Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
PhÇn thø nhÊt:Më ®Çu
1. Lý do chän ®Ò tµi:
Trong dạy học đại số ở THCS, việc dạy cho học sinh nắm vững các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử và biết vận dụng một cách hợp lí các
phương pháp đó vào giải bài tập đóng vai trò quan trọng. Có nhiều loại bài
tập sử dụng tới kết quả của việc phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ: Rút
gọn phân thức, giải phương trình bậc cao, quy đồng mẫu nhiều phân thức,
biến đổi đồng nhất các phân thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức có
giá trị nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức...
Vì vậy, ngoài việc nắm vững, sử dụng thành thạo các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử được trình bày trong sách giáo khoa thì việc hiểu, biết
vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác là cần thiết.
Thêm nữa, khi sử dụng một phương pháp phân tích nào đó, học sinh cần vận
dụng rất nhiều kiến thức liên quan như: Nhẩm nghiệm của đa thức, bảy hằng
đẳng thức, chia đa thức...nên việc chuẩn bị các kiến thức này cho học sinh là
rất cần thiết.
Qua nhiều năm giảng dạy môn toán đặc biệt là Đại số 8, tôi thấy “Phân tích
đa thức thành nhân tử” chiếm một phần rất quan trọng trong nội dung chương
trình, trong khi đó rất nhiều em học sinh còn lúng túng trong quá trình phân
tích đa thức thành nhân tử. Vì vậy, việc học tập môn toán của các em còn gặp
khó khăn. Do đó tôi chọn đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử” với mục
đích hệ thống, củng cố kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử và góp phần
rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo của học sinh.
2. Mục đích nghiên cứu:
Nhằm giúp học sinh thực hiện thành thạo dạng toán “Phân tích đa thức thành
nhân tử” để các em vận dụng giải các bài bập dạng phân tích đa thức thành nhân
tử, tìm nghiệm của đa thức ( tìm x), chia đa thức, rút gọn phân thức, biến đổi biểu
thức hữu tỉ về dạng phân thức. Từ đó các em có thể tránh được những sai lầm
trong khi giải các bài toán dạng này, tạo niềm say mê, hứng thú cho học sinh đối
với môn toán nói chung và đại số nói riêng.
Góp phần nâng cao chất lượng dạy học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
a. Hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theo SKG và một
số phương pháp khác.
b. Lựa chọn bài tập phù hợp làm nổi bật từng phương pháp.
1
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
c. Một số dạng bài tập liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử trong môn
Đại số 8
4. Ph¹m vi vµ ®èi tîng nghiªn cøu:
§Ò tµi nghiªn cøu “ Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµ c¸c bµi tËp
vËn dông”
§èi tîng nghiªn cøu:
Häc sinh líp 8 trêng THCS B¾c Tr¹ch, Bè Tr¹ch, Qu¶ng B×nh.
5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu:
- Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn.
- Ph¬ng ph¸p thùc nghiÖm s ph¹m.
PhÇn thø hai:Néi dung
Ch¬ng 1:C¬ së lý luËn thùc tiÔn cã liªn quan ®Õn ®Ò tµi nghiªn cøu.
XuÊt ph¸t tõ nh÷ng khã kh¨n cña häc sinh khi gi¶i c¸c bµi to¸n cã liªn quan
®Õn viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®· lµm cho t«i c¶m thÊy cÇn nghiªn
cøu lµm
thÕ nµo gióp c¸c em vît qua ®îc trë ng¹i nµy b»ng sù ®óc kÕt cña b¶n th©n.
Nh÷ng häc sinh cha n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i lo¹i bµi to¸n nµy th× tá ra lóng
tóng kh«ng biÕt vËn dông linh ho¹t. Do ®ã cha ®¹t yªu cÇu dÉn ®Õn ®iÓm kÐm
sÏ sinh ra ch¸n n¶n, lêi häc m«n to¸n. Bªn c¹nh ®ã nh÷ng em n¾m ®îc thuËt to¸n
®Ó gi¶i bµi
®«i khi tá ra chñ quan nªn kÕt qu¶ bµi lµm cha cao, c¸ch gi¶i cha tèi u.Tõ nh÷ng
khã kh¨n ®ã gi¸o viªn ph¶i lµm cho häc sinh hiÓu râ ph¬ng ph¸p gi¶i
lo¹i bµi to¸n nµy tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p, n¾m ch¾c c¸c thuËt to¸n ®Ó tõ ®ã ¸p
dông linh ho¹t vµo viÖc gi¶i tõng bµi cô thÓ vµ viÖc luyÖn tËp nhiÒu sÏ h×nh
thµnh thãi quen cho häc sinh.
Ch¬ng 2: C¸c biÖn ph¸p s ph¹m cÇn thùc hiÖn ®Ó gãp phÇn n©ng cao
chÊt lîng d¹y häc néi dung ®ang quan t©m.
§Ó gióp häc sinh thùc hiÖn tèt viÖc gi¶i to¸n “ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö”
th× tríc hÕt ph¶i híng dÉn c¸c em n¾m ®îc kh¸i niÖm th«ng qua mét sè vÝ dô,
“viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ” thùc ra lµ biÕn ®æi ®a thøc thµnh tÝch
cña nh÷ng ®¬n thøc vµ ®a thøc hoÆc tÝch cña nh÷ng ®a thøc.
