Tài liệu De 4 .2016

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ THI MÔN TOÁN_KHỐI 12 (lần 1) Năm học: 2015-2016 Thời gian: 180 phút Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  x3  3x 2  4 . Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  f  x  x  2   x  2  trên đoạn  12 ; 2 . 2 2 Câu 3 (1,0 điểm). a) Giải phương trình sin 3 x  cos 2 x  1  2sin x cos 2 x b) Giải phương trình 2 log 8  2 x   log 8  x 2  2 x  1  y x 1 x 1 tại hai điểm m A, B để đường thẳng sao cho AB  3 2 cot a  2 . sin 4 a  cos 4 a . sin 2 a  cos 2 a ATH S.N Câu 5 (1,0 điểm). a) Cho cắt đồ thị  C  của hàm số ET Câu 4 (1,0 điểm). Tìm 4 3 d  : y  x  m Tính giá trị của biểu thức P VIE TM b) Một xí nghiệp có 50 công nhân, trong đó có 30 công nhân tay nghề loại A, 15 công nhân tay nghề loại B, 5 công nhân tay nghề loại C. Lấy ngẫu nhiên theo danh sách 3 công nhân. Tính xác suất để 3 người được lấy ra có 1 người tay nghề loại A, 1 người tay nghề loại B, 1 người tay nghề loại C. Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABC có đường cao SA bằng 2a , tam giác   30 . Gọi H là hình chiếu vuông của A trên ABC vuông ở C có AB  2a, CAB SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H . ABC . Tính cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB  ,  SBC  . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang OABC ( O là gốc tọa độ) có diện tích bằng 6, OA song song với BC , đỉnh A  1; 2  , đỉnh B thuộc đường thẳng  d1  : x  y  1  0 , đỉnh C thuộc đường thẳng  d 2  : 3 x  y  2  0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C . Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có phương trình AB, AC lần lượt là x  2 y  2  0, 2 x  y  1  0 , điểm M 1; 2  thuộc   đoạn thẳng BC . Tìm tọa độ điểm D sao cho tích vô hướng DB.DC có giá trị nhỏ nhất. Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình x2  x  2  x2  x3 2 2 1 trên tập số x 3 thực. Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y thỏa mãn  x  4 2   y  4 2  2 xy  32 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x3  y 3  3  xy  1 x  y  2  . -----------Hết----------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .............................................; Số báo danh.......................... Câu 1 ĐÁP ÁN TOÁN 12, lần 1, 2015-2016 Nội dung  Tập xác đinh: D   .  Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3 x 2  6 x ; y '  0  x  0; x  2 Các khoảng đồng biến  ; 2  và  0;   ; khoảng nghịch biến  2; 0  . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  2, yCD  0 ; đạt cực tiểu tại Điểm 0,25 x  0, yCT  4 - Giới hạn tại vô cực: lim y  ; lim y   x  x  0,25  Bảng biến thiên 2   0 y 0  0 ATH S.N y'  0 ET  x  4   Đồ thị f x = x3+3x2-4 0,25 8 6 TM 4 2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 VIE -4 -6 -8 2 0,25 1 Ta có f  x   x 4  4 x 2  4 ; f  x  xác định và liên tục trên đoạn   ; 0 ; f '  x  4x 3  2  8 x.  0,25 1 Với x    ; 2 , f '  x   0  x  0; x  2  2  1 1 Ta có f     3 , f  0   4, f  2   0, f  2   4 .  2 16 0,25 0,25 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  trên đoạn 3  1    2 ; 0  lần lượt là 4 và 0. sin 3 x  cos 2 x  1  2sin x cos 2 x  sin 3 x  cos 2 x  1  sin x  sin 3 x a)  cos 2 x  1  sin x 0,25 0,25   x  k sin x  0   x    k 2  1  2sin 2 x  1  sin x    1 sin x   6  2  5 x   k 2 6  b) Điều kiện x  0, x  1 . 0,25 Với điều kiện đó, pt đã cho tương đương với : 2 4   2 x  x  1   16 3  2 x  x  1  4  x2  2 x  x  1  4 x 1 Pt hoành độ giao điểm  x  m  x  1   x  m  x  1 (vì x  1 không x 1 là nghiệm của pt)  x 2   m  2  x  m  1  0 (1) 2 2 4 0,25 0,25 ET log 8  2 x   x  1  ATH S.N Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2    m 2  8  0  m   . x  x  m  2 Khi đó A  x1 ; x1  m  , B  x2 ; x2  m  .Theo hệ thức Viet ta có  1 2  x1 x2  m  1 2 2 0,50 2 AB  3 2  AB  18  2  x1  x2   18   x1  x2   9  2 2   x1  x2   4 x1 x2  9   m  2   4  m  1  9  m  1 5 4 a) P  4 4 4 4 0,50 4 sin a  cos a sin a  cos a sin a  cos a   . 