A = x 2 x 1 ( x 1 2019)
A = (x 2 + x + 1 )(x 2018)
2
2
b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x y 4 x 2 y 5 0
www.thuvienhoclieu.com
x 2 y 2 4 x 2 y 5 0 ( x 2 4 x 4) ( y 2 2 y 1) 0
( x 2) 2 ( y 1)2 0
x 2 và y 1
c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59
5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n =
59.5n 59 vaø 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59
vaäy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59
5n(59 – 8) + 8.64n = 59.5n + 8(64n – 5n)
Câu 2:
2
2
2
a. Chứng minh a b c 2 ab bc ca với mọi số thực a, b, c.
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:
0 a b c a 2 ab ca ;
0 b c a b 2 bc ab
0 c a b c 2 ca bc
2
2
2
Do đó, suy ra: a b c 2(ab bc ca)
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.
Ta có: P x+5 x+7 x 9 x 11 + 16.
P ( x 5)( x 11)( x 7)( x 9) + 16.
P ( x 2 16 x 55)( x 2 16 x 63)+ 16.
P ( x 2 16 x 55)2 8( x 2 16 x 55)+ 16.
P ( x 2 16 x 55)2 2( x 2 16 x 55).4+ 42 .
P ( x 2 16 x 59)2 . Vơi x là số nguyên thì P là một số CP.
Bài 4 (3.0 điểm):
P
1
1
1
1
1
2
2
2
2
x x x 3x 2 x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20
2
Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.
a) Tìm điều kiện đúng: x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5
b) Rút gọn đúng:
1
1
1
1
1
x( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 4) ( x 4)( x 5)
1 1
1 1
1 1
1
1 1 1
= x 1 x x 2 x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4
P
1
1
5
x 5 x x x 5
I
K
B
1
H
Q
P
A
C
Chứng minh: ABC
S
Câu 4
1
www.thuvienhoclieu.com
KPC ( G.G)
Trang 2
www.thuvienhoclieu.com
b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.
PB
2 (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam giác vuông).
Ta có:
Lại có: HK HA (Giả thiết). Do đó: QH là đường trung trực của AK.
AQ KQ
S
ˆ HAC
ˆ EAH
ˆ CAE
ˆ
ˆ Bˆ BAE
Ta có: CEA
CAE cân ở C CA = CE (1)
Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta có:
5
(2đ)
BE MB MA FA
EH KH KH FH
0,5đ
(2)
BE
AB
(3)
EH AH
AE là phân giác của ABH
AB CA CE
AH CH CH
CAH và CBA đồng dạng
0,25
đ
(theo (1))
(4)
Từ (2), (3), (4)
0,5đ
FA CE
AH EH
AE CF
FH CH hay FH CH
(đpcm)
0,25
đ
0,5đ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC: 2019 – 2020
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN HL
TRƯỜNG THCS NG
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu 1. (3,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
5
4
a) x x 1
x
b)
2
2
– 8 36
x
c)
2
2
x 1 – 5x x 2 – x 1 4x 2
Câu 2. (3,0 điểm).
a
a) Rút gọn biểu thức: A =
2
2
b c b c 2ab 2ac
x2 x 6
3
2
b) Rút gọn: x 4x 18x 9
c) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
www.thuvienhoclieu.com
Trang 3
www.thuvienhoclieu.com
2
2
2
3 x 1 1 x 2 x 3 x 3 2x 3 5 16x
Câu 3. (4,0 điểm).
1) Giải phương trình:
3
2
a) x 5x 4x 20 0
2
1
2x 1
3
.
2
b) x x 1 x 1 x 1
2) Một người đi xe đạp, một người đi xe máy, một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc
8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày với vận tốc theo thứ tự lần lượt là 10km/h, 30km/h, 50km/h. Hỏi đến
mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?
Câu 4. (2,0 điểm). Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G. Đường thẳng d bất kỳ đi qua G
AB AC
3
AM
AN
và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:
.
