Tài liệu Dạy học hình học lớp 11 theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ XUÂN NAM DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ XUÂN NAM DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán học Mã số: 8 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đào Thái Lai THÁI NGUYÊN - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực. Kết quả nghiên cứu chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả luận văn Vũ Xuân Nam i LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, Em xin được bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Đào Thái Lai. Thầy đã hướng dẫn em rất nhiệt tình, tận tâm và trách nhiệm giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Lí luận và Phương pháp dạy học môn toán, Phòng Đào tạo sau đại họcĐại học Thái NguyênTrường Đại học Sư phạm đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập vànghiên cứu đề tài. Xin cảm ơn Ban giám hiệu và đồng nghiệp trường THPT Lương Thế Vinh, Vụ Bản, Nam Định đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, công tác và thực hiện luận văn tốt nghiệp này. Tuy đã có nhiều cố gắng, song chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân tình của các thầy cô giáo, đồng nghiệp và bạn bè quan tâm. Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019 Tác giả Vũ Xuân Nam ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... ii MỤC LỤC ................................................................................................................... iii DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT ...................................................................................... iv MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 2 3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu............................................................... 2 4.Giả thuyết khoa học ................................................................................................... 2 5. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài ............................................................................... 2 6. Phương pháp tiến hành nghiên cứu .......................................................................... 2 7. Cấu trúc của luận văn................................................................................................ 3 Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..................................................... 4 1.1. Một số vấn đề về phát triển năng lực lập luận toán học trong hình học lớp 11 ............ 4 1.1.1. Năng lực Toán học (theo Niss Mogens và theo CT GDPT mới) ....................... 4 1.1.2 Về năng lực lập luận toán học ............................................................................. 5 1.1.3. Lập luân toán học và NL lập luận toán học ........................................................ 7 1.1.4. Kĩ năng thành phần và các tình huống, cơ hội rèn luyện NL LL toán học ........ 9 1.1.5. Các mức độ của NL lập luân toán học .............................................................. 18 1.2. Nội dung dạy học hình học lớp 11 theo hướng phát triển NL LL toán học cho học sinh THPT .......................................................................................... 19 1.3. Những yêu cầu đối với việc dạy học hình học lớp 11 theo hướng phát triển NN LL toán học cho học sinh THPT ............................................................... 20 1.4. Thực trạng vận dụng phát triển NL LL toán học trong dạy học hình học lớp 11 cho HS THPT .............................................................................................. 20 1.4.1. Thực trạng năng lực lập luận toán học của học sinh khi học Hình học lớp 11 cho học sinh THPT ..................................................................................... 