VÝ dô: a, 5x - 5y = 5(x - y)
ë ®©y 5x - 5y ®îc biÕn ®æi thµnh tÝch cña 5 vµ (x - y)
b, x3 - 3x2 - x + 3 = (x - 1)(x + 1)(x - 3)
x3- 3x2 - x + 3 ®îc biÕn ®æi thµnh tÝch cña ba ®a thøc (x - 1)(x + 1)(x - 3)
TiÕp ®Õn lµ ph¶i lµm cho häc sinh n¾m râ c¸c ph¬ng ph¸p ®Ó ph©n tÝch ®a
thøc thµnh nh©n tö.
2
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
Ñoái vôùi hoïc sinh yeáu, keùm: củng cố kiến thức cơ bản
ta cã thÓ giíi thiÖu c¸c ph¬ng ph¸p nh trong s¸ch gi¸o khoa.
+ Phöông phaùp Ñaët nhaân töû chung
+ Phöông phaùp Duøng haèng ñaúng thöùc
+ Phöông phaùp Nhoùm nhieàu haïng töû
Ñoái vôùi hoïc sinh ñaïi traø: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phoái hôïp nhieàu phöông phaùp (caùc phöông phaùp treân)
- Chöõa caùc sai laàm thöôøng gaëp cuûa hoïc sinh trong giaûi toaùn.
- Cuûng coá caùc pheùp bieán ñoåi cô baûn vaø hoaøn thieän caùc kó naêng thöïc haønh.
- Tìm toøi nhöõng caùch giaûi hay, khai thaùc baøi toaùn.
- Giôùi thieäu hai phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû (Naâng cao).
Ñoái vôùi hoïc sinh khaù, gioûi: Phát triển tư duy (giôùi thieäu hai phöông phaùp)
+ Phöông phaùp taùch moät haïng töû thaønh nhieàu haïng töû khaùc.
+ Phöông phaùp theâm vaø bôùt cuøng moät haïng töû.
I. C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö c¬
b¶n ®îc tr×nh bµy trong SGK:
1)Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung:
Khi c¸c h¹ng tö cña mét ®a thøc cã chung mét nh©n tö ta cã thÓ ®Æt nh©n tö
chung ra ngoµi dÊu ngoÆc theo c«ng thøc:A.B + A.C = A(B + C)
Nªn cho häc sinh n¾m ®îc ph¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt ph©n phèi cña
phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng c¸c ®a thøc.
a) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh:
Bíc 1: T×m nh©n tö chung lµ nh÷ng ®¬n thøc, ®a thøc cã mÆt trong tÊt c¶ c¸c
h¹ng tö.
Bíc 2: Ph©n tÝch mçi h¹ng tö thµnh tÝch cña nh©n tö chung vµ mét nh©n tö kh¸c.
(cã thÓ ®æi dÊu h¹ng tö ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung).
Bíc 3: ViÕt nh©n tö chung ra ngoµi dÊu ngoÆc, c¸c nh©n tö cßn l¹i ®îc viÕt trong
ngoÆc kÌm theo dÊu cña chóng.
b) VÝ dô:
VD1:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
12x2y3 - 6xy2 + 3x2y2
Bíc 1: C¸c h¹ng tö cã hÖ sè lµ: 12; -6; 3 cã íc chung lín nhÊt lµ 3
PhÇn biÕn chøa x vµ y: lòy thõa nhá nhÊt cña x lµ 1; lòy thõa nhá nhÊt cña
y lµ 2
VËy nh©n tö chung lµ: 3xy2
3
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
Bíc 2: 12x2y3 = 3xy2. 4xy
- 6xy2 = 3xy2. (-2)
3x2y2 = 3xy2.x
Bíc 3: 12x2y3 - 6xy2 + 3x2y2 = 3xy2(4xy - 2 + x )
VD2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
x(a - b) + 2y(b - a) = x(a - b) - 2y(a - b)
= (a - b)(x - 2y)
2) Ph¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc
NÕu mét ®a thøc chøa mét trong c¸c vÕ cña 7 h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí th× ta
cã thÓ dïng h»ng ®¼ng thøc ®ã ®Ó viÕt ®a thøc thµnh tÝch c¸c ®a thøc.
a) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh:
+ XÐt bËc cña ®a thøc, dù ®Þnh quy ®a thøc vÒ h»ng ®¼ng thøc nµo (theo bËc,
theo sè h¹ng tö cña ®a thøc).
+ BiÕn ®æi vÒ ®îc d¹ng h»ng ®¼ng thøc mong muèn.
+ ViÕt ®a thøc díi d¹ng tÝch.
b) VÝ dô:
VD1:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
y2 - 25
+ NhËn xÐt vÒ sè h¹ng tö: 2 h¹ng tö
+ Lòy thõa cña h¹ng tö: y cã lòy thõa 2
+ Trong c¸c h»ng ®¼ng thøc cã lòy thõa 2, h»ng ®¼ng thøc nµo cã 2 h¹ng tö ?
+ Lµm thÕ nµo ®Ó biÕn ®a thøc ®· cho thµnh h»ng ®¼ng thøc ®ã ?
Gi¶i:
y2 - 25 = y2 - 52
= (y + 5)(y - 5)
VD2:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
-a3 + 6a2 - 12a + 8
? §a thøc trªn cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc nµo cha ?
? CÇn biÕn ®æi nh thÕ nµo ®Ó xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc (a - b) 3 ?
