Tài liệu Dạy học số phức ở thpt theo hướng rèn luyện kĩ năng ứng dụng trong giải một số dạng bài toán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------- ĐỒNG VĂN HƢƠNG DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở THPT THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------- ĐỒNG VĂN HƢƠNG DẠY HỌC SỐ PHỨC Ở THPT THEO HƢỚNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN Chuyên ngành: Lý luân và phƣơng pháp dạy học toán Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Anh Tuấn THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Để hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, chúng tôi còn nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Anh Tuấn giảng viên khoa toán Trường ĐHSP Hà Nội, các thầy, cô giáo Khoa toán, Khoa SĐH Trường ĐHSP Thái Nguyên, các Thày, Cô giáo phản biện, Ban giám hiệu, trường THPT Tứ Sơn, Bắc Giang và tổ toán của các trường THPT trên địa bàn huyện Lục nam – Bắc giang. Chúng tôi xin bày tỏ tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn cùng các thầy, cô giáo trong khoa toán, Khoa SĐH Trường ĐHSP Thái Nguyên, các thầy cô giáo phản biện và các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp CH toán khoá 16 - Chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học toán. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010. Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn NHỮNG TỪ VIẾT TẮT ĐƢỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN BĐT : Bất đẳng thức DH : Dạy học GV : Giáo viên HĐ : Hoạt động HS : Học sinh KN : Kĩ năng PPDH : Phương pháp dạy học PT : Phương trình THPT : Trung học phổ thông SGK : Sách giáo khoa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3 1.1. Về kĩ năng và rèn luyện kĩ năng trong dạy học toán ở trường THPT 3 1.1.1. Khái niệm kĩ năng 3 1.1.2. Kĩ năng giải toán 5 1.1.3. Phân biệt KN và kĩ xảo 5 1.1.4. Cách thức rèn luyện KN cho HS 6 1.2. Tình hình dạy học số phức và vấn đề rèn luyện KN ứng dụng số phức 7 vào giải toán ở THPT. 1.2.1. Sơ lược về số phức 7 1.2.1.1. Lịch sử 7 1.2.1.2. Định nghĩa 7 1.2.1.3. Một số khái niệm trong trường số phức  . 8 1.2.2. Tình hình thực tiễn về rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán 14 ở trường THPT 1.3. Kết luận chương 1 15 CHƢƠNG 2 – RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ 16 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở THPT 2.1. Định hướng sư phạm 16 2.2. Một số KN ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT 16 2.2.1. Ứng dụng số phức để giải một số bài toán lượng giác 17 2.2.2. Ứng dụng số phức giải một số bài toán đại số tổ hợp. 24 2.2.3. Ứng dụng số phức giải một số bài toán hình học phẳng 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.4. Ứng dụng số phức giải một số hệ phương trình và chứng minh bất 42 đẳng thức 1.2.4.1. Ứng dụng số phức giải một số hệ phương trình 42 1.3.4.2. Ứng dụng số phức chứng minh một số bất đẳng thức 44 2.3. Hệ thống bài tập rèn luyện 47 2.3.1. Các bài toán lượng giác 47 2.3.2 Các bài toán đại số tổ hợp 52 2.3.3 Các bài toán hình học phẳng 56 2.3.4 Các bài toán giải hệ phương trình và chứng minh bất đẳng thức 61 2.4 Các bài tập tự rèn luyện 65 2.5 Kết luận chương 2 66 CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 67 3.1. Mục đích thực nghiệm 67 3.2. Nội dung thực nghiệm 67 3.3. Đối tượng thực nghiệm. 67 3.4. Kế hoạch thực nghiệm. 