20 1.4.2. Thực trạng việc dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển năng lực lập luận cho học sinh THPT ............................................................................ 21 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .............................................................................................. 23 iii Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM VỀ DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HS THPT ............................................................................................... 24 2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp .............................................. 24 2.1.1. Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm phải góp phần quan trọng giúp học sinh lĩnh hội tốt các tri thức, kỹ năng toán học và hoàn thành các nhiệm vụ khác của môn học. ............................................................................................. 24 2.1.2. Định hướng 2: Các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng phát triển năng lực lập luận toán học cho học học sinh trong dạy học Toán ở trường trung học phổ thông. .................................................................................................. 24 2.1.3. Định hướng 3: Xây dựng các biện pháp sư phạm phải dựa trên nền tảng kiến thức vốn có của người học. ...................................................................... 24 2.1.4. Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm phải khả thi và góp phần đổi mới phương pháp dạy học ở bậc phổ thông. ........................................................... 24 2.2. Một số biện pháp sư phạm về dạy học Hình học lớp 11 cho học sinh THPT theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học cho học sinh ...................... 24 2.2.1. Biện pháp 1. Giúp HS PT khả năng dự đoán, phát hiện, định hướng lời giải các bài toán Hình học lớp 11 .................................................................... 24 2.2.2. Biện pháp 2: Giúp học sinh phát triển khả năng rèn luyện một số kĩ năng thành phần của NL lập luận toán học .............................................................. 29 2.2.3. Biện pháp 3: Phát triển NL lập luận toán học khi dạy hoc các tình huống DH điển hình: Dạy học khái niệm, dạy học định lý, dạy học giải toán ........... 43 2.2.4. Biện pháp 4: Cung cấp cho HS những kiến thức về suy luận logic trong hình học lớp 11 ................................................................................................ 51 2.2.5. Biện pháp 5: Sửa sai lầm trong LL toán học .................................................... 53 2.2.6. Biện pháp 6. Xây dựng hệ thống bài tập, nhằm nâng cao dần mức độ phát triển của năng lực lập luận toán học ................................................................ 60 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .............................................................................................. 90 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................... 91 3.1. Mục đích thực nghiệm ......................................................................................... 91 iv 3.2. Đối tượng thực nghiệm ........................................................................................ 91 3.3. Tổ chức thực nghiệm ........................................................................................... 91 3.4. Nội dung thực nghiệm ......................................................................................... 92 3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................ 100 3.5.1. Thống kê kết quả định tính: (Phiếu số 2 và phiếu số 3) ................................. 100 3.5.2. Thống kê kết quả định lượng .......................................................................... 