Tài liệu Dãy số và vài phương pháp giải toán về dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Đặng Thị Thảo DÃY SỐ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2011 MỤC LỤC Mở đầu 3 1 Dãy số 5 1.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số 18 2.1 Một số phương pháp giải bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số 18 2.1.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Phép thế lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3 Phương pháp sử dụng phương trình sai phân, tính chất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Một số phương pháp giải bài toán tìm giới hạn của dãy số . . . . 38 2.2.1 Giới hạn của dãy số lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 Giới hạn của dãy trung bình Cesaro . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.3 Giới hạn của dãy phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số trong số học . . . . . 48 2.3.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.2 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.3 Dãy số sinh bởi phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4 Một số phương pháp ước lượng tổng và tích của một số dãy số . . 55 2.4.1 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.2 Phương pháp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.3 Sử dụng số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1 3 Một số phương pháp thiết lập bài toán mới về dãy số 3.1 Xây dựng dãy số hội tụ sinh bởi các đại lượng trung bình 3.1.1 Trường hợp cùng chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Trường hợp lệch chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Phối hợp ba dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 64 64 67 76 79 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 87 2 MỞ ĐẦU Đề tài về dãy số thuộc một lĩnh vực rất khó và rộng (xem [1] - [8]), sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học. Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập đến một số vấn đề cơ bản của dãy số liên quan đến chương trình toán bậc phổ thông. Nội dung chủ yếu của đề tài "Dãy số và một số phương pháp giải toán về dãy số" là hệ thống một số phương pháp giải toán về dãy số và một số cách xây dựng bài toán mới về dãy số. Đó là một số phương pháp giải bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy số, bài toán tìm giới hạn của dãy số, bài toán về dãy số trong số học và bài toán ước lượng tổng và tích của dãy số. Và một số cách thiết lập bài toán mới về dãy số như thiết lập dãy số từ các đại lượng trung bình, dãy số là nghiệm của họ phương trình. Để giải quyết được những bài toán này, ta cần những kiến thức tổng hợp về tính chất dãy số, giới hạn của dãy số,...Mục tiêu của luận văn là hệ thống phương pháp và xây dựng bài toán minh họa, tổng quát về các vấn đề đã nêu ở trên. Nội dung của luận văn gồm phần Mở đầu, Kết luận và được phân thành ba chương, đề cập đến các vấn đề sau. • Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của dãy số gồm một số định nghĩa, định lý, một vài dãy số đặc biệt và một số bài toán áp dụng. • Chương 2 hệ thống một số phương pháp giải toán về dãy số. Với bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số hệ thống các phương pháp như quy nạp, phép thế lượng giác, sử dụng phương trình sai phân, tính chất của hàm số, kỹ thuật tuyến tính hóa. Với bài toán tìm giới hạn của dãy số, xét các dạng bài toán dãy số dạng lặp, dãy trung bình Cesaro, dãy phân tuyến tính. Với bài toán về dãy số trong số học có các phương pháp như quy nạp, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh bởi phần nguyên. Với bài toán ước lượng tổng và tích của dãy số, hệ thống các phương pháp như sai phân, đại số, sử dụng số phức. 3 • Chương 3 trình bày một số cách thiết lập bài toán mới về dãy số như thiết lập dãy số từ các đại lượng trung bình (trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa), dãy số là nghiệm của họ phương trình. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho học trò trong quá trình học tập, nghiên cứu và giúp tác giả hoàn thành được luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học và seminar Phương pháp Toán sơ cấp của trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét, góp ý cho bản luận văn này. Xin bày tỏ tình cảm chân thành tới gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sơ suất vì vậy tác giả rất mong được các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý để bản luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Học viên Đặng Thị Thảo 4 CHƯƠNG 1 DÃY SỐ Chương này giới thiệu những khái niệm cơ bản về dãy số, đó là các định nghĩa, định lý và một số dãy số đặc biệt. Những kiến thức này em xem và trình bày lại trong [1], [2]. 1.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản Định nghĩa 1.1. Dãy số là một hàm số từ N∗ (hoặc N) vào một tập hợp số (N, Q, R, C) hay một tập con nào đó của các tập hợp trên. Các số hạng của dãy số thường được kí hiệu là un , vn , xn , yn thay vì u(n), v(n), x(n), y(n). Bản thân dãy số được kí hiệu là {xn }. Nhận xét 1.1. Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó cũng có các tính chất của một hàm số. Định nghĩa 1.2. Dãy số {un } được gọi là dãy số tăng (giảm) nếu với mọi n ta có un+1 ≥ un (un+1 ≤ un ). Dãy số tăng hoặc giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. Dãy số {un } được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi n ∈ N ta có un ≤ M . Dãy số {un } được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho với mọi n ∈ N ta có un ≥ m. Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn. Định nghĩa 1.3. Dãy {un } được gọi là một dãy tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho un+l = un , ∀n ∈ N. 5 (1.1) Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {un } thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy. Dãy {un } được gọi là một dãy phản tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho un+l = −un , ∀n ∈ N. (1.2) Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {un } thỏa mãn (1.2) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy. Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng dãy số {un } tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng 1 un = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ], a, b ∈ R. 2 Giải. Giả sử u0 = b, u1 = a. Theo giả thiết, dãy số {un } tuần hoàn chu kỳ 2 nên ta có un+2 = un , ∀n ∈ N. - Nếu n = 2k + 1 thì un = u2k+1 = a = 21 [a + b + (a − b)(−1)2k+2 ]. - Nếu n = 2k thì un = u2k = b = 12 [a + b + (a − b)(−1)2k+1 ]. Vậy 1 un = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ], n ∈ N. 2 Ngược lại, nếu un có dạng 1 un = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ], a, b ∈ R, n ∈ N 2 thì với mọi n ∈ N ta có 1 1 un+2 = [a + b + (a − b)(−1)n+3 ] = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ] = un . 2 2 Suy ra un là dãy tuần hoàn chu kỳ 2. Ví dụ 1.2. Chứng minh rằng mọi dãy số {un } phản tuần hoàn cộng tính chu kỳ r đều có dạng 1 un = (vn − vn+r ) với vn+2r = vn . (1.3) 2 Giải. Ta có un+r = −un với ∀n ∈ N và vn là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2r. Chọn un = vn , ta có 1 1 1 (vn − vn+r ) = (un − un+r ) = (un + un ) = un . 2 2 2 6 Ngược lại , ta thấy mọi dãy xác định theo (1.3) đều là dãy phản tuần hoàn chu kỳ r. Thật vậy 1 1 un+r = (vn+r − vn+2r ) = (vn+r − vn ) = −un . 2 2 Ta có điều phải chứng minh. Nhận xét 1.2. Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi đó là dãy hằng. Định nghĩa 1.4. Dãy {un } được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho usn = un , ∀n ∈ N. (1.4) Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy {un } thỏa mãn (1.4) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy. Dãy {un } được gọi là một dãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho usn = −un , ∀n ∈ N. (1.5) Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy {un } thỏa mãn (1.5) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy. Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng dãy {un } tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng  αn tùy ý với n lẻ, un = u2k+1 với n = 2m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N. Giải. Nhận thấy với mọi n ∈ N đều có thể viết dưới dạng n = 2s (2k + 1), với mọi s ∈ N. Do đó un = u2s (2k+1) = u2k+1 . Vì vậy  un = αn tùy ý với n lẻ, u2k+1 với n = 2m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N. Ngược lại, dễ thấy {un } xác định như trên là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2. Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng dãy {un } phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng   αn tùy ý với n lẻ, un = −u2k+1 với n = 22m+1 (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N,  u2k+1 với n = 22m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N. 7 Giải. Nhận thấy với mọi n ∈ N đều có thể viết dưới dạng n = 2s (2k + 1), với mọi s ∈ N. Do đó  u2k+1 nếu s = 2m, m ∈ N∗ , un = u2s (2k+1) = −u2k+1 nếu s = 2m + 1, m ∈ N∗ . Vì vậy   αn tùy ý với n lẻ, un = −u2k+1 với n = 22m+1 (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N,  u2k+1 với n = 22m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N. Ngược lại, dễ thấy {un } xác định như trên là dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2. Nhận xét 1.3. i) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l là dãy tuần hoàn chu kỳ 2l. ii) Dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ s2 . Định nghĩa 1.5. Ta nói dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến vô cùng nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và ε) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn − a| < ε. lim xn = a ⇔ ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn − a| < ε. n→+∞ Ta nói dãy số {xn } dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thực dương M lớn tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và M ) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn | > M . lim xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn | > M. n→+∞ Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ. Định lý 1.1 (Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ). Nếu {xn }, {yn } là các dãy hộintụ và n − yn }, {xn yn } o có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy số {xn + yn }, {x xn a và cũng hội tụ và có giới hạn tương ứng a + b, a − b, a.b, · (Trong trường yn b hợp dãy số thương, ta giả sử yn và b khác không) Định lý 1.2 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức). Cho dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn l, nếu ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a ≤ xn ≤ b thì a ≤ l ≤ b . 8 Định lý 1.3 (Định lý kẹp). Cho ba dãy số {xn }, {yn }, {zn } trong đó xn và zn có cùng giới hạn hữu hạn a và N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn . Khi đó yn cũng có giới hạn là a. Định lý 1.4 (Sự hội tụ của dãy đơn điệu). Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Nói ngắn gọn hơn, một dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. Định lý 1.5 (Về dãy các đoạn thẳng lồng nhau). Cho hai dãy số thực {an }, {bn } sao cho a) ∀n ∈ N, an ≤ bn ; b) ∀n ∈ N, [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ]; c) bn − an → 0 khi n → ∞. Khi đó tồn tại duy nhất số thực a sao cho ∩[an , bn ] = {a}. Định lý 1.6 (Bolzano-Weierstrass). Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích ra một dãy con hội tụ. Định nghĩa 1.6. Dãy xn được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀m, n > N0 , |xm − xn | < ε. Định nghĩa 1.7 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. 1.2 Một vài dãy số đặc biệt Cấp số cộng Định nghĩa 1.8. Dãy số {un } hoặc (un ) (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện u1 − u0 = u2 − u1 = . . . = un+1 − un = . . . được gọi là một cấp số cộng. Khi dãy số {un } lập thành một cấp số cộng thì hiệu d = u1 − u0 được gọi là công 9 sai của cấp số đã cho. Với d > 0 ta có cấp số cộng tiến và d < 0 ta có cấp số cộng lùi. Ví dụ 1.5. Dãy các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, . . . , 2n − 1, . . . là một cấp số cộng với công sai d = 2. Ví dụ 1.6. Dãy −3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4. Tính chất 1.1. Nếu {un } là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là uk = uk−1 + uk+1 · 2 Tính chất 1.2 (Số hạng tổng quát của một cấp số cộng). Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được tính theo công thức sau un = u1 + (n − 1)d. Tính chất 1.3 (Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng). Giả sử {un } là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của nó (Sn = u1 + u2 + . . . + un ). Khi đó, ta có Sn = (u1 + un )n · 2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.9. Dãy số {un }(hữu hạn hoặc vô hạn) có {un } = 6 0, ∀n ∈ N thỏa mãn điều kiện u1 u2 un+1 = = ... = = ... u0 u1 un được gọi là một cấp số nhân. u Khi dãy số {un } lập thành một cấp số nhân thì thương q = 1 được gọi là công u0 bội của cấp số đã cho. Ví dụ 1.7. Dãy số {un } với un = 2n là một cấp số nhân với số hạng đầu với u1 = 2 và công bội q = 2. 10 Ví dụ 1.8. Dãy −2, 6, −18, 54, −162 là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = −2 và công bội q = −3. Tính chất 1.4. Nếu {un } là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là u2k = uk−1 uk+1 . Tính chất 1.5 (Số hạng tổng quát của một cấp số nhân). Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu là u1 và công bội q 6= 0 thì số hạng tổng quát un của nó được tính theo công thức sau un = u1 q n−1 . Tính chất 1.6 (Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân). Giả sử {un } là một cấp số nhân với công bội q 6= 1 thì Sn được tính theo công thức Sn = u1 (1 − q n ) · 1−q Nhận xét 1.4. Theo định nghĩa ta có: i) Nếu {un } là một cấp số cộng và a > 0 thì dãy {vn } với vn = aun , ∀n ∈ N lập thành một cấp số nhân. ii) Nếu {un } là một cấp số nhân với số hạng dương và 0 < a 6= 1 thì dãy {vn } với vn = loga un , ∀n ∈ N lập thành một cấp số cộng. Nhận xét 1.5. Nếu |q| < 1 thì {un } được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức S= u1 · 1−q Chú ý 1.1. Đối với các dãy số {un } xác định theo công thức truy hồi un+1 = aun + b, a, b ∈ R, 11 có thể xem như một cấp số suy rộng (khi a = 1 ta thu được một cấp số cộng, khi b = 0 ta thu được một cấp số nhân). Cấp số điều hòa Định nghĩa 1.10. Dãy số un thỏa mãn điều kiện un = 2un−1 un+1 un−1 + un+1 được gọi là cấp số điều hòa. Ví dụ 1.9. Chứng minh rằng dãy số {un }(un 6= 0, ∀n ∈ N) lập thành một cấp số điều hòa khi và chỉ khi un+1 = 1 2 1 − un un−1 , ∀n ∈ N∗ . (1.6) Giải. Ta có (1.6) ⇔ 1 un+1 = 2 1 2 1 1 2un−1 un+1 − ⇔ = + ⇔ un = , un un−1 un un+1 un−1 un−1 + un+1 tức {un } là một cấp số điều hòa. Dãy Fibonacci Dãy số Fibonacci rất đặc biệt này được một người Ý tên là Leonardo Fibonacci công bố năm 1202 và được biến hóa hầu như vô tận. Chính điều đó, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm cũng như làm chúng ta say mê nghiên cứu, khám phá các tính chất của nó. Vậy dãy số Fibonacci là dãy số như thế nào? Ban đầu, ông Fibonacci xét bài toán sau: Giả sử có một cặp thỏ mắn đẻ cứ cuối mỗi tháng lại sinh ra một cặp mới. Nếu mỗi cặp mới đó cũng lại đẻ sau một tháng và nếu không có con nào bị chết cả thì sau một năm có bao nhiêu cặp thỏ? Và đó là tiền thân của dãy số được xác định bằng cách liệt kê các phần tử như sau: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 . . . Trong đó các phần tử nằm trong dãy số này luôn luôn bằng tổng của 2 số liền trước nó. Nếu lấy tổng hay hiệu của các số liên tiếp chúng ta sẽ được một dãy số tương tự. 12 Định nghĩa 1.11. Dãy số Fibonacci là dãy số được định nghĩa bởi f0 = 0, f1 = 1, ∀n ∈ N, fn+2 = fn+1 + fn . Dãy số Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiên trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chúng ta có công thức sau để tìm số hạng tổng quát của dãy số Fibonacci: Công thức Binet.  