Tài liệu Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 năm 2016 tỉnh Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (4,0 điểm). x 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc (C) mà x 1 khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng  : x  y  3  0 bằng 2 . 3 2 2) Cho hàm số y  x  2  m  1 x   5m  1 x  2m  2 có đồ thị là (Cm ) , với m là tham số. Tìm m để (Cm ) cắt 1) Cho hàm số y  trục hoành tại ba điểm phân biệt A  2;0  , B, C sao cho trong hai điểm B, C có một điểm nằm trong và một điểm 2 2 nằm ngoài đường tròn  T  : x  y  1 . Câu 2 (2,0 điểm).   2 Giải phương trình sin 4 x.sin x  4 3 cos x.cos 2 x.sin x  2 2 cos  x   6  Câu 3 (1,5 điểm). 1 Giải bất phương trình log 4  x 2  4 x  4   log 2 2  x  2   log 2 (4  x). Câu 4 (1,5 điểm). Trong không gian toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(3;3;5) , B(1; 1;1); 1) Tìm tọa độ điểm G thuộc trục Oz sao cho khoảng cách từ G đến  Oxy  bằng khoảng cách từ G đến A. 20 2 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết M, N lần lượt là hình chiếu của A, B trên (P) và AM  ; BN  . 3 3 Câu 5 (2,0 điểm). 2 1 x   x3   x 2  2 x  1 e x  dx Tính tích phân I   2 x 1 1  Câu 6 (2,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB  BC  4a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng a 10 . Tính thể tích khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và HD. Câu 7 (1,5 điểm). Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của (H). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, tính xác suất để chọn được một tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác (H) và một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H). Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên BD và CD. Biết A  4;6  , phương trình của HK : 3 x  4 y  4  0 , điểm C thuộc đường thẳng d1 : x  y  2  0 , điểm B thuộc đường thẳng d 2 : x  2 y  2  0 và điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1. Tìm tọa độ các điểm B, C, D. Câu 9 (2,0 điểm).  x 4  x3  4 y  5x2  6 y  6   x, y  � x 1 Giải hệ phương trình   x3  x 2  y 2  2 x 2 y  2 xy  y 2 x  0  Câu 10 (2,0 điểm). Xét các số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 và a 2  b2  c 2  27 .       4 4 4 2 2 2 2 2 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  a  b  c  ab a  b  ac a  c  bc b  c . --------------------HẾT----------------------- Họ và tên thí sinh:……………………….Họ, tên chữ ký GT1:………………………………….. Số báo danh:……………………………..Họ, tên chữ ký GT2:………………………………….. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Nội dung Điểm 1.1 x 1 (2,0đ)1 1) Cho hàm số y  x  1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuô ôc (C) mà khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng  : x  y  3  0 bằng 2 . a 1 )  (C ); a 1 a 1 a 1 a 3 +) Từ giả thiết ta có a 1 d ( M , )  2   2 2  a 2  3a  4  2 a  1 0,25 +) TXĐ: D  �\  1 . Gọi điểm M ( a; 0,25 0,25 0,25 a 2  5a  6  0   2 a  a  2  0 a  2   a  3 0,25 +) Với a  2  M (2;3) . Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y  2 x  7 +) Với a  3  M (3;2) . Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y   * Vâ ây các phương trình tiếp tuyến của (C) cần tìm là: y  2 x  7; y   1.2 (2,0đ) 1 7 x 2 2 1 7 x 2 2 0,25 0,25 0,25 2) Cho hàm số y  x 3  2(m  1) x 2  (5m  1) x  2m  2 có đồ thị ( Cm ), với m là tham số. Tìm m để ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biêtô A(2;0) , B, C sao cho trong hai điểm B, C có mô ôt điểm nằm trong và mô ôt điểm nằm ngoài đường tròn ( T ): x 2  y 2  1 . +) Hoành đô â giao điểm của(Cm ) và trục hoành là nghiê âm phương trình: x 3  2(m  1) x 2  (5m  1) x  2m  2  0 0,25  ( x  2)( x  2mx  m  1)  0 2 x  2   2 x  2mx  m  1  0 (1) 0,25 +) ( Cm ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biê ât  (1) có 2 nghiê âm phân biê ât khác 2 0,25   '  m2  m  1  0    4  4m  m  1  0 0,25 m  ( ; 1 5 1 5 5 ) ( ;  ) \   2 2 3 0,25  x1  x2  2m  x1.x2  m  1 +) Khi đó A(2;0), B( x1;0), C ( x2 ;0) ; với x1; x2 là nghiê âm pt(1) và  0,25 +) Đường tròn (T) có tâm O(0;0), bán kính R=1 +) Hai điểm B, C thỏa mãn điều kiê ân đầu bài  (OB  R )(OC  R)  0 0,25  ( x1  1)( x2  1)  0  x1 x2  1  x1  x2  ( x1 x2 ) 2  1  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  3m 2  4m  4  0 2  m  ( ; )  (2;  ) 3 0,25 2 )  (2;  ) 3  2 Giải phương trình: sin 4 x.sin x  4 3 cos x.cos 2 x.sin x  2 2 cos( x  ) . 6 Kết hợp với đk (*) , các giá trị cần tìm của m là  m  ( ; Câu 2 (2,0đ) + Phương trình đã cho tương đương với:  sin 4 x.sin x  2 3 sin 2 x.cos 2 x.cos x  2 2 cos( x  ) 6   sin 4 x.sin x  3 sin 4 x.cos x  2 2 cos( x  ) 6   sin 4 x(sin x  3 cos x)  2 2 cos( x  ) 6 1 3   2sin 4 x( sin x  cos x)  2 2 cos( x  ) 2 2 6    sin 4 x cos( x  )  2 cos( x  ) 6 6   (sin 4 x  2) cos( x  )  0 6 sin 4 x  2(VL)   cos( x   )  0  6 2  x  k 3 2  k , k  � Vâ ây phương trình đã cho có các nghiê âm là x  3 Câu 3 (1,5đ) Giải bất phương trình: log  x 2  4 x  4   1 log 4 2 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  x  2   log 2  4  x  .  