PHÒNG GD & ĐT GIO LINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2014 - 2015
Khoá ngày 22 tháng 10 năm 2014
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút
( không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (5 điểm): Tính giá trị các biểu thức:
a)
52 2 94 2
b) 6 11 6 11 2
Câu 2 (4 điểm):
a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c abc 4
Tính giá trị biểu thức:
A a (4 b)(4 c) b (4 c)(4 a ) c(4 a )(4 b ) abc
b) Tìm GTNN của biểu thức:
x 2 (x 2 2) y
5 y2
2016
4
Câu 3 (4 điểm):
a) Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: p 2 q 2 24
b) Tìm các giá trị nguyên của x và y sao cho: x y x. y
Câu 4 (5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HE, HF lần
lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:
a.
EB AB3
FC AC 3
b. Biết BC 10cm, AH 4cm. Tính AB
Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Trên
cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 2DC. Chứng minh rằng BM vuông góc với AD.
Hết./.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD&ĐT GIO LINH
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015
Câu
Câu 1
Nội dung
Điểm
a. 5 2 2 9 4 2 = 5 2 2 (2 2)2 4 2 1
1
= 5 2 2 (2 2 1)2 = 5 2 3 2 2 = 5 2 ( 2 1)2
1
= 3 2 2 ( 2 1)2 = 2 1
1
b. Đặt M = 6 11 6 11 2 , ta có:
0,25
M . 2 12 2 11 12 2 11 2
0,5
a. Ta có: b c abc 4 4a 4b 4c 4 abc 16
Suy ra: a (4 b)(4 c) a(16 4b 4c bc)
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
a (2 a bc ) 2 a (2 a bc ) 2a abc
0,5
( 11 1) 2 ( 11 1) 2 2
= 11 1 11 1 2 0
M 0
Tương tự:
b(4 c)(4 a) 2b abc , c(4 a)(4 b) 2c abc
A 2( a b c ) 3 abc abc 2( a b c abc ) 8
0,25
0,5
2
Câu 2
b. Ta có: x 2 (x 2 2) y
x 2 xy
5y
2016
4
0,5
y2
y 2 2 2. y 2 2014
4
0,5
y
( x ) 2 (y 2) 2 2014 2014
2
0,5
2
x
2
Vậy biểu thức đạt GTNN là 2014 khi và chỉ khi:
y 2
a. Theo giả thiết p 3 nên p 2 1 3
(1)
2
2
Lại có: p 2k 1 nên p 1 4k 4k 4k (k 1)8 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: p 2 1 24
(a)
2
Tương tự: q 1 24
(b)
Từ (a) và (b) suy ra: (p2 1) (q 2 1) 24 p2 q 2 24
Câu 3
b. Ta có xy x y x(y 1) y x
y
( y 1)
y 1
x Z y (y 1) y 1 1
Nếu y 1 1 thì y 2 x 2
Nếu y 1 1 thì y 0 x 0
Vậy ta tìm được 2 cặp giá trị nguyên x,y là: (0; 0) và (2; 2).
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
B
0,25
H
E
A
a. Ta có:
EB.EA EH 2 AF 2 EB
CF.F A FH 2 AE 2 CF
Câu 4
Từ (1) và (2) suy ra:
C
F
AF
AE
AE 2
AF
EB AF 3
FC AE 3
Mặt khác: AEF ACB (g.g)
2
AF AB
AE AC
(1)
0,5
(2)
0,5
(a)
0,5
(b)
0,75
EB AB3
FC AC 3
b. Đặt BH x , x 0 thì HC 10 x
(a) và (b) cho ta:
0,5
0,25
Theo Định lý về cạnh và và đường cao trong tam giác vuông, ta
có: AH 2 BH .CH x(10 x) hay 42 10x x 2
x( x 8) 2(x 8) 0 (x 8)(x 2) 0
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
Giải ra ta có x 2 hoặc x 8
Nếu BH = 2 thì AB = 4 2 2 2 20 2 5
Nếu BH = 8 thì AB = 82 42 80 4 5
B
1
D
0,25
2 1
A
Câu 5
M
1
C
E
Kẻ CE // AD ( E AB )
AB BD
Theo Định lý Talet, ta có:
2 AB 2 AE
AE DC
Mặt khác: AB 2 AM (gt) A M A E
0,25
0,25
ABM ACE (c.g.c) C1 B1
0,25
0,25
Mà C1 A1 ( sole) A1 B1
0,25
Do đó: A2 B1 A2 A1 90
Suy ra AD vuông góc với BM.
Lưu ý: Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
0,25
0,25
- Xem thêm -