Tài liệu Dạy học một số nguyên lí của toán rời rạc trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá và giỏi ở trường trung học phổ thông.

  • Số trang: 24 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 110 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 20010 tài liệu

Mô tả:

Dạy học một số nguyên lí của Toán rời rạc trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá và giỏi ở trường trung học phổ thông.
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Có thể nói những nội dung sơ khai về Toán rời rạc (TRR) ra đời từ rất sớm. Lý thuyết TRR đã được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ 17. Đến nay, với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính, TRR đã phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng có ích cho con người. Nhiều nhà nghiên cứu đã khẳng định vai trò của TRR trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông: + TRR khuyến khích một cách tiếp cận khám phá trong giảng dạy (Burghes, 1985; DeBellis và Rosenstein, 2004; Dossey, 1991…) + TRR được áp dụng cho tình huống hàng ngày (Glidden, 1990; Perham & Perham, 1995…) + TRR giúp giáo viên (GV) có cái nhìn mới so với toán học truyền thống (DeBellis và Rosenstein, 2004; Kenney, 1996) + TRR cung cấp các vấn đề toán học tương đối khó nhưng dễ tiếp cận cho những HS yêu toán (DeBellis và Rosenstein, 2004, Kenney, 1996…) + TRR là một công cụ tuyệt vời cho phát triển tư duy và kỹ năng giải toán (Burghes, 1985; Hart và cộng sự, 1990; Kenney & Hirsch, 1991; Rosenstein và cộng sự, 1997). Nhiều nhà giáo dục học tin tưởng rằng việc đưa TRR vào chương trình giảng dạy ở trường phổ thông là có thể thực hiện được. Kenney (1996), Monaghan & Orton (1994), Rosenstein, Franzbalu & Roberts (1997) đã khẳng định TRR có thể giảng dạy cho tất cả học sinh (HS) các bậc học. TS. Trần Nam Dũng trong các bài viết của mình cũng cho rằng, ở Việt Nam, TRR có thể dạy ngay từ bậc trung học cơ sở. Nhận thức được vai trò của lý thuyết TRR đối với đời sống hiện đại, nội dung TRR đã được đưa vào chương trình học phổ thông và chiếm một phần quan trọng trong các kỳ thi toán quốc gia và quốc tế. Nhiều GV phổ thông trong và ngoài nước đã từng bước tích hợp TRR vào trong các giờ dạy của mình. Tuy nhiên chưa có tài liệu nào hướng dẫn cụ thể cho họ phải dạy những nội dung gì của TRR và dạy như thế nào cho đối tượng HS phổ thông, đặc biệt là cho đối tượng HS khá và giỏi. Hơn nữa, ở nước ta, tài liệu viết bằng tiếng Việt về TRR chưa nhiều. Những kiến thức về TRR 2 hiện có trong sách giáo khoa phổ thông nước ta hiện nay còn ít, chưa đủ đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng kiến thức TRR cho HS khá và giỏi. Với những lí do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học một số nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận án nhằm khẳng định được sự cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT; đề xuất được nội dung và một số biện pháp vận dụng trong dạy học những nguyên lí của TRR cho HS THPT khá và giỏi nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng dạy và học chủ đề này ở trường phổ thông. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục đích trên, những nhiệm vụ nghiên cứu đặt ra như sau: + Nghiên cứu lí luận và thực tiễn nhằm khẳng định cần thiết dạy và có thể dạy được một số nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT Việt Nam. + Nghiên cứu nội dung một số nguyên lí của TRR cần thiết và có thể dạy học ở trường THPT. + Đề xuất một số biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT. + Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất trong luận án. 4. Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu những tài liệu về Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông; Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến TRR; Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa môn Toán ở trường phổ thông. + Phương pháp điều tra quan sát: - Điều tra thông qua sử dụng phiếu thăm dò ý kiến đối với GV và HS về: Sự cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình môn Toán dành cho HS khá và giỏi ở trường THPT; Những nguyên lí cần đưa thêm vào chương trình và cách thức tổ chức dạy học những nguyên lí đó; Những khó khăn và mong muốn của GV, HS trong quá trình dạy và học chủ đề TRR ở trường phổ thông. 