x2  4x  4  0 x  2    + ĐK :  x  2  0  2  x  4 4  x  0  + Bất phương trình đã cho tương đương với 0,5 0,25 1 log 22 ( x  2) 2  log 1 ( x  2)  log 2 (4  x) 2 22 0,25  log 2 x  2  log 2 ( x  2)  log 2 (4  x)  log 2  x  2 ( x  2)   log 2 (4  x)  x  2 ( x  2)  4  x (1) +) TH1: Với x  ( 2;2) thì (1)  (2  x)( x  2)  4  x  x  (0;1) . Kết hợp với ĐK trong trường hợp này ta được x  (0;1) 0,25 0,25 +) TH2: Với x  (2;4) thì 1  33 1  33 ) ( ;  ) . Kết hợp với ĐK 2 2 1  33 trong trường hợp này ta được x  ( ;4) 2 1  33 * Vâ ây bất phương trình có tập nghiệm là x  (0;1)  ( ; 4) 2 Câu 4 Trong không gian toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(3;3;5) , B(1; 1;1) . (1)  ( x  2)( x  2)  4  x  x  ( ; (1,5đ) 0,25 0,25 1) Tìm tọa đô ô điểm G thuô ôc trục Oz sao cho khoảng cách từ G đến mă ôt phẳng (Oxy) bằng khoảng cách từ G đến A 2) Viết phương trình mă ôt phẳng (P) biết M, N lần lượt là hình chiếu của A, B trên (P) và 20 2 ; BN  . 3 3 G (0;0; a )  Oz +) Gọi 0,25 +) Ta có mă ât phẳng (Oxy ) : z  0; d (G ,(Oxy ))  a ; GA  9  9  (5  a ) 2 0,25 +) Từ giả thiết: d (G,(Oxy ))  GA  0,25 AM  a  9  9  (5  a ) 2  a 43 10 43 Vâ ây G (0;0; ) là điểm cần tìm. 10 20 2 ; BN  +) Ta có AB  6; AM  3 3 +) Ta thấy AM  AB  BN tức là d ( A,( P))  AB  d ( B,( P)) (1) +) Ta luôn có AB  BN  AN  AM +) Do đó (1) xảy ra khi và chỉ khi các điều kiê ân sau được thỏa mãn đồng thời AB  ( P ) ; A, B, N thẳng hàng ; B nằm giữa A và N ; M trùng với N. uuu r uuur 7 13 5 ; ) +) AB  9 BN , B nằm giữa A và N . Do đó AB  9 BN , từ đó tìm được N ( ; 9 9 9 uuu r +) Mă ât phẳng (P) đi qua N nhâ ân AB nên có phương trình: x  2 y  2 z  1  0 2 1 Câu 5 x   x3 2 x I   ( x  2 x  1) e Tính tích phân (2,0đ)  dx. 1  x 2  1  0,25 0,25 0,25 1 x   x3 2 I    ( x  2 x  1)e x  dx. 2 x 1  1 2 2  1 2 x3 x 1 2 dx  ( x 2  2 x  1)e x  0,25 dx 3 x2  1 1 1 x 1 2 +) M  x dx +) Đă ât t  x 2  1  t 2  x 2  1  2tdt  2 xdx  tdt  xdx +) Đổi câ nâ : x  1  t  2; x  2  t  5 2 (t 2  1)tdt dx    t x2  1 2 M  1 (  5 x3 5 (t 2  1) dt 0,25 2 5 t3  t) 3 0,25 2 2 5 2 3 0,25 2  + N  ( x  2 x  1)e 2 1 2 x 1 x 2 dx  ( x  1)e 2 1 N 2  2 xe 0,25 x 1 x x 1 x 2 dx  2 xe x 1 x dx  N1  N 2 1 dx 1 1 x  x  Đă ât  u  e  dv  2 xdx N2  x e 2 x 1 2 x 1  x 2  1 x  1x  du  2 e dx x  v  x2  2  ( x  1)e 2 x 1 x 0,25 3 2 dx  4e  1  N1 1 3 3 Do đó N  N  N  N  4e 2  1  N  4e 2  1 1 2 1 1 0,25 2 2 5 2 Vâ ây I  M  N   4e 3  1 3 0,25 Câu 6 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB  BC  4a. Tam giác 2,5 đ SAB đều và nằm trong mă ôt phẳng vuông góc với mă ôt phẳng (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mă ôt phẳng (SHD) bằng a 10 . Tính thể tích của khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và HD. +) Tam giác SAB cân nên  SH  AB SAB )  ( ABCD )   +) ( SAB)  ( ABCD )  AB   SH  ( ABCD)  SH  AB  CK  HD , K  HD +) Kẻ mà SH  ( ABCD)  SH  CK Do đó CK  ( SHD )  d (C ,( SHD ))  CK  a 10 0,25 0,25 + Tính được CH  a 20  HK  a 10  CK . Do đó tam giác CHK vuông cân tại K �  45  DHC �  45  tan DHC � 1 Nên KHC � 2 +) Tam giác ABH vuông tại B nên tan BHC �  tan( BHC �  CHD � ) +) tan