100 3.5.3. Đánh giá thực nghiệm ..................................................................................... 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 104 PHỤ LỤC....................................................................................................................... v DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT VIẾT TẮT VIẾT ĐẦU ĐỦ DH Dạy học GV Giáo viên HS Học sinh LL Lập luận NL Năng lực PT Phát triển SGK Sách giáo khoa TH Toán học THPT Trung học phổ thông Tr. Trang iv MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Nghị định 29-NĐ/TƯ ngày 4 tháng 11 năm 2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục Việt Nam đã được xác định: “ Đổi mới căn bản giáo dục, đào tạo là đổi mới những vấn đề lớn, cốt lõi, đổi mới về chất, đổi mới từ gốc rễ, đổi mới có tính chất bước ngoặt với một tinh thần và thái độ kiên quyết để tạo ra chuyển biến mạnh mẽ về chất lượng và hiệu quả giáo dục. Đổi mới toàn diện là đổi mới những vấn đề cấp thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, phương pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện đảm bảo thực hiện”.Luật giáo dục sửa đổi ban hành ngày 27/06/2005 cũng đã thể chế hóa “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng và thực tiễn; tác động đến tình cảm; đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”. Toán học là môn học quan trọng trong nhà trường THPT việc phát triển năng lực toán học là quan trọng, cấp thiết. Việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng lấy học sinh làm trung tâm đã được triển khai thực hiện ở các nhà trường. Dạy học môn Toán trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay, cần quan tâm nghiên cứu xây dựng và tổ chức các hoạt động học tập để hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh. Việc tổ chức các hoạt động học tập hình thành các năng lực cụ thể gắn với nội dung chương trình, SGK môn Toán sẽ góp phần làm rõ hơn định hướng dạy học phát triển năng lực toán học trong hoạt động và bằng hoạt động tích cực, tự giác, sáng tạo của HS. Trong khoảng 2500 năm tồn tại của mình, toán học đã có những sự biến đổi đáng kể về chất. Những sự biến đổi đó đã diễn ra ở cả những khái niệm cơ sở cũng như trong cách lập luận toán học. Ở đây, cần chú ý rằng, khi đặt vấn đề lập luận toán học nói riêng và nghiên cứu khoa học nói chung, cùng với việc xác lập cơ sở nhận thức luận đảm bảo tính chân lý của các tư tưởng khoa học, các nhà khoa học thường lấy tính phi mâu thuẫn logic làm tiêu chuẩn chỉ đạo (Vũ Văn Viên,[9]). Những biến đổi nói trên có mối liên hệ chặt chẽ với những quan điểm của Mogens Niss và nhiều nghiên cứu khácđã chỉ ra các năng lực toán học cần phát triển cho HS phổ thông. Một trong những năng lực đó là “ Lập luận toán học”.Nội dung dạy học Hình học lớp 11 là một trong những nội dung hay và khó của chương trình lớp 11 bậc THPT, thường gặp các đề thi THPTQG, HSG các cấp. Dạy học về vấn đề 1 này chứa đựng tiềm năng tốt để phát triển năng lực lập luận toán học. Tuy nhiên dạy học Hình học lớp 11 ở trường THPT hiện nay do thời gian giới hạn chương trình, các bài tập còn đơn giản, giảm tải chương trình, không hiểu được bản chất, tư duy máy móc, suy luận không có căn cứ, yếu về khả năng phân tích tổng hợp, lung túng khi vận dụng để tìm đường lối giải bài tập. Với lí do trên, chúng tôi lựa chon “ Dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển NL LL toán học cho học sinh trung học phổ thông ” để làm đề tài nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Đề xuất các biện pháp sư phạm dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học cho HS. 3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học Toán ở THPT 3.2 Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển NL lập luận toán học. 3.3 Phạm vi nghiên cứu - Giới hạn về nội dung: Luận văn tập trung khai thác các bài toán tình huống có thể phát triển năng lực lập luận Toán cho học sinh trong dạy học Hình học lớp 11. 