Gi¶i:
-a3 + 6a2 - 12a + 8 = -( a3 - 6a2 + 12a - 8)
= -( a3 - 3a2.2 + 3a.22 - 23)
= - (a - 2)3
( HoÆc (2 - a)3)
4
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
* Chó ý:
- ViÖc xÐt sè h¹ng tö cña ®a thøc cã thÓ gióp x¸c ®Þnh nhanh d¹ng h»ng ®¼ng
thøc:
+ Cã 2 h¹ng tö , d¹ng: A3 - B3 ; A3 + B3 ; A2 - B2
+ Cã 3 h¹ng tö, d¹ng: A2 - 2AB + B2 ; A2 + 2AB + B2
+ Cã 4 h¹ng tö, d¹ng: A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 ; A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
Ngoµi ra, nªn giíi thiÖu thªm cho häc sinh kh¸ giái mét sè h»ng ®¼ng thøc më
réng nh:
an + bn = (a + b)(an - 1 - an - 2 b + an - 3 b2 + … - a.bn - 2 + bn - 1)
an - bn = (a - b)(an - 1 + an - 2 b + an - 3 b2 + … - a.bn - 2 + bn - 1)
3) Ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö:
a) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh:
( n lÎ).
( n nguyªn d¬ng).
- Ph¸t hiÖn c¸c h¹ng tö cã quan hÖ (h»ng ®¼ng thøc, nh©n tö chung…) ®Ó kÕt hîp
chóng thµnh nhãm.
- ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p: ®Æt nh©n tö chung hoÆc dïng h»ng ®¼ng thøc cho ®Õn
khi ph©n tÝch hoµn toµn ®a thøc ®· cho thµnh nh©n tö.
Ch¼ng h¹n: A.B + A.C - D.B - D.C = (A.B + A.C) - (D.B + D.C)
= A(B + C) - D(B + C)
= (B + C)(A - D)
b) VÝ dô:
VD1:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
2y3 - 7y2 + 2y - 7 = (2y3 + 2y)- (7y2 + 7)
= 2y(y2 + 1) – 7(y2 + 1)
= (y2 + 1) (2y – 7)
HoÆc:
2y3 - 7y2 + 2y - 7 = (2y3 - 7y2) + (2y – 7)
= y2(2y – 7) + (2y – 7)
= (2y – 7) (y2 + 1)
VD2:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
x 2 + x - y2 + y
NÕu nhãm (x2 + x); (-y2 + y) th× bíc sau kh«ng ph©n tÝch tiÕp ®îc n÷a.
Ta cã:
x2 + x - y2 + y = (x2 - y2) + (x + y)
= (x – y)(x + y)(x + y)
VD3:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
5
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
-x2 + 2xy + 5x – 5y - y2 = -( x2 - 2xy + y2) + (5x – 5y)
= -(x – y)2 + 5(x – y)
= (x – y)(y – x + 5)
4) Phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p:
a) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh:
- VËn dông víi nh÷ng bµi kh«ng thÓ dïng c¸c ph¬ng ph¸p ®¬n lÎ nªu trªn.
- Lùa chän ph¬ng ph¸p theo thø tù u tiªn:
+ §Æt nh©n tö chung.
+ Dïng h»ng ®¼ng thøc.
+ Nhãm nhiÒu h¹ng tö.
b) VÝ dô:
VD1:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
x4 + 5x3 + 15x - 9 = (x4- 9) + (5x3 + 15x)
= (x2 + 3)(x2 - 3) + 5x(x2 + 3)
= (x2 + 3)( x2 + 5x- 3)
VD2:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
3x3y - 6 x2y - 3xy3 – 6axy2 - 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 - 2x – y2 – 2ay - a2 + 1)
= 3xy[(x2 - 2x + 1) – (a2 + 2ay + y2)]
= 3xy[(x – 1)2 - (a + y)2]
= 3xy(x – 1 – a – y)( x – 1 + a + y)
= 3xy(x– y – a – 1)( x + y + a – 1)
§èi víi häc sinh kh¸, giái cÇn giíi thiÖu thªm mét sè ph¬ng ph¸p sau:
II. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c:
1.Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö:
a) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh:
Ta cã thÓ t¸ch mét h¹ng tö nµo ®ã cña ®a thøc thµnh hai hay nhiÒu h¹ng tö
thÝch hîp ®Ó lµm xuÊt hiÖn nh÷ng nhãm h¹ng tö mµ ta cã thÓ dïng c¸c
ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch ®îc.
b) VÝ dô:
Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
x2 + 4x + 3
C¸ch 1:
6
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3
= (x2 + x)( 3x + 3)
= x(x + 1) + 3(x + 1)
= (x + 1)(x + 3)
C¸ch 2:
x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1
= (x + 2)2 – 1
= (x + 2 – 1)(x + 2 + 1)
= (x + 1)(x + 3)
C¸ch 3:
x2 + 4x + 3 = x2 + 2x + 2x + 1 + 2
= (x2 + 2x + 1) + (2x + 2)
= (x + 1)2 + 2(x + 1)
= (x + 1)(x + 1 + 2)
= (x + 1)(x + 3)
C¸ch 4:
x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1
= (x2 – 1) + (4x + 4)
= (x + 1)(x – 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x – 1 + 4)
= (x + 1)(x + 3)
C¸ch 5:
x2 + 4x + 3 = x2 + 4x – 9 + 12
= (x2– 9) + (4x + 12)
= (x + 3)(x – 3) + 4(x + 3)
= (x + 3)(x – 3 + 4)
= (x + 3)(x + 1)
c) Lu ý:
Thêng th× viÖc ph©n tÝch ®îc tiÕn hµnh theo 2 c¸ch:
C¸ch 1:
T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh 2 h¹ng tö råi dïng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö vµ
®Æt nh©n tö chung míi.