3 - Điều tra kết quả IMO những năm gần đây. - Phỏng vấn các chuyên gia, GV và HS THPT. - Điều tra, xử lí các số liệu trước và sau thực nghiệm. + Phương pháp nghiên cứu trường hợp: - Chọn năm HS của lớp chuyên Toán khóa 25, trường THPT Chuyên tỉnh Thái Nguyên làm đối tượng nghiên cứu trường hợp. Theo dõi sự tiến bộ của các em trong quá trình thực nghiệm. + Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Triển khai thực nghiệm sư phạm trong dạy học những nguyên lí của TRR ở một số lớp thuộc trường chuyên nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 5. Giả thuyết khoa học Nếu tiến hành dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT theo những nội dung và biện pháp đề xuất trong luận án thì sẽ nâng cao được chất lượng dạy và học chủ đề này ở trường phổ thông. 6. Những vấn đề đưa ra bảo vệ + Nhu cầu và sự cần thiết phải đưa thêm nội dung một số nguyên lí của TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT, đặc biệt là ở các trường THPT chuyên. + Những nội dung và biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR cho đối tượng HS khá và giỏi ở trường THPT đã đề xuất trong luận án có tính khoa học và thực tiễn. + Các biện pháp đề xuất trong luận án có tính khả thi và hiệu quả. 7. Những đóng góp của luận án + Luận án đã làm rõ được nhu cầu cần thiết và khả năng có thể dạy học được một số nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường phổ thông hiện nay. + Luận án đã đề xuất được nội dung và một số biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR cho đối tượng HS khá và giỏi ở trường THPT. + Các thực nghiệm sư phạm đã khẳng định tính khả thi và hiệu quả của các giải pháp mà luận án đã đề xuất. 4 8. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận án bao gồm 4 chương: Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương 2: Mục tiêu, nội dung dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT. Chương 3: Một số biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT. Chương 4: Thực nghiệm sư phạm. Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu 1.1.1. Những nghiên cứu về việc đưa TRR vào chương trình môn Toán ở trường phổ thông một số nước trên thế giới Năm 1989, Hội đồng Quốc gia giáo viên Toán học (NCTM) của Mỹ đã công bố Chương trình giảng dạy và các tiêu chuẩn đánh giá cho môn Toán. Tài liệu này công nhận tầm quan trọng của chủ đề TRR trong chương trình trung học. Đây là mốc quan trọng cho việc khuyến khích đưa TRR vào các trường tiểu học và trung học tại Hoa Kỳ. Sau khi tài liệu này được công bố, nhiều nghiên cứu về TRR đã khẳng định tầm quan trọng của việc giảng dạy TRR và mô tả nội dung của môn TRR trong các trường phổ thông. Ngoài ra, một số chương trình đã được xây dụng để chuẩn bị cho GV trong giảng dạy TRR và thu hút họ lồng ghép TRR trong các lớp học. Năm 2000, NCTM phát hành bản sửa đổi của Chương trình giảng dạy và tiêu chuẩn đánh giá môn Toán thành Nguyên tắc và chuẩn cho toán trường học [PSSM], trong đó không có tiêu chuẩn TRR riêng biệt như đã có trong bản trước mà chủ đề của TRR được phân bố trên các chuẩn, từ mẫu giáo đến lớp 12. Tuy nhiên, nhiều nhà nghiên cứu đang nỗ lực tích hợp TRR vào giáo trình, sách giáo khoa trung học. Nhiều tác giả đã khẳng định: TRR không chỉ là một tập hợp các chủ đề toán thú vị và mới; Quan trọng hơn, TRR như là một phương tiện cung cấp cho giáo viên cách nghĩ mới về các chủ đề toán và các chiến lược mới để thu hút học sinh của mình học toán. 5 1.1.2. Một số công trình nghiên cứu đề cập tới những nguyên lí trong TRR a. Ở nước ngoài b. Ở Việt Nam Thông qua việc thống kê những nguyên lí (NL) được đề cập tới trong nhiều tài liệu, chúng tôi nhận thấy có sáu NL được đề cập nhiều nhất trong các tài liệu là : NL cộng, NL nhân, NL Dirichlet, NL bù trừ, NL quy nạp toán học và NL bất biến. Đây là một trong những cơ sở cho chúng tôi khi lựa chọn nguyên lí nào để chuyển dịch trong chương sau. 1.2. TRR và vai trò của nó trong toán học và trong thực tiễn 1.2.1. Lịch sử hình thành và phát triển chuyên ngành TRR “Toán rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Rosenstein, Franzblau và Roberts (1997) đã khẳng định: Trong những năm qua, TRR đã hình thành và phát triển nhanh chóng. TRR trở thành một lĩnh vực quan trọng của toán học. Càng ngày, TRR là toán được sử dụng trong nhiều ngành nghề. TRR là ngôn ngữ của những bộ phận khoa học lớn. 1.2.2. Vai trò của TRR trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông Qua các tài liệu chúng ta thấy vai trò của TRR trong chương trình môn Toán ở phổ thông thể hiện ở những điểm cơ bản sau: TRR có thể giảng dạy cho HS các bậc học; TRR khuyến khích một cách tiếp cận khám phá trong giảng dạy; TRR có thể áp dụng được cho những tình huống hàng ngày; TRR giúp GV có cái nhìn mới so với toán học truyền thống; TRR cung cấp các vấn đề toán học tương đối khó nhưng dễ tiếp cận cho những HS yêu toán; TRR là một công cụ tuyệt vời cho phát triển tư duy và kỹ năng giải toán. 1.2.3. Vai trò của những nguyên lí của TRR trong thực tiễn TRR nói chung và những NL trong TRR nói riêng đã góp phần tạo ra nhiều thành tựu