fn = √ n 1+ 5 2  − √ 5 √ n 1− 5 2 · Nói chung, các dãy số xác định bởi công thức truy hồi fn+2 = fn+1 + fn (với f0 , f1 bất kỳ) được gọi là dãy Fibonacci mở rộng. Dãy Farey Định nghĩa 1.12. Dãy Farey Fn với mỗi số nguyên dương n là tập hợp các a phân số tối giản dạng với 0 ≤ a ≤ b ≤ n và (a, b) = 1 sắp xếp theo thứ tự tăng b dần. Ví dụ 1.10. F5 = n0 1 1 1 2 1 3 2 3 4 1o , , , , , , , , , , . 1 5 4 3 5 2 5 3 4 5 1 1 p p0 p00 Ngoại trừ F1 , Fn có số lẻ các phần tử và luôn nằm ở giữa. Gọi , 0 và 00 2 q q q là các số hạng liên tiếp trong dãy Farey thì pq 0 − qp0 = −1 và p0 p + p00 = · q0 q + q 00 Số các số hạng N (n) trong dãy Farey được tính theo công thức N (n) = 1 + n X ϕ(k) = 1 + φ(n). k=1 1.3 Một số bài toán áp dụng Bài toán 1.1. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số {an } lập thành một cấp số cộng là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức 2am+n = a2m + a2n , ∀m, n ∈ N. 13 (1.7) Giải. Điều kiện cần. Giả sử dãy {an } là một cấp số cộng với công sai d. Khi đó an = a0 + (n − 1)d, ∀n ∈ N∗ . Vậy nên 2am+n = 2[a0 + 2(m + n − 1)d] và a2m + a2n = a0 + (2m − 1)d + a0 + (2n − 1)d = 2[a0 + 2(m + n − 1)d]. Do đó, ta có điều cần chứng minh. Điều kiện đủ. Giả sử dãy {an } thỏa mãn điều kiện (1.7). Ta chứng minh dãy {an } là một cấp số cộng với công sai d = a1 − a0 . Thay m = 0 vào (1.7) ta được 2an = a0 + a2n . Suy ra a2n = 2an − a0 . (1.8) a2m = 2am − a0 . (1.9) Tương tự cho n = 0 ta được Thay (1.8) và (1.9) vào (1.7) ta thu được 2am+n = 2am + 2an − 2a0 hay am+n = am + an − a0 . (1.10) Thay m = 1 và (1.10), ta có an+1 = an + a1 − a0 . Vậy {an } là một cấp số cộng. Bài toán 1.2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy các số dương {an } lập thành một cấp số nhân là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức a2m+n = a2m a2n , ∀m, n ∈ N. 14 (1.11) Giải. Đặt ln an = bn , ∀n ∈ N, khi đó an = ebn và (1.11) có dạng e2bm+n = eb2m +b2n , ∀m, n ∈ N hay 2bm+n = b2m + b2n , ∀m, n ∈ N. (1.12) Theo bài toán 1.1 thì (1.12) chính là điều kiện cần và đủ để dãy {bn } lập thành cấp số cộng với công sai d = b1 − b0 . Theo nhận xét 1.4 ta có điều phải chứng minh. Bài toán 1.3. Cho dãy số {un } là một cấp số suy rộng thỏa mãn điều kiện un+1 = aun + b, a, b ∈ R. Tính tổng Sn = u1 + u2 + . . . + un . Giải. Ta có u2 + u3 + . . . + un+1 = a(u1 + u2 + . . . + un ) + nb và Sn+1 = u1 + u2 + . . . + un + un+1 = u1 + a(u1 + u2 + . . . + un ) + nb. Mặt khác un+1 − nb − u1 = (u1 + u2 + . . . + un )(a − 1). Vậy nên, nếu a 6= 1 thì Sn = un+1 − nb − u1 · a−1 Theo quy nạp, ta có an u1 + Sn = an − 1 b − nb − u1 a−1 · a−1 Nếu a = 1 thì un là một cấp số cộng với công sai b. Do đó Sn = (u1 + un )n [2u1 + (n − 1)b]n = · 2 2 15 Bài toán 1.4 (VMO, 1994, Bảng B). Cho dãy số Fibonacci {un }, (n = 1, 2, . . .) được xác định bởi u1 = u2 = 1, un+2 = un+1 + un với mọi n = 1, 2, , . . .. Hãy tìm số nguyên dương m sao cho um 2k + um 2k+1 m−1 X = s−1 s.us−1 2k .u2k+1 s=1 với mọi k = 1, 2, 3, . . .. Giải. +) Từ giả thiết thì số m cần tìm phải thỏa mãn với k = 1, lúc đó um 2 + um 3 = m−1 X s−1 s.us−1 2 .u3 s=1 hay m 1+2 = m−1 X s.2s−1 . (1.13) s=1 Đặt tổng ở vế phải của (1.13) là S thì ta có 2S = m−1 P s.2s . s=1 Từ đó ta có S = 2S − S = m−1 X s s.2 − m−1 X s.2s−1 s=1 