Tài liệu Đề kiểm tra môn toán học sinh phổ thông năng khiếu

LỚP HỌC THÊM THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC P1 QUẬN 8 TPHCM – HOTLINE 0126.539.4215 LUYỆN THI KHÓA ĐIỂM TUYỆT ĐỐI MÔN TOÁN HS PTNK, CLHP ĐỀ KIỂM TRA LỚP LUYỆN THI ĐIỂM TUYỆT ĐỐI HS PTNK Thời gian: 180’ – Ngày 20/5/2016. Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y  x 3  3x . Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 1 trên đoạn 2; 4  . 2x  1 Câu 3 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa 1  i  z  2 z  2 . Tính modun của số phức w  z  2  3i . b) x 2 1 1 3 Giải bất phương trình: 22x 1    8 .  Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I  2  2x  1  sin x  dx . 0   Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x  y  2z  1  0 và hai         điểm A 2; 0; 0 , B 3; 1;2 . Viết phương trình mặt cầu S tâm I thuộc mặt phẳng P và đi qua các điểm A, B và điểm gốc toạ độ O . Câu 6 (1,0 điểm). cos2 -3 . sin2  b) Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT TT có 10 học sinh đạt giải trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học sinh trong 10 học sinh trên để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ 1 năm học 2015 – 2016 do TPHCM tổ chức. Tính xác suất để chọn được một nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và nữ, biết số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ. Câu 7 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' , đáy ABCD là hình chữ nhật có a) Cho góc lượng giác  , biết tan   2 . Tính giá trị biểu thức P    AB  a, AD  a 3 . Biết góc giữa đường thẳng A 'C và mặt phẳng ABCD bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B 'C và C ' D theo a . Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có BC  6 . Gọi D là điểm trên cạnh BC. BB’ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, CC’ là đường kinh của đường tròn  22   28  ngoại tiếp tam giác ACD. Biết tọa độ B ' 1;  , C ' 1;  , B thuộc đường thẳng (d ) : x  y  3  0 và điểm A  5   5  thuộc  : x  y  5  0 thuộc đường thẳng qua BC. Tìm tọa độ A, B, C.   3 x  3 y   3  3 y  x x y     y x xy  xy  1 Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình  (x, y  R  2  (3 y  1) 2 x  1  1  x  2 y  x  1  2 x  2 1  x 2  1  2y  1  2z  5 . Tìm Câu 10 (1,0 điểm). Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện giá trị lớn nhất của biểu thức: P 3  2 x2  y 2  z 2  2x  y  z 2  x3  y 3  z 3  2x 3  y3  z3  2 LỚP HỌC THÊM THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC P1 QUẬN 8 TPHCM – HOTLINE 0126.539.4215 LUYỆN THI KHÓA ĐIỂM TUYỆT ĐỐI MÔN TOÁN HS PTNK, CLHP Câu Đáp án Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y  x 3  3x . Tập xác định: D  x  1 Ta có y '  3x 2  3  y '  0   x  1 Giới hạn  3 lim y  lim x 3  3x  lim x 3  1  2    x  x  x  x    3 lim y  lim x 3  3x  lim x 3  1  2    x  x  x  x   Bảng biến thiên 1 1 x     0 0  f' x     Điểm 0,25 0,25   2   f x 1 0,25   2  Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1    Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 và 1;   Hàm số đạt cực đạt tại điểm x = 1 và yCĐ = 2 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và yCT = -2 Đồ thị: Bảng giá trị x -2 -1 0 1 2 y 2 -2 0 2 -2 y f(x)=-x^3+3*x 5 0,25 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 đoạn 2; 4  . Hàm số liên tục trên đoạn 2; 4  x 1 trên 2x  1 0,25 LỚP HỌC THÊM THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC P1 QUẬN 8 TPHCM – HOTLINE 0126.539.4215 LUYỆN THI KHÓA ĐIỂM TUYỆT ĐỐI MÔN TOÁN HS PTNK, CLHP Ta có y '  1 2x  1 2  0, x  2; 4  0,25 1 3 ;y 4  3 7 3 1 Vậy max y = khi x  4 và min y = khi x  2 2;4  2;4  7 3 Câu 3 (1,0 điểm). a) Cho số phức z thỏa 1  i  z  2 z  2 . Tính modun của số phức w  z  2  3i .  Có y 2  c)  0,25 0,25 d) 0,25 0,25 w 5. 3 x 2 1 1 3 b) Giải bất phương trình 22x 1    8 Bất phương trình tương đương với 22x 1  x 2 1 23 3   .  22x 1  2x 2 1 0,25  2x  1  x 2  1    x 2  2x  0  2  x  0 . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S  2; 0 . 