4.Giả thuyết khoa học Trong dạy học Hình học lớp 11, nếu xây dựng và thực hiện các biện pháp dạy học Toán học theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học thì sẽ góp phần nâng cao kết quả học tập cho học sinh. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài -Nghiên cứu cơ sở lí luận về năng lực lập luận toán học trong dạy học. - Nghiên cứu thực tiễn về phát triển năng lực lập luận toán học trong việc dạy học Hình học lớp 11. -Đề xuất các biện pháp dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển năng lực lập luận toán học. -Thực nghiệm sư phạm kiểm chứng tính hiệu quả của các biện pháp. 6. Phương pháp tiến hành nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp, thu thập thông tin, nghiên cứu tài liệu,... để xây dựng cơ sở lí thuyết cho đề tài. 6.2.Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra về thực trạng của việc dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển NL LL. 2 - Đối với GV: Dựa trên trao đổi với GV, dự giờ và kinh nghiệm của bản thân. - Đối với HS: Quan sát học hình học thông qua giờ dạy, thông qua trao đổi của HS, trao đổi với HS, qua đó đưa ra các nhận xét, đánh giá và quyết định các phương pháp và hệ thống bài tập thích hợp. 6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm ở hai lớp 11(78 HS) trường THPT Lương Thế Vinh để kiểm tra tính hiệu quả và ứng dụng của phương án đề ra. 7. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn gồm 3 chương - Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn. - Chương 2: Các biện pháp dạy học Hình học lớp 11 theo hướng phát triển NL LL toán học. - Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 3 Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số vấn đề về phát triển năng lực lập luận toán học trong hình học lớp 11 1.1.1. Năng lực Toán học (theo Niss Mogens và theo CT GDPT mới) Quan niệm về năng lực toán học của HS phổ thông từ nghiên cứu của Krutexki, V.A cho đến nay, đã có những thay đổi, phát triển đáng kể. Niss Mogens đã đưa ra quan niệm về năng lực toán học được PISA lựa chọn([16], [18]). Theo đó, PISA 2015 quan niệm năng lực Toán học phổ thông (Mathematicalliteracy) là khả năng của cá nhân biết lập công thức (formulate), khai thác (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự kiện và công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng. Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm”([2, tr.14-15], [19, tr.5]). Nhiều chương trình môn Toán ở phổ thông trên thế giới như: Mĩ, Úc, Canada, New Zealand, Singapore, Đức, Đan Mạch,... đã cụ thể hóa theo mạch nội dung và mạch quá trình, xác định các thành tố của năng lực toán học, nhằm hình thành năng lực toán học cho HS trong DH và đánh giá. Niss Mogens ([17],[18]) và các cộng sự đã chỉ ra những NL TH là: - NL tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa khái quát hóa, tưởng tượng, lập luận - giải quyết vấn đề, xử lí và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn. NL tư duy của học sinh THPT trong quá trình học toán thể hiện qua các thao tác chủ yếu như: phân tích và tổng hợp, so sánh và tương tự, đặc biệt hóa và khái quát hóa..., bước đầu chú ý đến NL tư duy logic trong suy luận tiền chứng minh; các NL tư duy phê phán và sáng tạo, cũng như các yếu tố dự đoán, tìm tòi kể cả trực giác toán học và tưởng tượng không gian. - NL giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết những tình huống có vấn đề mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường. Đây là một trong những NL mà môn Toán có nhiều thuận lợi để phát triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm, quy tắc toán học và đặc biệt là qua giải toán. - NL