Tài liệu đề tài định lý vi ét và ứng dụng trong giải toán lớp 9

MỤC LỤC Mục Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU........................................................................................................3 A - Lý do chọn đề tài:................................................................................................3 B - Mục đích nghiên cứu:...........................................................................................3 C - Nhiệm vụ nghiên cứu:..........................................................................................3 D - Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:.......................................................................4 E - Phương pháp nghiên cứu:.....................................................................................4 PHẦN II: NỘI DUNG...................................................................................................5 Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài....................................5 A - Cơ sở lý luận và thực tiễn:................................................................................5 B -Thực trạng :.......................................................................................................5 Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức....6 Vi-ét để giải phương trình bậc hai:............................................................................6 I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:..............................................6 II. Lập phương trình bậc hai :.................................................................................7 IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:....................................10 V. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :.............................................................................11 VI. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm:......13 VII. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:....................................15 VIII. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm:............................15 Chương III: Thực nghiệm sư phạm..........................................................................17 PHẦN III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.......................................................................18 Kết luận..................................................................................................................18 Kiến nghị:...............................................................................................................18 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................19 1 2 PHẦN I: MỞ ĐẦU A - Lý do chọn đề tài: Trong giai đoạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin trên thế giới đang phát triển mạnh mẽ, nhất là các nước Tư Bản Chủ Nghĩa, nước ta vẫn đang chú trọng tìm kiếm nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh càng phải nổ lực nhiều trong trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đất nước. Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học. Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ. Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên của TP đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang. Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tôi chọn đề tài này: “Định lý Vi-ét và ứng dụng trong giải toán lớp 9”. B - Mục đích nghiên cứu: Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển. Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác. C - Nhiệm vụ nghiên cứu: Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải. Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình. - Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng hê thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý. - Điều tra 20 học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng cao, mở rộng kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh có thể tiếp thu, nâng cao kiến thức. 3 D - Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: - Nghiên cứu 26 học sinh đang học lớp 9B ở trường THCS Xuân Dương – Thanh Oai – Hà Nội - Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét. E - Phương pháp nghiên cứu: Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp thành 8 ứng dụng sau: Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn . Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai . Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.  Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.  Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.  Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.  Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Phương pháp phỏng vấn, điều tra: Tôi hỏi điều tra 20 học sinh khá, giỏi sau 1 tiết dạy thực nghiệm với các câu hỏi sau: Câu 1: Em có muốn nâng cao kiến thức không ? Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét không? Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ? Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét. Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0 b/ x2 + 7x + 12 = 0 Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x 1 , x2 (x1 > x2). Tính giá trị biểu thức P  x13 x2  x1 x23 theo m. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau khi sắp xếp thành 8 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên với thời lượng 5 buổi (15 tiết). Trong mỗi ứng dụng đều đưa ra bài tập để học sinh tự giải quyết. Trên cơ sở đó hàng năm giáo viên có thể bổ sung thêm các bài tập tương tự. 4 PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài A - Cơ sở lý luận và thực tiễn: Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”. Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa. Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này. B -Thực trạng : a. Thuận lợi: - Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 được 3 năm, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài: “Định lý Vi-ét và ứng dụng trong giải toán lớp 9”. - Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy. - Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức. b. Khó khăn: - Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình lớp 9 chỉ có 2 tiết (1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa khai thác triệt để các ứng dụng của hệ thức Vi-ét. - Hầu hết số học sinh của trường là học sinh vùng quê, bố mẹ làm nông nghiệp. Do đó các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức. Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. c. Thực trạng của giáo viên và học sinh xã Xuân Dương- T.Oai – Hà Nội: Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở Xuân Dương còn có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:  Những mặt đã đạt được: - Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình. Học sinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 94%). - Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 nhiều năm chưa có học sinh đạt giỏi huyện môn Toán.  Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém, nhưng học sinh đi học chưa đều.  Những mặt chưa đạt: - Trường đã tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các khối 6; 7; 8 song chất lượng chưa cao. - Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế. 5 Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai: - Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh hiểu được định lý Vi-ét Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm : x1  x1  x2  Suy ra : x1 x2   b  b  ; x2  2a 2a  b    b    2b  b    2a 2a 2a a  b  b 4a 2   b   2 2   b  b  4ac 4ac c   2  4a 2 4a 2 4a a 2 Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Vậy: S  x1  x2  b c và P x1.x2  a a - Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải. Trong đề tài này tôi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:  Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn .  Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai .  Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.  Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.  Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số.  Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.  Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.  Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Cụ thể như sau: I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn: 1. Dạng đặc biệt: Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*) a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0 Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = c a b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = 0 hay a - b + c = 0 Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 = Ví dụ: Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1) b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2) Giải: Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có 2 nghiệm: x1 = -1 và và x2 = 3 2 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có 2 nghiệm: x1 = 1 và x2 = 6  11 3 c a Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: a/ 35x2 - 37x + 2 = 0 b/ 7x2 + 500x - 507 = 0 c/ x2 - 49x - 50 = 0 d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0 2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình: Ví dụ: a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia. b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia. c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình. d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 – qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Giải: a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được 4 – 4p + 5 = 0  p  5 1 4 5 Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = x  2 1 2 b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x + 5x + q = 0 , ta được: 25+ 25 + q = 0  q  50  50  50 Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = x  5  10 1 c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:  x1  x2 11    x1  x2 7  x1 9   x2  2 Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18 d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ thức Viét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:  x1 2 x2  x 5  2 x2 2 50  x2 2 52   2   x1.x2 50  x2  5 - Với x2 5 thì x1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15 - Với x2  5 thì x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 II. Lập phương trình bậc hai : 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2 Ví dụ: Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên Giải:  S  x1  x2 5  P  x1.x2 6 Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: x2 – Sx + P = 0  x2 – 5x + 6 = 0 Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm: a/ x1= 8 và x2= - 3 7 b/ x1= 3a và x2= a c/ x1= 36 và x2= - 104 d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2 2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: y1  x2  1 1 y2  x1  và x1 x2 Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 1 1 1 x x 2 9  x1   x1  x2       x1  x2   1 2 3   x1 x2 x1 x2 3 2  x1 x2   1  1 1 1 9 P  y1. y2  x2   .  x1    x1.x2  1  1  2  1  1   x1   x2  x1 x2 2 2  S  y1  y2 x2  Vậy phương trình cần lập có dạng: y 2  Sy  P 0 hay y 2  9 9 y  0  2 y 2  9 y  9 0 2 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 1 1 y2  x2  và x2 x1 5 1 (Đáp số: y 2  y  0  6 y 2  5 y  3 0 ) 6 2 y1  x1  2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: y1  x14 và y2  x2 4 (Đáp số: y 2  727 y 1 0 ) 3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1 < x2 . Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : x1  x2  1 và x2  1  x1  4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho: a/ y1  x1  3 và y2 x2  3 b/ y1 2 x1  1 và y2 2 x2  1 (Đáp số: a/ y 2  4 y  3  m 2 0 ; b/ y 2  2 y  (4m2  3) 0 ) III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0) Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4. Giải: Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4 Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0 Giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4 Vậy nếu a = 1 thì b = - 4 8 nếu a = - 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P: a/ S = 3 và P = 2 b/ S = -3 và P = 6 c/ S = 9 và P = 20 d/ S = 2x và P = x2 – y2 Bài tập nâng cao: Tìm hai số a, b biết: a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 b/ a - b = 5 và a.b = 36 2 2 c/ a + b =61 và a.b = 30 Hướng dẫn: a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b. Từ a  b 9   a  b  2 81  a 2  2ab  b 2 81  ab   81  a 2  b 2 2  20  x 4 1 2 Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: x  9 x  20 0    x2 5 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 Nếu a = 5 thì b = 4 b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36  x  4 1 2 Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng: x  5 x  36 0    x2 9 Do đó: Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9 Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4 2 2 2 2 Cách 2: Từ  a  b   a  b   4ab   a  b   a  b   4ab 169  a  b  13 2   a  b  132    a  b 13 - Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :  x  4 x 2  13x  36 0   1  x2  9 Vậy a = - 4 thì b = - 9 - Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :  x 4 x 2  13x  36 0   1  x2 9 Vậy a = 4 thì b = 9 c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:  a  b  11 2 2 2 2 2 2 Từ a  b 61   a  b  a  b  2ab 61  2.30 121 11    a  b 11 - Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :  x  5 x 2  11x  30 0   1  x2  6 9 Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5 - Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :  x 5 x 2  11x  30 0   1  x2 6 Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5 IV. Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình: Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức. 1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2 Ví dụ 1: 2 a/ x12  x22  x12  2 x1 x2  x22   2 x1 x2  x1  x2   2 x1 x2 2 3 3 2 2 b/ x1  x2  x1  x2   x1  x1 x2  x2   x1  x2    x1  x2   3x1 x2  2 2 2 2 c/ x14  x2 4  x12    x22   x12  x22   2 x12 x2 2   x1  x2   2 x1x2   2 x12 x22 1 1 x1  x2 d/ x  x  x x 1 2 1 2 x  x  ? Ví dụ 2: 1 2 2 2 Ta biến đổi  x1  x2  x12  2 x1 x2  x2 2  x12  2 x1 x2  x2 2   4 x1 x2  x1  x2   4 x1 x2 2  x1  x2   x1  x2   4 x1 x2 Bài tập áp dụng: Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: a/ x12  x22 ? 