Khi ph©n tÝch ax2 + bx + c, ta lµm nh sau:
7
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
T×m tÝch a.c
Ph©n tÝch ac ra tÝch cña hai thõa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch
Trong ®ã chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b
VÝ dô:
9x2 + 6x – 8 ta cã a = 9; b = 6; c = -8
Bíc 1:
a.c = 9.(-8) = -72
Bíc 2:
-72 = (-1).72 = (-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 = (-8).9
Bíc 3:
Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b ( tøc lµ b»ng 6) ®ã lµ (-6) vµ 12
VËy 9x2 + 6x – 8 = 9x2 – 6x + 12x – 8
= (9x2 – 6x) + (12x – 8)
= 3x(3x - 2) + 4(3x – 2)
= (3x - 2)( 3x + 4)
C¸ch 2:
T¸ch mét h¹ng tö kh«ng ®æi råi ®a ®a thøc vÒ d¹ng hiÖu hai b×nh ph¬ng
VÝ dô:
4x2 - 4x – 3 = 4x2 - 4x + 1– 4
= (2x – 1)2 - 22
= (2x – 1 + 2)(2x – 1 – 2)
= (2x + 1)(2x – 3)
2.Ph¬ng ph¸p thªm, bít cïng mét h¹ng tö:
a) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh:
Ta thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö nµo ®ã vµo mét ®a thøc ®Ó lµm xuÊt hiÖn
nh÷ng nhãm h¹ng tö mµ ta cã thÓ dïng c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó ph©n
tÝch ®îc.
Khi thªm, bít thêng sö dông h»ng ®¼ng thøc: a2 - b2 = (a + b)(a – b)
(a - b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Nguyªn t¾c: NÕu céng vµo ®a thøc mét h¹ng tö th× ph¶i bít h¹ng tö ®ã ®i ®Ó gi¸
trÞ ®a thøc kh«ng ®æi.
b)VÝ dô:
VD1:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 - 4a2 = (a2 + 2)2 - (2a2)
= (a2 - 2a + 2)( a2 + 2a + 2)
8
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
VD2:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
x5 + x + 1 = x5 + x4 - x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x +1 (thªm, bít x4 ; x3 ; x2)
= (x5 + x4 + x3 ) - (x4 + x3 + x2 ) + ( x2 + x + 1)
= x3( x2 + x + 1) - x2( x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)( x3 - x2 + 1)
VD3:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
x7 + x2 + 1 = x7 + x2 + x - x + 1
= (x7 - x) + (x2 + x + 1)
= x(x6 - 1) + (x2 + x + 1)
= x[(x3)2 - 1] + (x2 + x + 1)
= x(x3 - 1)( x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x4 + x)(x - 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1) [(x4 + x)(x - 1) + 1]
= (x2 + x + 1)( x5 - x4 + x2 - x + 1)
VD4:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
x4 + 4y4 = (x2)2 + 2.x2.2.y2 + (2y2)2 - 2.x2.2.y2 (thªm, bít 2.x2.2.y2)
= [(x2)2 + 2.x2.2y2 + (2y2)2] - 2.x2.2y2
= (x2 + 2y2)2 - (2xy)2
=(x + 2y2- 2xy)(x + 2y2 + 2xy)
=(x- 2xy + 2y2)(x + 2xy + 2y2)
3.Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô:
a) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh:
Khi gÆp ®a thøc nhiÒu Èn hoÆc mét Èn nhng phøc t¹p ta nªn dïng c¸ch ®Æt Èn
phô råi phèi hîp c¸c ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung, h»ng ®¼ng thøc, t¸ch vµ thªm
bít sè h¹ng ®Ó ph©n tÝch ra thõa sè.
Cô thÓ:
+ §Æt mét nhãm c¸c biÕn theo biÕn míi; thay ®a thøc ®· cho thµnh ®a thøc víi
biÕn míi
+ Ph©n tÝch ®a thøc chøa biÕn míi.
+ Thay biÕn cò vµo biÕn mowistrong ®a thøc ®· ®îc ph©n tÝch.
b)VÝ dô:
VD1:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
(x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2
Gi¶i:
§Æt y = x2 + x, ta cã:
9
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
(x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2 = y2 + 3y + 2
= y2 + y + 2y + 2
=y(y + 1) + 2(y + 1)
=(y + 1)(y + 2)
Thay y = x2 + x vµo ta ®îc:
(y + 1)(y + 2) = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2)
Sau khi ®· n¾m ®îc c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n d¹ng “ph©n tÝch ®a thøc
thµnh nh©n tö” th× viÖc luyÖn tËp nhiÒu sÏ h×nh thµnh thãi quen cho häc sinh vµo
viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. Tuy kh«ng khã hiÓu cho häc sinh nhng
trong qu¸ tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy th× c¸c em gÆp kh«ng Ýt khã kh¨n, ®Æc
biÖt nh÷ng bµi cã nhiÒu h¹ng tö c¸c em cã thÓ m¾c nh÷ng sai lÇm sau:
T×nh huèng1: Ph©n tÝch cha triÖt ®Ó
VÝ dô: x3 - x = x(x2 - 1)
T×nh huèng 2(Thêng x¶y ra): Nhãm nh÷ng h¹ng tö cha thÝch hîp dÉn ®Õn
kh«ng thÓ thùc hiÖn ®îc viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
VÝ dô : x2 + 6x + 9 - y2 = (x2 + 6x) + (9 - y2)
=x(x + 6) + (3 - y)(3 + y)
T×nh huèng 3: Kh«ng biÕt dïng ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung tríc, khi ®a thøc
cã nh©n tö chung dÉn ®Õn bµi gi¶i dµi, cha tèi u.
