Tài liệu Dạy học nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thông.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC CHU ĐỨC MINH DẠY HỌC NỘI SUY ĐA THỨC TRONG LỚP CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI - NĂM 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC CHU ĐỨC MINH DẠY HỌC NỘI SUY ĐA THỨC TRONG LỚP CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60.14.01.11 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2016 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài này. Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa sau đại học − Đại học giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy tại Khoa đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy cô tổ Toán − Tin trường THPT Việt Đức đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình giảng dạy thực nghiệm tại trường. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, xong luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của thầy cô,và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà nội, Tháng 10 năm 2016 Chu Đức Minh i Danh sách bảng 1.1 1.2 1.3 Tần suất dạy nội suy đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cách học nội suy đa thức của học sinh . . . . . . . . . . . . . Mức độ quan tâm của học sinh đối với nội suy đa thức . . . . 14 17 17 4.1 4.2 4.3 Cách học nội suy đa thức của học sinh . . . . . . . . . . . . . Mức độ quan tâm của học sinh đối với nội suy đa thức . . . . Điểm kiểm tra sau thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 72 72 73 ii Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt GV Giáo viên HS Học sinh THPT trung học phổ thông GTLN giá trị lớn nhất GTNN giá trị nhỏ nhất iii Mục lục LỜI CẢM ƠN i Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt ii MỞ ĐẦU 5 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1 Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trong trường trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . . . . 1.1.2 Khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT không chuyên . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên ở bậc trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Thực trạng việc dạy và học nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên ở một số trường trung học phổ thông . . . . . . 9 2 Một số vấn đề liên quan đến đa thức với hệ số nguyên và bài toán nội suy 2.1 Một số tính chất của đa thức với hệ số nguyên . . . . . . . . 2.1.1 Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . 2.2 Một số bài toán nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Nội suy Abel − Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Nội suy Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 9 9 10 11 12 20 20 20 21 22 22 27 29 3 Một số ứng dụng của nội suy trong lớp các đa thức với hệ nguyên 3.1 Một số dạng bất đẳng thức và cực trị trên tập số nguyên . . 3.1.1 Các bất đẳng thức với ràng buộc tổng không đổi . . 3.1.2 Các bất đẳng thức với ràng buộc về tích không đổi . 3.1.3 Các bất đẳng thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Một số bất đẳng thức và cực trị liên quan . . . . . . 3.2 Một số dạng toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Phân thức nhận giá trị hữu tỷ . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Nội suy và đồng dư thức . . . . . . . . . . . . . . . 4 Thực nghiệm sư phạm 4.1 Mục đích, tổ chức và nội dung của thực nghiệm sư phạm 4.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . 4.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . 4.1.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . 4.1.4 Nội dung thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm . . . 4.2.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . số . . . . . . . . 31 31 31 45 46 50 52 52 59 . . . . . . . . 68 68 68 68 68 69 70 70 71 Kết luận và khuyến nghị 76 Tài liệu tham khảo 77 v Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị lần thứ 8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: " Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất năng lực công dân, phát huy và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh...Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời". Toán học là một trong các môn học luôn được ưu tiên và chú trọng phát triển hàng đầu trong mỗi nền giáo dục. Bởi ngoài những ứng dụng thiết thực trong cuộc sống hay khi mang vai trò là công cụ không thể thiếu cho nhiều môn học khác thì Toán học còn là môn học giúp rèn khả năng tư duy cho học sinh. Với khối lượng lớn về kiến thức và tính logic, chặt chẽ về nội dung mà trong quá trình học tập môn Toán, học sinh phải không ngừng lỗ lực tìm tòi, vận dụng và liên kết các nội dung kiến thức, từ đó giúp cho tư duy của các em trở nên nhanh nhạy, kích thích sự sáng tạo. Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng thực sự yêu thích và học tốt môn học này, do vậy nhiệm vụ của người giáo viên bộ môn Toán là hết sức quan trọng. Ngoài việc giảng dạy, định hướng cho các em tiếp cận các nội dung kiến thức mới thì việc cung cấp cho các em hệ thống đầy đủ về cơ sở lý thuyết, đưa ra một số hướng ứng dụng cơ bản để các em tìm tòi và phát triển là rất cần thiết. Bởi nếu có một hệ thống lý thuyết đầy đủ, một số hướng ứng dụng cơ bản thì các em sẽ tự củng cố và khắc sâu kiến thức, có được nền tảng tốt để tiếp cận đến những vấn đề phức tạp hơn, từ những hướng ứng dụng ban đầu, các em sẽ hứng thú hơn, có động lực để tìm tòi, phát triển sâu sắc hơn những ứng dụng và tìm ra các ứng dụng mới, từ đó tăng cường khả năng tư duy và kích thích sự sáng tạo. 5 Các bài toán nội suy và các vấn đề liên quan đến nó là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học. Các học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này. Các bài toán nội suy có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên tục cũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn... Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán khu vực và quốc tế, các bài toán liên quan đến nội suy (thường chỉ dừng lại ở nội suy Lagrange và khai triển Taylor) rất hay được đề cập và thuộc loại khó và rất khó. Các bài toán về khai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giá trị cực trị của tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các bài toán nội suy tương ứng. Các bài toán nội suy và đặc biệt các bài tập về ứng dụng công thức nội suy thường ít được đề cập ở các giáo trình cơ bản và sách tham khảo về đại số và giải tích toán học. Các bài toán nội suy là một chuyên đề chọn lọc cần thiết cho giáo viên và học sinh khá, giỏi bậc trung học phổ thông. Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài “dạy học nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thông” làm đề tài luận văn của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu - Tìm hiểu những khó khăn khi dạy và học nội dung chủ đề nội suy đa thức trong lớp đa thức với hệ số nguyên. - Tìm hiểu những vấn đề liên quan đến nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên và một số ứng dụng. - Đề xuất các biện pháp cần thiết nhằm giúp học sinh giải quyết được một lớp các bài toán liên quan đến nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Đưa ra được những khó khăn khi dạy và học nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên ở bậc trung học phổ thông. - Đưa ra được các vấn đề cơ bản về nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên. - Đưa ra được một số ứng dụng của nội suy đa thức trong lớp các đa 6 thức với hệ số nguyên trong dạy học bậc trung học phổ thông. 4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu - Khách thể nghiên cứu: Giáo viên và học sinh trung học phổ thông. - Đối tượng nghiên cứu: Nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên. 5. Phạm vi nghiên cứu Nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên ở bậc trung học phổ thông. 6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các tài liệu liên quan tới nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên, từ đó xây dựng chuyên đề học tập về chủ đề này. - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Sử dụng phương pháp điều tra bằng bộ câu hỏi trắc nghiệm kết hợp với phỏng vấn. 7. Giả thuyết khoa học Nếu được hệ thống đầy đủ các cơ sở lý thuyết và ứng dụng của bài toán nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên, học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận hơn, có hứng thú hơn đối với chủ đề này. 8. Đóng góp mới của đề tài Bài toán nội suy luôn là đề tài được quan tâm trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên hầu hết các đề tài đề nghiên cứu bài toán nội suy mà chưa có đề tài nào nghiên cứu về "bài toán nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên" cũng như việc dạy và học chủ đề này ở bậc trung học phổ thông. Vì vậy trong đề tài "dạy học nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên cho học sinh khá giỏi THPT", tôi tiến hành nghiên cứu và đưa ra được những kết quả sau: - Việc dạy và học chủ đề nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên. - Cơ sở về lý thuyết và một số ứng dụng của "nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên". 9. Cấu trúc của luận văn Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Nội dung luận văn gồm bốn chương: - Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. - Chương 2: Một số vấn đề liên quan đến đa thức với hệ số nguyên và bài toán nội suy. 7 - Chương 3: Một số ứng dụng của nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên. - Chương 4: Thực nghiệm sư phạm. 8 Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1 Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trong trường trung học phổ thông Từ xa xưa ông cha ta đã có câu “Hiền tài là nguyên khí quốc gia” và đó dường như đã trở thành kim chỉ nam cho con đường phát triển đất nước. Thực tế lịch sử phát triển của xã hội loài người nói chung và lịch sử dân tộc Việt Nam nói riêng đã khẳng định được vai trò của “người tài”. Họ chính là lực lượng khởi đầu cho sự phát triển kinh tế - xã hội, đem đến cho mỗi quốc gia nền văn minh, tiến bộ không ngừng. Ngày nay, trong thời kỳ công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước, nhất là trong nền kinh tế tri thức, vai trò của “người tài” càng tăng lên gấp bội. Chính vì thế, bồi dưỡng học sinh giỏi là bước đi đầu tiên để đào tạo nhân tài cho đất nước và là nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo dục. Công tác này được xác định là một hoạt động mũi nhọn trong việc nâng cao dân trí, đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao và đang được Đảng, Nhà nước cùng toàn thể xã hội đặc biệt quan tâm. 1.1.1 Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi Học sinh giỏi là những học sinh có năng khiếu, tài năng, năng lực tốt ở một hay nhiều môn học hay lĩnh vực nào đó, ngoài ra học sinh giỏi còn cần có sự sáng tạo, phải thể hiện động cơ học tập mãnh liệt và đạt được trình độ xuất sắc trong học tập và nghiên cứu khoa học. 9 Bồi dưỡng học sinh giỏi chính là hoạt động nhằm nâng cao trình độ, kiến thức, kỹ năng cho học sinh một cách có hệ thống trong một số môn học nhất định để phục vụ cho việc học tập ở mức cao hơn và phát huy được hết năng lực của học sinh trong lĩnh vực đó. Bồi dưỡng học sinh giỏi được thực hiện ở tất các các cấp học và ở các trường và cơ sở giáo dục trong cả nước. Bồi dưỡng học sinh giỏi là tạo ra môi trường và những điều kiện thích hợp cho người học có thể phát huy hết năng lực của mình, cùng với việc tiếp nhận một cách thông minh, hiệu quả ngoại lực với vai trò quan trọng hàng đầu của người thầy mà cốt lõi là phải giúp được cho người học về phương pháp học, cách nghiên cứu, tư duy, biết tự đánh giá, đồng thời biết sử dụng phương tiện hiện đại để tìm kiếm, thu thập, xử lý thông tin nhằm mục đích tự học và tự bồi dưỡng. 1.1.2 Khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT không chuyên Đối với các trường không chuyên, mặc dù công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đã được Ban giám hiệu các nhà trường coi trọng, là một trong các mục tiêu mũi nhọn nhưng còn nhiều hạn chế về kết quả. Những hạn chế này xuất phát từ các nguyên nhân chủ yếu sau: • Thứ nhất, do không có chương trình riêng như học sinh chuyên, các tài liệu đều do các giáo viên tự nghiên cứu, tự sưu tầm, tự soạn trong điều kiện nhiều giáo viên cùng tham gia giảng dạy nên còn thiếu tính hệ thống, tính liên thông trong chương trình dạy. • Thứ hai, chưa có các quy chế ưu tiên cho các học sinh giỏi, nên học sinh chưa yên tâm đầu tư thời