un 1 un � un
DÃY SỐ DẠNG
Kiều Đình Minh
(Giáo viên THPT Chuyên Hùng
Vương, Phú Thọ)
Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng
un 1 f un .
Tuy nhiên với dãy số dạng này vấn
đề hội tụ của dãy thường không được đặt ra vì quá đơn giản (giới hạn chỉ có thể là
�).
0
hoặc
Trong bài viết này chúng ta chủ yếu xây dựng những đánh giá cho dãy hoặc tìm bậc
tiệm cận của dãy, cụ thể là tìm sao cho
, tức là
un O n
un
n
bị chặn. Chúng ta cũng khảo
1
sát dãy đã cho với các trường hợp cụ thể hay gặp của như 2; 3; 1; 2;
2
và một vài trường hợp lớn hơn, riêng trường hợp 1 là quá đơn giản nên chúng ta
không xem xét đến.
1
Trường hợp này chúng ta hay gặp nhất trong giải toán. Vì vậy chúng tôi đưa lên khảo sát
trước tiên.
Bài toán 1 Cho dãy số un : u1 a
(a 0); un 1 un
1
n 1, 2,...
un
a 2 2 n 1 �un � a 2 2 n 1
Chứng minh rằng
n 1
2 a2 1
n 1, 2,...
Lời giải Trước hết ta có một số nhận xét về dãy này
●
un 0 n
● un là dãy tăng thực sự và
un �u1 n
1
2
Ta có
u
2
k 1
n 1
n 1
n 1
�
�2 1
�
1�
1
1
�
uk � uk2 2 2 � �uk21 ��
uk 2 2 �� un2 u12 2 n 1 � 2
uk
uk
k 1
k 1 �
k 1 uk
� uk �
�
2
un2 �u
2 �
n
1 ��
n 2
un
1
2 n 1
a2
n 2
2 n 1
a2
un
, suy ra
n 1
Mặt khác lại có
uk2
u12 2 �
k 1
1
uk2
1
u 2 k 1
2
1
1
uk4
1
u
2
1
1
2 k 1
2
u
2
1
2 k 1
2
1
� n 1 1 1 n 1 � 1
� 1� 1
�
1� 1
1
1
1
1
�2
2
2
2
k �1
�� � 4 �� 2
� � 2
�
2 �u1 2 k 3 u1 2k 1 � k 1 u k 2 k 1 �u1 2k 1 u1 2k 1 � 2 �u1 1 u1 2n 1 � 2 u12 1
n 1
n 1 n 1 n �2
1
1
�
n
1
�4 �
�
2
2 u12 1
2 a2 1
k 1 uk
k 1 uk
n 1
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta có
Do đó
un2 u12 2 n 1
Tóm lại:
n 1
n 1
� un a 2 2 n 1
n �2
2
2 a 1
2 a2 1
a 2 2 n 1 �un � a 2 2 n 1
Bài toán 2 Cho dãy số un : u1 5;
n 1
2 a2 1
un 1 un
n 1, 2,... ■
1
n 1, 2,... .
un
Tìm phần nguyên u1001 .
Lời giải Áp dụng kết quả của bài toán 1 ta có
2025 u1001 2025
Bài toán 3 Cho dãy số un : u1 1;
1000
� 45 u1001 45,5 � u1001 45
48
un 1 un
1
n 1, 2,... .
un
Tìm giới hạn
.
�u �
lim � n �.
n ��
�n�
Lời giải Áp dụng kết quả của bài toán 1 ta có
2 n 1 un
� �
n
n
2n 1
n 1
4
n
Chuyển qua giới hạn khi
� 2
1 un
1 1 1 1
� � 2
n
n 2 n n2
n
n � � và
theo nguyên lý kẹp suy ra
�u �
lim � n � 2 .
�n�
n ��
Nhận xét: Với bài toán này ta có thể làm cách khác như sau
2
Dễ thấy
lim un �,
n � �
suy ra
u u
lim
lim
n �� 2 n 1 2 n
n ��
2
n 1
2
n
1
un2
1.