BHD 0,25 �  tan CHD � tan BHC  3 � .tan CHD � 1  tan BHC � � � Mà BHD AHD  180 . Do đó tan AHD  3  AD  3  AD  6a AH ( AD  BC ). AB  20a 2 2  S ABCD  S AHD  20a 2  6a 2  14a 2 0,25 Ta có S ABCD  S HBCD Vâ yâ VS . HBCD  1,25đ 0,25 3 1 28a 3 SH .S HBCD  3 3 Tính cosin của góc giữa hai đường thắng SC và HD Tam giác SHC vuông tại H nên SC  a 32 +) Gọi M  AC  HD; E  BC  HD +) Khi đó AEBD là hình bình hành nên EB  AD  4a  EC  10a +) AD//EC nên AD AM 6a 3 3 3 3 3a 2     AM  MC  AC  .a 32  EC MC 10a 5 5 8 8 2 +) Trong mă ât phẳng (ABCD), kẻ CN//HD với N thuô âc đường AB Do đó góc giữa SC và HD là góc giữa CN và SC 0,25 0,25 3 10 4 HN  HN  a  BN  a. 5 3 3 208 4 10 Ta có: SN  SH 2  HN 2  a; CN  BN 2  BC 2  a. 3 3 Ta có: AH  SC 2  CN 2  SN 2 5 � +) Áp dụng định lý Côsin trong tam giác SCN , ta có cos SCN   . 2 SC.CN 4 � +) cos( SC , HD )  cos(CN , SC )  cos SCN �  Vâ yâ cos( SC , HD )  cos SCN Câu7 (1,5đ) 5 . 4 0,25 0,25 Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. Gọi X là tâ ôp hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của (H). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, tính xác suất để chọn được 1 tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác (H) và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H). +) Đa giác lồi (H) có 22 cạnh nên có 22 đỉnh. 3 +) Số tam giác có 3 đỉnh là ba đỉnh của đa giác (H) là C 22  1540. 0,25 2 +) Số phần tử của không gian mẫu  là n()  C1540  1185030 0,25 +) Số tam giác có mô ât cạnh là cạnh của đa (H) là 22.18 = 396 +) Số tam giác có hai cạnh là cạnh của đa (H) là 22 0,25 Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa (H) là: 1540 - 396 - 22 = 1122 +) Gọi A là biến cố “ hai tam giác được chọn có mô ât tam giác có 1 cạnh là cạnh của (H) và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H)" 1 1 +) Số phần tử của A là n(A)  C396 .C1122 +) Xác suất của biến cố A là p(A)  Câu8 1,0đ 0,2 5 1 n(A) C1396 .C1122 748   n() 1185030 1995 0,25 0,25 Trong mă ôt phẳng tọa đô ô Oxy cho tứ giác ABCD nô ôi tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên BD và CD. Biết A(4;6) , phương trình của HK: 3 x  4 y  4  0 , điểm C thuô ôc đường thẳng d1 : x  y  2  0 , điểm B thuô ôc đường thẳng d 2 : x  2 y  2  0 và điểm K có hoành đô ô nhỏ hơn 1. Tìm tọa đô ô các điểm B, C, D. +) Gọi E  AC  HK �  HKC � . Tứ giác AHKD nô âi tiếp  HAD Tứ giác ABCD nô âi tiếp � ABC  � ACD . � Tam giác ABD vuông tại A  � ABD  HAD � � Vâ ây HKC ACD hay tam giác ECK cân tại E. Vì tam giác ACK vuông tại K nên E là trung điểm của AC. c4 8c ; ) +) Ta có: C  d1  C (c; 2  c)  E ( 2 2 Vì E  HK nên tìm được c  4  C (4; 2). 