gian, công sức cho các môn thế mạnh của mình. • Thứ ba, phần nhiều kiến thức còn tương đối xa lạ đối với học sinh giỏi không chuyên, nhiều kiến thức không có trong chương trình − sách giáo khoa. Do đó, việc tiếp cận đối với học sinh gặp nhiều khó khăn. 10 1.2 Nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên ở bậc trung học phổ thông Ở lớp 8, học sinh đã được làm quen với đa thức và đa thức với hệ số nguyên. Một số định lý về nghiệm của đa thức cũng đã được dạy trong chương trình chính khóa (quy tắc nhẩm nghiệm, nghiệm của đa thức bậc hai, định lý Viet...), và chương trình bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi (định lý Bezout, tính chất nghiệm nguyên, hữu tỷ...). Ở lớp 11, học sinh được làm quen với những khái niệm cơ bản về giải tích như giới hạn, đạo hàm. Mặc dù các bài toán nội suy nói chung và nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên không được đề cập trong chương trình chính khóa nhưng những tiền đề cơ bản của nội dung này học sinh đã được chuẩn bị đầy đủ. Các bài toán nội suy và các vấn đề liên quan là một phần quan trọng trong đại số và giải tích toán học. Các bài toán nội suy có vị trí đặc biệt trong toán học, không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên tục cũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn.... Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán khu vực và quốc tế, các bài toán nội suy rất hay được đề cập và thuộc loại khó và rất khó. Các bài toán về khai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giá trị các cực trị của các tổng, tích cũng như bài toán xác định giới hạn của một biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các bài toán nội suy tương ứng. Do đó, chuyên đề về nội suy nói riêng và nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên là một chuyên đề cần thiết cho học sinh khá, giỏi bậc trung học phổ thông. 11 1.3 Thực trạng việc dạy và học nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên ở một số trường trung học phổ thông Để tìm hiểu thực trạng việc dạy học nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên của giáo viên ở một số trường trung học phổ thông tôi đã tiến hành phỏng vấn và phát phiếu câu hỏi cho 31 giáo viên Toán Trung học phổ thông ở các trường trên địa bàn thành phố Hà Nội: trường THPT chuyên Amsterdam, trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, trường THPT Thăng Long, trường THPT Việt Đức, THPT Trần Phú. Phiếu câu hỏi với các câu hỏi có nội dung như sau: 12 Phiếu số 1. Câu 1. Các thầy cô có thường xuyên dạy nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên cho học sinh hay không? A. Rất thường xuyên; B. Thường xuyên; B. Thỉnh thoảng; C. Ít khi; D. Không bao giờ. Câu 2. Theo các thầy cô đối tượng học sinh nào sẽ thích hợp với việc dạy học nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên? A. Chỉ những học sinh thi học sinh giỏi; B. Học sinh có lực học giỏi trở lên; C. Học sinh có lực học khá trở lên; D. Tất cả các học sinh. Câu 3. Các thầy cô dạy học nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên ? Trả lời . . . Câu 4. Phương pháp mà các thầy cô thường xuyên dạy học nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên là gì? Trả lời . . . Câu 5. Các thầy cô hãy cho biết những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên? Trả lời . . . 13 Thu thập và tổng kết lại các phiếu trả lời, tôi thu được kết quả như sau: • Về tần suất dạy học nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên của 31 giáo viên như sau: Tần suất dạy học Số lượng giáo viên Tỉ lệ Rất thường xuyên 0 0% Thường xuyên 3 9.68 % Thỉnh thoảng 2 6.45 % Rất ít khi 0 0% Không bao giờ 26 83.87% Bảng 1.1: Tần suất dạy nội suy đa thức trong lớp đa thức với hệ số nguyên Nhận xét 1.1. Phần lớn giáo viên (26/31) không bao giờ dạy học nội dung này. Nguyên nhân theo tôi là trong cấu trúc chương trình toán trung học phổ thông không trực tiếp đề cập tới nội dung này nên không có phân bố thời lượng, thêm vào đó nội suy và nội suy trong lớp các đa thức với hệ số nguyên là một nội dung khó, không phải học sinh nào cũng có thể tiếp thu được trong khi quỹ thời gian thì có hạn. 5 giáo viên có dạy