mô hình hóa hay còn gọi là NL toán học hóa tình huống thực tiễn là khả năng chuyển hóa một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế. 4 Ví dụ 1: Xem xét một mô hình hoạt động với tốc độ tăng trưởng theo cấp số nhân của dân số thế giới trong giai đoạn 1900 - 2000 và so sánh nó với số liệu dân số có sẵn. Khi nói đến mô hình hoạt động, người ta có thể ví dụ. Thiết lập các mô hình để giải quyết các thách thức được đề cập. Trong mọi trường hợp, cần phải thực hiện phân định, đưa ra các giả định và thu thập dữ liệu trước khi hoàn thành mô hình. - NL giao tiếp toán học là khả năng sử dụng các dạng ngôn ngữ nói, viết và biểu diễn toán học để làm thuyết trình và giải thích làm sáng tỏ vấn đề toán học. NL giao tiếp liên quan tới việc sử dụng ngôn ngữ toán học (chữ, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic...) kết hợp với ngôn ngữ thông thường. NL này được thể hiện qua việc hiểu các văn bản toán học, đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi, lập luận khi giải toán... -NL sử dụng các công cụ, phương tiện học toán (bao gồm các phương tiện thông thường và bước đầu làm quen với sử dụng công nghệ thông tin). 1.1.2 Về năng lực lập luận toán học Lập luận là gì? Lập luận được định nghĩa rất khác nhau tùy theo ngữ cảnh của hiểu biết về lý tính như là một hình thức của tri thức. Định nghĩa logic là hành động sử dụng lý tính để rút ra một kết luận từ các tiền đề nhất định bằng cách sử dụng một phương pháp luận cho trước, quá trình lập luận mà trong đó tiên đề của lý lẽ được cho là chứng minh cho kết luận nhưng không đảm bảo nó. Kiểu lập luận này được dùng để gán tính chất hay quan hệ cho một phạm trù dựa trên các ví dụ của phạm trù đó; hoặc để phát triển định luật dựa trên một số giới hạn các quan sát của các hiện tượng. Lập luận là quá trình chúng ta suy nghĩ và tranh luận, có thể phục vụ một số mục đích - để thuyết phục người khác hoặc bản thân về một yêu cầu cụ thể; để giải quyết một vấn đề nào đó; hoặc để tích hợp một số ý tưởng vào một hệ thống mang tính mạch lạc, chặt chẽ hơn,.. Khái niệm về “lập luận” đã được nêu trong nhiều tài liệu của Toulmin. Theo Toulmin (1958, [28]), ông xem xét một lập luận gồm có ba thành tố cơ bản là luận cứ, kết luận và luận chứng. Luận cứ (hay còn gọi là tiền đề) gồm một hay nhiều dữ kiện xuất phát làm căn cứ cho lập luận, từ đó để suy ra kết luận. Kết luận là một khẳng định có được trên cơ sở luận cứ đã cho. Còn luận chứng là những quy tắc, nguyên lý, định lý, … mà nhờ đó từ tiền đề chúng ta suy ra kết luận. Trong cuốn Đại từ điển Tiếng Việt của Nguyễn Như Ý đưa khái niệm “lập luận là trình bày có lí lẽ, hệ thống để chứng minh cho kết luận về vấn đề nào đó”. 5 Năng lực lập luân toán học theo các quan điểm về năng lực và lập luận ở trên có thể khái quát năng lực lập luận trong dạy học Toán là: Năng lực lập luận là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học làm công cụ để đưa ra các kết luận đúng. Đó là kết quả của quá trình tư duy logic, bằng một chuỗi các suy luận để giải quyết vấn đề. Hay nói cách khác năng lực lập luận ở mỗi cá nhân là khả năng vận dụng lí luận vào Toán học nói riêng và cuộc sống nói chung. Với học sinh, trong mỗi hoạt động học tập hay nhiệm vụ học tập mà cá nhân học sinh phải hoàn thành, học sinh cần dựa vào những yếu tố đề bài cho trước, tư duy và suy luận để xác định chuỗi các thao tác nhằm giải quyết vấn đề và đưa ra kết luận đúng để hoàn thành nhiệm vụ học tập của môn Toán được đưa ra. Theo Niss Mogens (2011, [18]), Năng lực lập luận này liên quan đến các quá trình tư duy có logic, khám phá và liên kết các yếu tố của vấn đề để đưa ra các suy luận, lập luận toán học, nhưng đi xa hơn nó liên tục liên quan đến việc đánh giá tính hợp lệ của các yêu cầu toán học, bao gồm cả việc thuyết phục bản thân và những người khác về tính hợp