Câu 5. (6,0 điểm). Cho ABC cân tại A, hai đường cao AI và BD cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: AIC ∽ BDC
2
b) Gọi E giao điểm của CH và AB. Chứng minh: BE.BA CH.CE BC
1
1
2
c) Gọi T là giao điểm của DE và AH. Chứng minh: AT AI AH
Câu 6. (2,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
a) A (x 2019) (x 2020)
x2
y2
B
x, y 1
y
1
x
1
b)
----------------Hết----------------(Học sinh không được sử dụng máy tính)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Câu 1
3 điểm
Hướng dẫn chấm
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Điểm
5
4
5
2
4
2
2
a) x x 1 x x x 2x 1 x
2
x 2 x 3 1 x 2 1 x 2
x 2 x 1 x 3 x 1
x
b)
2
1 điểm
2
– 8 36 x 4 16x 2 100
x 4 20x 2 100 16x 2
x 2 4x 10 . x 2 4x 10
www.thuvienhoclieu.com
1 điểm
Trang 4
www.thuvienhoclieu.com
Câu
Hướng dẫn chấm
x
c)
2
Điểm
2
– x 1 – 5x x 2 – x 1 4x 2 x 2 x 1 . 5x 2 6x 1
1 điểm
x 2 x 1 . x 1 . 5x 1
Câu 2
3 điểm
a
a) Rút gọn biểu thức: A =
2
2
b c b c 2ab 2ac ... a 2
x 3 . x 2 x 2
x2 x 6
2
3
2
x 3 . x 2 7x 3 x 7x 3
x
4x
18x
9
b) Rút gọn:
c) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
2
Câu 3
4 điểm
2
2
3 x 1 1 x 2 x 3 x 3 2x 3 5 16x ... 30
1) Giải phương trình:
1 điểm
1 điểm
1 điểm
3
2
a) x 5x 4x 20 0
x 2 x 5 4 x 5 0
x 5 . x 2 4 0
x 5; x 2
S 5; 2
Vậy pt có tập nghiệm
2
1
2x 1
.
2
3
b) x x 1 x 1 x 1
(ĐK: x 1 )
1 điểm
2 x 1 x 2 x 1 2x 1
x 2 x 2 0
x 2 (tm) hoặc x 1 (loại)
S 2
Vậy pt có tập nghiệm
1 điểm
2) Gọi thời gian từ khi ô tô xuất phát đến khi cách đều xe đạp và xe máy
là: x (giờ; x 0 )
Thì thời gian xe đạp đã đi là: x + 2 (giờ)
Thời gian xe máy đã đi là: x + 1 (giờ)
Quãng đường ô tô đi là: 50x (km);
Xe máy đã đi là: 30.(x+1) (km); Xe đạp đã đi là: 10.(x+2) (km)
Vì ô tô cách đều xe đạp và xe máy nên quãng đường ô tô đi nhiều hơn xe
đạp bằng quãng đường xe máy đi nhiều hơn ô tô. Ta có phương trình:
50x 10 x 2 =30 x 2 50x
...
x
4
3 (tm)
4
10h h 11h20'
3
Vậy đến
thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy
Câu 4
2 điểm
HV: 0,5
www.thuvienhoclieu.com
Trang 5
www.thuvienhoclieu.com
Câu
2 điểm
Hướng dẫn chấm
- Kẻ BE, CF//MN
AB AC AE AF AE AF 2AD
3
AM AN AG AG
AG
AG
Câu 5
6 điểm
Điểm
điểm
1 điểm
HV: 0,5
điểm
a) Chứng minh được AIC ∽ BDC (g-g)
b)
- Chứng minh được: BE.BA BH.BD BI.BC
1 điểm
CH.CE CI.CB
2
BE.BA CH.CE BC. BI IC BC
2,5 điểm
1
1
2
c) Gọi T là giao điểm của DE và AH. Chứng minh: AT AI AH
- Chứng minh được EH; EA là phân giác trong, ngoài của ETI tại
đỉnh E
AT HT ET
AI HI EI
HT HI
HT HI
HT
HI
0
1 1
2
AT AI
AT AI
AT
AI
HT AT AI HI
2
AT
AI
AH AH
2
AT AI
1
1
2
AT AI AH
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
A x 2019 x 2020
a)
Câu 6
2 điểm
2 điểm
2
1
... 2x 2x 8156761 2 x 8156760,5 8156760,5
2
1
x
2
Dấu “=” xảy ra
2
B
b)
1 điểm
x2
y2
x; y 1
y 1 x 1
www.thuvienhoclieu.com
Trang 6
www.thuvienhoclieu.com
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm
a x 1
a;b 0
b y 1
Đặt
a 1
2
b 1
2
4a 4b
a b
4 4.2 8
b
a
b
a
1 điểm
b a
Dấu “=” xảy ra a b 1 x y 2
PHÒNG GD & ĐT
KÌ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH MŨI NHỌN
B
Đề thi chính thức
Môn : Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi này có 5 câu
Số báo
danh:
x
3 3x
x4
2
3
Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức A = x 1 x x 1 x 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1
Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình:
2
a) x 3 x 2 x 1 0
2
2
2
1
1
1
1
2
8 x 4 x 2 2 4 x 2 2 x x 4
x
x
x
b) x
Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ 0 và x + y = 1.