67 3.5. Kết quả thực nghiệm 69 3.6. Kết luận chương 3 70 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Mục tiêu và yêu cầu của giáo dục phổ thông nói chung, giáo dục môn Toán nói riêng đòi hỏi tăng cường tính ứng dụng và thực tiễn. Số phức được đưa vào chương trình toán THPT nhằm hoàn thiện cho HS về hệ thống số sau khi học xong bậc này, ngoài ra số phức còn có rất nhiều ứng dụng đặc biệt là ứng dụng để giải một số dạng toán ở THPT. Một trong những mục tiêu dạy học của bộ môn toán là rèn luyện kĩ năng, tính ứng dụng các nội dung để giải toán. Nội dung số phức mới được đưa vào chương trình SGK ở bậc học THPT, việc khai thác ứng dụng của chúng cho HS là cần thiết. Với mỗi nội dung được đưa vào chương trình toán phổ thông, chúng đều có những ứng dụng nhất định. Số phức cũng không nằm ngoài những nội dung đó, do vậy đòi hỏi người làm toán cần nghiên cứu tính ứng dụng của nó. Căn cứ vào khả năng và hứng thú của bản thân về số phức và tầm quan trọng của việc rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức vào giải toán THPT, chúng tôi đã chọn đề tài “Dạy học số phức ở THPT theo hướng rèn luyện kĩ năng ứng dụng trong giải một số dạng bài toán” 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu: Xác định một số kỹ năng ứng dụng số phức trong giải toán THPT. Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức trong giải toán cho HS THPT. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu tổng quan về kĩ năng, và vấn đề rèn luyện kĩ năng. - Điều tra, tìm hiểu thực tiễn: Thực trạng DH số phức và ứng dụng số phức trong giải toán THPT. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 - Xác định một số kỹ năng ứng dụng số phức để giải một số bài toán THPT. - Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năng ứng dụng số phức trong giải toán THPT. - Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng phương án đề ra. 3. Giả thuyết khoa học Xác định được một số kĩ năng ứng dụng số phức để giải toán và xây dựng hệ thống bài toán cùng với những hướng dẫn DH thì có thể rèn luyện kỹ năng ứng dụng số phức vào giải toán cho HS. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lí học, từ điển, lý luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan tới đề tài của luận văn. - Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước và ngoài nước có liên quan đến nội dung kĩ năng, ứng dụng số phức vào giải toán THPT. 4.2. Phương pháp điều tra quan sát - Điều tra tìm hiểu việc ứng dụng số phức vào giải một số dạng toán ở trường THPT trong Huyện Lục nam, Bắc giang. 4.3. Phương pháp thử nghiệm sư phạm - Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của phương án đề ra tại trường THPT Tứ Sơn, Lục nam, Bắc giang. 5. Cấu trúc của luận văn: Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Rèn luyện kĩ năng ứng dụng số phức để giải một số bài toán ở THPT. Chương 3: Thử nghiệm sư phạm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 CHƢƠNG 1 – CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Về kĩ năng và rèn luyện kĩ năng trong dạy học toán ở trƣờng THPT 1.1.1. Khái niệm kĩ năng Khi nghiên cứu các tài liệu bàn về kĩ năng (KN), ta thấy có hai quan niệm về lĩnh vực này, đó là: Quan niệm 1: Coi KN là mặt kĩ thuật của một thao tác, hành động hay một hoạt động nào đó. Muốn thực hiện được một hành động, cá nhân phải hiểu được mục đích, phương thức và điều kiện để thực hiện nó. Vì vậy nếu ta