VÝ dô: 64xy - 96x2y + 48x3y - 8x4y = (64xy - 96x2y) + (48x3y - 8x4y)
= 8xy(8 - 12x) + 8xy(6x2- x3)
= 8xy(8 - 12x) + (6x2 - x3)
= 8xy(8-12x + 6x2-x3)
= 8xy(23-3.22.x + 3.2.x2-x3)
= 8xy(2 - x)3
V× vËy tríc khi gi¶i bµi tËp gi¸o viªn nªu yªu cÇu häc sinh ®äc kü ®Ò bµi,suy
nghÜ t×m lêi gi¶i sao cho thÝch hîp vµ còng nªn gîi ý cho häc sinh trong tõng
®iÒu kiÖn cô thÓ cña tõng bµi, khi d¹y phÇn “ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
b»ng ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö” nªn chó ý cho häc sinh t×m c¸c nhãm h¹ng
tö thÝch hîp, côm tõ thÝch hîp mang ý nghÜa mçi nhãm ®Òu cã thÓ ph©n tÝch
®îc. Sau khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ë mçi nhãm th× qu¸ tr×nh ph©n
tÝch ph¶i tiÕp tôc ®îc.
Muèn th¸o gì ®îc nh÷ng sai lÇm, víng m¾c cho häc sinh th× gi¸o viªn ph¶i
nghiªn cøu kü néi dung bµi, t×m lêi gi¶i cho tõng bµi vµ nhiÒu c¸ch gi¶i (nÕu cã
thÓ).
§Ó kÞp thêi uèn n¾n söa sai cho c¸c em b»ng c¸ch ch÷a mét sè bµi tËp ®iÓn
h×nh ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc vµo tõng t×nh huèng cô thÓ lu ý lµ
nªn khÝch lÖ, ®éng viªn nh÷ng em häc tèt, kh¸, söa ch÷a uèn n¾n nh÷ng em lµm
cßn nhiÒu sai sãt b»ng c¸ch nhËn xÐt khen, chª hîp lý.
§èi víi nh÷ng t×nh huèng ta cã thÓ th¸o gì nh sau:
10
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
T×nh huèng 1: x3 - x = x(x2 - 1)
= x(x2 - 12) (gîi ý cho häc sinh thùc hiÖn tiÕp)
=x(x + 1)(x - 1)
T×nh huèng 2:Gîi ý häc sinh nhãm h¹ng tö thÝch hîp ®Ó ®a vÒ d¹ng h»ng ®¼ng
thøc råi yªu cÇu häc sinh lªn b¶ng thùc hiÖn tiÕp.
x2 + 6x + 9 - y2 = (x2 + 6x + 9) - y2
=(x + 3)2 - y2
=(x + 3 - y)(x + 3 + y)
=(x - y + 3)(x + y + 3)
T×nh huèng 3:§èi víi t×nh huèng nµy gi¸o viªn nªn gîi ý cho häc sinh ®Æt nh©n
tö chung tríc th× viÖc thùc hiÖn sÏ ®¬n gi¶n vµ tèi u h¬n.
64xy - 96x2y + 48x3y - 8x4y = 8xy(8 - 12x + 6x2 - x3)
= 8xy(2 - x)3
Sau khi gi¶i c¸c bµi tËp gi¸o viªn nªn híng dÉn häc sinh rót ra kÕt luËn: khi
ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö ta ph¶i vËn dông linh ho¹t s¸ng t¹o c¸c ph¬ng ph¸p trªn vµ ph¶i biÕt phèi hîp chóng mét c¸ch hîp lý, kÕt qu¶ ph©n tÝch ®a
thøc thµnh nh©n tö lµ duy nhÊt.
Trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn häc sinh sÏ ®îc rÌn luyÖn kü n¨ng ph©n tÝch ®Ó tõ ®ã
cã thÓ thùc hiÖn ®îc nh÷ng bµi to¸n ë d¹ng tæng hîp h¬n víi møc ®é cao h¬n,
trong ®ã cã sö dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nh:
D¹ng 1: TÝnh nhanh.
VÝ dô: 1,43.141 - 1,43.41 = 1,43(141 - 41)
= 1,43.100
= 143
D¹ng 2: T×m x.
VÝ dô: t×m x biÕt: 3(x + 5) - x(x + 5)
D¹ng 3:Chøng minh mét ®a thøc nµo ®ã chia hÕt cho mét sè cô thÓ nµo ®ã.
VÝ dô: Chøng minh r»ng (n + 3)2- (n - 1)2 chia hÕt cho 8 víi mäi sè
nguyªn n.
D¹ng 4: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc
VÝ dô: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x3 + xy - 5x - 5y víi x = 2; y = 13
4.Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc:
a) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh:
f(x) (x - a) f(a) = 0
+ NÕu a lµ nghiÖm cña f(x) th× f(x) ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cã chøa nh©n tö
(x - a)
+ NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× cã nghiÖm lµ 1 chøa nh©n tö x - 1
11
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
+ NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng
tö bËc lÎ th× ®a thøc cã nghiÖm lµ (-1) chøa nh©n tö x + 1
+ NÕu mét ®a thøc cã c¸c hÖ sè nguyªn, cã nghiÖm nguyªn th× nghiÖm nguyªn ®ã
lµ íc cña h¹ng tö kh«ng ®æi.
b)VÝ dô:
VD1:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
x3 + 3x2 - 4
NÕu ®a thøc trªn cã nghiÖm lµ a th× cã nh©n tö x - a, gäi nh©n tö cßn l¹i lµ
x2 + bx+c
Ta cã: x3 + 3x2 - 4 = (x - a)( x2 + bx + c) -a.c = -4
VËy a lµ íc cña 4; c¸c íc cña 4 lµ 1; 2; 4; -1; -2; -4
KiÓm tra thÊy 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc trªn. VËy ®a thøc cã nh©n tö lµ x - 1
T¸ch ®a thøc ®Ó xuÊt hiÖn x - 1
C¸ch 1:
x3 + 3x2 – 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4
= x2(x - 1) + 4(x2 - 1)
= x2(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1)
= (x - 1)( x2 + 4x + 4)
= (x - 1)(x + 2)2
C¸ch 2:
x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 - 3
= (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x2 - 1)
= (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x- 1)(x + 1)
= (x - 1)( x2 + x + 1 + 3x + 3)
= (x - 1)( x2+ 4x + 4)
= (x - 1)(x + 2)2
Ghi chó:
+ Cã thÓ ph¸t hiÖn nhanh ®a thøc trªn cã nghiÖm lµ 1 b»ng c¸ch xÐt tæng c¸c hÖ
sè
+ Sö dông m¸y tÝnh bá tói Casio fx- 500MS cã thÓ gióp tÝnh nhanh gi¸ trÞ phï hîp
cña nghiÖm hoÆc tÝnh nghiÖm b»ng quy tr×nh Ên phÝm gi¶i ph¬ng tr×nh bËc 2; bËc
3.
VD2:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
f(x) = x3 - 7x + 6
+ C¸c íc cña 6 lµ 1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6
+ §a thøc cã nghiÖm lµ 1 (x3 - 7x + 6) (x - 1)
12
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
Thùc hiÖn chia (x3 - 7x + 6) : (x - 1) = x2- x - 6 = g(x)
NhÈm nghiÖm g(x)
(x2- x - 6) : (x - 3) = x + 2
VËy (x + 1)(x - 3)(x + 2) = (x + 1)( x2- 3x +2x - 6)
= x3 - 3x2 + 2x2- 6x + x2- 3x +2x - 6
Qua ®ã, ta thÊy ®îc cÇn t¸ch h¹ng tö nµo cña f(x)
c) Chó ý:
Cã thÓ dïng s¬ ®å hoocne ®Ó t×m nghiÖm nguyªn cña ®a thøc mét c¸ch thuËn lîi
Cho f ( x) a nx n a n 1x n 1 ... a1 x a0
LËp b¶ng:
a
b
n 2
b
n 3
a
=
n 1
………….
a
n 2
………….
b
a
n 1
b
Trong ®ã lµ íc nguyªn cña
b
n 1
n
a ;b
0
n 1
=
a
1
0
a
0
r
n
+ . b n 1
a n 2 .b n 2
…………………….
b
0
r=
=
a
a
0
1
+ . b1
+ . b0
VÝ dô:
Ph©n tÝch f(x) = x4 + x3 - 5x2 + x - 6
C¸c íc cña 6 lµ-1; -2; -3; -6; 1; 2; 3; 6
B»ng c¸ch xÐt tæng c¸c hÖ sè, ta thÊy x = -1 vµ x = 1 kh«ng lµ nghiÖm cña f(x)
Thö víi = 2
= 2
1
1
-5
1
-6
1
3
1
3
r=0
VËy = 2 lµ nghiÖm cña f(x)
f(x) = (x - 2)(x3 + 3x2 + x + 3)
Ph©n tÝch tiÕp g(x) = x3 + 3x2 + x + 3
13
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
C¸c íc cña 3 lµ -1; -3; 1; 3
NhÈm tæng c¸c hÖ sè, lo¹i bá x = 1 vµ x = -1
XÐt = -3
= 2
1
3
1
3
1
0
1
0
x3 + 3x2 + x + 3 = (x + 3)(x2 + 1)
TiÕp tôc, ta thÊy x2 + 1 v« nghiÖm
VËy f(x) = x4 + x3 - 5x2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)(x2 + 1)
5.Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh:
VÝ dô:
Ph©n tÝch A = 2x3 -5x2 + 8x - 3 thµnh nh©n tö
Gi¶i:
Gi¶ sö ®a thøc trªn ®îc ph©n tÝch thµnh d¹ng (ax + b)(cx2 + dx + m)
Thùc hiÖn nh©n ta ®îc A = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x +bm
§ång nhÊt ®a thøc nµy víi 2x3 -5x2 + 8x - 3, ta cã:
ac 2
ad bc 5
am bd 8
bm 3
Ta gi¶ thiÕt a > 0 (nÕu a < 0, ta ®æi dÊu hai vÓ cña pt)