khoa học mới. Những thành tựu này có tính ứng dụng cao trong các lĩnh vực của cuộc sống như viễn thông, giao thông, sản xuất công nghiệp và phân phối năng lượng… 6 1.4. Thực trạng dạy học Toán rời rạc ở trường phổ thông Việt Nam 1.4.1. Phương pháp, cách thức điều tra thực trạng a. TRR trong chương trình môn Toán của Việt Nam b. Tiến hành điều tra thông qua ý kiến những nhà chuyên môn Chúng tôi đã tiến hành ba lần điều tra thông qua sử dụng phiếu xin ý kiến nhằm thu thập thông tin từ phiếu. - Điều tra lần một vào tháng 8/2012, trong đợt tập huấn chuyên môn cho các giáo viên cốt cán môn Toán trên toàn quốc. Đối tượng điều tra là 70 giáo viên các trường THPT Chuyên và chuyên viên môn Toán của các Sở Giáo dục và Đào tạo của các tỉnh trong cả nước. - Điều tra lần hai vào tháng 12/2013 tại Hải Phòng. Chúng tôi thăm dò ý kiến của 40 giáo viên cốt cán môn Toán của các trường, Sở Giáo dục và Đào tạo của 14 tỉnh phía Bắc. - Điều tra lần ba tại Trại hè Hùng Vương các trường THPT Chuyên khu vực trung du và miền núi phía Bắc tổ chức tại tỉnh Quảng Ninh. Đối tượng điều tra là những GV và HS giỏi môn Toán của trường THPT Vùng Cao Việt Bắc và 16 trường THPT Chuyên khu vực trung du và miền núi phía Bắc. Kết quả thu được như sau: * 100% giáo viên được hỏi nhất trí với 2 nội dung sau: + Nội dung TRR hiện có trong sách giáo khoa môn Toán và Tài liệu giáo khoa chuyên Toán chưa đủ dùng làm tài liệu để bồi dưỡng cho HS khá và giỏi. + Cần thiết phải đưa một số nguyên lí của TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT. * Hơn 90% GV đồng ý nên dạy chủ đề TRR cho HS khá và giỏi ở trường THPT theo trình tự như sau: +Lớp 10: Dạy những nội dung cơ bản: NL cộng, NL nhân, Tổ hợp, Chỉnh hợp, Hoán vị, Nhị thức Niu-tơn, NL Dirichlet, NL bù trừ, NL quy nạp toán học. + Lớp 11: Dạy cơ bản nguyên lí bất biến. Dạy nâng cao các chủ đề của TRR đã học. + Lớp 12: Dạy nâng cao các chủ đề của TRR. 7 * Số tiết giảng dạy những NL của TRR được các thầy cô đề xuất trong khoảng từ 15 đến 50 tiết. * Kết quả điều tra cho thấy GV, HS còn gặp nhiều khó khăn trong dạy và học chủ đề TRR ở trường phổ thông. Họ mong muốn có những biện pháp khắc phục những khó khăn đó. Kết quả điều tra cũng định hướng cho chúng tôi đề xuất biện pháp dạy học những NL của TRR ở chương ba của luận án. c. Thống kê kết quả các bài thi có nội dung TRR của đội tuyển thi Toán quốc tế (IMO) Việt Nam và một số nước trên thế giới. Thống kê nhằm so sánh trình độ của HS trong đội tuyển IMO nước ta những năm gần đây về lĩnh vực TRR với HS các nước tiên tiến trên thế giới và một số nước trong khu vực. 1.4.2. Đánh giá kết quả điều tra thực trạng dạy học chuyên đề TRR ở trường phổ thông Qua kết quả điều tra trên chúng ta có thể khẳng định: - Nội dung TRR trong SGK phổ thông và trong các tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt hiện có ở nước ta chưa đủ để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng HS khá và giỏi. - Trình độ của HS nước ta những năm gần đây về lĩnh vực TRR so với HS các nước tiên tiến trên thế giới và một số nước trong khu vực còn hạn chế. - Cần thiết phải đưa thêm nội dung TRR vào chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT. Bước đầu của công việc này là đưa nội dung của những nguyên lí trong TRR vào chương trình. Cần phải đề xuất nội dung và các biện pháp dạy học những nguyên lí này cho HS khá và giỏi ở trường THPT. Chương 2 MỤC TIÊU, NỘI DUNG DẠY HỌC NHỮNG NGUYÊN LÍ CỦA TRR TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HS KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG THPT 2.1. Mục tiêu dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT 2.1.1. Những đặc điểm cơ bản của HS khá và giỏi ở trường THPT 2.2.2. Mục tiêu dạy học những nguyên lí của TRR trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT 8 + Dạy cách suy luận toán học và những kỹ thuật chứng minh cho HS trong quá trình dạy học những nguyên lí. Phát triển tư duy sáng tạo, tư duy phản biện, tư duy logic cho HS. + Hình thành một số năng lực cho HS như: năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo, năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tính toán, năng lực sử dụng ngôn ngữ… + Bổ sung những nội dung toán học gắn liền với thực tiễn vào chương trình môn Toán dành cho HS khá và giỏi ở trường THPT. Kích thích sự say mê nghiên cứu toán học của các em thông qua những chủ đề thú vị của TRR. Bồi dưỡng và phát triển tri thức TRR của học sinh khá và giỏi THPT Việt Nam. Trang bị kiến thức chuẩn bị cho các em có thể tiếp cận được với khoa học kỹ thuật hiện đại của thế giới. 2.2. Chuyển dịch sư phạm 2.2.1. Khái niệm chuyển dịch sư phạm Trong giáo dục, chuyển dịch kiến thức được coi là hòn đá tảng triết học của người thầy. Hiện tượng chuyển giao có lẽ là quan trọng nhất, nhưng lại ít được biết nhất trong quy trình dạy – học. Theo quan điểm được chấp nhận, chuyển dịch kiến thức được coi là ứng dụng một giải pháp đã biết cho một tình huống chưa biết từ trước tới lúc đó. Chuyển dich dựa trên cơ sở năng khiếu tổng quát hóa và khả năng trừu tượng hóa. Trong tâm lí học, chuyển dịch: hành vi trong đó một tình cảm đối với một con người, một đồ vật được lan truyền tới người khác. Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong cuốn PPDH môn Toán, trang 201: Về thành phần tri thức, trong lí luận dạy học, Yves Chevallard đã phân tích lần đầu tiên quá trình tổng quát của sự biến đổi từ tri thức khoa học thành tri thức dạy học và gọi là sự chuyển hóa sư phạm ( Chevallard 1985 và Verret 1975). Trong quá trình này tri thức được xét theo 3 cấp độ: tri thức khoa học, tri thức chương trình và tri thức dạy học. Tri thức khoa học: Là tri thức do nhà nghiên cứu tìm ra. Sau khi đã phi hoàn cảnh hóa, phi thời gian hóa, phi cá nhân hóa, nhà khoa học công bố dưới một dạng tổng quát nhất có thể được, theo những quy tắc diễn đạt hiện hành trong cộng đồng khoa học. Tri thức chương trình: là tri thức khoa học sau khi đã được sàng lọc, định mức độ yêu cầu và cách thức diễn đạt phù hợp với mục tiêu và điều 9 kiện của xã hội để đảm bảo sự tương hợp của hệ thống dạy học với môi trường của nó. Tri thức dạy học: Ở cấp độ lớp học, ta nói tới tri thức dạy học. Để đạt được mục tiêu dạy học, thầy giáo phải tổ chức lại tri thức qui định trong chương trình, SGK và biến thành tri thức dạy học theo khả năng sư phạm của mình, với sự ràng buộc của lớp, phù hợp với trình độ học sinh và những điều kiện học tập khác. Theo didactic Toán, tri thức chương trình còn được gọi là tri thức cần dạy, tri thức dạy học còn được gọi là tri thức được dạy. Chuyển dịch sư phạm hay chuyển hóa sư phạm (transposition didactique) là một quá trình bao gồm hai giai đoạn: chuyển hóa từ tri thức khoa học thành tri thức chương trình và từ tri thức chương trình thành tri thức dạy học. Các giai đoạn chủ yếu của quá trình chuyển hóa sư phạm là: Tri thức khoa học ( thể chế tạo tri thức) Tri thức chương trình ( thể chế chuyển đổi) đổich uyển Tri thức dạy học ( thể chế dạy học) họcch uyển Trong luận án này chúng tôi chú trọng nhiều đến giai đoạn 2 là chuyển hóa từ tri thức chương trình thành tri thức dạy học. 2.2.2. Sự cần thiết phải chuyển dịch sư phạm từ tri thức khoa học thành tri thức dạy học môn Toán ở trường phổ thông Thời đại ngày càng phát triển, để theo kịp sự phát triển của khoa học công nghệ thì kiến thức môn Toán dành cho học sinh phổ thông phải thay đổi: lược bỏ những phần cũ, lạc hậu, thêm vào những phần mới, cần thiết, phù hợp với yêu cầu cuộc sống thực tại. Do đó, chúng ta phải lựa chọn một số nội dung của tri thức khoa học phù hợp với học sinh phổ thông, sau đó thiết kế cách thức tổ chức dạy học nội dung đó cho học sinh phổ thông. Sự chuyển dịch này là một quy luật tất yếu, đã, đang và sẽ xảy ra trong hoạt động giáo dục phổ thông. 2.3. Nội dung dạy học một số nguyên lí trong Toán rời rạc trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT Định hướng xây dựng nội dung dạy học một số nguyên lí trong Toán rời rạc trong chương trình bồi dưỡng HS khá và giỏi ở trường THPT 10 (1) Nội dung đề xuất phải bao gồm các vấn đề lí thuyết cơ bản, các câu hỏi và bài tập với mức độ phức tạp khác nhau. Hệ thống phải bao gồm những dạng toán cơ bản, được phân bậc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với đối tượng HS khá và giỏi ở trường THPT. (2) Hệ thống lí thuyết và bài tập phải góp phần phát triển tư duy toán học, hình thành các năng lực chung cho HS và là cơ sở thuận lợi cho việc tiến hành các biện pháp dạy học được nêu trong chương 3. (3) Các bài tập đề xuất phải có hướng dẫn hoặc lời giải chi tiết. 2.3.1. Nguyên lí cộng và nguyên lí nhân 2.3.1.1. Nội dung nguyên lí cộng và nguyên lí nhân 2.3.1.2. Bài tập áp dụng 2.3.2. Nguyên lí Dirichlet 2.3.2.1. Nội dung nguyên lí Dirichlet 2.3.2.2. Bài tập vận dụng 2.3.3. Nguyên lí bù trừ 2.3.3.1. Nội dung nguyên lí bù trừ 2.3.3.2. Bài tập vận dụng 2.3.4. Nguyên lí quy nạp toán học 2.3.4.1. Nội dung nguyên lí quy nạp toán học 2.3.4.2. Bài tập vận dụng 2.3.5. Nguyên lí bất biến 2.3.5. 1. Nội dung nguyên lí bất biến 2.3.5.2. Bài tập vận dụng Nội dung đề xuất ở trên có thể là cơ sở cho các nhà giáo dục, các nhà chuyên môn và những người làm chương trình môn Toán cho HS khá và giỏi thực hiện giai đoạn 1 của quá trình chuyển dịch sư phạm. Đó là chuyển từ tri thức khoa học thành tri thức chương trình đối với sáu nguyên lí được nêu trong luận án. Với ý tưởng tập trung vào giai đoạn hai của quá trình chuyển dịch sư phạm, chúng tôi đề xuất những biện pháp dạy học những nguyên lí của TRR trong chương ba. 11 Chương 3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHỮNG NGUYÊN LÍ CỦA TOÁN RỜI RẠC TRONG CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Định hướng xây dựng các biện pháp: (1) Các biện pháp cần phù hợp với mục tiêu dạy học, xu thế đổi mới phương pháp dạy hiện nay, có thể thực hiện được trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học TRR cho HS khá và giỏi ở trường THPT. (2) Các biện pháp phải đề cao vai trò tự xây dựng kiến thức của HS dựa trên những vốn kiến thức, kinh nghiệm đã có của HS. Các biện pháp giúp HS từng bước hình thành năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo, năng lực tự học, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tính toán và năng lực sử dụng ngôn ngữ. (3) Các biện pháp phải giúp các em học tập một cách hứng thú, từ đó kích thích tính ham hiểu biết đồng thời phát triển được tư duy sáng tạo, tư duy phản biện, tư duy logic cho HS khá và giỏi ở trường THPT. 3.1. Biện pháp 1: Gợi động cơ, tạo hứng thú cho học sinh thông qua sử dụng đồ dùng trực quan, sản phẩm công nghệ thông tin và những bài toán có nội dung thực tiễn a. Mục đích, ý nghĩa của biện pháp Sử dụng đồ dùng trực quan hay một số phần mềm dạy học trong những giờ học TRR không những tạo hứng thú cho học sinh mà GV có thể tổ chức cho các em tham gia vào các hoạt động nhằm hiểu kĩ hơn những vấn đề cần giải quyết. Thông qua đó hình thành phương án giải bài toán đặt ra. Một số phần mềm dạy học còn là công cụ để GV và HS thiết kết những trò chơi, bài giảng thông qua đó HS tự củng cố kiến thức theo một cách tự nhiên, không cưỡng ép. TRR là toán của đời sống. GV rất dễ tìm được những bài toán có nội dung thực tiễn nhằm tạo động cơ cho HS. b. Cơ sở khoa học của biện pháp Trong dạy học, xưa nay vấn đề trực quan đóng một vai trò hết sức quan trọng. Một trong những vấn đề đem đến hiệu quả trong giảng dạy là việc lựa chọn và sử dụng yếu tố trực quan như thế nào trong dạy học. Trực quan trong hoạt động dạy học được hiểu là khái niệm dùng để biểu thị tính 12 chất của hoạt động nhận thức, trong đó thông tin thu được từ các sự vật, hiện tượng của thế giới bên ngoài nhờ sự cảm nhận trực tiếp của các cơ quan cảm giác con người. c. Cách thức thực hiện biện pháp Giáo viên tích cực sử dụng đồ dùng trực quan, tận dụng sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học nhằm giảm sự trừu tượng của một số vấn đề TRR. Thông qua đó học sinh dễ dàng hiểu được vấn đề được nêu ra trong các trường hợp cụ thể. Từ đây HS có thể hiểu được vấn đề trong trường hợp tổng quát. Kĩ thuật 1: Gợi động cơ, tạo hứng thú cho HS bằng cách sử dụng một số đồ dùng trực quan trong dạy học những nguyên lí của TRR Để hỗ trợ cho việc giảng dạy của mình, chúng tôi đã sử dụng những bộ nam châm gắn vào bảng từ trong dạy học những bài toán về phép đếm hay những bài toán về trò chơi liên quan đến những hòn sỏi. Thay cho những viên sỏi trong bài toán thì GV có thể dùng những hạt đậu có sẵn trong gia đình. Trong những bài toán về ô bàn cờ, chúng tôi có thể sử dụng bảng phụ có kẻ ô sẵn…Nguyên tắc chung khi sử dụng các đồ dùng trực quan trong giảng dạy TRR là: sử dụng đúng mục đích, đúng lúc, đúng chỗ, đúng mức độ và cường độ, vừa phải đảm bảo nguyên tắc thống nhất giữa cái cụ thể và cái trừu tượng. Trực quan là chỗ dựa để dự đoán khám phá. HS cần biết tư duy trừu tượng ngay khi và sau khi sử dụng đồ dùng trực quan. Kĩ thuật 2: Gợi động cơ, tạo hứng thú cho HS bằng cách sử dụng dụng một số phần mềm công nghệ thông tin trong dạy học những nguyên lí của TRR Ngoài việc sử dụng những phần mềm công nghệ thông tin trong hỗ trợ dạy học, GV khuyến khích, hướng dẫn HS sử dụng một số phần mềm này vào thiết kế trò chơi, thiết kế bài báo cáo theo nhóm về một chủ đề của TRR. Ví dụ 3.2: Sử dụng phần mềm Adobe Presenter thiết kết bài giảng Elearning thông qua trò chơi “Cuộc phiêu lưu của Mario vào xứ sở Tổ hợp”. (Có đĩa kèm theo luận án). Trong bài giảng có lồng ghép giữa dạy học theo chương trình phân nhánh với dạy học theo chương trình đường thẳng. Dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Nguyễn Bá Kim, bài giảng này đã được lọt vào vòng 13 chung khảo quốc gia cuộc thi “Thiết kế bài giảng điện tử E – learning” năm học 2011 – 2012. Mục đích của trò chơi là ôn tập và củng cố một số kiến thức của Tổ hợp. Ý tưởng chính của trò chơi là: em HS đóng vai anh chàng Mario phiêu lưu vào thế giới Tổ hợp. Để đến đích là Núi Tổ hợp và cắm được cờ chiến thắng trên sườn ngọn núi, Mario phải đi qua 3 hoặc 4 khu vực: Hòn đảo hai quy tắc đếm cơ bản (NL cộng, NL nhân) (khu 1), Vịnh Hoán vị Chỉnh hợp - Tổ hợp ( khu 2), Vùng đất nguy hiểm (khu 3), Khu rừng nhị thức Niu – tơn (khu 4). Tại mỗi khu vực, người chơi gặp các bài toán, yêu cầu bắt buộc phải đưa ra phương án trả lời mới được đi tiếp. Người chơi xuất phát ở khu 1, đi đến khu 2. Ở cuối khu 2 có một bài toán khó, nếu người chơi trả lời được thì có một đường tắt đến ngay khu 4. Nếu không trả lời được bài toán đó thì bị rơi vào khu 3 rồi mới đến khu 4. Chặng cuối cùng, đi từ khu 4 tới Núi tổ hợp. Chúng tôi đã thiết kế các bài tập nhiều loại: loại người chơi phải điền đáp án vào chỗ trống, loại chọn 1 phương án trả lời trong các đáp án cho sẵn, loại kết nối các phương án. Sau khi người chơi đưa ra phương án trả lời đều nhận được đánh giá đúng hay sai và phương án giải cụ thể của bài toán. Đa số các bài toán được thiết kế theo chương trình đường thẳng. Riêng “bài toán đặc biệt” được thiết kế theo chương trình phân nhánh. Kĩ thuật 3: Gợi động cơ, tạo hứng thú cho HS bằng cách xuất phát từ những bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học những Nl của TRR Lênin đã chỉ ra con đường nhận thức chung của nhân loại là: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn – đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, của sự nhận thức thực tại khách quan”. Xuất phát từ bài toán có nội dung thực tiễn xây dựng kiến thức TRR, phát triển kiến thức vừa thu được và áp dụng trở lại giải những bài toán thực tế ở mức độ khó hơn. Vận dụng con đường này, chúng tôi đã viết bài báo “Xung quanh bài toán chia kẹo của Euler” đăng trên Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ tháng 10/2012. Bài viết này đã được chúng tôi báo cáo trong Hội thảo Toán học do Hội Toán học Hà Nội tổ chức tại Thái Nguyên tháng 11/2012, báo cáo trong đợt tập huấn cho khoảng 60 giáo viên môn Toán của tỉnh Thái Nguyên tháng 8/2013. Thông qua báo cáo, chúng tôi cũng 14 trình bày quan điểm đã nêu và nhận được sự ủng hộ của các nhà chuyên môn, các bạn đồng nghiệp Tuy nhiên, một cách xuất phát từ thực tiễn tạo chú ý phù hợp nhất đối với học sinh chính là xuất phát từ những bài toán gắn với những sự việc xảy ra trong lớp học. Trong quá trình tập dượt sáng tạo ra những bài toán mới, sáng tạo trò chơi học tập, một nhóm HS lớp chuyên Toán K 25 đã sáng tác được một loạt các bài toán nhắc đến những kỉ niệm đã qua của lớp, đến những công việc hàng ngày đang xảy ra trong lớp học. 3.2. Biện pháp 2: Vận dụng linh hoạt một số phương pháp dạy học tích cực trong dạy học những nguyên lí của TRR a. Mục đích, ý nghĩa của biện pháp Ngoài mục đích tạo hứng thú cho HS, biện pháp này được xây dựng với mục đích chính là: phát huy tính tự giác, tích cực, tự lực đạt tới mục đích dạy học của HS dưới sự hướng dẫn của GV. b. Cơ sở khoa học của biện pháp Theo GS. TSKH Nguyễn Bá Kim, PPDH là cách thức hoạt động, ứng xử của thầy để gây nên những hoạt động và giao lưu của trò nhằm đạt được mục đích dạy học. Trong thực tế giảng dạy, không có một PPDH toàn năng phù hợp với mọi mục tiêu và nội dung dạy học. Vì vậy việc phối hợp đa dạng các phương pháp và hình thức dạy học trong toàn bộ quá trình dạy học là phương hướng quan trọng để phát huy tính tích cực và nâng cao chất lượng giáo dục. c. Cách thức thực hiện biện pháp GV khi vận dụng PPDH phải đảm bảo nguyên tắc “HS tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của GV”. Chúng tôi đề xuất một số PPDH trong dạy học những NL của TRR: Trò chơi học tập, dạy học tương tác, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học kiến tạo và phương pháp tự học… Kĩ thuật 1: Vận dụng những PPDH trong các giờ học chính khóa Ví dụ 3.4: (Tổ chức cho HS tìm ra chiến thuật giành chiến thắng của trò chơi Nim – một trò chơi dân gian của Trung Quốc, thông qua sử dụng đồ dùng trực quan) 15 Bước 1: GV đưa ra bài toán cụ thể: “Có 3 đống sỏi gồm một đống 2 viên sỏi, đống 3 viên sỏi; đống còn lại 4 viên sỏi. Hai người lần lượt lấy đi một đống sỏi hoặc một số viên sỏi của một đống nào đó. Người nào lấy được viên sỏi cuối cùng là người chiến thắng”. Giáo viên tổ chức cho HS chơi ngay trên lớp theo từng cặp. Chú ý cho hai cặp sử dụng nam châm gắn bảng từ thi đấu trên bảng của lớp học. GV yêu cầu HS ghi lại các trạng thái mình đã chơi. (xem hình ảnh minh họa) Đây là một tình huống gợi vấn đề vì có vấn đề cần giải quyết là tìm chiến thuật để chiến thắng trò chơi. Khi hai HS chơi với nhau, chiến thắng có thể đạt được sau một số hữu hạn bước. Số lượng sỏi có hạn nên học sinh tin rằng có thể tìm ra qui luật để giành chiến thắng. Tuy nhiên không dễ dàng gì tìm được quy luật đó. Bước 2: Giáo viên hướng dẫn HS cách tính tổng Nim của các số tự nhiên tương tự như việc tính tổng các số biểu diễn dưới dạng nhị phân. Áp dụng vào tỉnh tổng Nim của các số có trong từng trạng thái vừa ghi lại (xem hình ảnh minh họa). Bước 3: Nghiên cứu sự thay đổi của các tổng Nim để phán đoán qui luật giành chiến thắng. Vì trạng thái cuối cùng khi không còn viên sỏi nào để bốc có tổng là Nim là 0 nên HS tìm ra chiến thuật: người chiến thắng là người luôn chuyển từ trạng thái có tổng Nim khác không thành tổng Nim bằng 0 sau mỗi nước đi của mình. Trong bài toán đã cho, số lượng sỏi không nhiều nên HS dễ dàng đưa ra phương án chơi cụ thể cho từng tình huống. HS phát hiện ra rằng khi cả hai người chơi đã biết chiến thuật thì việc thắng hay thua phụ thuộc vào trạng thái ban đầu. Nếu trạng thái ban đầu có tổng Nim bằng 0 thì người thứ hai sẽ có chiến thuật thắng. Nếu trạng thái ban đầu có tổng Nim khác 0 thì người thứ nhất sẽ có chiến thuật thắng. 16 Ví dụ 3.5: Sử dụng kĩ thuật bắc giàn ở cấp độ vĩ mô trong dạy học kiến tạo nhằm giúp HS nắm được bài toán chia kẹo của Euler. Bài toán: Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé (m, n nguyên dương). Hỏi có bao nhiêu cách chia kẹo? Đây là một bài toán hay và có nhiều ứng dụng trong giải toán tổ hợp. Để giải được bài toán này chỉ cần học sinh đã biết một số kiến thức đơn giản như: - Khái niệm tổ hợp chập k của n phần tử. - Khái niệm dãy nhị phân. - Số dãy nhị phân có độ dài n, trong mỗi dãy có đúng k thành phần bằng 1 là: Cnk Một kinh nghiệm nhỏ giáo viên cần hình thành cho các em trước khi đưa ra bài toán chia kẹo của Euler là: một bài toán có hai đối tượng chính có thể đưa về bài dãy nhị phân để giải dễ dàng hơn. Trước khi tiến hành hoạt động giữa thầy và trò nhằm giúp học sinh nắm bắt bài toán, giáo viên có thể chuẩn bị trước một số phương án bắc giàn vĩ mô như sau: Phương án 1: Bắc giàn dành cho học sinh có ý tưởng đưa bài toán về bài toán liên quan đến dãy nhị phân. ? Giả thiết của bài toán là gì? ! Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé. ? Yêu cầu của bài toán là gì? ! Đếm xem có bao nhiêu cách chia kẹo thỏa mãn yêu cầu bài toán? ? Theo em, trong bài toán có bao nhiêu đối tượng chính? ! Có hai đối tượng chính là em bé và kẹo. ? Điều này có gợi ý cho em ý tưởng gì không? ! Em sẽ đưa bài toán về bài toán liên quan đến dãy nhị phân. ? Vậy em phải quy ước đối tượng nào là 0, đối tượng nào là 1? ! Em nghĩ trong hai đối tượng chính thì một đối tượng là 0 còn đối tượng kia là 1. Ví dụ, em quy ước mỗi em bé là một số 0, mỗi chiếc kẹo là một số 1. ? Làm thế nào để có mỗi cách chia kẹo tương ứng với một dãy nhị phân nào đó? 17 ! Em phải xếp các số 0 và 1 thành một hàng. ? Vậy ý tưởng tiếp theo của em là gì? ! Nếu em bé được 0 kẹo thì em chỉ viết: 0. 1 ...1 Nếu em bé được nhận k chiếc kẹo thì em viết: 0 1{ k sè 1 Em sẽ viết liên tiếp từ em thứ nhất tới em thứ m để tạo thành dãy nhị phân có m số 0 và n số 1. ? Em có thể minh họa ý đó rõ hơn bằng một ví dụ cụ thể? ! Ví dụ một cách chia 7 kẹo giống nhau cho 3 em bé với em thứ 1 được 3 chiếc kẹo, em thứ 2 không được nhận chiếc kẹo nào còn em thứ 3 nhận 4 chiếc kẹo. Em viết 0111001111. ? Tốt lắm! Vậy bài toán ban đầu em đã biết cách giải? ! Mỗi cách chia kẹo tương ứng với một dãy nhị phân có độ dài (m+n); trong đó có m thành phần 0, n thành phần 1 và luôn có một thành phần 0 đứng đầu dãy. Do đó kết quả cần tìm là: Cn + m −1 ? Bây giờ nếu gọi xi là số kẹo em thứ i được nhận, i = 1, m , em có kết quả gì? ! Ta có phương trình: x1 + x2 +... + xm= n (1). ? Mỗi nghiệm tự nhiên của phương trình tuyến tính (1) là một bộ số (x1, x2,..., xm) thỏa mãn (1), với xi ∈ N, ∀i = 1, m . Em có tìm thấy có sự liên quan nào giữa mỗi nghiệm đó với một cách chia kẹo ở trên không? ! Mỗi nghiệm tương ứng với một cách chia kẹo và ngược lại. ? Vậy em rút ra được kết luận gì? m −1 ! Số nghiệm tự nhiên của phương trình (1) bằng Cn + m −1 . ? Em hãy ghi nhớ kết quả này để giải các bài toán tìm số nghiệm tự nhiên của phương trình dạng (1) với các xi bị chặn. Từ đó áp dụng kết quả thu được vào giải quyết các bài toán thực tế. Phương án 2: (Dành cho học sinh có ý tưởng đưa bài toán về bài toán tìm số nghiệm tự nhiên của một phương trình tuyến tính) ? Giả thiết của bài toán là gì? ! Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé. ? Yêu cầu của bài toán là gì? ! Đếm xem có bao nhiêu cách chia kẹo thỏa mãn yêu cầu bài toán? ? Ý tưởng của em là gì? m −1 18 ! Gọi xi là số kẹo em thứ i nhận được, i = 1, m . Khi đó số cách chia kẹo bằng số nghiệm tự nhiên của phương trình: x1 + x2 +... + xm= n (1). Nhưng đến đây em không làm tiếp được. ? Chúng ta thử cùng làm bài toán phụ sau: Cho một lưới gồm các ô vuông. Các nút được đánh số từ 0 đến (m -1) theo chiều từ trái sang phải và từ 0 đến n theo chiều từ dưới lên trên. Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút (0, 0) đến nút (m-1, n) nếu chỉ cho phép đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên. (m-1,n) n 0 1 0 1 0 1 0 0 1 (0,0) m-1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán phụ: ? Mỗi đường đi thỏa mãn bài toán có đặc điểm gì? ! Chỉ cho phép đi trên cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải hoặc từ dưới lên trên. ? Nghĩa là có 2 yếu tố cơ bản: đi ngang hoặc đi lên trên. Vậy ta có thể quy về bài toán liên quan đến dãy nhị phân được không? ! Có ạ. Em sẽ mã hóa mỗi đoạn đi lên bởi số 0, mỗi đoạn đi ngang bởi số 1 (mỗi đoạn có độ dài bằng độ dài của cạnh ô vuông ). ? Vậy mỗi đường đi thỏa mãn tương ứng với một dãy nhị phân. Mỗi dãy nhị phân đó có những đặc điểm gì? ……. ? Em thử xem kỹ lại giả thiết. Mỗi đường đi thỏa mãn còn có đặc điểm gì? ! Xuất phát từ nút (0, 0), kết thúc ở nút (m-1, n) chỉ được đi sang ngang từ trái qua phải hoặc đi từ dưới lên trên. ? Từ đặc điểm vừa nêu em có suy luận gì về số đoạn đi ngang và số đoạn đi lên trong mỗi đường? 19 ! Có đúng (m-1) đoạn đi ngang và n đoạn đi lên. Thế thì dãy nhị phân nêu trên có độ dài (m + n - 1) trong đó có đúng (m – 1) thành phần 0. Vậy bài toán phụ em đã có lời giải. ? Em hãy nhìn hình vẽ và coi như mỗi đường thẳng đứng lần lượt đi qua các nút (0,0), (1,0), … ( m – 1, 0) là m em bé thì yếu tố nào vai trò như những chiếc kẹo các em được nhận? Em thử nhìn vào hình vẽ chúng ta đã có ở trên xem sao? ! Em bé thứ nhất coi như đường thẳng đứng đầu tiên, vậy trên hình vẽ đường đi của chúng ta đi qua một đoạn của đường thẳng đứng này. Em bé thứ hai coi như đường thẳng đứng thứ hai, đường đi của chúng ta không đi qua đoạn nào của đường thẳng đứng này…Mà tổng số kẹo bằng đúng số đoạn đi lên trong mỗi đường đi. Em đã biết rồi! Trong trường hợp trên em bé thứ nhất được nhận một chiếc kẹo, em bé thứ hai không được chiếc kẹo nào… ? Vậy em đã nghĩ ra lời giải cho bài toán chia kẹo chưa? ! Xét mỗi đường đi thỏa mãn, gọi xi là số đoạn đi lên trên đường thẳng đứng qua mút ( i-1, 0), i = 1, m thì em có phương trình (1) nói trên. Mỗi đường đi thỏa mãn tương ứng với một nghiệm tự nhiên của (1). Mỗi m −1 nghiệm đó lại tương ứng với một cách chia kẹo. Có Cn + m −1 đường đi thỏa mãn, vậy có Cn + m −1 cách chia n kẹo giống nhau cho m em bé. Kĩ thuật 2: Tăng cường tự học thông qua tài liệu TRR Tự học là phương pháp phù hợp với đối tượng HS khá giỏi. GV cần từng bước hướng dẫn HS phương pháp tự học. Bắt đầu với cách tự ghi chép trong các giờ lên lớp. Cách lập kế hoạch học tập các chủ đề TRR cho phù hợp với bản thân. Cách tìm kiếm tài liệu trên mạng. 3.3. Biện pháp 3. Tập luyện cho HS giải các bài toán vận dụng các nguyên lí của TRR theo các cấp độ: nhuần nhuyễn – linh hoạt – sáng tạo. a. Mục đích, ý nghĩa của biện pháp Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm HS vận dụng được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, nhất định phải thực hiện thành công việc chuyển từ phương pháp dạy học theo lối m −1 20 “truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩm chất. b. Cơ sở khoa học của biện pháp Theo tác giả Bùi Văn Nghị (2009), năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao. Năng lực vận dụng những nguyên lí vào giải toán bao gồm những kĩ năng cơ bản: kĩ năng nhận diện nguyên lí cần vận dụng vào giải toán, kĩ năng phân tích để tìm lời giải bài toán, kĩ năng sáng tạo bài toán mới từ bài toán cũ… c. Cách thức thực hiện biện pháp Kĩ thuật 1: Tập luyện cho HS nhận diện ra NL cần vận dụng để từ đó tìm ra phương pháp giải bài toán GV hướng dẫn HS nắm chắc nội dung từng NL, nắm chắc các dạng bài tập cơ bản. Sau đó hướng dẫn học sinh nhận diện ra nguyên lí sẽ sử dụng để giải qua hệ thống các bài tập. Kĩ thuật 2: Từng bước phát triển năng lực giải TRR cho HS từ mở rộng, khái quát hóa đến bài tập lớn. Xuất phát từ những trường hợp cụ thể mở rộng dần bài toán bằng cách thêm bớt dữ kiện trong đề bài. Kĩ thuật 3: Tìm cách giải bài toán tổng quát nhờ xét những trường hợp cụ thể Tháng 11/2013 tại tỉnh Thái Bình đã diễn ra hội thảo môn Toán do các trường Chuyên khu vực các tỉnh Duyên Hải và Đồng bằng Bắc bộ đã tổ chức. Chủ đề của hội thảo là dạy học TRR như thế nào cho HS THPT. Kết luận của hội thảo đã khẳng định: Phương pháp tiếp cận nhiều chủ đề của TRR là từ những trường hợp nhỏ trong thực tế phát triển thành bài toán tổng quát. Con đường này được thầy giáo Nguyễn Thế Sinh (Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương) vận dụng trong bài viết: “Bắt đầu từ những trường hợp nhỏ”. Bài viết được đăng trên kỉ yếu của hội thảo và được xếp loại xuất sắc. Trong bài viết này tác giả đã đưa ra nhiều ví dụ và lí do nên vận dụng quan điểm này vào giải TRR.
- Xem thêm -