nội dung này đều là các giáo viên ở các trường chuyên. Điều đó cho thấy đã có sự quan tâm đến việc dạy học nội suy nhưng chỉ dừng lại ở các trường chuyên. • Về quan điểm của các thầy cô về lựa chọn đối tượng học sinh để dạy học nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên: 100 % giáo viên đều cho rằng chỉ nên dạy cho học sinh thi học sinh giỏi. Lý do được đưa ra là nội dung này quá khó, các học sinh khác gặp quá nhiều khó khăn khi tiếp cận nội dung này. Theo ý kiến cá nhân tôi, nếu có phương pháp hợp lý và chọn lọc kiến thức phù hợp, ta vẫn có thể dạy nội dung này cho tất cả học sinh giỏi có niềm đam mê với toán (không nhất thiết phải nằm trong các đội tuyển). • Về thời gian được các giáo viên lựa chọn để dạy nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên: cả 5 giáo viên trên đều cho rằng nên dạy ở cuối lớp 10, đầu năm lớp 11. Tại thời điểm này, các học sinh 14 chuyên đều đã học xong các kiến thức cơ bản của giải tích, đủ khả năng tiếp nhận. Tất cả các giáo viên còn lại đều thống nhất rằng nên dạy ở giai đoạn cuối lớp 11 đầu lớp 12 do tới thời điểm này các em mới được học về giải tích. • Về phương pháp, các giáo viên đều thống nhất sử dụng phương pháp thuyết trình kết hợp với tự nghiên cứu tài liệu là chủ yếu. • Về thuận lợi và khó khăn: – Thuận lợi: Đây là chủ đề kích thích trí tò mò và thu hút được sự quan tâm của khá nhiều các học sinh muốn chinh phục những khó khăn, muốn khẳng định mình. – Khó khăn: Đây là một chủ đề khó, đòi hỏi ở cả người giáo viên và học sinh phải được trang bị kiến thức chuyên môn rất vững vàng, nhận diện được bài toán và vận dụng các kiến thức đó để giải bài toán. Và không phải học sinh nào, thậm chí không phải tất cả giáo viên ai cũng đáp ứng được yêu cầu đó. Vì vậy bên cạnh việc có khá nhiều học sinh bị thu hút bởi đề tài này thì cũng rất nhiều học sinh tỏ ra bất lực, chán trường và không quan tâm tới nội dung này. Để tìm hiểu về thực trạng việc học nội dung nội suy và nội suy trong lớp đa thức với hệ số nguyên, tôi đã tiến hành phát phiếu điều tra 197 học sinh một số trường THPT trên địa bàn Hà Nội: Lớp 11T1, 11T2, 11 Sinh trường THPT Chuyên dại học Sư Phạm Hà Nội, lớp 11T1 trường THPT chuyên Hà Nội − Amsterdam, đội tuyển toán các trường THPT Thăng Long, trường THPT Trần Phú, THPT Việt Đức. Nội dung các phiếu điều tra như sau: 15 Phiếu số 2 Câu 1. Em đã được dạy nội dung nội suy và nội suy đa thức với hệ số nguyên bao giờ chưa? A. Chưa bao giờ. B. Đã được thầy cô dạy. Câu 2. Em học nội dung nội suy và nội suy đa thức với hệ số nguyên như thế nào? A. Chỉ học qua thầy cô giáo. B. Thông qua thầy cô giáo và các tài liệu tham khảo. C. Chỉ biết đến qua các tài liệu tham khảo. D. Chưa bao giờ học nội dung trên. Câu 3. Các em có quan tâm đến nội dung nội suy và nội suy đa thức với hệ số nguyên không? A. Rất quan tâm. B. Có quan tâm. C. Ít quan tâm. D. Không quan tâm. 16 Kết quả điều tra như sau: • Câu hỏi 1: có 105 HS trả lời đã được thầy cô giáo dạy chiếm tỷ lệ 53.3%. Tỷ lệ này rất cao so với tỷ lệ giáo viên dạy nội dung này. Tuy nhiên tất cả các học sinh này đều thuộc lớp 11T1, 11T2 trường THPT chuyên ĐHSP và lớp 11T1 trường THPT chuyên Hà Nội − Amsterdam. • Câu hỏi 2: Số lượng Chỉ học qua thầy cô giáo 57 Học thông qua thầy cô giáo và tài liệu tham khảo 48 Chỉ biết đến qua các tài liệu tham khảo 20 Chưa bao giờ học nội dung trên 70 Tỷ lệ 29.23% 24.62% 10.25% 35.90% Bảng 1.2: Cách học nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên • Câu hỏi 3: Số lượng Tỷ lệ Rất quan tâm 12 6.15% Có quan tâm 92 47.18% Ít quan tâm 24 12.31 % Không quan tâm 67 34.36% Bảng 1.3: Mức độ quan tâm của học sinh đối với nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên Kết quả điều tra đối với học sinh cho thấy mức độ quan tâm của học sinh dành cho nội dung này khá lớn (trong đó hầu hết là học sinh chuyên, ngoài ra còn có 1 tỷ lệ nhỏ những học sinh không chuyên học nội dung này qua các tài liệu tham khảo, thậm chí chưa nghe đến nội dung này nhưng có quan tâm và mong muốn được học). Bên cạnh đó, cũng có một số lượng không nhỏ học sinh không quan tâm, hoặc ít quan tâm đến chủ đề này (trong đó có cả 1 số học sinh chuyên). 17