2
2
Theo định lý Stolz thì
un2
lim
1 .■
n � � 2 n
2
Đây cũng là trường hợp mà chúng ta hay gặp. Chúng ta cùng xem xét các bài toán sau
Bài toán 4 Cho dãy số un : u1 a (a 0);
3
un 1 un
1
n 1, 2,... .
un2
Chứng minh rằng
n
1 � 1
1 1 n 1
�
a 3 3 n 1 �un 3 a 3 3 �
n 1 3 � 6 � � 2 n �1
a �a
9 k 1 k
�
k 1 k
Lời giải Ta cũng có nhận xét như trên
●
un 0 n
● un tăng thực sự và
un �u1 n .
Ta có
uk31 uk3 3
�n
2 �un
n 1
n 1
3 1
3
3
3
k
�
1
�
u
u
3
�
u
uk3 3 � un3 u13 3 n 1 � un 3 a3 3 n 1
�
�
k 1
k
k 1
3
6
uk u k
k 1
k 1
3
a 3 3 n 1
n 1
Lại có
uk31 uk3 3
3
1
3
u1 3 k 1
u13 3 k 1
2
uk3 3
n 1
n 1 �
�
1
1
1
1
3
3
�
�
�
u
u
3
�
�
k 1
�k
k 1 9 k 1 2
k 1 9 k 1 2 �
k 2
k 2
�
�
n 1
1
1 n 1 1
3 1 n 2 1 1 n 2 1
3
� un3 u23 3 n 2 �
�
u
3
n
1
3 6 � � 2 n �3
1
9 k 2 k 1 2
u1 u1 k 1 k 9 k 1 k
k 2 k 1
Suy ra
n
1 � 1
1 1 n 1
�
un3 a3 3 �
n 1 3 � 6 � � 2 n �1
a �a
9 k 1 k
�
k 1 k
Tóm lại ta có:
3
n
1 � 1
1 1 n 1
�
a 3 3 n 1 �un 3 a 3 3 �
n 1 3 � 6 � � 2 n �1 .■
a �a
9 k 1 k
�
k 1 k
Chúng ta để kết quả đánh giá vế phải của bất đẳng thức trên như vậy để tuỳ thuộc vào hoàn
cảnh cụ thể mà sử dụng ngắt đánh giá cho hợp lý.
Bài toán 5 Cho dãy số un : u1 a (a 0);
a) Chứng minh rằng tồn tại
p, q 0
un 1 un
sao cho
1
n 1, 2,... .
un2
�u p
lim � n
n �� n
�
�
� q .
�
Hãy tìm giới hạn đó.
3
n
b) Chứng minh rằng tồn tại
r 0
1
�u
sao cho
k 1
4
k
r n �1 .
Lời giải a) Áp dụng kết quả bài toán 4 ta có
a 3 3 n 1
n
Vì
3
3
un3 a 3 n 1
3
1
1 n 1 1 n 1 a 3 n 1
3
1
2n 2
�
3 6 � �2
3 6
n
n
na na n k 1 k 9n k 1 k
n
na na
n
9n
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
2
2
�
n
2n .
�
�
�
�
2
2
n
k 1 k
k 2 k 1 k
k 1 k
k 1 k
theo nguyên lý kẹp ta có
b) Ta có
Chọn
�un3 �
lim � � 3 .
n � � n
� �
Vậy
Chuyển qua giới hạn khi
n � �
và
p q 3.
n 1
n 1
n
�1
u u
1
1
1
1
1
1 � 1 1
1
2 2
k 1 k 3
4 � � 4 ��
�
n �1
�
�
4
uk uk 1
uk uk 1
uk uk 1 uk 1
uk uk 1 � u1 un
u1 a
k 1 uk 1
k 1 �
k 1 u k
r
2
a
ta có điều phải chứng minh.■
Nhận xét: Phần a) ta có thể dùng định lý trung bình Cesaro như sau
Vì
un3 �
un31 3
3
1
un31
un1
3
un3
n
3.
Do đó
p q 3.
1
2
Bài toán 6 Cho dãy số un : u1 a (a 0); un 1 un
1
n �1 .
un
Chứng minh rằng
3
3
�3 n 1 2 n 1
3
3
1 1�
�
�
�
a
a
n
1
�
u
a
a
� n 1, 2,...