0,25  Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I  2  2x  1  sin x  dx . 0 I      2 2 2 2 0 0 0 0  2x  1  sin x  dx   2x.dx   dx   sin xdx  A  B  C  4 2 A   2x .dx  x   2 2 0 0  2 4  2 0,25  C   sin xdx  cosx 0 Vậy I  A  B  C   2 ; B   dx  x 0  2 0   0,25 2  2 0 2 1  0,25  1 4 2 Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng 0,25 P  : x  y  2z  1  0 và hai điểm A 2; 0; 0, B  3; 1;2 . Viết phương trình mặt cầu S  tâm I thuộc mặt phẳng  P  và đi qua các điểm A, B và điểm gốc toạ độ O 5 .     Giả sử I x, y, z . Ta có I  P  x  y  2z  1  0 x  y  2z  5 Do A, B,O  S  IA  IB  IO . Suy ra  x  1   1  2 0,25 LỚP HỌC THÊM THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC P1 QUẬN 8 TPHCM – HOTLINE 0126.539.4215 LUYỆN THI KHÓA ĐIỂM TUYỆT ĐỐI MÔN TOÁN HS PTNK, CLHP x  y  2z  1  0 x  1   Từ (1) và (2) ta có hệ x  y  2z  5  y  2  I 1; 2;1 x  1 z  1   0,25 Bán kính mặt cầu (S) là R  IA  6 0,25     2 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x  1  y  2    z  1 2 2 6 0,25 Câu 6 (1,0 điểm). a) Cho góc lượng giác  , biết tan   2 . Tính giá trị biểu thức P  cos2 -3 . sin2  cos2 -3 2cos2  4 P   sin2  1  cos2 1 1 1 9  cos2   . Suy ra P   2 2 2 cos  1  tan  5 b) Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT Phù Cừ có 10 học sinh đạt giải trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học sinh trong 10 học sinh trên để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ 1 năm học 2015 – 2016 do huyện uỷ Phù Cừ tổ chức. Tính xác suất để chọn được một nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và nữ, biết số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ. 1  tan2   6 0,25 0,25   Không gian mẫu n   C 105  252 Gọi A là biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam ít hơn học sinh nữ. Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh nam và 4 học sinh nữ nên ta có C 41.C 64 0,25 Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ nên ta có C 42 .C 63   Suy ra n A  C 41.C 64  C 42 .C 63  180 5 7 Câu 7 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' , đáy ABCD là hình chữ   Vậy xác suất cần tìm là P A  7 nhật có AB  a, AD  a 3 . Biết góc giữa đường thẳng A 'C và mặt phẳng ABCD  bằng 60 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' và khoảng cách 0 giữa hai đường thẳng chéo nhau B 'C và C ' D theo a . 0,25 LỚP HỌC THÊM THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC P1 QUẬN 8 TPHCM – HOTLINE 0126.539.4215 LUYỆN THI KHÓA ĐIỂM TUYỆT ĐỐI MÔN TOÁN HS PTNK, CLHP    Suy ra góc giữa A 'C và mặt phẳng ABCD  D' A' Do ABCD.A ' B 'C ' D ' là lăng trụ đứng nên A ' A  ABCD . B' C' là A 'CA  600 0,25 H A D M 600 B C Có AC  AB 2  BC 2  2a  A ' A  AC .tan 600  2a 3 ABCD là hình chữ nhật có AB  a, AD  a 3  SABCD  AB.AD  a 2 3 0,25 Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' là V  A ' AS . ABCD  6a 3 Do C’D//AB’ nên C’D//(AB’C)     Suy ra d C ' D, B 'C  d C ' D, A B 'C   d C ',  A B 'C   d B, A B 'C  0,25 Do BC’ giao với mp(AB’C) tại trung điểm của BC’ (vì BCC’B’ là hình chữ nhật)       Kẻ BH  B ' M  BH  AB 'C  hay d  B,  A B 'C    BH Kẻ BM  AC  AC  BB ' M  AB 'C  BB ' M theo giao tuyến B’M Có 1 1 1 1 1 1 17 2a 51        BH  2 2 2 2 2 2 2 17 BH B 'B BM B 'B BC AB 12a   Vậy d C ' D, B 'C  0,25 2a 51 17 Câu 8 (1,0 điểm). 0,25 0,25 0,25 0,25 9   3 x  3 y   3  3 y  x x y     y x xy  xy  1 Câu 9 (1,0 điểm). Giải hpt:   2  (3 y  1) 2 x  1  1  x  2 y  x  1  2 x  2 0,25 LỚP HỌC THÊM THẦY DIÊU – 53T DƯƠNG BÁ TRẠC P1 QUẬN 8 TPHCM – HOTLINE 0126.539.4215 LUYỆN THI KHÓA ĐIỂM TUYỆT ĐỐI MÔN TOÁN HS PTNK, CLHP a  x,b  y (1)  3b  a 2  1  3a 1  b 2   3  ab  1 a  b   a  b  a  b  a b    b a a 2b 2  ab  1 ab a b  ab  1 a  b  0  x  y    3  ab  1 a 2b 2  ab   a  b   a  b   a 2b 2  ab  1  ab  a 2b 2  ab  1  3 2 2 0,25 0,25 0,25 Câu 10 (1,0 điểm). Câu 10 (1,0 điểm). Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện 1  x 2  1  2y  1  2z  5 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 10 3  2 x2  y 2  z 2  2x  y  z 2  x3  y 3  z 3  2x 3  y3  z3  2 0,25 0,25 0,25 0,25