2 xy 2
x
y
3
2 2
Chứng minh rằng: y 1 x 1 x y 3 = 0
3
Câu 4(3.0 điểm): Chứng minh rằng: Với mọi x Q thì giá trị của đa thức :
M = x 2 x 4 x 6 x 8 16
là bình phương của một số hữu tỉ.
Câu 5 (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC).
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo m AB .
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
GB
HD
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: BC AH HC .
www.thuvienhoclieu.com
Trang 7
www.thuvienhoclieu.com
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8
Câu
1
a
Nội dung
Điểm
x x 2 x 1 x 1 3 3x x 4
x
3 3x
x4
2
3
- Rút gọn: A = x 1 x x 1 x 1 =
=
x 1 x 2
x 1
2
x 3 2 x 2 2 x 1 x 1 x x 1
x2 x 1
x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1
1điểm
1điểm
2
b
1 3
x
2 4
2
x 2 x 1 x 1 3
2
Với mọi x ≠ - 1 thì A = x x 1 = 2 4
2
1điểm
2
1 3
1 3
x 0; x 0, x 1 A 0, x 1
2 4
Vì 2 4
1điểm
2
* Với x 1 (*) x - 1 0 x 1 x 1 ta có phương trình
1điểm
2
2
x -3x + 2 + x-1 = 0
x 2 2 x 1 0 x 1 0 x 1
( Thoả mãn
điều kiện *)
a
* Với x< 1 (**) x - 1 0 x 1 1 x ta có phương trình
2
x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 x 4 x 3 0 x 1 x 3 0
+ x - 1 = 0 x 1 ( Không thỏa mãn điều kiện **)
+ x - 3 = 0 x 3 ( Không thoả mãn điều kiện **)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1
* Điều kiện x ≠ 0 (1)
2
1
1
1
8 x 4 x2 2 x2 2
x
x
x
* pt
b
0.5điể
1
x
x
1
1
1
8 x2 2 2 4 x2 2 x2 2
x
x
x
1điểm
2
2
x 4
2
1
2
x x 4
x
m
1điểm
2
16 x 4 x x 8 0 x 0 hoặc x = -8
So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phương trình là x = - 8
0.5điể
m
3
Ta có
y 1 y 1 y y 1 x y y 1
3
2
2
vì xy 0 x, y 0 x, y 0
www.thuvienhoclieu.com
Trang 8
www.thuvienhoclieu.com
y-1 0 và x-1 0
1điểm
x
1
2
y 1 y y 1
3
x3 1 x 1 x 2 x 1 y x 2 x 1
y
1
2
x 1 x x 1
3
x
y
1
1
3
2
2
y 1 x 1 y y 1 x x 1
3
2
x 2 x 1 y 2 y 1
x y 2 xy x y 2
2
x 2 y 2 x y 2 xy xy x y xy x y 1
x 2 x 1 y 2 y 1
2 xy 2
4 2 xy
x
y
2 2
3
3
2 2
0
x y 3
y 1 x 1 x y 3
Ta có: M =
4
x
2
10 x 16 x 2 10 x 24 16
Đặt a = x2 - 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2
M = x2 - 10x + 20 )2 ( đpcm)
5
a
1điểm
1điểm
1điểm
1điểm
1điểm
+ Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.
CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE và
CAB đồng dạng)
1.5điể
m
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra: BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả
thiết).
1điểm
0
Nên AEB 45 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
0
BE AB 2 m 2
BM 1 BE 1 AD
Ta có: BC 2 BC 2 AC (do BEC ADC )
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
b
BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
AB 2 BE (do ABH CBA )
nên BC 2 AC 2 AC
0
0
Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 135 AHM 45
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
c
1.5điể
m
1điểm
1điểm
GB AB
AB ED
AH
HD
ABC DEC ED // AH
HC
HC
Suy ra: GC AC , mà AC DC
www.thuvienhoclieu.com
Trang 9
www.thuvienhoclieu.com
GB HD
GB
HD
GB
HD
Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 8
THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 phút
(không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI
Bài 1 (4 điểm)
1 x3
1 x2
x :
1 x
1 x x 2 x3
Cho biểu thức A =
với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
1
2
3.
Bài 2 (3 điểm)
2
2
2
2
2
2
a
b
b
c
c
a
4
.
a
b
c
ab ac bc .
Cho
Chứng minh rằng a b c .
Bài 3 (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4
đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (2 điểm)
4
3
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 2a 3a 4a 5 .
Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo
thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và
song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
1
1
2
b, Chứng minh rằng AB CD MN .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 10
www.thuvienhoclieu.com
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì :
3
0,5đ
2
1 x x x
(1 x)(1 x )
:
1 x
(1 x)(1 x x 2 ) x(1 x)
A=
0,5đ
(1 x)(1 x x 2 x)
(1 x )(1 x )
:
1 x
(1 x)(1 2 x x 2 )
=
=
(1 x 2 ) :
0,5đ
1
(1 x)
0,5đ
2
= (1 x )(1 x)
KL
b, (1 điểm)
2
5
Tại x = 3 = 3 thì A =
25
5
(1 )(1 )
9
3
=
34 8 272
2
.
10
9 3 27
27
1
5 2
5
1 ( 3 ) 1 ( 3 )
0,25đ
0,25đ
0,5đ
KL
c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 x )(1 x) 0 (1)
2
Vì 1 x 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1
KL
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được
0,5đ
2
a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc
2
2
2
2
2
2
Biến đổi để có (a b 2ac) (b c 2bc) (a c 2ac) 0
2
2
2
Biến đổi để có (a b) (b c) (a c) 0 (*)
2
2
2
Vì (a b) 0 ; (b c) 0 ; (a c) 0 ; với mọi a, b, c
2
2
2
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a b) 0 ; (b c) 0 và (a c) 0 ;
Từ đó suy ra a = b = c
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số
0,5đ
x
cần tìm là x 11 (x là số nguyên khác -11)
x 7
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x 15
0,5đ
(x khác -15)
www.thuvienhoclieu.com
Trang 11
www.thuvienhoclieu.com
x
x 15
Theo bài ra ta có phương trình x 11 = x 7
0,5đ
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
1đ
0,5đ
Từ đó tìm được phân số
KL
5
6
Bài 4 (2 điểm)
0,5đ
2
2
2
2
Biến đổi để có A= a (a 2) 2a(a 2) (a 2) 3
0,5đ
0,5đ
2
2
2
2
= (a 2)( a 2a 1) 3 (a 2)( a 1) 3
2
2
2
2
Vì a 2 0 a và (a 1) 0a nên (a 2)( a 1) 0a do đó
(a 2 2)( a 1) 2 3 3a
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1