n
�
�
3
�
2
2
4 a a 8a 9 �
�
�
�
�
Lời giải Từ công thức truy hồi của dãy ta có
3
u
3
k 1
2
3
3
3
3
n 1 3
n 1 � 3
�
1 � 3
1
9 � 32 3 �
3
3�
�
uk
uk �� uk21 uk2 � �uk21 ��
uk2 �
� uk 3uk2 3 3 uk3 3uk2 �
�
4 �
2�
2
2�
uk �
k 1
k 1 �
uk
�
�
3
2
n
3
2
1
�u u
3
3
n 1 a a n 1
2
2
Mặt khác lại có
4
2
2
3
3
�
�
1 � 1
1 �
1
3
3
1
2
2
uk 1 � uk
u
�
u
u
�
u
u
3 3
�
� k
�
k 1
k
k 1
n
2
2uk � 4uk �
2uk �
2uk
2
8uk
�
4u 2
k
n 1
� �u
k 1
3
2
k 1
�3
�
3
3
1 � 32
3
3 n 1 1 1 n 1 1
�
2
� uk 3 3 � un a a n 1 � 3 � 3
�
2
8uk �
2
4 k 1 2 8 k 1 uk
k 1 �
�
2
4
u
uk
k
�
�
n 1
Để ý rằng ta có các đánh giá sau
n 1
n 1
1
1
2 n 1 1
1
2
2 n 1 ;
�
�
3
3
3 k 1 k a a 3
a
a
k 1 2
k 1
a
a
k
1
uk
2
�
1
n 1
1
k 1
3
k
�u
n 1
1
1 n 1
4
�
�
2
2
3
3
k 1 �
� a k 2 9 k 1
a
a
k
1
�
�
2
�
�
1 4 n 2 1
1 4
1 8
� 2 3 .2 3
3
a 9 k 1 k
a 9
a 9
Suy ra
3
2
n
u a a
3
3 �2
1 � 1 1 3 n 1 2 n 1
3
1 1
3
a a
3
n 1 � 2 n 1
�
2
4 �3
2
a a � 8a 9
4 a a 8a 9
3
Tóm lại:
3
�3 n 1 2 n 1
3
3
1 1�
�
�
�
a
a
n
1
�
u
a
a
� n 1, 2,... ■
�
� n
3
�
2
2
4 a a 8a 9 �
�
�
�
�
Nhận xét: Đánh giá trên chưa thật sự chặt do ta đã làm trội qua một số bước trung gian, tuy
nhiên chỉ cần như vậy cũng đủ ứng dụng trong các bài toán giới hạn của dãy số. Chẳng hạn
như bài toán sau
Bài
toán
7 (Chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 1993) Cho dãy số
un : u1 1; un1 un
1
n �1 .
un
Tìm số thực
p
sao cho dãy số
�unp �
, n �1
� �
�n �
có giới hạn hữu hạn
khác không.
Lời giải Áp dụng kết quả của bài toán 6 ta có
a a
với
3
1 1
3
3
n 1 u 2 3 n 1 2 n 1 a a 4a a 8a3 9
2
n
n
n
2n
n
a 1
thì
3
3 1
3 3
1 �1 1 � 143
�un2
� �
2 2n
2 2n
2 �n n 2 � 72n
5
Chuyển qua giới hạn khi
Nếu
3
p
2
n � � và
theo nguyên lý kẹp ta được
3
thì
unp un2 p 32
.un � �.
n
n
Nhận xét: Sau khi chỉ ra được
�
1
p
p�
un 1 un 1 3
�
� u2
� n
p
�
�
p
� �u p �
1 3
n
�
�
�
� u2
�
� n
thì
unp
�0.
n
Vậy
lim un � và
có được
p
Nếu
p
3
2
n � �
�
3
� u p pu p 2
)
n
� n
�
�
p
3
2
� 32
u
lim � n
n ���n
�
�
3
2
�
� 3
� 2.
�
�
là giá trị cần tìm. ■
(nhờ xấp xỉ
thì ta có thể làm theo một trong hai cách sau mà
không sử dụng đánh giá như trên.
●
3
�
�
�
�
�
�
� 32
�
1
1
2
2
�
�
�
�
lim �
un 1 un � lim
un
un �
un
u n un u n �
n ��
n �� �
�
�
�
u
u
�
�
�
�
n
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
1
2
� lim �
�
lim �
2un
un u n �
2
1
�
�
n ��� 2
�
�
n
�
�
�
�
un
1
u u
un un
�
�1
1� n n
� un u n un �
�
�
� u n un
�
�
�
� 3
�
� 2
�
�
�
�
�
3
●●
2
�
�
1 �
�
1
1
3
� 3�
3
3
3
2
�
�
2
�
1 � 2 � un � .
un21 u 2n �
un
� un
�
�
1
u
n �
�
3
un2
Đặt
xn
3
L’ Hôpital ta có
u
3
2
n
� 0 n � �
. Khi đó áp dụng quy tắc
3
3
� 32
�
1 xn 2 1 lim 1 x 2 1 3 .
lim �
un 1 un2 � lim
n ��
x �0
xn
x
2
�
� n��
Cuối cùng, áp dụng định lý trung bình Cesaro thì
1
� 32
u
lim � n
n ���n
�
�
�
� 3
� 2.
�
�
1
3
6
1
Bài toán 8 Cho dãy số un : u1 1; un 1 un 3 u
dãy
�un
�
�n
�
, n 1, 2,... hội
�
�
Lời giải Ta có
n
, n 1, 2,... .
Tìm tất cả các số thực sao cho
tụ và tìm giới hạn khác không của nó.
un 0 n �1
và
3
4�
4
4
�
u �3 un41 �n �2 � 3 un4 3 un41 n �2 � 3 un4 n 1 n �2 1
3�
3
3
�
4
n
Mặt khác
3
�3
1 � � 1
1 �
�
�
uk � uk 1
k �2
�
3uk 1 � �3 3 uk51 27uk31 �
�
�
�
suy ra
4
3
�
1 � 3 4
4
2
4
1
u �3 uk 1
k �2 .
� uk 1 3 4 3 8
3uk 1 �
3 3 uk 1 27 uk 1 81uk41
�
4
k
un4 1
3
4
2 n 1
4 n
1
1 n 1
n 1 �3 4 �3 8 � 4
3
3 k 2 uk 1 27 k 2 uk 1 81 k 2 uk 1
Do đó với mọi
2 . Dựa vào 1
n �4 ,
ta có
và bất đẳng thức
Bunyakovski ta có
n
�
1
n
1 �
1
k 2 3
uk41
1
3
4
2
n 2 �
�
1
1 �
n
�
k 2 3
uk81
k 3 3
1
uk41
3 n 1
3
1
�
4 k 3 k 2
4
1 �
3
2 n 2
� 1
4
� n2�
n
k 3
1
3
uk41
n
n
1
1
1
�
�
4
k 2 uk 1
k 3 3 4
u
k 1
3
2
1
1
n
1
n 2 �
2
k 3 k 2
1
3
4
�
n
1
�
� 4
� 3.
�
�
Lại do
�
1
n 2 �
�
� �
�
� k 4 k 3 k 2 �
3
9 n
1
9 17
1
4
�
2
16 k 3 k 2
8 8
27 n
1
27 n
1
27 59
1
1
5
�
�
3
2
64 k 3 k 2
64 k 3 k 2
32 32
Từ 2 , 3 , 4 và 5 suy ra
3
un4
4
1
35 1 59
n
2 n 2 .
6
3
2
54 81 32
4
Từ 1 , 6 ta được
4 � 1 � un3 4 1
35 1 59
1 �
2 n 2
.
n �4 7
�
3 � n � n 3 2n
54n 81 32n
Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức 7 khi
n � � ta
được
� 43
un
lim �
n ���n
�
�
lim un �
n � �
nên suy ra
7
lim u
n ��
Vậy
4
3
n
4
�
�khi
�
�
3
�
4
�
0 khi
�
3
4
3
mà
4
3
n
un u 43 .
.un
n
n
là giá trị duy nhất để
�un
�
�n
Do đó
�
, n 1, 2,...
�
�
4
�
�khi
�
u
�
3
lim
�
n � � n
4
�
0 khi
�
3
n
� 43
un
lim �
n ���n
�
�
hội tụ và
�
� 4
� 3 .■
�
�
2
Bài toán 9 Cho dãy số un : u1 � 0;1 ;
Lời giải Ta chứng minh
bằng quy nạp ta được
lim un 0 .
n � �
un1 un un2 n �1 .
Tìm giới hạn
n 1 nun
lim
n ��
ln n
.
2
Thật vậy, ta có
un � 0;1 n .
�u 1 u1 � 1
0 u2 u1 1 u1 ��1
� � u2 � 0;1
� 2
� 4
Dễ thấy dãy đã cho giảm nên suy ra tồn tại
Chuyển qua giới hạn biểu thức truy hồi đã cho ta có
a a a2 � a 0 .