2 2 ( HD x1  x2  x1  x2   x1  x2  ... ) b/ x13  x23 ? 2 3 3 2 2 (HD x1  x2  x1  x2   x1  x1 x2  x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2  ... ) c/ x14  x24 ? 4 4 2 2 2 2 ( HD x1  x2  x1  x2   x1  x2  ... ) d/ x16  x26 ? 3 3 ( HD x16  x26  x12    x2 2   x12  x2 2   x14  x12 x22  x2 4  ... ) 1 1 h/ x  1  x  1 ? 1 2 2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm e/ x16  x26 ? f/ x17  x27 ? g/ x15  x25 ? Ví dụ : Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính: 1 a/ x12  x22 1 b/ x  x 1 2 Giải:  S  x1  x2 8  P  x1.x2 15 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  2 a/ x12  x2 2  x12  2 x1 x2  x2 2   2 x1 x2  x1  x2   2 x1 x2 82  2.15 34 10 1 1 x1  x2 8 x1 x2 34 1 1 9 1 1 14 b/ x  x  x x 18 1 2 1 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính: 2 a/  x12  x22  (Đáp án: 46) b/ x  x (Đáp án: ) 15 2 1 2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy tính: a/ x12  x2 2 (Đáp án: 65) b/ x  x (Đáp án: ) 8 1 2 2 3/ Cho phương trình: x - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, hãy tính: a/ x12  x2 2 (Đáp án: 138) b/ x  x (Đáp án: ) 29 1 2 4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy tính: a/ x12  x2 2 (Đáp án: 1) x1 x2 b/ x  1  x  1 2 1 1 1 c/ x  x 1 2 d/ 1  x1 1  x2  x1 x2 (Đáp án: 5 ) 6 (Đáp án: 3) (Đáp án: 1) 5/ Cho phương trình: x2 - 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Không giải phương trình, hãy tính: Q 6 x12  10 x1 x2  6 x2 2 5 x1 x2 3  5 x13 x2   2 2 6. 4 3  2.8 6  x1  x2   2 x1 x2 6 x12  10 x1 x2  6 x2 2 17 Q     ) 3 3 (HD: 2 2 5 x1 x2  5 x1 x2 5 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2  5.8  4 3  2.8 80       6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1, x2 (x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức : A x13 x2  x1 x23 theo m. V. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số : Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0). - Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số. - Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 . Ví dụ 1 : Cho phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụ thuộc vào m. 11 Giải: Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: m  1 0    ' 0 m 1 m 1    2 m   m  1  m  4  0 5m  4 0 m 1   4 m  5 2m 2    S x1  x2  m  1  S x1  x2 2  m  1 (1)  Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  m  4  P  x .x   P  x .x 1  3 (2) 1 2 1 2   m 1 m 1 2 2 Rút m từ (1), ta có: m  1 x1  x2  2  m  1  x  x  2 (3) 1 2 3 3 Rút m từ (2), ta có: m  1 1  x1 x2  m  1 1  x x (4) 1 2 Từ (3) và (4), ta có: 2 3   2  1  x1 x2  3  x1  x2  2   3  x1  x2   2 x1 x2  8 0 x1  x2  2 1  x1 x2 Ví dụ 2 : Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0. chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m. Giải: Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: m  1 0    ' 0 m 1   2 m   m  1  m  4  0 m 1   5m  4 0 m 1   4 m  5 2m   S  x1  x2  m  1 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:   P  x .x  m  4 1 2  m 1 Thay vào biểu thức A, ta có: 2m m 4 6m  2m  8  8(m  1) 0  2.  8  0 m 1 m 1 m 1 m 1 4 Vậy A = 0 với mọi m 1 và m  . 5 A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 = 3. Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m. Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc lập đối với m. Hướng dẫn: - Tính  ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 - Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : 2  x1  x2   x1x2  5 0 độc lập đối với m. 2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 không phụ thuộc giá trị của m. 12 Hướng dẫn: - Tính  ta được: = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 - Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : 2 x1 x2   x1  x2   17 0 không phụ thuộc giá trị của m. VI. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ≥ 0). - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1 : Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2 Giải: Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: m  1 0    ' 0 m 0  2     '  3 m  21  9 m  3 m  0        m 0  2 2  ' 9 m  2m  1  9m  27 0   m 0    ' 9  m  1 0 m 0  m  1 6( m  1)   S  x1  x2  m Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:   P  x .x  9(m  3) 1 2  m x  x  x x Vì 1 2 1 2 (giả thiết) 6(m  1) 9(m  3)   6(m  1) 9(m  3)  3m 21  m 7 ( thỏa mãn) Nên m m Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2 2 Ví dụ 2 : Cho phương trình: x – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2  5  x1  x2   7 0 Giải: Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 2 2  '   '  2m  1  4 m  2 0  m    7 4  S  x1  x2 2m  1 2  P  x1.x2 m  2 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  Vì 3x1 x2  5  x1  x2   7 0 (giả thiết)  m 2(TM ) Nên 3 m  2  5  2m 1  7 0   4 m  ( KTM ) 3   2  Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3 x1 x2  5  x1  x2   7 0 Bài tập áp dụng: 13 1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  2 x2 0 2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 4 x1  3x2 1 3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1  5 x2 6 Hướng dẫn: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1 và VD2 ở chỗ: + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2. 16 15 Bài 1: ĐKXĐ: m 0; m     m  4 m  S  x1  x2  m  1 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  m  7  P  x .x  1 2  m Theo đề bài ta có: x1  2 x2 0  x1 2 x2  x1  x2 3 x2  2  x1  x2  6 x2  2  x1  x2  3x1  x1  x2 3 x2 2  2  x1  x2  9 x1 x2  2  2  x1  x2  3x1 Suy ra:  Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: m 2 + 127m - 128 = 0  m1 = 1 ; m2 = -128 . Bài 2: ĐKXĐ: 11  96 m 11  96  S x1  x2 1  m  1  P x1.x2 5m  6 Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:   x1 1  3  x1  x2  Theo đề bài ta có: 4 x1  3 x2 1    x2 4  x1  x2   1  x1 x2  1  3  x1  x2   .  4  x1  x2   1 2  x1 x2 7  x1  x2   12  x1  x2   1 2   m 0 Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 12m(m – 1) = 0    (TMĐK).  m 1 Bài 3: 2 2 Vì   3m  2   4.3  3m  1 9m 2  24m 16  3m  4  0 với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. 14 3m  2   S  x1  x2  3  1 Theo hệ thức Vi-ét, Ta có:   3 m  1    P  x .x  1 2  3 8 x1 5  x1  x2   6 Theo đề bài ta có: 3x1  5 x2 6   8 x2 3  x1  x2   6  64 x1 x2  5  x1  x2   6 .  3  x1  x2   6 2  64 x1 x2 15  x1  x2   12  x1  x2   36 Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: m  45m  96  0  m 0   m  32 (TMĐK). 15  VII. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,… Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 S = x1 + x2 P = x1 x2  Điều kiện chung   trái dấu P<0  0  0 ; P< 0   cùng dấu P>0  0  0 ; P > 0 cùng dương + + S > 0 P>0  0  0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm - S<0 P>0  0  0 ; P > 0 ; S < 0 Ví dụ : Xác định tham số m sao cho phương trình: x 2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. Giải: Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:   3m  1 2  4.2. m 2  m  6 0   m  7  2 0m  0     2m3  m2  m  6 P  0 P   P  m  3  m  2   0 0 2  Vậy với  2  m  3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.   Bài tập áp dụng: 1/ Xác định tham số m sao cho phương trình: mx2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu. 2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx 2 + 2(2m + 1) x + m = 0 có 2 nghiệm âm. 3/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m - 1)x 2 +2x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm. VIII. Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm : 2 Ví dụ 1 : Cho phương trình: x + (2m - 1) x - m = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để: A = x12  x22  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất. Giải:  S  x1  x2   2m  1  P  x1.x2  m Theo hệ thức VI_ÉT,Ta có:  15 Theo đề bài ta có: 2 2 2 A = x12  x2 2  6 x1 x2  x1  x2   8 x1 x2  2m  1  8m 4m2  12m  1  2m  3  8  8 Suy ra: min A  8  2m  3 0  m  3 2 Ví dụ 2 : Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau: B 2 x1 x2 x  x2  2  x1 x2  1 2 1 2 Giải:  S  x1  x2 m  P  x1.x2 m  1 Theo hệ thức Vi-ét , Ta có:  2x x 2  m  1  3 2x x 1 2 1 2  Theo đề bài ta có: B  x 2  x 2  2  x x  1  2 m2  2  x1  x2   2 1 2 1 2 Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau: B   1   m  1 m 2  2  m 2  2m  1 m2  2 2 Vì  m  1 0   2m  1 m2  2 2 m2  2  m  1 2 0  B 1 m2  2 Vậy maxB = 1  m = 1 Với cách thêm, bớt khác ta lại có: 1 2 1 1 2 1 2 2 m  2m  2  m 2  2 m  4m  4  m 2 m  2  1 2 2 2 2 B    2 2 2 m 2 m 2 2 m 2 2      2 Vì  m  2  0   m  2  2 2 2 m 2  0  B   1 1 min B   m  2 . Vậy 2 2 Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi m. 2m  1  Bm 2  2m  2 B  1 0 (với ẩn là m và B là tham số) 2 m 2 2 Ta có:  1  B  2 B  1 1  2 B  B B Để phương trình trên (*) luôn có nghiệm với mọi m thì ≥ 0 2 2 Hay 1  2 B  B 0  2 B  B  1 0   2B  1  B  1 0  2 B  1 0   B  1 0    2 B  1 0    B  1 0    B     B 1    B     B 1  1 2 1 2  Vậy: max B  1  m 1 ; min B  1  B 1 2 1  m  2 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 . 