Tài liệu đề khảo sát học sinh giỏi toán 7

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN LẦN 2 NĂM HỌC 2014-2015 Môn toán lớp 7 Thời gian làm bài : 120 phút PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN KHỐI CLC THCS Đề bài: Bài 1:(5 điểm) a)Thực hiện phép tính: A 212.35  46.92 6  22.3  84.35 b) Tìm x biết : Bài 2: (5điểm)  510.73  255.492  125.7  3  59.143 2  x x  3 213 , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5 và c¸c mÉu 70 a) Ba ph©n sè cã tæng b»ng b) cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. Cho các số a,b,c ,x,y,z thỏa mãn : abc 0 và x y z   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a b c   x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z chứng minh: ( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Bài 3: ( 4điểm) a) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: ( x-y)2014 + x  b) Cho 5 số nguyên phân biệt a1, a2, a3, a4 ,a5, xét tích : y =2 P=(a1-a2)(a1-a3)(a1-a4)(a1-a5) (a2-a3)(a2-a4)(a2-a5)(a3-a4)(a3-a5)(a4-a5) Chứng minh P 288 Bài 4: ( 6 điểm) Cho tam giác ABC có  B =750 đường cao AH bằng nửa cạnh BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C vẽ tia Bx sao cho  ABx = 600 trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD =BA. Kẻ phân giác BF của góc ABD (F  AD) a) Tính các góc chưa biết của tam giác ABD b) Chứng minh AB=BD=DA c) Chứng minh AC =CB Lưu ý : cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KHẢO SÁT KHỐI CLC THCS Bài 1 Ý a MÔN TOÁN 7 LẦN 2 Nội dung A= 12 5 12 4 10 3 10 Điểm 1đ 1đ 4 2 .3  2 .3 5 .7  5 .7  9 3 12 6 12 5 2 .3  2 .3 5 .7  5 9 7 3.2 3 3  1 5  35  93 18 A 3,5 A 2 b) Để có căn bậc hai dương 2  x thì x 2 khi đó x-3<0 mà 2  x 0 nên không tìm được x thỏa mãn yêu cầu bài ra. A Gọi 3 phân số cần tìm là theo bài ra ta có a c m ; ; b d n a c m   k 3 4 5 0,5đ 1,0 1,0 0,5 với a;b;c;m;n nguyên và b.d.n 0 1đ Suy ra a=3k; c=4k;m=5k Tương tự ta có b=5q; d=q; n=2q Vậy 0,5đ 3k 4k 5k 213    5q q 2q 70 k 3 5 213  ( 4 )  q 5 2 70 :k 3  q 7 a 9 c 12 m 15  ;  ;  b 35 d 7 n 14 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) Từ giả thiết ta có : x 2y z x  2y  z    k a  2b  c 4a  2b  2c 4a  4b  c 9a 2x  y  z 4x  4 y  z  Tương tự ta có k  9b 9c 2x  y  z 2x  y  z 4x  4 y  z   Vậy: 9a 9b 9c Suy ra 0,5đ 0,5đ 0,5đ a b z   x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z 0,5đ 3 a) Ta có các số tự nhiên : x 0; y 0; ( x  y ) 0 Vậy (x-y)2014 là số chính phương nhỏ hơn 2 Hoặc (x-y)2014 =0 suy ra x=y mà x  y 2  x  y 1 ta được (x;y)=(1;1)(-1;1); (-1;-1);(1;-1) mà x  y nên (x;y) =(1;1); -1;-1) 2 nếu (x-y) =1 thì hoặc: x-y= 1 Thì tổng hai số tự nhiên x  trong hai số x, y có 1 số bằng 0 từ đó ta có (x; y)=(0;1);(1;0); (0;-1); (-1;0) Vậy:(x;y)=(1;1); (-1;-1);(0;1);(1;0); (0;-1); (-1;0) 2014 0,5đ 0,25đ 0,25đ y 1 nên 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ B 4 Với 5 số a1; a2; a3; a4 có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là a1 và a2 khi đó a1-a2 3 Bỏ đi a2 xét 4 số còn lại Trong 4 số này có ít nhất 2 số khi chia cho 3 có cùng số dư không nhất tính tổng quat giả sử 2 số đó là a3 và a5 thì a3a5 3 Suy ra P 9 * Trong 5 số tự nhiên có ít nhất 3 số cùng tính chẵn lẻ -Nếu có cả năm số cùng tính chẵn lẻ hiển nhiên tất cả các thừa số của p đều chia hết cho 2 nên P 210 suy ra P 32 Nếu trong 5 số có 4 số cùng tính chẵn lẻ 4 số này tạo ra 6 thừa số của tích mà mỗi thừa số đều chia hết cho 2 nên P 32 Nếu trong 5 số có 3 số cùng chẵn không mất tính tổng quát giả sử đó là a1; a2; a3 đặt a1=2b1; a2=2b2;a3=2b3 ; a4=2b4+1 ; a5=2b5+1 P là tích của 16(b1-b2)(b1-b3)(b2-b3)(b4-b5) và 6 thừa số lẻ . trong 3 số b1; b2; b3 . có ít nhất hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ chúng tạo ra 1 thừa số chia hết cho 2 nên p 32 Tương tự với 3 số cùng lẻ và 2 số cùng chẵn thì P 32 Vậy P  9;32 288 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ A A F D I B B c H E C Vẽ phân giác BF của ABD chứng minh:  ABF=  DBF (c-g-c) Từ đó nhờ định lý tổng ba góc trong tam giác chứng minh:  BAD=  BDA =600 Kẻ phân giác AI dựa vào định lý tổng 3 góc trong tam giác chứng minh  BIA =  DIA =900 Từ đó chứng minh  AIB=  AID (g.c.g) Suy ra AB=AD Mà theo giải thiêt: AB=BD nên AB=BD=DA Gọi E là trung điểm của BC , chứng minh:  AHB=  BED (c.g.c) Từ đó chứng minh  DEB=  DEC =900 Chứng minh  DEB =  DEC (c.g.c) rồi chứng minh  BDC=1500 Chứng minh  ADC =1500 Chứng minh  ADC=  BDC (c.g.c)  CB=CA 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