0,25 0,25 uuur uuur +) K  HK : 3x  4 y  4  0 nên gọi K (4t ;3t  1)  HK  AK (4t  4;3t  7); CK (4t  4;3t  1)  1 uuur uuur t  5 2 +) Ta có: AK  CK  AK .CK  0  25t  50t  9  0   .Vì hoành đô â điểm K nhỏ t  9  5 0,25 4 2 ) 5 5 hơn 1 nên Tam giác SHC vuông tại H nên K ( ; +) BC có phương trình : 2 x  y  10  0. +) B  BC  d 2  B (6; 2). +) Lâ âp được phương trình AD: x  2 y  8  0. +) Lâ âp được phương trình CD: x  2 y  0 +) Tìm được D(4; 2) . Vâ ây B(6;2), C(4;-2), D(-4;2) 9 (2,0đ) 0,25  x 4  x3  4 y  5 x 2  6 y  6 (1)  x  1 Giải hê â phương trình  x 3  x 2  y 2  2 x 2 y  2 xy  y 2 x  0   2 ( x, y  �).  x  1 2 5x  6 y  6  0 +) ĐK:  x  1 x  y 0,25 1  5  65 y  2 4 y  2  2 6 y  11  1  2 y  6 y  11    y 4 2 y2  5 y  5  0  0,25 2 +) Ta có (2)  ( x  1)( x  y )  0   +) Với x  1 , thì (1) trở thành : x 1  +) So sánh với ĐK ta có  5  65 là nghiê âm của hê â đã cho. y   4 0,25 +) Với y  x thì (1) trở thành: x 4  x3  4 x  ( x  1) 5 x 2  6 x  6 0,25  ( x  2)  ( x  4 x  4 x  4)  ( x  1) ( x  2)( x  1)  ( x  4 x  4 x  4) 2 2 3 2 2  u  x 2  2 Đă ât  2 v  5x  6 x  6  u 2  ( x3  4 x 2  4 x  4)  ( x  1)v Ta có hê â  2 3 2  v  ( x  1)u  ( x  4 x  4 x  4) 3 2 0,25 Ta có u  v  ( x  1)(v  u ) 2 2 u  v  (u  v)(u  v  x  1)   u  v  x  1  0 Với u  v  x  1  0 Ta có 5 x 2  6 x  6  x 2  x  3  0( ptvn) vì x 2  x  3  0, x Với u  v ta có x 2  2  5 x 2  6 x  6 0,25  x4  4 x 2  4  5x 2  6 x  6  x4  x2  6 x  2  0 0,25  ( x 2  1) 2  3( x  1) 2 Giải phương trình được nghiê âm: x  3  4 3 1 2 KL: So sánh với ĐK ta có hê â đã cho có các nghiê âm là x 1   5  65 ; y    4 10 2,0  3  4 3 1 x   2 ;   3  4 3 1 y   2  3  4 3 1 x   2 .   3  4 3 1 y   2 0,25 Xét các số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 và a 2  b 2  c 2  27. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  a 4  b4  c 4  ab  a 2  b2   ac  a 2  c 2   bc  b 2  c 2  . P  a 4  b 4  c 4  a 3b  ab3  a 3c  ac 3  b3c  bc 3  a 3  a  b  c   b3  b  a  c   c3  c  a  b   3 a  b  c 3 a 3 3 3 0,5   b 3  c 3   a 3   b  c   b 2  c 2  bc  b  c  3  a; bc  0,25 1 1 2 2  b  c    b2  c 2     3  a    27  a 2    a 2  3a  9 2 2 Do đó a 3  b3  c3  a3   3  a   27  a 2  a 2  3a  9  0,25   a 3  9a 2  27 a  108 Ta có b  c  3; bc  a 2  3a  9 2 Ta luôn có  b  c   4bc, b, c . Do đó  3  a   4  a  3a  9   a   3;5 2 2 0,25 Ta có P  3a 3  27a 2  81a  324 Xét hàm số f (a )  3a 3  27a 2  81a  324 xác định và liên tục trên  3;5 f '(a)  9a 2  54a  81; f (3)  243 a  3  3 2   3;5 ; f (5)  381 f '(a)  0   a  3  3 2   3;5 f (3  3 2)  81  324 2 0,25 Vâ ây GTLN của f (a ) bằng 381 khi a  5 Do đó GTLN của P bằng 381 khi a  5; b  c  1 Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà đúng và phù hợp với chương trình thì giám khảo cho điểm tương đương. --------------------HẾT--------------------