lệ có thể có của việc đó. Nó có thể đề cập đến cả tính chính xác của các quy tắc và các định lý, nhưng cũng để xác định xem một câu trả lời nhất định cho câu hỏi, bài tập hoặc vấn đề có chính xác và đầy đủ hay không. Bằng cách này bao gồm sự biện minh của câu trả lời và giải pháp, năng lực lập luận được liên kết chặt chẽ với cả năng lực giải quyết vấn đề và mô hình hóa. Nó bao gồm các khía cạnh pháp lý của những năng lực này. Về nguyên tắc, khả năng thực hiện các hoạt động thường ngày thuần túy, ví dụ: các tính toán, có thể được cho là nằm trong khả năng suy luận vì nó liên quan đến việc biện minh cho kết quả tính toán. Tuy nhiên, những gì một người có thể coi là một hoạt động thường xuyên, một người khác có thể coi là một vấn đề không thể vượt qua. Do đó, việc thực hiện các hoạt động này được bao gồm trong khả năng được đề cập dưới đây liên quan đến các biểu tượng và hình thức toán học, trong khi có thể kích hoạt hoạt động thuộc về năng lực lập luận nếu kích hoạt này đòi hỏi sự sáng tạo, phân tích hoặc tổng quan, kiểm tra một biện minh được đưa ra hoặc đưa ra một sự biện minh, tranh biện cho các tuyên bố hay giải pháp cho các vấn đề. Ví dụ 2: về khả năng theo dõi và đánh giá một lập luận toán học của 2 bạn A và B say đây: A: “Khi bạn bình phương một số, kết quả luôn lớn hơn số gốc. Điều này áp dụng cho tất cả các số nguyên vô hạn, vì vậy nó cũng phải áp dụng cho tất cả các số khác”. 6 2 1 1 B: “Không, trước hết khẳng định này là sai vì ví dụ:    . Thứ hai, không 3 3 thể chuyển tất cả các thuộc tính của tập hợp số nguyên cho các thuộc tính của một bộ số lớn hơn, ví dụ: các số hữu tỉ”. Bạn A đã khẳng định được “Khi bạn bình phương một số, kết quả luôn lớn hơn số gốc. Điều này áp dụng cho tất cả các số nguyên vô hạn”, bằngsuy luận dẫnđến kết luận “vì vậy nó cũng phải áp dụng cho tất cả các số khác”, ở đây bạn Ađưa ra được bằng chứng trên cơ sở thực tế là không chính xác, không chặt chẽ cho kết luận. Bạn B đã đưa ra một bằng chứng cụ khẳng định kết luận của bạn A là sai, hay nói một cách khác ban B đã kiểm tra kết luận khẳng định của bạn A cho thấy không đúng. n 1   n 1  A: “Số Mỗi số lẻ là hợp số. Vì nếu n là số lẻ, thì n      khi đó  2   2  2 n 1 k 2 và n 1 m 2 2 là các số nguyên (vì n là số lẻ). Tuy nhiên, khi k 2  m2  (k  m)(k  m) , n là hợp số”. B: “Hợp số không chính xác vì k - m = 1 do đó, yêu cầu chỉ đơn thuần là n = 1.n không biến n thành số hợp số”. Trong phát biểu của ban A đã đưa ra với lí luận và bằng chứng về khẳng định,nhưng chưa phân tích đầy đủ dẫn đến phát biểu “ số Một số lẻ là hợp sô” là sai, và bạn B đã kiểm tra lại bằng cách cho k - m = 1 cho thấy phát biểu không đúng. 1.1.3. Lập luân toán học và NL lập luận toán học Theo Toulmin (1958,[28]) cho rằng lập luận chặt chẽ là kỹ năng cơ bản của con người. Chính vì vậy, ông đã dành nhiều thời gian nghiên cứu về bản chất của quá trình lập luận, đặc biệt là lập luận toán học. Toulmin xem xét một lập luận gồm có ba thành tố cơ bản là: luận cứ, kết luận và luận chứng. Luận cứ là một hoặc nhiều dữ kiện xuất phát làm căn cứ cho lập luận, từ đó để suy ra kết luận, nó trả lời cho câu hỏi “chứng minh bằng cái gì?”. Kết luận là một khẳng định có được trên cơ sở luận cứ đã cho, nó trả lời cho câu hỏi “chứng minh cái gì?”. Luận chứng là những quy tắc, nguyên lý, định lý, … mà nhờ đó từ tiền đề chúng ta suy ra kết luận, nó trả lời cho câu hỏi “chứng minh bằng cách nào?”