Tài liệu đề kiểm tra học kì 1 môn toán 10 có đáp án

Trường THPT chuyên NGUYỄN BỈNH KHIÊM ---*--- KIỂM TRA HỌC KỲ I Môn : TOÁN 10 (Dành cho lớp chuyên Toán) Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày kiểm tra : -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 1 : (1.0 điểm) 1  x  Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn : 2.f(x) + f   = 11x 2 + 10 ; x0. x Bài 2 : (3.0 điểm) Cho hàm số : y = f(x) = x2 + (m + 2).x – 3 - m , (Pm) 1. Khi m thay đổi, tìm các điểm cố định của họ Parabol (Pm) . 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số y = f(x) khi m = 0 . Tìm các giá trị của tham số k để phương trình : x2 + 2x - 3  = k có 4 nghiệm phân biệt . 3. Xác định m để bất phương trình : f(x) ≤ 0 có nghiệm chỉ là một đoạn có độ dài bằng 2 . Bài 3 : (2.0 điểm) 6 6 1. Chứng minh rằng : 4C n  C n + 5  n(mod 5) ;  n  N, n ≥ 6 . 2. Trong khai triển  3 + 3  n 2 , n  N* ; hãy tìm số hạng nguyên , biết rằng : 2 4 C1 + 1 - 2.2.C2n + 1 + 3.22 .C3 + 1 - 4.23 .C2n + 1 + . . . + (2n + 1).22n .C2n + 1 = 19 2n 2n 2n + 1 Bài 4 : (2.0 điểm) Cho ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a (a > 0) . 15 a 2 1. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho : MB.MC + MC.MA + MA.MB = . 2             2. Lấy các điểm P, Q, R lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA và AB sao cho BP = a , CQ = 2a và 4a AR = . Chứng minh rằng : AP  QR . 5 Bài 5 : (2.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ; cho tam giác ABC có : A(2; -1) , B(0; 1) , C(3; -4) 1. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC . 2. Tìm tọa độ của điểm M trên trục Ox sao cho       2.MA + 2.MB - 3.MC đạt giá trị nhỏ nhất . ===Hết=== -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Họ và tên : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . SBD : . . . . . . .. . . . Lớp : 10/1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KIỂM TRA HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2009 - 2010 NGUYỄN BỈNH KHIÊM ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN – CHUYÊN 10 --------    --------- Thời gian : 120 phút - Ngày kiểm tra : 23.12.2009 Nội dung Điểm Bài 1 : (1.0 điểm) 1   11x 2 + 10 ,  x  0 (1) x 1 1  10t 2 + 11  Đặt x = , t  0 . Khi đó từ (1), ta có : 2.f   + f(t) = t t  t 2   1  11x + 10 2.f(x) + f   =  x x  1   Xét hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn f(x) và f   :  2 x   1  10x + 11 f(x) + 2.f   =  x x   1 4x 2 + 3 Khử f   ta giải được : f(x) = (2) x x   Ta có : 2.f(x) + f   = x 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Thử lại ta thấy (2) thỏa mãn (1) . 0,25 đ 4x 2 + 3 Vậy : f(x) = , x  0 là hàm số duy nhất cần tìm . x Bài 2 : (3,0 điểm) y = x2 + (m + 2)x – 3 – m (Pm) 1.(0,5 điểm)  Gọi A(x0; y0)  (Pm)  y0 = x02 + (m + 2)x0 – 3 – m  (x0 – 1).m + x02 + 2x0 – y0 – 3 = 0 (*)  A là điểm cố định của họ Parabol (Pm)  phương trình (*) thỏa với mọi m  x0 - 1 = 0  x0 = 1    2  x 0 + 2x 0 - y 0 - 3 = 0  y0 = 0 Vậy, với mọi m, (Pm) luôn đi qua điểm cố định A(1; 0) . 2. (1,5 điểm) Khi m = 0 : y = x2 + 2x – 3 (P) a. (1,0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị (P)  Txđ : D = R  Sự biến thiên : Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ; -1) và đồng biến trên khoảng (-1 ; +)  BBT x - -1 + + + y CT -4  ĐĐB : x . . . -3 -2 -1 0 1 . . . 0,25 đ 0,25 đ y 0,25 đ -1 -3 1 O x 0,25 đ -3 -4 I 0,25 đ y y= x 2+2x-3 y . . . 0 -3 -4 -3 0 . . .  Đồ thị : Đồ thị (P) là một Parabol có đỉnh I(-1; -4) và nhận đường thẳng x = -1 là trục đối xứng . b.(0,5 điểm) Ptrình : x2 + 2x - 3 = k (1) 2  Vẽ đồ thị (H) : y = x + 2x - 3  Nhận xét : Pt (1) là pt hoành độ giao điểm của đồ thị (H) và đường thẳng (d) : y = k (là đường thẳng cùng phương với trục Ox) O -3 1 0,25 đ x 0,25 đ 0,25 đ pt(1) có 4 nghiệm phân biệt  đthẳng (d) cắt đồ thị (H) tại 4 điểm phân biệt Căn cứ vào đồ thị , ta có giá trị tham số k thỏa YCBT là : 0 < k < 4 . 3. (1,0 điểm) f(x) = x2 + (m + 2)x – 3 – m ≤ 0 (2) 2 2  f(x) = 0 có  = m + 8m + 16 = (m + 4) ≥ 0 m = - 4   = 0  f(x) ≥ 0 ,  x  R : không thỏa YCBT m  - 4   > 0  f(x) ≤ 0 ,  x  [x1; x2] với x1, x2 là hai nghiệm của pt f(x) = 0  Vậy : bpt (2) có nghiệm chỉ là một đoạn có độ dài bằng 2  f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 – x2 = 2 Δ > 0 Δ > 0 m  - 4       2 2 2  (m + 2) - 4(-3 - m) = 4  (x1 - x 2 ) = 4  (x1 + x 2 ) - 4x1x 2 = 4 m  - 4  m=-6  m=-2   2 Vậy : m = -6  m = - 2 .  m + 8m + 12 = 0 Bài 3 : (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm) y y y-1 Sử dụng kết quả : C x = C x - 1 + C x - 1 ;  x, y  N và 1 ≤ y ≤ x . Ta có : 4C 6 + C 6 + 5 = 4C6 + C 6 + 4 + C5 + 4 n n n n n  Vậy 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 4 = 4C 6 + C 6 + 3 + C 5 + 3 + C5 + 3 + C n + 3 n n n n 4 4 = 4C 6 + C 6 + 2 + C5 + 2 + 2(C5 + 2 + C n + 2 ) + C n + 2 + C3 + 2 n n n n n 4 = 4C 6 + C 6 + 1 + C5 + 1 + 3(C5 + 1 + C n + 1 ) + 3(C4 + 1 + C3 + 1 ) + C3 + 1 + C 2 + 1 n n n n n n n n 4 4 2 2 = 4C 6 + C 6 + C5 + 4(C5 + C n ) + 6(C n + C 3 ) + 4(C3 + Cn ) + Cn + C1 n n n n n n n 0,5 đ 4 2 = 5C 6 + 5C5 + 10C n + 10C3 + 5C n + C1 n n n n 4 2 = 5(C 6 + C5 + 2C n + 2C 3 + C n ) + n n n n 0,25 đ  n (mod 5) 2. (1,0 điểm) y y-1  Ta chứng minh được : y C x = x C x - 1  Ta có 1 2 2 3 : C2n + 1 - 2.2.C 2n + 1 + 3.2 .C 2n + 1 ;  x, y  N và 1 ≤ y ≤ x . 4 2n + 1 - 4.23 .C2n + 1 + . . . + (2n + 1).22n .C2n + 1 = 19 0,25 đ  (2n + 1)C0 - 2.(2n + 1).C12n + 22 .(2n + 1).C2 - 23 .(2n + 1).C3 + . . . + 22n .(2n + 1).C2n = 19 2n 2n 2n 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n  (2n + 1). (C2n - 2.C 2n + 2 .C 2n - 2 .C 2n + . . . + 2 .C 2n ) = 19  (2n + 1) . (1 - 2)2n = 19  2n + 1 = 19  Khi  = C . 