Đăng ký Đăng nhập

Tài liệu đề + hdc toán

.PDF
3
666
79

Mô tả:

PHÒNG GD & ĐT GIO LINH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014 - 2015 Khoá ngày 22 tháng 10 năm 2014 Môn: Toán Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Câu 1 (5 điểm): Tính giá trị các biểu thức: a) 52 2 94 2 b) 6  11  6  11  2 Câu 2 (4 điểm): a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện: a  b  c  abc  4 Tính giá trị biểu thức: A  a (4  b)(4  c)  b (4  c)(4  a )  c(4  a )(4  b )  abc b) Tìm GTNN của biểu thức: x 2  (x  2 2) y  5 y2  2016 4 Câu 3 (4 điểm): a) Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: p 2  q 2  24 b) Tìm các giá trị nguyên của x và y sao cho: x  y  x. y Câu 4 (5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: a. EB AB3  FC AC 3 b. Biết BC  10cm, AH  4cm. Tính AB Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 2DC. Chứng minh rằng BM vuông góc với AD. Hết./. (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) PHÒNG GD&ĐT GIO LINH HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015 Câu Câu 1 Nội dung Điểm a. 5  2 2  9  4 2 = 5  2 2  (2 2)2  4 2  1 1 = 5  2 2  (2 2  1)2 = 5  2 3  2 2 = 5  2 ( 2  1)2 1 = 3  2 2  ( 2  1)2 = 2  1 1 b. Đặt M = 6  11  6  11  2 , ta có: 0,25 M . 2  12  2 11  12  2 11  2 0,5 a. Ta có: b  c  abc  4  4a  4b  4c  4 abc  16 Suy ra: a (4  b)(4  c)  a(16  4b  4c  bc) 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25  a (2 a  bc ) 2  a (2 a  bc )  2a  abc 0,5  ( 11  1) 2  ( 11  1) 2  2 = 11  1  11  1  2  0 M 0 Tương tự: b(4  c)(4  a)  2b  abc , c(4  a)(4  b)  2c  abc  A  2( a  b  c )  3 abc  abc  2( a  b  c  abc )  8 0,25 0,5 2 Câu 2 b. Ta có: x 2  (x  2 2) y  x 2  xy  5y  2016 4 0,5 y2  y 2  2 2. y  2  2014 4 0,5 y  ( x  ) 2  (y  2) 2  2014  2014 2 0,5   2 x  2 Vậy biểu thức đạt GTNN là 2014 khi và chỉ khi:  y   2 a. Theo giả thiết p  3 nên p 2  1 3 (1) 2 2 Lại có: p  2k  1 nên p  1  4k  4k  4k (k  1)8 (2) Từ (1) và (2) suy ra: p 2  1 24 (a) 2 Tương tự: q  1 24 (b) Từ (a) và (b) suy ra: (p2  1)  (q 2  1) 24  p2  q 2  24 Câu 3 b. Ta có xy  x  y  x(y 1)  y  x  y ( y 1) y 1 x  Z  y  (y 1)  y  1  1 Nếu y  1  1 thì y  2  x  2 Nếu y  1  1 thì y  0  x  0 Vậy ta tìm được 2 cặp giá trị nguyên x,y là: (0; 0) và (2; 2). 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 B 0,25 H E A a. Ta có: EB.EA  EH 2  AF 2  EB  CF.F A  FH 2  AE 2  CF  Câu 4 Từ (1) và (2) suy ra: C F AF AE AE 2 AF EB AF 3  FC AE 3 Mặt khác: AEF ACB (g.g)  2 AF AB  AE AC (1) 0,5 (2) 0,5 (a) 0,5 (b) 0,75 EB AB3  FC AC 3 b. Đặt BH  x , x  0 thì HC  10  x (a) và (b) cho ta: 0,5 0,25 Theo Định lý về cạnh và và đường cao trong tam giác vuông, ta có: AH 2  BH .CH  x(10  x) hay 42  10x  x 2  x( x  8)  2(x  8)  0  (x  8)(x  2)  0 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Giải ra ta có x  2 hoặc x  8 Nếu BH = 2 thì AB = 4 2  2 2  20  2 5 Nếu BH = 8 thì AB = 82  42  80  4 5 B 1 D 0,25 2 1 A Câu 5 M 1 C E Kẻ CE // AD ( E  AB ) AB BD Theo Định lý Talet, ta có:   2  AB  2 AE AE DC Mặt khác: AB  2 AM (gt)  A M  A E 0,25 0,25  ABM  ACE (c.g.c)  C1  B1 0,25 0,25 Mà C1  A1 ( sole)  A1  B1 0,25 Do đó: A2  B1  A2  A1  90 Suy ra AD vuông góc với BM. Lưu ý: Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. 0,25 0,25
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan