Trường THPT Đội Cấn
ĐỀ KTCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 1
Năm học: 2015-2016
MÔN: TOÁN – LỚP 12
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y x3 3 x 2
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn
phương trình y " x0 12 .
Câu 3. a. Giải phương trình 5.25x 26.5 x 5 0
x 3x 2
x 1
1
2
ATH
S.N
b. Tính giới hạn L lim
x 1
ET
Câu 2. Giải phương trình lượng giác cos 2 x cos x
Câu 4. Một trường có 55 đoàn viên học sinh tham dự đại hội Đoàn trường, trong đó
khối 12 có 18 em, khối 11 có 20 em và 17 em khối 10. Đoàn trường muốn chọn 5 em để
bầu vào ban chấp hành nhiệm kì mới. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho 5 em được
chọn có cả 3 khối, đồng thời có ít nhất 2 em học sinh khối 12.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA a 3 và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết tam giác SAB cân và góc giữa SD với mặt đáy bằng 300.
TM
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
VIE
Câu 6. Cho hình chữ nhật ABCD có A(1;5), AB 2 BC và điểm C thuộc đường thẳng
d : x 3 y 7 0 . Gọi M là điểm nằm trên tia đối của tia CB, N là hình chiếu vuông góc
5 1
2 2
của B trên MD. Tìm tọa độ các điểm B và C biết N ( ; ) và điểm B có tung độ nguyên.
7 x 1 1 y x 1 1
Câu 7. Giải hệ phương trình
x 1 y 2 y x 1 13x 12
Câu 8. Cho các số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện xy yz zx xyz . Chứng minh
rằng
x yz y xz z xy xyz x y z
---------------------Hết---------------------
KỲ KTCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN I - NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Đáp án gồm: 04 trang.
———————
I. Hướng dẫn chung
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần
như hướng dẫn quy định.
II. Đáp án – thang điểm
Câu
ET
ATH
S.N
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tập xác định: D
Sự biến thiên:
Thang
điểm
0,25
x 1
x 1
+ Chiều biến thiên: y ' 3 x 2 3 , y ' 0
Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 , nghịch biến trên mỗi khoảng
; 1 và 1;
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 1, y 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1, yCT 0
+ Giới hạn: lim y , lim y
CĐ
x
x
+Bảng biến thiên:
x
y’
+
0
y
0
4
0
Đồ thị:
0,25
1
TM
1
VIE
Câu 1
Nội dung trình bày
+
0,25
0,25
y
4
2
1
-2
-1
0
1
2
x
-1
b. Có y ' 3 x 2 3 y '' 6 x
0,25
Theo giả thiết y " x0 12 6 x0 12 x0 2
0,25
Có y 2 4, y ' 2 9
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 9 x 14
0,25
0,25
0,25
Phương trình 1 2sin 2 x sin x 1
Câu 2
sin x 0
1
sin x
2
sin x 0 x k
0,25
x k 2
1
6
sin x
2
x 7 k 2
6
0,25
k
x
x
a. Phương trình 5 5 5.5 1 0
ATH
S.N
Câu 3
k
ET
0,25
5 x 5
x 1 x 1
5
5
Phương trình có nghiệm x 1.
b. Có L lim
x 1
= lim
x 1
x2
1
2
3x 2 x
TM
Chọn 5 em học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán xảy ra 3 trường hợp:
+ Trường hợp 1: Khối 12 có 2 em, khối 11 có 2 em, khối 10 có 1 em:
2
2
1
Có C18 .C20 .C17 494190 cách chọn
+ Trường hợp 2: Khối 12 có 2 em, khối 11 có 1 em, khối 10 có 2 em
2
1
2
Có C18 .C20 .C17 416160 cách chọn
+Trường hợp 3: Khối 12 có 3 em, khối 11 có 1 em, khối 10 có 1 em
1
1
3
Có C18 .C20 .C17 277440 cách chọn
Vậy có 494190 + 416160 + 277440 = 1187790 cách chọn.
VIE
Câu 4
x 3x 2
x 1 x 2
lim
x 1
x 1
x 1 x 3x 2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
S
a. Do SA ABCD và
SAB cân nên
H
AB SA a 3
E
D
A
0,25
O
B
C
F
Trong tam giác SAD có tan 300
0,25
ET
300
Góc giữa SD với mặt đáy là góc SDA
SA
SA
AD
3a
AD
tan 300
S ABCD AB. AD 3a.a 3 3 3a 2
0,25
ATH
S.N
1
1
VS . ABCD .SA.S ABCD .a 3.3 3a 2 3a3
3
3
0,25
b. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AD tại E.
Do BD//CE BD//(SCE)
1
d BD , SC d BD, SCE d O , SCE d A, SCE
2
0,25
Kẻ AF CE , F CE CE SAF
Kẻ AH SF , H SF AH CE AH SCE
TM
d A, SCE AH
0,25
Có AE 2 AD 6a, CE BD 2 3a
1
1
AE.CD 6a.a 3
AE.CD AF.CE AF=
3a
2
2
CE
2a 3
1
1
3a
1
2 AH
Trong tam giác SAF có:
2
2
AH
2
AF
SA
VIE
S ACE
Vậy d BD , SC
0,25
1
1
3a
d A, SCE AH
2
4
2
Gọi I AC BD
Do BN DM IN IB ID
Câu 6
0,25
IN IA IC
ANC vuông tại N
A
B
I
D
C
0,25
N
M
5 1
7 9
Đường thẳng CN qua N ; và nhận NA ; là pháp tuyến nên có
2 2
2 2
0,25
phương trình: 7 x 9 y 13 0 . Do C CN d C 2; 3
Gọi B a; b . Do AB 2 BC và AB BC nên ta có hệ phương trình:
a 1 a 2 b 5 b 3 0
2
2
2
2
a 1 b 5 4 a 2 b 3
a 5, b 1
Giải hệ trên suy ra
a 7 , b 9 (ktm)
5
5
Vậy B 5; 1 , C 2; 3.
Câu 7
1
x 1 1
x 1 y 2 y x 1 13x 12
Điều kiện: x 1, x, y
2
của phương trình)
Thay
x 1
y 1
(Do y 7 không là nghiệm
7 y
ATH
S.N
PT 1 7 y x 1 y 1 x 1
0,25
ET
7 x 1 1 y
Giải hệ:
0,25
y 1
vào (2) ta được phương trình:
7 y
2
2
y 1
y 1
y 1
13.
y .
y.
1
7 y
7 y
7 y
2
2
2
y 2 y 1 y y 1 7 y 13 y 1 7 y
2
y 4 y 3 5 y 2 33 y 36 0
VIE
TM
y 1
y 1 y 3 y 2 5 y 12 0
y 3
8
Với y 1 x
9
Với y 3 x 0
8
Hệ phương trình có 2 nghiệm x; y là ;1 , 0;3 .
9
Câu 8
0,25
1
x
1
y
Đặt a , b , c
0,25
0,25
0,25
1
a, b, c 0 và a b c 1
z
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
0,25
a bc b ac c ab ab bc ac 1
Thật vậy,
a bc a a b c bc a 2 a b c bc a 2 2 a bc bc
a bc
Tương tự,
a
bc
0,25
2
a bc
b ac b ac ,
c ab c ab
0,25
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
a bc b ac c ab ab bc ac a b c
VIE
TM
ATH
S.N
ET
a bc b ac c ab ab bc ac 1 đpcm
1
Dấu đẳng thức xảy ra a b c x y z 3
3
------------------Hết--------------------
0,25
- Xem thêm -