Vậy
,
lim u n a .
n � �
lim un 0 .
n � �
Áp
dụng định lý trung bình Cesaro ta có
1
un un un2
�1
un
un un 1
1
1 �
1
lim
lim
lim � � lim
lim
lim
1 � lim nun 1
2
n �� nu
n �� n
n �� u
n
�
�
n
�
�
n
�
�
n ��
un 1un
1 un
u n un un
n
� n 1 u n �
Áp dụng định lý Stolz ta có
lim
n ��
n 1 nun
ln n
lim
nu n 1 nun
n � �
un ln n
1
1
1
n
n 1 n
1 nun
u
u
un
lim nun lim
1. lim n
lim n1
n ��
n �� ln n
n ��
u n ln n
ln n 1 ln n
1
1
1
u 1 un un
nun
1
lim n
lim
1
n ��
n ��
n 1
1 � 1 0 ln e
�
ln
1 un ln �1 �
n
� n�
Bài toán 10
Cho
a 0; � 0;1
. Xét dãy un : u1 0; un1 1 un
a
1
un
. Chứng minh rằng
dãy đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải Xét hàm số
f u 1 u
a
u
1
, u 0, a 0, � 0;1
có
1
�
�
f�
u 1 �1 au �suy
�
�
ra
8
f�
u 0 � u a .
un �a n �2 .
uk uk 1 u
1
k 1
a
l
un 0n
Dễ thấy
nên
Xét hiệu
� 1 �
a uk 1 ��0k �2 .
�
�
�
tại giới hạn
l 1 l
f u �a , u 0 .
Lập bẳng biến thiên ta có
1
lim un l .
n ��
� l a .
Vậy un bắt đầu giảm từ
u2
và bị chặn dưới bởi
a
nên tồn
Chuyển qua giới hạn hệ thức truy hồi đã cho ta có
Vậy
lim un a .■
n ��
Bình Luận: Như đã nhận xét trong các bài toán trên thì việc tìm giới hạn của
un
np
có thể
được thực hiện bằng cách sử dụng định lý Stolz hoặc định lý trung bình Cesaro. Tuy nhiên
với cách đánh giá và sử dụng nguyên lý kẹp thì lời giải bài toán tự nhiên hơn và cũng sơ
cấp hơn.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1. Cho dãy un : u1 1;
un 1 un
1
n 1, 2,...
un
k
Chứng minh rằng
2. Cho dãy un : u1 1;
un 1 un
2
n 1, 2,...
un
3. Cho dãy un : u1 1;
un 1 un
1
n 1, 2,...
2un
1�
Chứng minh rằng
�
i 1
i
k
1
a �
�n �1 a 0
n �
7
k �1 .
6
5
k �1
4
�u
i 1
Chứng minh rằng
4. Cho dãy un : u1 0; un 1 2 �un u
1
�u
4
i
1� 1
1�
nun n �
1 ... �
8� 2
n�
. Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới
hạn.
5. Cho dãy un : u1 a (a 0);
6. Cho dãy un : u1 0;
un 1 un
1
n 1, 2,... .
un2
Tìm giới hạn
1�
a �
un 1 �
2un 2 �n 1, 2,... a 0
3�
un �
7. Cho dãy un : u1 1; un 1 un
1
n �1 .
un
Tìm
m
lim
un
n
n �� 3
.
. Tìm giới hạn của dãy số đó.
để tồn tại giới hạn
u1 u2 ... un
n � �
m
lim
.
9
8. Cho dãy un : u1 � 0;1 ;
1
un 1 un un2 n �1 .
9. Cho dãy un : u1 2 ;
un 1 un un2 n �1 .
10.
un : u1 1;
Cho
dãy
Tìm giới hạn
p �� sao
Tìm
un 1 un
lim
n ��
nun .
cho tồn tại
1
n 1, 2,... p ��*
unp
.
lim n p nun 1
n � �
Chứng
.
minh
rằng
Chứng
minh
unp 1
p 1.
n � � n
lim
11.
Cho
1
dãy
un : u1 1;
un 1 un
p
1
n 1, 2,... p ��* , p 1
un
.
1
p
un
1
1 .
n � � n
p
lim
12.
Cho dãy un : u1 1;
un 1 un un2013 n �1 .
Tìm giới hạn
ui2012
�
n � �
i 1 ui 1
lim
n
.
10
- Xem thêm -