. Năng lực lập luận là về sự biện minh của các xác nhận, bao gồm cả cách tiếp cận hoặc quy trình nhất định có thể thực sự tạo ra một giải pháp chính xác hay không cho một vấn đề phát sinh từ một câu hỏi toán học. Năng lực này bao gồm, một mặt là khả năng theo dõi và đánh giá lập luận toán học, 7 tức là một chuỗi lập luận được đưa ra bởi người khác, bằng bài viết hoặc bằng miệng, để hỗ trợ cho yêu cầu của người đó. Điều đặc biệt là biết và hiểu thế nào là một chứng minh toán học và nó khác với các dạng lập luận toán học khác như thế nào, ví dụ: Tìm ra một chứng minh và đó cũng là về cách hiểu và khi nào lập luận toán học thực sự hình thành và khi nào thì không. Điều này bao gồm sự hiểu biết về logic đằng sau một ví dụ phản biện. Hơn nữa, năng lực bao gồm khả năng khám phá những ý tưởng cơ bản trong một chứng minh toán học, bao gồm phân biệt giữa các ý chính của một tranh luận và các chi tiết, và giữa ý tưởng. Mặt khác, nó bao gồm khả năng đưa ra và thực hiện các lập luận không chính thức và chính thức (trên cơ sở trực giác) và từ đó chuyển đổi lập luận khám phá thành chứng minh thực tế (hợp lệ). Theo Brodie, K. [11] , quá trình lập luận gồm hai giai đoạn lớn: * Xem xét các đối tượng và mối liên hệ giữa các đối tượng toán học. * Thiết lập các “lập luận”, cho phép lí giải tại sao “trạng thái”/ “hiện tượng” này lại đi sau “trạng thái”/ “hiện tượng” kia (sử dụng: quy tắc suy luận, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự, …). 8 Theo PGS.TS Đào Thái Lai, quá trình LL theo Sơ đồ sau: Phân tích, sắp xếp các thông tin, dữ liệu về các đối tượng, mối liên hệ trong tình huống đã cho Các đối tượng, tính chất, thuộc tính, quan hệ có liên quan khác Liên kết, lập luận, rút ra kết luận, đánh giá, đề xuất thuộc tính, đối tượng mới (bước 1) Bối cảnh tình huống Liên kết lập luận, đánh giá, đề xuất thuộc tính , đối tượng mới (bước 2) ……….. Liên kết, lập luận, rút ra kết luận, đánh giá, đề xuất thuộc tính đối tượng mới. (bước n) Hình 1.1 1.1.4. Kĩ năng thành phần và các tình huống, cơ hội rèn luyện NL LL toán học 1.1.4.1. Kĩ năng thành phần của NL LL toán học Theo Pedemonte, B. 2007, [20] Có 3 dạng lập luận thường được đề cập trong nghiên cứu giáo dục toán học: suy diễn, quy nạp và ngoại suy. 9 * Suy diễn là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một số dữ liệu và một quy tắc suy luận đã biết. Lập luận suy diễn có các đặc điểm sau: + Suy diễn bắt đầu với một trường hợp tổng quát để đưa ra kết luận cụ thể. + Suy diễn không dẫn tới một tri thức mới (chỉ dẫn tới kinh nghiệm để tìm ra một kiến thức mới). + Thiết lập một kết luận có tính chắc chắn. * Quy nạp là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận bằng việc khái quát hoá một số trường hợp cụ thể Lập luận quy nạp có các đặc điểm sau: + Lập luận quy nạp bắt đầu từ các trường hợp cụ thể đi đến một kết luận tổng quát. + Lập luận quy nạp sử dụng những cái đã biết để kết luận những cái chưa biết (phát hiện quy luật chung). + Lập luận quy nạp thường đưa ra kết luận không chắc chắn và cần được xác minh. * Ngoại suy là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một sự kiện quan sát được. Ngoại suy thường có các đặc điểm sau: + Giải thích giả thuyết quan sát được. + Đưa ra các ý tưởng mới và giúp mở rộng tri thức. + Kết luận của một ngoại suy có vẻ hợp lý vì kết luận của nó không thể biết được một cách trực tiếp. Như vậy, trong khi lập luận suy diễn tìm kiếm các kết luận từ những kết quả đúng cho trước, lập luận quy nạp tìm kiếm kết quả tổng quát từ những kết quả đúng của các trường hợp đặc biệt thì ngoại suy đi tìm lời giải thích tốt nhất cho giả thuyết quan sát được trước đó và việc giải thích giả thuyết quan sát được trong lập luận ngoại suy có thể dùng đến cả lập luận suy diễn và lập luận quy nạp. 1.1.4.2. Các tình huống, cơ hội rèn luyện NL LL toán học  Rèn luyện HS đọc các chứng minh, lời giải, … Thông qua cách đọc các chứng minh, lời giải, … học sinh hiểu rõ hơn về nội dung kiến thức đã học của bài toán, để có một cách nhìn nhân mới về những lập luận cho một bài toán, giúp học sinh hiểu được bản chất của những lâp luận được chứa trong các chứng minh hoặc lời giải, hiểu được các quy trình của lời giải, các suy luân có lí, tạo tiền đề cho những trình bày của những lập luận sau này. 10 Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân 0 AB=AC=a, BAC  120 , BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I). Học sinh đọc lời giải của bài toán: Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Theo công thức hình chiếu ta có: cos   S ABC . S AB ' I + Ta có: S ABC Hình 1.2 1 a2 3 0  . AB. AC.sin120  . 