KL
0,25đ
0,25đ
Bài 5 (3 điểm)
B
N
M
A
D
I
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
b,(2điểm)
C
0,5đ
0,5đ
4 3
8 3
cm
cm
Tính được AD = 3
; BD = 2AD = 3
1
4 3
BD
cm
3
AM = 2
0,5đ
4 3
cm
Tính được NI = AM = 3
8 3
1
4 3
cm
DC
cm
3
DC = BC = 3
, MN = 2
0,5đ
8 3
cm
Tính được AI = 3
0,5đ
www.thuvienhoclieu.com
0,5đ
Trang 12
www.thuvienhoclieu.com
Bài 6 (5 điểm)
B
A
M
O
N
C
D
a, (1,5 điểm)
0,5đ
OM OD
ON OC
Lập luận để có AB BD , AB AC
OD OC
Lập luận để có DB AC
OM ON
AB
AB OM = ON
0,5đ
0,5đ
b, (1,5 điểm)
0,5đ
OM DM
OM AM
Xét ABD để có AB AD (1), xét ADC để có DC AD (2)
1
1
AM DM AD
1
AD
AD
Từ (1) và (2) OM.( AB CD )
1
1
(
) 1
Chứng minh tương tự ON. AB CD
1
1
1
1
2
(
) 2
AB CD MN
từ đó có (OM + ON). AB CD
0,5đ
0,5đ
b, (2 điểm)
S AOB
S AOB
S
OB S BOC
OB
BOC
S AOD OD , S DOC OD S AOD
S DOC S AOB .S DOC S BOC .S AOD
Chứng minh được S AOD S BOC
2
S AOB .S DOC ( S AOD )
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị
DT)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2019 – 2020
TRƯỜNG THCS PHAN BỘI
CHÂU
Đề thi thử 1
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x2 + 6x + 5
2) (x2 – 8)2 + 36
3) (x2 – x + 1)2 – 5x(x2 – x + 1) + 4x2
Câu 2. (3,0 điểm).
a b c
1) Rút gọn biểu thức: A =
2
2
b c 2ab 2ac
www.thuvienhoclieu.com
Trang 13
www.thuvienhoclieu.com
x2 x 6
3
2
2) Rút gọn : x 4 x 18 x 9
3) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
2
2
2
3 x 1 x 1 2 x 3 x 3 2 x 3 5 20 x
Câu 3. (4,0 điểm).
1) Giải phương trình:
3
2
a) x 5 x 4 x 20 0
x 971 x 973 x 975 x 977 x 972 x 970 x 968 x 966
970
968
966
971
973
975
977
b) 972
2
1
2x 1
3 .
2
c) x x 1 x 1 x 1
2) Hai người làm chung công việc trong 4 ngày thì xong . Nhưng chỉ làm được trong 2 ngày ,
người kia đi làm công việc khác , người thứ hai làm tiếp trong 6 ngày nữa thì xong . Hỏi mỗi
người làm một mình thì bao lâu xong công việc ?
Câu 4. (2,0 điểm). Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G. Đường thẳng d qua G cắt
AB AC
3
AB,AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: AM AN
.
Câu 5. (5,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D
lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
a) Tứ giác DFBE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh: CHK ∽ BCA
c) Chứng minh: AC2 = AB. AH + AD.AK
Câu 6. (2,0 điểm).
1) Chứng minh rằng n5 – 5n3 + 4n 120 với n N
x2
2) Cho biÓu thøc A = x 2 x 2 . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn
2
2
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P ( x 2012) ( x 2013)
----------------Hết----------------(Học sinh không được sử dụng máy tính)
2
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
4 điểm
a)
2 x 2 5 x 3 2 x 2 6 x x 3
2 x x 3 x 3 x 3 2 x 1
4
2
4
2
2
b) x 2009 x 2008 x 2009 x x 1 2008 x 2008 x 2008
( x 2 x 1)( x 2 x 1) 2008( x 2 x 1)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
( x 2 x 1)( x 2 x 1 2008) ( x 2 x 1)( x 2 x 2009)
www.thuvienhoclieu.com
Trang 14
www.thuvienhoclieu.com
c)
x 2 x 4 x 6 x 8 16 x 2 x 8 x 4 x 6 16
0,5
x 2 10 x 16 x 2 10 x 24 16
Đặt
x 2 10 x 20 t
0,5
0,5
t 4 t 4 16 t 2 16 16 t 2
x 2 10 x 20
Câu 2
3 điểm
1)
x
2
2
2
y z z y x y z 2 y 2z
2
x y z 2 x y z y z y z
x y z y z
0,5
2
0,5
0,5
2
x2
2
1
1
1
1
1
x 5x
.