ac = 2 a = 2 hoÆc a = 1
XÐt ac = 2 c = 1
VËy, ta cã
2d b 5
2m bd 8
bm 3
bm = -3 b lµ íc cña -3
Ta cã c¸c íc cña -3 lµ -1; -3; 1; 3
VËy b cã thÓ b»ng -1; -3; 1; 3
XÐt b = -1 th× m = 3; d = -2 (tháa m·n ®iÒu kiÖn ®· nªu)
VËy a = 2; c = 1; b = -1; m = 3; d = 2
Ta cã 2x3 -5x2 + 8x - 3 = (2x - 4)( x2 - 2x + 3)
6.Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng:
a) X¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè cha biÕt cña ®a thøc:
14
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
+ X¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc
+ Gi¶i cho biÕt gi¸ trÞ cô thÓ; x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i
b) VÝ dô:
VD1: ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
P = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
Gi¶i:
NÕu thay a bëi b th×: P = 0 + bc(b – c) + cb(c – b)
=0
VËy P (a – b)
Do vai trß a; b; c nh nhau trong ®a thøc nªn P (a – b)(b – c)(c – a)
V× P vµ (a – b)(b – c)(c – a) ®Òu cã bËc ba ®èi víi tËp c¸c biÕn nªn th¬ng cña
phÐp chia P cho (a – b)(b – c)(c – a) lµ h»ng sè k P = k. (a – b)(b – c)(c – a)
Hay ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) = k. (a – b)(b – c)(c – a)
(1)
Cho a = 2; b = 1; c = 0, thay vµo (1) ta cã:
2.1.1 + 0 + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k k = -1
VËy P = -(a – b)(b – c)(c – a)
= (b – a)(b – c)(c – a)
VD2: ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö
Q = (a + b + c)3 – a3 – b3 - c3
Gi¶i:
Thay a bëi (-b) th×: N = c3 + b3 - b3 – c3 = 0
N (a + b)
Do vai trß a; b; c trong Q nh nhau nªn Q (a + b)(b + c )(c + a)
Trong ®ã N vµ (a + b)(b + c )(c + a) ®Òu cã bËc ba ®èi víi tËp c¸c biÕn nªn:
Q : (a + b)(b + c )(c + a) = k
(a + b + c)3 – a3 – b3 - c3 = k. (a + b)(b + c )(c + a)
(2)
Cho biÕn nhËn c¸c gi¸ trÞ riªng a = 2; b = 1; c = 0, thay vµo (2) ta cã:
33 – 23 – 13 = k.3.1.2
27 – 8 – 1= 6k
18 = 6k
k=3
15
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
vËy Q = (a + b + c)3 – a3 – b3 - c3 = 3.(a + b)(b + c )(c + a)
III. Mét sè bµi to¸n n©ng cao:
Bµi 1: ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
a, a7 + a2 + 1
b, a5 + a + 1
c, x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Híng ®Én häc sinh:
a, Thªm, bít c¸c h¹ng tö a6 ; a5 ; a4 ; a3 ; a sau ®ã nhãm 3 h¹ng tö liªn tiÕp cïng
dÊu.
KÕt qu¶ (a2 + a + 1)( a5 - a4 + a3 – a + 1)
b, Thªm, bít c¸c h¹ng tö a4 ; a3 ; a2
KÕt qu¶ (a2 + a + 1)(a3 – a2 + 1)
c, T¸ch h¹ng tö 7x2 = 9x2 - 2x2
Ta cã x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 = x4 + 6x3 + 9x2 - 2x2 - 6x + 1
= (x2 + 3x)2 – 2(x2 + 3x) + 1
= (x2 + 3x - 1)2
Bµi 2: ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
a, a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 - 2c2a2
b, x4 + 64
Híng dÉn häc sinh:
a, Ta cã (a4 +2a2b2 + b4) – (2b2c2 + 2c2a2) + c4 - 4a2b2
= [(a2+ b2)2 - 2c2(a2+ b2) + c4] - 4a2b2
= (a2 + b2 - c2)2 – (2ab)2
= (a2+ b2 - c2 – 2ab) (a2+ b2 - c2 + 2ab)
=[(a+ b)2 - c2][(a- b)2 – c2]
= (a + b + c)(a + b - c)(a – b + c)(a – b – c)
b, Thªm, bít 16x2
Bµi 3: ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
a, 6x4 - 11x2 + 3
b, (a2 + b)2 + 3(a2 + b) + 2
c, x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – 10
Híng dÉn häc sinh:
a, §Æt Èn phô
16
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
b, §Æt Èn phô
c, BiÕn ®æi x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – 10, ta ®îc (x + y) 2 + 3(x + y) – 10
®Æt Èn phô råi ph©n tÝch tiÕp.
Bµi 4: ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö b»ng c¸ch xÐt gi¸ trÞ riªng
a, M = x(y2 - z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
b, Q = x2(y - z) + y2(z – x) + z2(x – y)
KÕt qu¶:
a, M = (y – z)(x – z)(y – x)
b, Q = (y – z)(x – z)(x - y)
IV. Mét sè d¹ng bµi to¸n sö dông ph©n tÝch ®a thóc
thµnh nh©n tö:
1. D¹ng rót gän ph©n thøc:
a. Ph¬ng ph¸p:
+ Ph©n tÝch tö vµ mÉu thµnh nh©n tö.