s=1 = (m − 1).2m−1 − m−1 X 2s−1 (s − (s − 1)) s=1 = (m − 1).2m−1 − (2m−1 − 1) = (m − 2).2m−1 + 1. Từ (1.13) và (1.14) ta có 1 + 2m = (m − 2).2m−1 + 1 ⇒ m = 4. +) Với m = 4 sử dụng hệ thức đã biết của dãy Fibonacci u22k+1 − u22k = u2k .u2k+1 + 1, ∀k = 1, 2, 3, . . . . Ta có u42k+1 + u42k − 2u22k+1 .u22k = u22k .u22k+1 + 2u2k .u2k+1 + 1 16 (1.14) hay u42k+1 + u42k = 1 + 2u2k .u2k+1 + 3u22k .u22k+1 , ∀k = 1, 2, 3, . . . . Vậy m = 4 là số duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài. Bài toán 1.5 (THTT/ T12/ 410). Với số nguyên dương n lớn hơn 2, tìm số các hàm số f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, 3, 4, 5} thoả mãn tính chất |f (k + 1) − f (k)| ≥ 3 với k ∈ {1, 2, . . . , n}. Giải. Ta sử dụng nhận xét sau đây: Nếu hàm số f thoả mãn điều kiện bài ra thì với mọi n > 2 cho trước ta luôn có f (n) 6= 3. Thật vậy, nếu f (n) = 3 thì suy ra f (n − 1) ≤ 0 hoặc f (n − 1) ≥ 6, điều này là vô lí. Ký hiệu an , bn , dn , en là số các hàm f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, 3, 4, 5} thoả mãn tính chất đã cho ứng với f (n) tương ứng lần lượt bằng 1,2,4,5. Khi đó thì a2 = e2 và b1 = d2 = 1, nên an+1 = en + dn , bn+1 = en , en+1 = an + bn , dn+1 = an . Tiếp theo, ta cần tính tổng S = an + bn + dn + en . Ta có a2 = e2 và b2 = d2 . Bằng phương pháp quy nạp, ta có an = en và bn = dn . Do vậy, an+2 = en+1 + dn+1 = an+1 + bn+1 = an+1 = an . Do vậy, {an } chính là dãy Fibonaci {Fn } với cách chọn F0 = 0, F1 = 1. Tiếp theo, ta thấy a2 = 2 = F2 và a3 = e2 + d2 = 3 = F3 . Do đó, an = Fn với n ≥ 2. Suy ra S = 2(an + bn ) = 2en+1 = 2Fn+1 với n ≥ 2. 17 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Các bài toán về dãy số có nội dung khá đa dạng. Ở đây ta quan tâm đến mấy dạng chính sau: 1) Các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số(bản chất đại số). 2) Các bài toán tìm giới hạn của dãy số(bản chất giải tích). 3) Các bài toán về dãy số trong số học. 4) Các bài toán ước lượng dãy số. Các phương pháp cơ bản để giải các bài toán dãy số trên khá đa dạng. Chúng ta đi xét cụ thể một số phương pháp đó. 2.1 2.1.1 Một số phương pháp giải bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số Phương pháp quy nạp Nguyên lý quy nạp Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau: a) Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ nhất mà S(n) xác định). b) Từ tính đúng đắn của S(n) đối với n = t (hoặc đối với mọi giá trị của n, k0 ≤ n ≤ t) suy ra tính đúng đắn của S(n) đối với n = t + 1, thì S(n) đúng với mọi n ≥ k0 . Giả sử khẳng định T (n) xác định với mọi n ≥ t0 . Để chứng minh T (n) đúng với mọi n(n ≥ t0 ) bằng quy nạp, ta cần thực hiện hai bước. 18 a. Cơ sở quy nạp. Thực hiện bước này tức là ta thử xem sự đúng đắn của T (n) với n = t0 , nghĩa là xét T (t0 ) có đúng hay không? b. Quy nạp. Giả sử khẳng định T (n) đã đúng với n = t, (t ≥ t0 ) (hoặc đối với mọi n, (t0 ≤ n ≤ t)). Trên cơ sở giả thiết này mà suy ra tính đúng đắn của T (n) đối với n = t + 1, tức T (t + 1) đúng. Nếu cả hai bước trên đều thỏa mãn, thì theo nguyên lý quy nạp, T (n) đúng với mọi n ≥ t0 . Ta xét một số bài toán mà sử dụng phương pháp quy nạp để tìm số hạng tổng quát của dãy số. Bài toán 2.1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un } cho bởi hệ thức sau 1 1 u1 = , un+1 = , ∀n ≥ 1. 2 2 − un Giải. Nhận thấy một số số hạng đầu tiên là 1 2 3 u1 = , u2 = , u3 = · 2 3 4 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh dãy số đã cho có số hạng tổng quát un = n , ∀n ≥ 1. n+1 Thật vậy, theo trên thì (2.1) đã đúng tới n = 3. Giả sử (2.1) đúng tới n, khi đó un+1 = n+1 1 1 = = · n 2 − un n+2 2− n+1 Vậy (2.1) đúng với n + 1 nên (2.1) đúng với mọi n ∈ N∗ . Bài toán 2.2. Cho dãy {un } xác định bởi công thức u1 = 5, u2 = 19, un = 5un−1 − 6un−2 , n ∈ N∗ , n ≥ 3. Tìm số hạng tổng quát un . 19 (2.1)