2 4 a 5 , AB '  AB2  BB '2  a 2, 2 a 13 IB '  B ' C '2  IC '2  . Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên 2 AI  AC 2  CI 2  S AB ' I 1 a 2 10 S 3  . AB '. AI  . Vậy cos  ABC  2 4 S AB ' I 10 Việc đọc bài làm gồm có: + Xem xét về trình bày các bước giải (lời giải, phép tính) + Xem về kết quả (kiểm tra tính chính xác của câu lời giải, các lập luận trong từng bước giải và kiểm tra kết quả từng bước, đáp số) + HS thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC). + Qua đây học sinh thấy được liên hệ với hình chiếu vuông góc, liện hệ giữa góc hai mặt phẳng + Qua bài này học sinh cần xác định được góc giữa hai mặt phẳng dựa trên công thức S '  S cos (S là diện tích, S’ là diện tích hình chiếu của S,  là góc giữ 2 mặt phẳng), phải tính S, S’ như thế nào?. Phải biết cách trình bày bài toán.  Rèn luyện HS tranh luận, trao đổi nhóm, trao đổi trong hoạt động lớp. Mỗi học sinh đều có ý kiến riêng của mình. Các cuộc tranh luận, trao đổi nhóm trong lớp học cho phép học sinh nói lên ý kiến của mình. Một cuộc tranh luận cung 11 cấp cho các em một cơ hội để thể hiện bản thân một cách chuyên nghiệp. Theo Hiệp hội Giáo dục Tranh luận Quốc tế, trên hết, tranh luận là cách để những người có quan điểm trái ngược thảo luận về các vấn đề gây tranh cãi. Một giải pháp chính của tranh luận là nó hiếm khi kết thúc trong đồng ý, nhưng thay vào đó cho phép phân tích mạnh mẽ câu hỏi một cách dễ dàng. Để làm cho các hoạt động tranh luận, trao đổi thành công, giáo viên phải đảm bảo rằng mỗi học sinh đều được làm quen với chủ đề này trước đó. Các cuộc tranh luận, trao đổi nhóm, trao đổi hoạt động lớp thúc đẩy sự phấn kích một môi trường lớp học bằng cách khuyến khích tinh thần đồng đội và cạnh tranh thân thiện. Học sinh có xu hướng suy nghĩ phân tích và thể hiện bản thân rõ ràng. Do đó, tranh luận, trao đổi nhóm như một hoạt động, giúp đạt được nhiều mục tiêu trong lớp học: họ không chỉ thực hành kỹ năng diễn đạt và tiếp thu thông tin, mà còn thúc đẩy học sinh, phát triển các kĩ năng LL và khuyến khích sự tự tin của người học, tinh thần đồng đội và cạnh tranh thân thiện. Học sinh có xu hướng suy nghĩ phân tích và thể hiện khả năng lập luận của bản thân rõ ràng. Chúng tôi xem việc học trao đổi trong hoạt động lớp là một quá trình giao tiếp, theo đó hai hoặc nhiều bên có được kiến thức mới là kết quả của sự tương tác giữa họ. Học tập trao đổi trong hoạt động lớp không chỉ đề cập đến sự trao đổi kiến thức giữa các bên, nhưng chính sự trao đổi đó đóng vai trò là chất xúc tác cho sự hình thành kiến thức mới của các bên liên quan. Trong lớp học, chúng tôi nghĩ việc trao đổi trong lớp học như là một mối quan hệ chung giữa người học và người dạy và giữa chính người học. Sự trao đổi này được chi phối bởi việc theo đuổi kiến thức cho sự phát triển của người học và giáo viên. Làm thế nào chúng ta suy luận về mặt toán học hoặc cho phép người họccủa chúng ta suy luận về mặt toán học một phần phụ thuộc vào bản chất của sự trao đổi giữa các bên. Nghiên cứu này đặt ra để phân tích các cách thức mà người học hợp tác tham gia vào lý luận toán học và cách họ học cách suy luận toán học thông qua sự hợp tác(dạy học theo nhóm). Các điểm phân tích hướng tới khả năng học tập như vậy. Phân tích cũng cung cấp một lập luận rằng việc học này đã được thực hiện thông qua các quy trình toán học được mô tả như sau: * Quan sát * Kết nối các quan sát với các biểu diễn toán học khác nhau. 12