2 Tìm m để biểu thức A  x1  x2  có giá trị nhỏ nhất. 16 (*) 2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 . Tìm m sao nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn điều kiện x12  x2 2 10 có giá trị nhỏ nhất. 3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn điều kiện : a/ A x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất. b/ B x12  x2 2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. 4/ Cho phương trình: x2 - (m – 1)x - m2 + m – 2 =0 . Với giá trị nào của m để biểu thức C  x12  x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 5/ Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + m = 0 . Xác định m để biểu thức D  x12  x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Chương III: Thực nghiệm sư phạm 1. Mục đích thực nghiệm: - Giúp học sinh hiểu và nắm được định lý Vi-ét, biết ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các dạng bài toán : nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn ; tìm hai số biết tổng và tích của chúng ; tính giá trị của các biểu thức nghiệm… - Tìm hiểu ý thức tự học ở học sinh, giúp học sinh thấy được sự cần thiết phải tham khảo thêm tài liệu, sách tham khảo,… - Giúp học sinh tự tin hơn khi giải bài toán bậc hai, nhất là trong các kỳ thi tuyển. 2. Nội dung thực nghiệm: - Tiến hành dạy ôn tập theo chủ đề tại lớp 9B trường THCS Xuân Dương. - Thời lượng : 5 buổi chiều (15 tiết) 3. Kết quả thực nghiệm: Trước và sau khi dạy hai tiết dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát 20 học sinh với 5 câu hỏi và đã thu được kết quả như sau: Kết quả thống kê Câu Nội dung Trước khi dạy Sau khi dạy hỏi SL TL(%) SL TL(%) 65,3 1 Em có muốn nâng cao kiến thức không ? 10 38,4 17 Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng 42,3 69,2 2 11 18 hệ thức Vi-ét không? Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội 38,4 65,3 3 10 17 dung toán không ? Em hãy đọc lại định lý Vi-ét và nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 57,6 69,2 4 15 18 a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0 b/ x2 + 7x + 12 = 0 Cho phương trình: 2 x – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai 42,3 69,2 5 nghiệm x , x (x > x ). Tính giá trị biểu 11 18 1 2 1 2 thức P x13 x2  x1 x23 theo m. 17 PHẦN III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ  Kết luận Qua tìm hiểu, trò chuyện với học sinh, tôi nhận thấy đa số các em đã nhận thức được tầm quan trọng của việc học ở phổ thông chính là đòn bẩy đưa các em đến tương lai tươi đẹp. Đa số các em học sinh khá, giỏi đều rất muốn được mở rộng, nâng cao kiến thức nhưng các em không biết bằng cách nào, đọc sách nào là tốt vì sách tham khảo rất nhiều loại. Vì vậy giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự học ở nhà, tự chọn sách tham khảo,… Mong rằng đề tài này : “Định lý Vi-et và ứng dụng trong giải toán lớp 9” góp phần giúp các em thêm kiến thức , biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán bậc hai để các em thêm tự tin trong các kỳ thi tuyển. Chắc hẳn trong đề tài này : “Định lý Vi-et và ứng dụng trong giải toán lớp 9”, tôi còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý của quý thầy, cô giáo và các em học sinh. Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ: Trần Trung Thành – SĐT: 0985 211 541. Email cá nhân: [email protected]  Kiến nghị: Hiện nay các trường phổ thông chú trọng nhiều việc phụ đạo học sinh yếu, kém nhưng chưa quan tâm nhiều đến việc nâng cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi các khối lớp 6; 7; 8. Nên có chương trình dạy mở rộng và nâng cao kiến thức cho học sinh khá, giỏi các khối lớp 6; 7; 8. Nên có chương trình hướng dẫn học sinh chọn mua sách tham khảo tất cả các môn học. 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Tuyển tập các bài toán hay và khó_Đại số 9 của nhà xuất bản đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (tác giả: Phan Văn Đức-Nguyễn Hoàng Khanh-Lê Văn Thường). 2. Sách giáo khoa Toán 9 _ Tập 2. 3. Sách giáo viên Toán 9 _ Tập 2. 4. Sách bài tập Toán 9 _ Tập 2. 5. Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 9 của nhà xuất bản giáo dục in năm 2007 (tác giả: Hoàng Ngọc Hưng-Phạm Thị Bạch Ngọc). 6. Các đề thi tuyển học sinh giỏi các cấp của TP Hà Nội ,tỉnh Đồng Nai, tỉnh Bình Thuận và các đề tuyển sinh vào lớp 10 hàng năm. 7. Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào 10 của TP Hà Nội, Đồng Nai, tỉnh Bình Thuận. 8. Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán các năm của Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2018 Tác giả Trần Trung Thành * Ý kiến đánh giá của HĐKH trường: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………… Xếp loại:…………… * Ý kiến đánh giá của HĐKH cơ sở: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Xếp loại:…………… 19