2
2
2
2
2
5
2) x x x 3 x 2 x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20
x2 5x
1
1
1
1
1
.
x
x
1
x
1
x
2
x
2
x
3
x
3
x
4
x
4
x
5
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1 x2 5x
1
.
5
x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5
1 x2 5x
1
.
5
x x 5
x x 5
5
.
1
x x 5
5
Câu 3
4 điểm
0,5
0,5
0,25
0,25
1)
2
a) 3x x 6 2 0
3x 2 6 x
2 0
3 x2 2 x
3 x
x
x
2 0
x 2 x 2 0
2 3 x 2 1 0
2 3 x 3 2 1 0
2
0,25
0,25
x 2 0
3x 3 2 1 0
x 2
3 21
x
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là
3 2 1
S 2;
3
www.thuvienhoclieu.com
0,25
Trang 15
www.thuvienhoclieu.com
0,25
2
1
2x 1
3
b) x x 1 x 1 x 1
x 1
2
ĐKXĐ:
2 x 1 x 2 x 1 2 x 1
0,25
2x 2 x2 x
x 2 x 2 0
x 1 x 2 0
0,25
x 1(l )
x 2(n)
S 2
0,25
2) Gọi số phải tìm là x (x > 0)
Vì phần nguyên x có một chữ số nên khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái thì
số đó tăng thêm 20 đơn vị, nghĩa là ta có số có giá trị là 20 + x
Vì khi dịch dấu phẩy sang trái một chữ số thì số đó giảm đi 10 lần, nên khi
dịch dấu phẩy của số có giá trị 20 + x sang trái thì được số có giá trị là
20 x
10
0,25
0,25
0,25
9
Số mới nhận được bằng 10 số ban đầu nên ta có phương trình
20 x 9
x
10
10
x 2,5( n)
0,25
Vậy số phải tìm là 2,5
0,25
Câu 4
2 điểm 1)
Do ADC B BAD B ADC
0,25
Lấy E trên AC sao cho ADE B
. Khi đó AE < AC
ADE và ABD đồng dạng (g-g)
0,25
0,25
AD AE
AD 2 AB. AE AB. AC
AB AD
A
0,25
E
B
2)
www.thuvienhoclieu.com
D
C
Trang 16
www.thuvienhoclieu.com
A'
A
B
C
H
C'
H'
B'
0,25
Gọi k là tỉ số đồng dạng của ABC và A ' B ' C '
AB
BC
k
Ta có A ' B ' B ' C '
(1)
Xét ABH và A ' B ' H ' có:
0,25
H
' 900
H
(GT)
B
'(GT )
B
0,25
0,25
Suy ra ABH và A ' B ' H ' (g-g)
AB
AH
k
A' B ' A' H '
(2)
1
AH .BC
S ABC
2
k .k k 2
1
S A ' B 'C '
A ' H '.B ' C '
2
Câu 5
5 điểm
H
C
B
F
O
E
A
D
K
a) Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : BEO DFO( g c g )
=> BE = DF
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
0,5
0,5
b) Ta có: ABC ADC HBC KDC
Chứng minh : CBH CDK ( g g )
0,5
CH CK
CH .CD CK .CB
CB CD
c) Chứng minh : AFD AKC ( g g )
www.thuvienhoclieu.com
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 17
www.thuvienhoclieu.com
AF AK
AD. AK AF . AC
AD AC
Chứng minh : CFD AHC ( g g )
0,5
CF AH
CD AC
0,5
CF AH
AB. AH CF . AC
AB AC
0,5
Mà : CD = AB
Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC 2 .