nắm được các tri thức về hành động, thực hiện nó trong thực tiễn theo các yêu cầu khác nhau tức ta đã có KN về hành động. Theo Xavier Roegier quan niệm: Kĩ năng là khả năng thực hiện một hoạt động. Theo V.A.Kruchexki thì: “KN là các phương thức thực hiện hoạt động, những cái mà con người đã nắm vững”. Ông cho rằng: Chỉ cần nắm vững phương thức của hành động là con người có KN, không cần đến kết quả hoạt động của cá nhân [1, 78]. Trong cuốn “Tâm lí học cá nhân”. Côvaliôp.A.G cũng xem: “KN là phương thức thực hiện hành động phù hợp với mục đích và điều kiện của hành động” [3, 11]. Khi bàn về KN, Trần Trọng Thuỷ cũng cho rằng: “KN là mặt kĩ thuật của hành động. Con người nắm được cách thức hành động - tức kĩ thuật của hành động là có KN” [24, 2]. Quan niệm 2: Coi KN không đơn thuần là mặt kĩ thuật của hành động mà còn là một biểu hiện năng lực của con người. KN theo quan niệm này vừa có tính ổn định, lại vừa có tính mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo lại vừa có tính mục đích. Chẳng hạn, theo N.D.Lêvitôp: KN là sự thực hiện có kết quả một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn có tính đến những điều kiện nhất định [13, 3]. K.K.Platơnôp, nhà tâm lí học Liên Xô khẳng định: “Cơ sở tâm lí của KN là sự thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương thức hành động” [22, 77]. Nói đến kĩ năng, A.V. Petrovski viết: Năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định, được gọi là kĩ năng (A.V. Petrovski (1982), tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, NXB Giáo dục, HN). Trong từ điển Tâm lí học do Vũ Dũng chủ biên đã định nghĩa: “KN là năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng” [5, 132]. Có thể thấy, các nhà tâm lí học theo khuynh hướng thứ hai này khi bàn về KN lại rất chú ý tới mặt kết quả của hành động. Xét về mặt bản chất hai quan niệm trên không phủ định lẫn nhau. Sự khác biệt là ở chổ mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của KN mà thôi. Có thể hiểu: KN là khả năng thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó trong những điều kiện nhất định, bằng cách vận dụng và lựa chọn những tri thức, kinh nghiệm đã có. Khi bàn về KN cần lưu ý một số điểm sau đây: Điểm thứ nhất: KN trước hết là mặt kĩ thuật của một thao tác hay một hành động nhất định, không có KN chung chung, trừu tượng tách rời hành động cá nhân của con người. Khi nói tới KN là nói tới một hành động cụ thể đạt tới mức đúng đắn và thuần thục nhất định. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Điểm thứ hai: Thành phần của KN bao gồm tri thức, kinh nghiệm đã có, quá trình thực hiện hành động, sự kiểm soát thường xuyên trực tiếp của ý thức và kết quả của hành động. Điểm thứ ba: Tiêu chuẩn để xác định sự hình thành và mức độ phát triển của KN là: tính chính xác, tính thành thạo, tính linh hoạt và sự phối hợp nhịp nhàng các động tác trong hành động. Hành động chưa thể trở thành KN nếu hành động đó còn vụng về, còn tiêu tốn nhiều công sức và thời gian để triển khai. 1.1.2. Kĩ năng giải toán Trên cơ sở về khái niệm kĩ năng, ta có thể nêu nên khái niệm về kĩ năng giải toán như sau: Đó là khả năng vận dụng các kiến thức, tri thức toán học đã biết cùng với kinh nghiệm đã có để tiến hành có hiệu quả tốt những hoạt động nhằm giải quyết bài toán, hoặc lớp bài toán cụ thể đã đề ra. Người có kĩ năng giải toán tốt là, khi đứng trước một bài toán có thể giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau với việc vận dụng bằng nhiều tri thức toán học khác nhau một cách ngắn ngọn, xúc tích. 1.1.3. Phân biệt KN và kĩ xảo Tuy có sự khác nhau đôi chút về định nghĩa, song hầu hết các nhà nghiên cứu đều thống nhất: “Kĩ xảo là loại hành động được tự động hoá nhờ luyện tập. Nó có đặc điểm: Không có sự kiểm soát thường xuyên của ý thức, động tác mang tính khái quát, không có động tác thừa, kết quả cao mà ít tốn năng lượng thần kinh và bắp thịt”. Kĩ năng và kĩ xảo về bản chất đều là các thuộc tính kĩ thuật của hành động cá nhân. Chúng đều được hình thành trên cơ sở các tri thức về hành động đã được lĩnh hội và triển khai trong thực tiễn. Tuy nhiên giữa KN và kĩ xảo có nhiều điểm khác nhau. Sự khác nhau giữa chúng được đặc trưng bởi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 mức độ thuần thục, tự động hoá. So với KN, kĩ xảo thuần thục hơn, tự động hoá hơn và được giải phóng khỏi sự kiểm soát của ý thức. Nói chung, để có kết quả cao trong hành động mà cá nhân không bị “cộm” trong ý thức thì thao tác (với tư cách là phương tiện) không chỉ dừng lại ở mức độ KN, nó phải vươn tới trình độ kĩ xảo. Với tư cách đó, kĩ xảo có tính hoàn thiện cao hơn KN, được hình thành trên cơ sở KN có trước. 1.1.4. Cách thức rèn luyện KN cho HS Theo Tâm lý học, để có kỹ năng tiến hành một hoạt động nào đó, con người cần phải được làm nhiều lần chính hoạt động đó. Trong môn Toán, để cho HS có KN giải một bài toán hay một dạng toán nào đó, GV cần xác định và tổ chức cho HS tiến hành các hoạt động tương ứng với kỹ năng đó. Thông qua các hoạt động này, cùng với những kiến thức sẵn có HS đi đến lời giải của bài toán hoặc lớp các bài toán. Ví dụ: Để rèn kĩ năng giải phương trình bậc hai ax2  bx  c  0 cho HS, GV tổ chức HS thực hiện các hoạt động (HĐ): HĐ1: Nhận dạng phương trình bậc hai bằng cách xác định đúng các hệ số, ẩn. HĐ2: Tính biệt thức   b2  4ac . HĐ3: Xác định nghiệm thông qua xét và công thức nghiệm Nếu   0 thì kết luận phương trình có hai nghiệm thực: x1,2  còn không, kết luận phương trình có hai nghiệm phức: x1,2  b   4a b  i  . 4a Như vậy, để giải phương trình bậc hai, HS cần phải thực hiện theo các HĐ như trên. Nếu làm việc đó nhiều lần thì HS sẽ có KN giải phương trình bậc hai. Bài toán về giải phương trình bậc hai là tương đối dễ và cơ bản ở trường THPT đối với HS nên hầu hết các em đều đạt đến mức kĩ xảo giải phương trình bậc 2. Đối với một số bài toán hay dạng toán khó hơn, HS để có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 được KN giải cần phải nhanh nhạy hơn, linh động hơn và cần có tư duy toán học, không phải chỉ áp dụng một cách cứng nhắc các HĐ mà GV đưa ra là xong mà cần biến đổi khéo léo, huy động tất cả vốn kiến thức sẵn có để vận dụng giải quyết bài toán. 1.2. Tình hình dạy học số phức và vấn đề rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán ở THPT. 1.2.1. Sơ lược về số phức 1.2.1.1. Lịch sử Nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số “ không thể có” hoặc “số ảo” trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của 1 . Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát “ a  bi ” của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu “ i ” để chỉ căn bậc hai của 1 , năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu này. 1.2.1.2. Định nghĩa Trong toán học, trường số phức, ký hiệu  , có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng phương phương pháp tiên đề. Gọi  là trường số thực. Ký hiệu  là tập hợp các cặp (a, b) với a, b . Trong  định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau: ( a , b )  ( c, d )  ( a  c, b  d ) (a, b)*(c, d )  (ac  bd , ad  bc) thì  là một trường. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Ta có thể lập một đơn ánh từ tập số thực  vào  bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp (a,0)  . Khi đó 0  (0,0);1  (1,0); 1  (1,0);... . Nhờ phép nhúng, ta đồng nhất tập các số thực  với tập con các số phức dạng (a,0) , khi đó tập các số thực  là tập con của tập số phức  và  được xem là một mở rộng của  . Ký hiệu i là cặp (0,1) . Ta có i 2  (0,1) *(0,1)  ( 1, 0)   1 . Số i được gọi là đơn vị ảo, tất cả các số phức dạng a * i được gọi là các số ảo (thuần ảo). 1.2.1.3. Một số khái niệm trong trường số phức  . Dạng đại số của số phức Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo i đặc trưng bởi biểu thức i 2  1 . Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng: z  a  bi. Trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý i 2  1 . Như vậy, ta có: (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i (a  bi)*(c  di)  (ac  bd )  (bc  ad )i Từ đó, ta có thể suy ra: Gọi z  a  bi; z '  c  di khi đó: Hiệu của z và z ' ký hiệu là z  z ' : z  z '  (a  c)  (b  d )i . Nếu z  z '  0 thì z ' được gọi là số đối của số phức z , ký hiệu là  z . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Với mọi số phức z  a  bi khác 0, tồn tại duy nhất một số phức z ' sao cho z.z '  1. Khi đó z ' được gọi là số phức nghịch đảo của số phức z : 1 z ký hiệu: z '   z 1 Ta dễ dàng xác định được z 1  Thương của z và a b  2 2i 2 a b a b 2 z ' ( z '  0) ký hiệu z z' là là số phức z ac  bd cb  ad  z.z '1  2  i z' c  d 2 c2  d 2 Lũy thừa với số mũ n nguyên của số phức z , ký hiệu z n là số phức xác định như sau: - z.z.....z Nếu n là số nguyên dương thì: z n   n - Nếu n  0 thì z 0  1 - Nếu n là số nguyên âm và z  0 thì z n  1 z n Căn bậc n ( n nguyên dương) của số phức z , ký hiệu n z là số phức z ' sao cho: z 'n  z Số phức liên hợp a) Định nghĩa: Cho số phức z  a  bi , số phức có dạng a  bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z , ký hiệu là z . b) Các tính chất:  z là số thực khi và chỉ khi  z là số thuần ảo khi và chỉ khi z  z. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên z  z http://www.lrc-tnu.edu.vn 10  zz  Nếu z  a  bi thì z.z  a 2  b2 và z 1   z  z'  z  z'  z  z  z.z '  z.z '  1 1    z' z'  z z    z' z' z z.z Mô đun của một số phức. a) Định nghĩa mođun của số phức Cho số phức z  a  bi . Ta gọi mođun của số phức z , ký hiệu z là một số thực được xác định bởi công thức z  a 2  b 2 . Minh họa hình học Giả sử số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M (a, b) trên mặt phẳng phức  Độ dài của véc tơ OM chính là mođun của số phức z . Vậy  z  OM hay a  bi  a 2  b 2 Giả sử: z A  a1  b1i  A(a1 , b1 ) zB  a2  b2i  B(a2 , b2 ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11    AB  OB  OA  zB  z A  zB  z A  AB Nhận xét z  z.z b)Tính chất của mođun  z 0 z0  z z'  z  z'  z.z '  z z '  1 1  z z  (bất đẳng thức tam giác) với z  0 Với n là số tự nhiên và    thì zn  z ; n z z với z '  0;  z   z  z' z' Argumen của một số phức khác 0 a) Định nghĩa Trong mặt phẳng phức  , mỗi số phức z  a  bi được biểu diễn bởi  một điểm duy