+ Chia c¶ tö vµ mÉu cho nh©n tö chung.
b. VÝ dô:
VD1: Rót gän
x 3 4 x 2 4 x x( x2 4 x 4)
x2 4
( x 2)( x 2)
x( x 2) 2
x( x 2)
( x 2)( x 2)
x2
(§k: x 2; x -2)
VD2: Rót gän
x 2 y 2 z 2 2 xy ( x y ) 2 z 2 ( x y z )( z y z ) x y z
=
=
x 2 y 2 z 2 2 xz ( x z ) 2 y 2 ( x y z )( x z y ) x z y
VD3: Rót gän
a3b ab3 b3c bc3 c3 a ca3 (a b)(a c )(b c )(a b c)
a b c
a 2b ab 2 b 2c bc 2 c 2 a ca 2
(a b )(a c )(b c )
VD4:T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
D
x2 x 1
x 1 2
17
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
D
Ta cã:
§Æt
x 2 x 1
x 1
1
t ,
x 1
2
x 1 2 x 1 1 1
x 1 2
1
1
x 1 x 1 2
khi ®ã D cã d¹ng:
D = t2 - t + 1
2
=
1
3 3
t
2
4 4
víi mäi t.
2
3
1
1
1
D t 0
x 1.
4
2
x
1
2
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña D b»ng
3
4
, ®¹t ®îc khi x = 1.
2. D¹ng bµi quy ®ång mÉu thøc cña nhiÒu ph©n thøc
a. Ph¬ng ph¸p:
+ Rót gän ph©n thøc (nÕu cã thÓ)
+ Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh©n tö.
+ T×m mÉu thøc chung.
+ Nh©n tö, mÉu cña mçi ph©n thøc víi tõng nh©n tö phô t¬ng øng.
b. VÝ dô:
VD1: Quy ®ång mÉu c¸c ph©n thøc sau
2x
x
và 2
x 8 x 16
3x 12 x
2
Ta cã :
x2 – 8x + 16 = x2 - 2.4x + 42 = (x - 4)2
3x2 -12x = 3x(x - 4)
MTC: 3x(x - 4)2
Ta cã
2x
2x
2 x.3 x
6x2
=
=
( x 4) 2 3x ( x 4) 2 3 x( x 4) 2
x 2 8 x 16
x
x( x 4)
x
=
3x ( x 4) 3x ( x 4) 2
3x 12 x
2
VD2: Quy ®ång mÉu c¸c ph©n thøc sau
1 2x
4 x2 3x 5
; 2
và -2
3
x x 1
x 1
Ta cã
x3 - 1 = (x -1)(x2 + x + 1)
Vậy MTC: (x -1)(x2 + x + 1)
18
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
4 x 2 3x 5
4 x2 3x 5
=
( x 1)( x 2 x 1)
x3 1
(1 2 x)( x 1)
1 2x
= ( x 1)( x 2 x 1)
x x 1
2
2( x3 1)
-2 =
( x 1)( x 2 x 1)
VD3: Quy ®ång mÉu c¸c ph©n thøc sau
x 5
x
và
x 4x 4
3x 6
2
Ta cã
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
3x + 6 = 3(x + 2)
MTC: 3(x + 2)2
Ta cã
x 5
3( x 5)
x 5
= ( x 2)2 3( x 2)2
x 4x 4
2
x
x( x 2)
x
= 3( x 2) 3( x 2) 2
3x 6
3. D¹ng gi¶i ph¬ng tr×nh:
a. Ph¬ng ph¸p:
Khi gi¶i ph¬ng tr×nh tõ bËc hai trë lªn, ta biÕn ®æi, ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh d¹ng
A(x).B(x) = 0 A(x) = 0 hoÆc B(x) = 0 hoÆc thµnh d¹ng Ax.Bx + Cx = 0,
trong ®ã Ax.Bx; Cx lu«n d¬ng, ta cã ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
b. VÝ dô:
VD1: gi¶i ph¬ng tr×nh sau
( x2 - 2x + 1) - 4 = 0
(1)
Gi¶i:
(1) (x - 1)2 - 22 = 0 ( x + 1)(x - 3) = 0 x + 1= 0 hoÆc x - 3 = 0
x = -1 hoÆc x = 3
VËy S = {-1 ; 3}
VD2: gi¶i ph¬ng tr×nh sau
19
Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cho häc sinh líp 8
16x2 - 8x + 5 = 0
Gi¶i
(2)
(2) (4x - 1)2 + 4 4
VËy: PT vô nghiệm
VD3: gi¶i ph¬ng tr×nh sau
x2
2x 3
(3)
x
2( x 2)
Gi¶i
- ĐKXĐ của PT là: x 0 ; x 2.
(3)
2( x 2)( x 2) x (2 x 3)
2 x ( x 2)
2 x( x 2)
2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3)
2x2 - 8 = 2x2 + 3x
3x = -8 x = -
Ta thấy x = -
8
.
3
8
thoả mãn với ĐKXĐ của phương trình.
3
Vậy tập nghiệm của PT là: S = {-
8
}
3
VD4: gi¶i ph¬ng tr×nh sau
| x + 5 | = 3x + 1 (4)
Gi¶i:
+ Nếu x + 5 > 0 x > - 5
(4) x + 5 = 3x + 1
2x = 4
x = 2 thỏa mãn
+ Nếu x + 5 < 0 x < - 5
(4) - (x + 5) = 3x + 1
- x - 5 - 3x = 1
- 4x = 6 x = -
3
( Loại, không thỏa mãn)
2
20
- Xem thêm -
.DOC 
31 
98 
103 