Câu 6
2 điểm
1)
Ta có
0,25
0,25
a 13k 2 a 2 132 k 2 2.13k .2 4
b 13l 3 b 2 132 l 2 2.13l.3 9
0,5
a 2 b 2 13 13k 2 4k 13l 2 6l 13 13
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A x x 1 x 2 x 4 x 2 x x 2 x 4
0,25
Đặt x2 + x – 2 = t
0,25
A t 2 t 2 t 2 4 4
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0
x 2 x 2 0
0,25
x 1 x 2 0
x 1
x 2
HS có thể làm cách khác, nhưng sử dụng phù hợp kiến thức chương trình vẫn chấm điểm tối đa.
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2019 – 2020
TRƯỜNG THCS PHAN BỘI
CHÂU
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề Thi Thử 2
Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2
2) 2 x 5x 3.
4
2
3) x 2009 x 2008 x 2009.
x 2 x 4 x 6 x 8 16.
4)
Câu 2. (3,0 điểm).
4) Rút gọn biểu thức:
x
2
2
y z z y x y z 2 y 2z .
www.thuvienhoclieu.com
Trang 18
www.thuvienhoclieu.com
5) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
2
1
1
1
1
1
x 5x
2
2
2
2
.
2
.
5
x x x 3x 2 x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20
Câu 3. (4,0 điểm).
3) Giải phương trình:
2
d) 3x x 6 2 0.
2
1
2x 1
3
.
e) x x 1 x 1 x 1
2
4) Một số thập phân có phần nguyên là số có một chữ số. Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số
9
đó, sau đó chuyển dấu phẩy sang trái 1 chữ số thì được số mới bằng 10 số ban đầu. Tìm số
thập phân ban đầu.
Câu 4. (2,0 điểm).
2
1) Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Chứng minh rằng: AD AB. AC.
2) Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng
dạng.
Câu 5. (5,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C
xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK.
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
Câu 6. (2,0 điểm).
2
2
4) Cho a, b . Chứng minh rằng nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a b chia hết cho
13.
5) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A x x 1 x 2 x 4 .
----------------Hết----------------(Học sinh không được sử dụng máy tính)
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1 d)
2 x 2 5 x 3 2 x 2 6 x x 3
4
2 x x 3 x 3 x 3 2 x 1
điểm
4
2
4
2
2
e) x 2009 x 2008 x 2009 x x 1 2008 x 2008 x 2008
( x 2 x 1)( x 2 x 1) 2008( x 2 x 1)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
( x 2 x 1)( x 2 x 1 2008) ( x 2 x 1)( x 2 x 2009)
f)
x 2 x 4 x 6 x 8 16 x 2 x 8 x 4 x 6 16
0,5
x 2 10 x 16 x 2 10 x 24 16
www.thuvienhoclieu.com
Trang 19
www.thuvienhoclieu.com
Đặt
x 2 10 x 20 t
2
t 4 t 4 16 t 16 16 t
x 2 10 x 20
0,5
0,5
2
2
2
2
Câu 2
x y z z y x y z 2 y 2z
3)
3
2
2
x y z 2 x y z y z y z
điểm
x y z y z
0,5
0,5
0,5
2
x2
2
1
1
1
1
1
x 5x
.
2
2
2
2
2
4) x x x 3x 2 x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20 5
x2 5x
1
1
1
1
1
.
x
x
1
x
1
x
2
x
2
x
3
x
3
x
4
x
4
x
5
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1 x2 5x
1
.
5
x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5
1 x2 5x
1
.
5
x x 5
x x 5
5
.
1
x x 5
5
Câu 3
4
điểm
0,5
0,5
0,25
0,25
3)
2
c) 3x x 6 2 0
3x 2 6 x
2 0
3 x2 2 x
3 x
2 0
2 0
2 1 0
2 1 0
2 x 2 x
2 3 x
x 2 3x 3
x
0,25
0,25
x 2 0
3 x 3 2 1 0
x 2
3 21
x
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là
3 2 1
S 2;
3
2
1
2x 1
3
d) x x 1 x 1 x 1
2
www.thuvienhoclieu.com
0,25
0,25
Trang 20
- Xem thêm -
.DOCX 
60 
22 
145 