3  . 2  đó khai triển Tk + 1  Vậy, Tk + 1  k 9 3 + 3  n=9 0,25 đ 9 2 có số hạng tổng quát là : 9-k 3 k k 9 = C .3 là số hạng có giá trị nguyên  9-k 2 .2 k 3 ; k  N, 0 9 - k  Z  2  k  Z  3    k Σ N, 0   k 9  k 0,25 đ k = 3, k = 9 9 3 3 1 9 0 3 Kl : có 2 số hạng có giá trị nguyên,đó là : T4 = C9 .3 .2 = 4536 và T10 = C9 .3 .2 = 8 Bài 4 : (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm)  Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC . 0,25 đ 15 a 2  Ta có : MB.MC + MC.MA + MA.MB = 2                  1 1 1 15a 2 (MB2 + MC 2 - BC 2 ) + (MC 2 + MA 2 - CA 2 ) + (MA 2 + MB2 - AB2 ) = 2 2 2 2 2 1 15a MA 2 + MB2 + MC2 - (BC 2 + CA 2 + AB 2 ) = 2 2 uu uu 2 u u ur r uu uu 2 u u ur r uu uu 2 1 u u ur r 15a 2 (MO + OA) + (MO + OB) + (MO + OC) - 3.(3a) 2 = 2 2 u u u u u u u u 27a 2 u u ur r ur ur 15a 2 3. MO2 + (OA 2 + OB2 + OC 2 ) + 2MO.(OA + OB + OC) = 2 2  OA = OB = OC = a 3  27a 2 15a 2 ur ur ur 3. MO 2 + 9a 2 = ; vì :  u u u u u u r 2 2  OA + OB + OC = 0  MO2 = 4a2  OM = 2a  Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng 2a . 2. (1,0 điểm)  Ta 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ có uu 1 uu ur ur AB + AC uu u r u r uu ur uu 2 uu 1 uu ur ur ur 1 uu 2 PB = - PC  AP = hay AP= AB + AC 3 2 3 3 2 uu uu uu ur ur ur ur ur uu 4 uu 1 uu ur ur ur AR u u 1 uu .AB - AC hay QR= AB - AC  Ngoài ra : QR = AR - AQ = AB 3 15 3 uuuu  2 uu 1 uu  4 uu 1 uu ur ur ur ur ur ur ur ur 8 1 2 uu uu AB - AC  = AB2 - AC 2 AB.AC  Khi đó : AP.QR =  AB + AC .  3 3 9 15 3   15  45 8 2 1 2 2 = 9a - 9a 3a.3a.cos600 = 0 . 45 9 15 : 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vậy : AP  QR . Bài 5 : (2,0 điểm) A(2; -1) , B(0; 1) , C(3; -4) 1. (1,0 điểm)  Gọi H(x; y) là tọa độ trực tâm của ABC   uu ur uu ur uu ur uu ur AH = (x - 2; y + 1) , BH = (x ; y - 1) , BC = (3; -5) , AC = (1; -3)  Ta có : H là trực tâm ABC  AH  BC     BH  AC  Vậy 0,25 đ uu uu ur ur  AH.BC = 0  3(x - 2) - 5(y + 1) = 0  3x - 5y = 11  x = 12        ur ur uu uu 1.x - 3(y - 1) = 0  x - 3y = -3 y = 5  BH.AC = 0 : H(12; 5) r 2. (1,0 điểm)  Gọi I(x0; y0) là điểm thỏa mãn hệ thức : 2 IA + 2 IB - 3 IC = 0  2(2 - x 0 ) + 2(0 - x 0 ) - 3(3 - x 0 ) = 0  x 0 = -5     : I(-5; 12)  2(-1 - y0 ) + 2(1 - y 0 ) - 3(- 4 - y 0 ) = 0  y 0 = 12 uu uu r uu ur uu ur uu ur u r u uu ur u r u uu ur u r u  Ta có : 2.MA + 2.MB - 3.MC = 2.(MI + IA) + 2.(MI + IB) - 3.(MI + IC) uu u r ur u ur u ur u uu u r  MI + 2.IA + 2.IB - 3.IC = MI = MI    Vậy : M  Ox mà       2.MA + 2.MB - 3.MC   0,5 đ 0,25 đ   0,25 đ 0,25 đ đạt GTNN  M  Ox mà MI ngắn nhất , với I(-5; 12)  M là hình chiếu của điểm I(-5; 12) lên trục Ox 0,25 đ 0,25 đ  M(-5; 0) .  Lưu ý :  Đáp án và hướng dẫn chấm này có 03 trang .  HS có cách giải khác : đúng, chính xác và logic thì Giám khảo căn cứ theo thang điểm cho điểm hợp lý.