2 2 2 2 2 2 sin a  cos a  sin a  cos a  sin a  cos a  sin 4 a  cos 4 a 4 0,25 4 1  cot a 1  2 17   4 4 1  cot a 1  2 15 b) Số phần tử của không gian mẫu n     C503  19600. Chia tử và mẫu cho sin 4 a , ta được P  0,25 0,25 6 2250 45  . 19600 392 S K VIE p TM Số kết quả thuận lợi cho biến cố “trong 3 người được lấy ra, mỗi người thuộc 1 loại” là C301 .C151 .C51  2250 . Xác suất cần tính là H A B I C 0,25 Trong mặt phẳng  SAC  , kẻ HI song song với SA thì HI   ABC  . Ta có CA  AB cos 30  a 3. Do đó 1 1 a2 3 . AB. AC.sin 30  .2a.a 3.sin 30  2 2 2 HI HC HC.SC AC 2 AC 2 3a 2 3 6 Ta có        HI  a . 2 2 2 2 2 2 SA SC SC SC SA  AC 4a  3a 7 7 2 3 a 3 1 1 a 3 6 Vậy VH . ABC  S ABC .HI  . . . a 3 3 2 7 7 1 (Cách khác: VH . ABC  VB. AHC  S AHC .BC ) 3 Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Ta có AH  SC , AH  CB (do CB   SAC  ), suy ra AH   SBC   AH  SB . 0,25 S ABC  0,25  SAB  ,  SBC  là ET Lại có: SB  AK , suy ra SB   AHK  . Vậy góc giữa giữa hai mặt phẳng . HKA 7 ATH S.N 1 1 1 1 1 7 a.2 3  2  2 2   AH  ; 2 2 2 AH SA AC 4a 3a 12 a 7 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2  AK  a 2 . 2 2 AK SA AB 4 a 4a 2a Tam giác HKA vuông tại H (vì AH   SBC  ,  SBC   HK ). a.2 3 7  6  cos HKA   AH   7 sin HKA 7 AK a 2 7 OA : 2 x  y  0 . 0,50 OA  BC  BC : 2 x  y  m  0  m  0  . Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 0,50 VIE TM x  y 1  0 x  1 m   B 1  m; m  2  .  2 x  y  m  0 y  m  2 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 3 x  y  2  0 x  m  2   C  m  2; 4  3m  .  2 x  y  m  0  y  4  3m 1 SOABC   OA  BC  .d  O, BC   2 m 1 2 2 2 1  22   2m  3    4m  6   . 6   22  12 2    2m  3  1 m  12 . Giải pt này bằng cách chia trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối ta được m  1  7; m  3 . Vậy B  7; 1  7  , C  1  7;1  3 7  hoặc B  2;1 , C 1; 5  8 0,50 Gọi vec tơ pháp tuyến của AB, AC , BC lần lượt là    n1 1; 2  , n2  2;1 , n3  a; b  .Pt BC có dạng a  x  1  b  y  2   0 , với a 2  b 2  0 . Tam giác ABC cân tại A nên     cos B  cos C  cos n1 , n3  cos n2 , n3   a  2b a 2  b2 5  2a  b a 2  b2    a  b  5 a  b  0,50 2 1 Với a  b . Chọn b  1  a  1  BC : x  y  1  0  B  0;1 , C   ;  , 3 3   không thỏa mãn M thuộc đoạn BC . Với a  b . Chọn a  b  1  BC : x  y  3  0  B  4; 1 , C  4; 7  , thỏa mãn M thuộc đoạn BC . Gọi trung diểm của BC là I  I  0;3 .       Ta có DB.DC   DI  IB  DI  IC   DI 2  BC 2 BC 2 .  4 4 Dấu bằng xảy ra khi D  I . Vậy D  0;3  Điều kiện x  3. Bất pt đã cho tương đương với x  x2  x3 x  2 2  x2  1  0  2 x 3 x2  x  2 4  2 x3 x  3  x2  1  0 x2  x  2 2  2 x3 x 3  1 x 2  x  6   x  3   x 2  3 2 x  x2  x3  x2  1  0 2 2 x 3       x2  x  6 2   x  1   1  0 2 2    x  3 x2  3  x  x  2         2    x  3 x  3     2  x  1  0  1  x  1 (Với x  3 thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương). Vậy tập nghiệm của bất pt là S   1;1 TM 2 2 Ta có  x  4   y  4   2 xy  32   x  y   8  x  y   0  0  x  y  8 3 2 A   x  y   3  x  y   6 xy  6   x  y    x  y   3  x  y   6. 2 3 Xét hàm số: f  t   t 3  t 2  3t  6 trên đoạn  0;8 . 2 1 5 1 5 Ta có f '  t   3t 2  3t  3, f '  t   0  t  hoặc t  (loại) 2 2  1  5  17  5 5 17  5 5 Ta có f  0   6, f  , f  8   398 . Suy ra A    4 4  2  3 Khi x  y  17  5 5 4 0,50 0,50 0,25 3 VIE 10 2 0,25 ET 2 ATH S.N 9 0,25 0,25 0,25 1 5 thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 0,25