nhất M (a; b) . Khi z  0 ta nhận được véctơ OM    Góc định hướng   (i, OM ) ( trong đó i là véc tơ đơn vị trên trục Ox ) được xác định sai kém một bội nguyên tùy ý của 2 . Góc  được gọi là acgumen của số phức z và ký hiệu Arg ( z) . Như vậy nếu  là một acgumen của z thì   k 2 ; k  cũng là acgumen của z . Do vậy arg(z)=   k 2 ; k  . Người ta thường coi acgumen là giá trị không âm nhỏ nhất của  . b) Cách xác định acgumen của số phức z  Đặt r  OM  z  a 2  b 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 a  cos  r a  r cos  Ta có các hệ thức  Hay  b  r sin  sin   b  r   2 khi b  0 Trong trường hợp a  0 thì       khi b  0  2 c) Tính chất của acgumen  arg ( z)  arg ( z)  arg ( z)  arg ( z)    arg ( z)    arg ( z)  arg ( zz ')  arg( z)  arg( z ')  1 arg( )  arg( z ) z z arg( )  arg( z )  arg( z ') z' arg( z n )  n arg( z ) Dạng lƣợng giác của một số phức. a) Định nghĩa a  r cos  ta được b  r sin  Cho số phức z  a  bi . Khi đó ta thay  z  r (cos  isin ) (trong đó r  z ; là acgumen của z ). Số phức z  r (cos  isin ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z . Chú ý: - Số phức 0 không có dạng lượng giác. - Số phức z có mođun bằng 1 là z  cos  isin  b) Các phép toán Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Cho hai số phức z, z ' khác 0 được viết dưới dạng z  r (cos  isin ) ; z '  r '(cos ' i sin ') khi đó ta có các hệ thức sau: zz '  rr '[cos(   ')  i sin(   ')] z r  [cos(   ')  i sin (   ')] z' r'  k 2  k 2 n z  n r [cos(  )  i sin(  )] n n n n Với k  0,1, 2,..., n 1. z n  r n (cos n  i sin n ) (Công thức Moivre) Lưu ý, ứng với mỗi giá trị của k ta ký hiệu n z là zk . Căn bậc n của mỗi số phức z  0 có đúng n giá trị khác nhau; đặc biệt, mỗi số phức khác 0 đều có hai căn bậc 2, đó là hai số phức đối nhau. Khi r  1 : ta có z  cos   i sin  ; z  cos   i sin  z n  cos n  i sin n n z  cos n  i sin n 1  n zn  n 2n  zn  z z  z 1 cos n     2 2 2zn  1  n zn  n n 2n sin n  z  z  z  z 1  2i 2i 2iz n Mọi đa thức bậc n với hệ số phức P( z)  a0 z n  a1 z n1  ...  an1 z  an (a0  0) đều có đúng n nghiệm phức ( phân biệt hay trùng nhau). Công thức Ơle a) Khái niệm và ký hiệu ei Xét hàm số f :    được xác định bởi: f ( )  cos  isin  . Hàm f ( ) thỏa mãn các tính chất: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14  f (   ')  f ( ). f ( ')  f '( )  if ( ) ( f '( ) là đạo hàm của f ( ) ) Từ các tính chất trên ta có thể đưa ra định nghĩa sau: b) Định nghĩa: Với mọi   , ta định nghĩa: ei  cos  isin  Như vậy với mọi số phức z bất kĩ khác 0 có môđun là r và acgumen là  có thể viết được dưới dạng: z  r.ei . Dạng này được gọi là lũy thừa của số phức. Nhận xét: + ei  1 và arg(ei )   + ei  e i c)Tính chất  ei .ei  ei (  )  ei  ei (   ) i e  e  i n  ei n với n  Công thức Ơle: cos  ei  ei ei  ei và sin   2 2i 1.2.2. Tình hình thực tiễn về rèn luyện KN ứng dụng số phức vào giải toán ở trường THPT Qua tìm hiểu việc dạy và học toán ở các trường THPT: Lục Nam, Phương Sơn, Cẩm Lý và Tứ Sơn của Huyện Lục Nam, Tỉnh Bắc Giang, chúng tôi thấy: Việc ứng dụng số phức vào giải toán được dạy và học rất ít, cụ thể là chỉ dừng lại ở bài toán hạ bậc sin k x hoặc cosk x ( k  4,5) nhờ công thức Moivre và công thức khai triển nhị thức Newton. Qua trao đổi với một số Thầy, Cô giáo dạy toán ở các trường THPT ở trên thì nguyên nhân ít ứng dụng số phức vào giải toán cho HS là do: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn