Tài liệu Dạy học mô hình hóa toán học ở bậc trung học báo cáo tổng kết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -------------- BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG TÊN ĐỀ TÀI DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC Ở BẬC TRUNG HỌC MÃ SỐ: CS.2013.19.36 CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: TS. NGUYỄN THỊ NGA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -------------- BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG TÊN ĐỀ TÀI DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC Ở BẬC TRUNG HỌC MÃ SỐ: CS.2013.19.36 Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài (Ký, họ tên, đóng dấu) Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 (ký, họ tên) DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA THỰC HIỆN ĐỀ TÀI - Phạm Anh Lý – Trường THPT Nguyễn Văn Côn – Tiền Giang ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH - Viện nghiên cứu LIG, Grenoble, Pháp Trường THPT Trường Chinh, Q.12, TPHCM MỤC LỤC ĐẶT VẤN ĐỀ ............................................................................................................................. 1 1. Tầm quan trọng và tính cấp thiết của đề tài ........................................................................ 1 2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề...................................................................................................... 1 3. Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................................................... 1 4. Cách tiếp cận, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu .......................................................... 2 5. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................................. 2 6. Cấu trúc báo cáo tổng kết ...................................................................................................... 2 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC ................................................................................................................................ 3 1.1. Mô hình hóa toán học là gì? ............................................................................................... 3 1.2. Quá trình mô hình hóa toán học ........................................................................................ 3 1.3. Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán .................................................................... 5 1.4. Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mô hình hóa toán học ........................... 6 1.5. Sự quan tâm đến mô hình hóa trong dạy học ở một số nƣớc khác ................................ 6 CHƢƠNG 2. MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Ở PHÁP VÀ VIỆT NAM ............................................................................... 7 2.1. Thể chế dạy học ở Pháp ...................................................................................................... 7 2.2. Thể chế dạy học ở Việt Nam ............................................................................................. 9 2.3. Kết luận ................................................................................................................................ 13 CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM ................................................................................................ 15 3.1. Các lựa chọn sƣ phạm của đồ án dạy học ......................................................................... 15 3.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm ......................................................................................... 16 3.3. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm ............................................................................. 16 3.4. Phân tích chi tiết các tình huống thực nghiệm ................................................................. 17 3.4.1. Phân tích chi tiết buổi thực nghiệm thứ nhất ................................................................ 17 3.4.2. Phân tích chi tiết buổi thực nghiệm thứ hai .................................................................. 22 KẾT LUẬN ................................................................................................................................. 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................................... 32 PHỤ LỤC 1 ................................................................................................................................. 35 PHỤ LỤC 2 ................................................................................................................................. 44 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT NỘI DUNG ĐẦY ĐỦ VIẾT TẮT Sách giáo khoa SGK Sách giáo viên SGV Mô hình O Mô hình dao động điều hòa Mô hình C Mô hình chuyển động tròn đều TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƢỜNG Tên đề tài: Dạy học mô hình hóa toán học ở bậc trung học Mã số: CS.2013.19.36 Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thị Nga Tel: 01215111606 E-mail: [email protected] Cơ quan chủ trì đề tài : Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện : - Phạm Anh Lý, Giáo viên trường THPT Nguyễn Văn Côn, Tiền Giang - Viện nghiên cứu LIG, Grenoble, Pháp - Trường THPT Trường Chinh, TPHCM Thời gian thực hiện: 09/ 2013 – 09/2014 1. Mục tiêu: - Làm rõ cơ sở lý luận liên quan đến mô hình hóa toán học, những khó khăn và trở ngại của dạy học mô hình hóa cũng như sự quan tâm đến vấn đề dạy học mô hình hóa ở các nước khác nhau - Làm rõ các đặc trưng và ràng buộc của thể chế dạy học Pháp và Việt Nam liên quan đến vấn đề dạy học mô hình hóa trong chủ đề các hàm số lượng giác - Thiết kế và thực nghiệm một số tình huống dạy học các hàm số lượng giác bằng mô hình hóa. 2. Nội dung chính: - Nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu và các công trình đã có liên quan đến vấn đề mô hình hóa toán học ở Việt Nam và các nước khác. - Phân tích và so sánh vấn đề mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề hàm số lượng giác ở Việt Nam và Pháp - Xây dựng và thực nghiêm các tình huống dạy học các hàm số lượng giác thông qua mô hình hóa toán học. 3. Kết quả chính đạt đƣợc (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế-xã hội): - Làm rõ được các cơ sở lý luận liên quan đến mô hình hóa và dạy học mô hình hóa toán học - Xác định được các đặc trưng và ràng buộc của thể chế dạy học toán ở Pháp và Việt Nam liên quan đến dạy học mô hình hóa trong chủ đề dạy học các hàm số lượng giác - Đề xuất được các định hướng cụ thể trong việc vận dụng mô hình hóa vào dạy học toán - Xác nhận được tính khả thi của các đề xuất trên dựa vào thực nghiệm các tình huống dạy học  Số học viên cao học và sinh viên đƣợc đào tạo : 2  Số bài báo đã công bố : 4  Địa chỉ có thể ứng dụng (tên địa phương, đơn vị ứng dụng) : + Khoa Sư Phạm và các Trường Đại học Sư Phạm + Các trường phổ thông SUMMARY Project Title: Teaching of mathematical modeling in secondary school Code number: CS.2013.19.36 Coordinator: Nguyen Thi Nga, Ph.D Implementing Institution: Department of Mathematic, Ho Chi Minh city University of Education Cooperating Institution(s): - Institution of research LIG, Grenoble, France - Truong Chinh High school, Ho Chi Minh city Duration: from 09 / 2013 to 09/2014 1. Objectives: - Clarify the rationale related to mathematical modeling, the difficulties and obstacles of teaching modeling as well as attention to the issue of teaching modeling in different countries - Clarify the characteristics and constraints of teaching institutions in France and Vietnam related to teaching modeling in the topic of trigonometric functions - Design and experiment teaching situations of trigonometric functions by modeling. 2. Main contents: - Study and composite the documents related to mathematical modeling in Vietnam and other countries. - Analysis and compare the modeling in teaching trigonometric functions in Vietnam and France - Design and experiment teaching situations of trigonometric functions by modeling. 3. Results obtained: - Clarify the rationale related to teaching modeling and mathematical modeling - Identify the characteristics and constraints of teaching institutions in France and Vietnam related to teaching modeling in the topic of trigonometric functions - Propose the specific details of the application of modeling to teach mathematics - Confirm the feasibility of the proposal based on experimental teaching situations ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Tầm quan trọng và tính cấp thiết của đề tài Ngày nay, mục đích lớn nhất của việc dạy học toán là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông và những kỹ năng cơ bản để bước vào cuộc sống sau này. Đa số học sinh phổ thông sau này không phải là người làm toán mà là người sử dụng toán nên việc dạy học toán cần phải chuẩn bị cho học sinh khả năng áp dụng kiến thức linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống, hình thành và nâng cao năng lực giải quyết vấn đề của học sinh. Để đạt được mục đích này, việc chú trọng vấn đề mô hình hóa trong dạy học là thật sự cần thiết. Trong các nội dung toán được đề cập ở trường phổ thông, lượng giác là một trong những chủ đề có thể tạo vùng sống cho mô hình hóa toán học bởi vì các lý do sau: - Lượng giác nói chung và các hàm số lượng giác nói riêng có rất nhiều ứng dụng trong vật lý và trong thực tế cuộc sống - Nghiên cứu lịch sử toán học cho thấy các bảng lượng giác, hàm số lượng giác nảy sinh trong lịch sử là để đáp ứng các nhu cầu của thực tế cuộc sống - Trong chương trình toán phổ thông, các giá trị lượng giác, hàm số lượng giác xuất hiện ở lớp 9, 10, 11 và trong chương trình vật lý, chúng hiện diện trong các chủ đề được nghiên cứu ở lớp 10 và lớp 12. Do đó, nghiên cứu về chủ đề này có thể đề cập đến vấn đề dạy học liên môn giữa toán học và vật lý phổ thông. 2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề Mô hình hóa giữ vị trí ngày càng quan trọng trong chương trình môn toán của nhiều nước. Song song đó, những nhiệm vụ mô hình hóa toán học giữ tầm quan trọng ngày càng tăng trong xã hội chúng ta. Tuy nhiên, ở Việt Nam, các nghiên cứu về mô hình hóa trong dạy học toán chưa nhiều. Thuật ngữ mô hình hóa còn khá mới lạ trong lĩnh vực giảng dạy ở trường phổ thông vì đa số các kiến thức toán được giảng dạy một cách trực tiếp từ tiếp cận toán học. Vấn đề mô hình hóa trong chủ đề hàm số lượng giác chưa được đề cập trong các tài liệu nghiên cứu ở nước ta. Hiện nay, chỉ có một số nghiên cứu đề cập đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học hàm số, dạy học phương trình và xác suất thống kê. 3. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của đề tài là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra sau đây: 1. Mô hình hóa toán học là gì? Tại sao mô hình hóa lại cần thiết trong dạy học toán? Những khó khăn và trở ngại của dạy học mô hình hóa là gì? Sự quan tâm đến dạy học mô hình hóa toán học ở các nước khác nhau như thế nào? 1 2. Liên quan đến các hàm số lượng giác, vấn đề mô hình hóa toán học được đề cập như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa ở Việt Nam và Pháp? Các bài toán về mô hình hóa hay các bài toán áp dụng trong các sách giáo khoa có những đặc trưng gì? 3. Làm thế nào để xây dựng các tình huống dạy học các hàm số lượng giác bằng mô hình hóa các hiện tượng thực tế? 4. Cách tiếp cận, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu Để tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra ở trên, chúng tôi dự kiến sẽ tiến hành các nghiên cứu sau: - Nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu và các công trình đã có liên quan đến vấn đề mô hình hóa toán học ở Việt Nam và các nước khác. - Phân tích và so sánh vấn đề mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề hàm số lượng giác ở Việt Nam và Pháp. - Xây dựng và thực nghiêm các tình huống dạy học các hàm số lượng giác thông qua mô hình hóa toán học. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận về mô hình hóa - Nghiên cứu, so sánh chương trình và SGK Việt Nam và Pháp về chủ đề mô hình hóa các hàm số lượng giác - Nghiên cứu thực nghiệm để kiểm chứng tính khả thi của các tình huống đã được xây dựng 6. Cấu trúc báo cáo tổng kết Báo cáo tổng kết gồm có phần mở đầu, kết luận và 3 chương sau: Chương 1: Tổng quan một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán học Chương 2: Mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề các hàm số lượng giác ở Pháp và Việt Nam Chương 3: Thực nghiệm 2 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC 1.1. Mô hình hóa toán học là gì? Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này. Mô hình toán học có thể được thể hiện thông qua đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ thống các phương trình… Mô hình hóa toán học có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và cuộc sống. Ví dụ một số mô hình toán học quen thuộc sau đây: + Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số. Một mô hình đơn giản cho bài toán này là mô hình phát triển Malthus - mô hình mô tả sự tăng trưởng của dân số theo hàm mũ dựa trên sự bất biến của tỉ lệ của hệ số phức. Mô hình này xác định bởi công thức: P(t) = P0er.t Với P0: Số dân ban đầu (Initial Population); r: tỉ lệ tăng trưởng, t: thời gian. + Trong cơ học cổ điển: Mô hình dao động của dây, của màng; mô hình chuyển động của tên lửa; mô hình chuyển động của tàu ngầm... Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa. Về mặt động học dao động điều hòa được miêu tả bởi hệ thức: q = Asin(kt + α) Ở đây, q là tọa độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc tọa độ); A là tọa độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và được gọi là biên độ dao động; (kt + α) là argument của sin gọi là pha dao động; α là pha ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động. 1.2. Quá trình mô hình hóa toán học Theo Coulange (1997), quá trình mô hình hóa toán học một vấn đề thực tiễn được mô tả theo sơ đồ sau: 3 Hình 1. Quá trình mô hình hóa toán học (Theo Coulange (1997)) Quá trình này gồm 4 bước: - Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian. Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo. Mô hình trung gian giữa tình huống ngoài toán học và mô hình toán học cần xây dựng biểu thị một cấp độ trừu tượng hóa đầu tiên của “thực tiễn”. Mô hình này tiến triển từ từ qua việc mô hình hóa: một mô hình trung gian có thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với tình huống thực tế được xem xét hoặc so với mô hình toán học cần xây dựng. - Bước 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính. Khi có mô hình trung gian ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét. Từ đó dẫn đến việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của tình huống. Như vậy mô hình toán học là sự trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng. - Bước 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học. Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học hình thành ở bước 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp. - Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3. Trở lại tình huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu trả lời của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình hóa. Trong bước này có hai khả năng: * Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế. 4 * Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Khi đó cần xem xét các nguyên nhân sau: - Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình. - Mô hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét. - Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng. - Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế. Trong trường hợp này, cần phải thực hiện lại quy trình trên cho đến khi tìm được mô hình toán học thích hợp cho tình huống. 1.3. Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán Tầm quan trọng và các ứng dụng của mô hình toán học trong giảng dạy và học tập đã được đề cập trong nhiều nghiên cứu (Pollak, 1970; Blum & Niss, 1991; Lesh & Doerr, 2003). Hiện nay, mô hình hóa được mọi người quan tâm vì nó cho phép liên kết toán học với các môn học khác, có thể đóng góp phần nào trong việc hướng tới ý nghĩa của việc học tập và giảng dạy toán học. Thật vậy, mô hình hóa cho phép làm rõ lợi ích của toán học, giúp phát triển ở học sinh khả năng phê phán đối với việc giải quyết các vấn đề trong cuộc sống thực tiễn, chuẩn bị cho họ những kiến thức và kỹ năng cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp đa dạng sau này. Theo Barbosa (2002), mô hình hóa như là một môi trường học tập thuận lợi để tìm hiểu các lĩnh vực khác của kiến thức thông qua toán học: “Mô hình hóa là một môi trường học tập mà học sinh được mời đến để tìm hiểu và/hoặc điều tra, bằng phương tiện của toán học, những tình huống phát sinh trong các lĩnh vực kiến thức khác”. Việc ứng dụng mô hình hóa trong dạy học toán có những ưu điểm sau: • Học sinh có cơ hội tham gia giải quyết một số vấn đề thực tế chứ không đơn thuần là tìm hiểu làm thế nào để giải một phương trình, khảo sát một hàm số,… • Việc học tập sẽ có một ý nghĩa thực sự, nói cách khác, nó trở nên dễ dàng kết nối với các tình huống và các vấn đề khác; • Hầu hết các học sinh dễ nhớ một vấn đề mô hình hóa mà họ đã dành nhiều thời gian hơn so với việc đơn thuần là giải một bài toán toán học; • Việc dạy học mô hình hóa có thể triển khai ở bất kỳ mức độ giáo dục nào từ tiểu học đến trung học và cả đại học. 5 1.4. Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mô hình hóa toán học Mặc dù mô hình hóa rất có ích trong việc tổ chức dạy học toán học ở trường phổ thông nhưng cũng có không ít trở ngại. Bài toán mô hình hóa thực tế chắc chắn là phương pháp quan trọng nhất và cũng là khó nhất trong các phương pháp khoa học. Chuyển từ cụ thể sang trừu tượng, từ quan sát sang diễn đạt đòi hỏi ta phải có khả năng tóm tắt thế giới thực tế bằng mộ cách biểu diễn đã đơn giản hóa…… (L’enseignement des sciences au lycée, BOEN Hors série, no6, août 1999, p. 5) Theo Werner Blum (1993) việc dạy học mô hình hóa có các trở ngại sau: - Những trở ngại từ quan điểm của giáo viên Lựa chọn các vấn đề để thảo luận trong lớp học không phải là đơn giản, trong thực tế đó là nghệ thuật của giáo viên. Một tình huống thực tế thực sự hay một tình huống nhân tạo ở mức độ mô hình hóa như thế nào? Tình huống như thế nào là phù hợp, đủ cho việc giảng dạy? Điều này đòi hỏi giáo viên phải đầu tư rất nhiều và những cái họ có trong tay phải được cập nhật và phải được điều chỉnh phù hợp cho từng lớp học, ngoài ra cũng đòi hỏi khả năng quản lý tình hình mở trong lớp học của giáo viên. - Những trở ngại từ quan điểm của học sinh Mô hình hoá làm cho bài học và các kỳ thi toán học được yêu cầu cao hơn và khó dự đoán hơn. Các học sinh không muốn thử nghiệm một phương pháp tiếp cận mới. Vì vậy, giáo viên cần thiết phải chọn được một vấn đề hoặc tình huống hay, kích thích tính tò mò của học sinh. - Những trở ngại từ quan điểm dạy và đánh giá Mô hình hoá đòi hỏi mất nhiều thời gian hơn so với các phương pháp truyền thống và khó khăn để đánh giá hơn. Thật vậy, những gì không kiểm tra sẽ không được thực hiện nghiêm túc bởi các học sinh hoặc giáo viên. 1.5. Sự quan tâm đến mô hình hóa trong dạy học ở một số nƣớc khác Theo nghiên cứu của Werner Blum (1993), ở các nước như Mỹ, Úc, Đức, Canada và Anh, có rất nhiều tài liệu về dạy học mô hình hóa được chính thức phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học đến trung học phổ thông và đại học. Trong các tài liệu này, người ta xây dựng những ví dụ, những tình huống cụ thể để hỗ trợ cho giáo viên trong việc triển khai dạy học mô hình hóa. Điều này là thực sự có ý nghĩa để tạo “vùng sống” cho dạy học mô hình hóa vì nó khắc phục được các trở ngại đã nêu ra ở phần trên. Ở Việt Nam và Pháp, vấn đề dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa được quan tâm ở mức độ nào? Nó có những đặc trưng gì và thể hiện ra sao trong chủ đề các hàm số lượng giác? Chúng tôi sẽ làm rõ vấn đề này trong chương tiếp theo của báo cáo. 6 CHƢƠNG 2. MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Ở PHÁP VÀ VIỆT NAM 2.1. Thể chế dạy học ở Pháp a. Vấn đề mô hình hóa trong dạy học Tương tự như nhiều nước khác, thể chế Pháp mong muốn đưa mô hình hóa vào dạy học toán và các môn học khác. Trong luật về định hướng và chương trình cho tương lai của trường học (23/05/2005), liên quan đến phạm vi văn hóa khoa học và công nghệ, việc thực hành một “phương pháp tiếp cận khoa học” được yêu cầu như một năng lực của học sinh. Phương pháp đó được mô tả như sau: “Biết quan sát, đặt câu hỏi, trình bày một giả thuyết và hợp thức hóa nó, tranh luận, mô hình hóa theo cách cơ bản; - Hiểu sự liên hệ giữa các hiện tượng tự nhiên và ngôn ngữ toán học được áp dụng ở đó và hỗ trợ mô tả các hiện tượng này.” Tài liệu kèm theo chương trình lớp Terminale1 S, ES đã đưa vào tường minh những chỉ dẫn về việc giảng dạy mô hình hóa ở THPT: “Ở cấp độ THPT, chúng ta hướng dẫn bước đầu cho học sinh việc mô hình hóa nhờ vào một số tình huống thực tế mà chúng ta cố ý làm đơn giản hóa đến mức tối đa và vì vậy đối với chúng, mô hình thô đã được thiết lập trở nên sáng sủa hoặc cho phép đưa ra một dự đoán: khó khăn lúc đó là việc giữ lại nghĩa và sự nhất quán cho vấn đề được đơn giản hóa.” (Document d’accompagnement des programmes des classes Terminale S, ES) b. Hàm số lƣợng giác trong dạy học Toán và Vật lý Trong chương trình phổ thông của Pháp, sự hiện diện của các nội dung liên quan đến hàm số lượng giác và hàm số tuần hoàn được mô tả như sau: 1 Tương đương lớp 12 của Việt Nam 7 Lớp Toán học 3ième (lớp 9) Vật lý Điện áp tuần hoàn, điện áp hình sin : chu kì, tần số 2nde (lớp 10) Hàm y = sin x, y = cos x Thay đổi luân phiên của ngày Tính tuần hoàn, chu kì và đêm, các pha của mặt trăng, chuyển động quay, vận tốc góc 1ère (lớp 11) Hàm số tuần hoàn - Sóng tuần hoàn, sóng hình Terminale sin, âm thanh (lớp 12) - Mạch điện dao động - Con lắc đơn Bảng 1. Hàm số lượng giác trong SGK Pháp Như vậy, các yếu tố về hàm số lượng giác đã xuất hiện ngay từ lớp 9 trong chương trình Vật lý của Pháp trước khi chúng được đề cập trong chương trình Toán. Tuy nhiên, chúng chỉ được tiếp cận dưới dạng đồ thị như là hình ảnh mô tả điện áp tuần hoàn, điện áp hình sin. Các đồ thị này được khai thác trong việc đọc thông tin về chu kỳ, tần số của hiện tượng. Tiếp đó, các hàm số y = sin x và y = cos x được nghiên cứu ở môn toán lớp 11 về tính tuần hoàn và chu kì. Trong chương trình Vật lý 12, SGK Pháp tiếp tục nghiên cứu về các hiện tượng tuần hoàn có thể mô tả bằng một hàm số dạng sin như sóng hình sin, mạch điện dao động, con lắc đơn,.. Tuy nhiên, chúng tôi cũng nhận thấy là công thức hàm số lượng giác ở đây rất ít khi xuất hiện mà chủ yếu chúng được nghiên cứu dưới dạng đồ thị. c. Mô hình hóa toán học trong dạy học hàm số lƣợng giác Trong dạy học chủ đề các hàm số lượng giác, chúng tôi thấy xuất hiện những tình huống mô hình hóa mà hàm số được cho dưới dạng đồ thị hoặc biểu thức. Việc khai thác đồ thị được nhấn mạnh qua các yêu cầu xác định chu kì, tần số,… của các hiện tượng như âm thanh, dòng điện. Yếu tố thời gian luôn tác động trong tất cả các tình huống và nó là đơn vị của chu kì. Chỉ có mô hình của dao động điều hòa (mô hình O) được nghiên cứu trong khi mô hình của chuyển động tròn đều (mô hình C) không xuất hiện. Ví dụ, xét bài tập sau trong SGK lớp Seconde (tương đương lớp 10 ở Việt Nam): 8 Dòng điện sử dụng trong các thiết bị điện tử gia đình là dòng điện xoay chiều, nghĩa là nó di chuyển qua lại theo cả 2 chiều trong dây điện. Cường độ I của dòng điện trong một cái máy được cho bởi công thức sau: I(t) = 2 sin (100πt), cường độ I tính theo Ampère (A) và thời gian t tính theo giây. a) Xác định chu kì của hàm số t I(t). b) Xác định tần số của nó. (Biết rằng tần số là nghịch đảo của chu kì F = 1 , đơn vị T tần số là Hertz : Hz) c) Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của I. d) Ở thời điểm t = 0,1025 s, cường độ dòng điện là bao nhiêu? e) Biểu diễn hàm số I trong một hệ tọa độ vuông góc với đơn vị như sau: 1 cm cho 1 giây trên trục hoành và 1 cm cho 1 ampère trên trục tung. (Mathématique Seconde, tr. 292) Mô hình toán học O (hàm số lượng giác) được cho sẵn ngay trong đề bài. Không có minh chứng nào cho thấy mô hình nảy sinh từ việc nghiên cứu các hiện tượng. Do đó, phương pháp mô hình hóa không phải là cái được thua của bài toán trên. Ở đây, ta thấy thể chế Pháp quan tâm đến việc khai thác các thông tin về hiện tượng từ mô hình toán học của nó (biểu thức đại số). Câu hỏi cuối cùng không phục vụ cho việc nghiên cứu hiện tượng mà cho chúng ta thấy sự hiện diện của hợp đồng didactic trong bài tập này: đó là hợp đồng về việc nghiên cứu hàm số. Nó cho thấy sự chuyển đổi giữa hai hệ thống biểu đạt của hàm số (biểu thức và đồ thị) là một mong đợi của thể chế. Điều này cũng được nhìn thấy trong các bài tập liên quan đến Vật lý còn lại trong SGK Pháp. 2.2. Thể chế dạy học ở Việt Nam a. Vấn đề mô hình hóa trong dạy học Trong các năm gần đây, việc áp dụng toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn và của các môn khoa học khác khá được quan tâm trong chương trình và sách giáo khoa toán của Việt Nam. Chẳng hạn, chương trình môn toán ở trung học phổ thông (THPT) nhấn mạnh quan điểm này như sau : “Chương trình được xây dựng và phát triển theo các quan điểm sau: […] + Lựa chọn các kiến thức toán học cơ bản, cập nhật, thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giản, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung giáo dục, thể hiện vai trò công cụ của môn toán. + Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền với thực tiễn. […]” (Trích chương trình THPT môn Toán, 2006) 9 “Mục tiêu đầu tiên của chương trình cần đạt được là ý nghĩa, ứng dụng của các kiến thức toán học vào đời sống, vào việc phục vụ các môn học khác.” (Trích chương trình Đại số và Giải tích 11, 2006) Như vậy, ứng dụng thực tiễn của toán học và sự liên môn trong đó toán học đóng vai trò công cụ đã được đề cập tường minh trong chương trình trung học. Tuy nhiên, vấn đề dạy học mô hình hóa không được nhấn mạnh trong chương trình và sách giáo khoa ở Việt Nam. Chúng tôi chỉ tìm thấy dấu vết của sự mô hình hóa trong việc ứng dụng các kiến thức toán học vào một số vấn đề nảy sinh từ thực tế. Trong sách giáo khoa toán THPT, các bài tập loại này rất hiếm và thường được đặt trong phần bài đọc thêm hoặc ở phần đầu một số chương với vai trò dẫn dắt đến kiến thức mới. b. Hàm số lƣợng giác trong dạy học Toán và Vật lý Trong chương trình phổ thông của Việt Nam, sự hiện diện của các nội dung liên quan đến hàm số lượng giác được mô tả như sau: Lớp Toán học 10 Các giá trị lượng giác của một góc bất kì, đường tròn lượng giác 11 Hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cotan x 12 Vật lý Chuyển động tròn đều Dao động điều hòa, con lắc Âm thanh, sóng hình sin Dòng điện xoay chiều Bảng 2. Hàm số lượng giác trong SGK Việt Nam Như vậy, chuyển động tròn đều được đề cập trong môn Vật lý lớp 10 trước khi các hàm số lượng giác được đề cập trong toán học. Tuy nhiên, ở đây SGK chỉ nghiên cứu về tần số góc, chu kì, vectơ gia tốc,… còn phương trình của nó không được nhắc đến. Tiếp đó, hàm số lượng giác được nghiên cứu trong phân môn toán ở lớp 11 và ứng dụng của nó trong các vấn đề Vật lý như sóng, âm thanh, dao động điều hòa,… được đề cập ở chương trình vật lý lớp 12. Chúng tôi nhận thấy điểm khác biệt lớn so với SGK Pháp là đồ thị hình sin rất ít khi xuất hiện trong môn Vật lý ở Việt Nam. Thay vào đó, chương trình Vật lý 12 nhấn mạnh đến công thức biểu diễn các dao động điều hòa (hàm cosin). 10 c. Mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề các hàm số lƣợng giác Ban cơ bản Trong SGK lớp 10 và thậm chí trong chương 1 : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác của SGK lớp 11, chúng tôi không tìm thấy bất cứ tình huống mô hình hóa nào gắn với các hàm số lượng giác, hàm số tuần hoàn. Ở đây, chỉ hiện diện các bài toán trong nội bộ toán học. Mối liên hệ giữa toán và vật lý chỉ xuất hiện một lần trong bài học về đạo hàm bậc 2 của SGK lớp 11. Ở đầu chương, các tác giả giới thiệu những bài toán trong vật lý liên quan đến vận tốc tức thời, cường độ dòng điện tức thời dẫn đến khái niệm đạo hàm. Điều này cho thấy sự hữu ích của toán học trong việc nghiên cứu các hiện tượng thực tế đặc biệt là vật lý. Đạo hàm bậc hai f’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t. (Đại số và Giải tích 11, Ban cơ bản, tr. 173) Nhận xét này được áp dụng bằng một ví dụ sau đó liên quan đến dao động điều hòa. Xét một chuyển động có phương trình s(t) = A sin (ωt+φ) (A, ω, φ là hằng số). Tìm gia tốc tức thời của chuyển động ở thời điểm t. (Đại số và Giải tích 11, Ban cơ bản, tr. 173) Như vậy, mô hình đã được cho sẵn và không được giải thích. Mục tiêu duy nhất của bài dường như là xác định đạo hàm của hàm số lượng giác và áp dụng nhận xét trước đó. Người ta không quan tâm đến tính tuần hoàn của hàm số ở đây. Ban nâng cao Dao động điều hòa (thể hiện mối liên hệ giữa toán và vật lý liên quan đến hàm số lượng giác) chỉ được đề cập trong bài đọc thêm ở sau bài Hàm số lượng giác. Như vậy, nó không được hiện diện trong bài học như một kiến thức được ưu tiên. Ở đó, dao động điều hòa được trình bày như sau: Hiện tượng tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều hòa được mô tả bởi hàm số y = A sin (ωx+α) + B trong đó A, B, ω và α là những hằng số, A và ω khác 0. Đó là hàm số 2 tuần hoàn với chu kì ; A gọi là biên độ.  (SGK Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao, tr. 15) Guồng nước được đưa vào như một ví dụ về chuyển động tròn đều. Một guồng nước có bán kính 2,5 m, có trục quay ở cách mặt nước 2 m, quay đều mỗi phút một vòng (hình 1.16). Gọi y (mét) là « khoảng cách » từ mặt nước đến một chiếc gầu của guồng nước ở thời điểm x (phút) (quy ước y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước 1 và y < 0 khi gầu ở dưới nước). Biết rằng sau khi khởi động phút thì chiếc gầu đó ở 2 vị trí cao nhất của guống nước. Từ các điều đó ta suy ra:   1  y = 2 + 2, 5 sin  2  x    4    11 Đồ thị của hàm số này có dạng ở hình 1.17 : (SGK Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao, 15-16) Hình vẽ này cho thấy sự chuyển đổi qua lại giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa. Tuy nhiên, bước chuyển này không được quan tâm trong bài tập của SGK có cùng các dữ liệu với ví dụ trên. Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó cách mặt nước 2 m (hình 1.24). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công thức :   1  h = y với y = 2 + 2, 5 sin  2  x    4    x là thời gian quay của guồng (x ≥ 0), tính bằng phút ; ta quy ước y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước. a) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất ? b) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất ? c) Chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên khi nào ? (SGK Đại số và giải tích lớp 11 nâng cao, tr. 32) Các mô hình toán học chuyển động tròn đều (hình vẽ 1.24) và da0 động điều hòa (y = 2 + 2, 5 sin   1   2  x  4   ) được cho sẵn chứ không được xây dựng. Tuy nhiên, để trả lời các câu hỏi đề ra thì    việc quay lại mô hình chuyển động tròn đều không phải là mong đợi của thể chế. Ở đây, mô hình này chỉ đơn giản có vai trò là minh họa cho guồng nước. Bài tập này hướng học sinh vào hợp đồng didactic của việc giải các phương trình lượng giác. 12