Tài liệu Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN ĐỨC HẬU DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BA VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI - NĂM 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN ĐỨC HẬU DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BA VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60.14.01.11 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2016 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn này được hoàn thành đánh dấu một mốc quan trọng trong công việc học tập và nghiên cứu khoa học của tác giả. Nhân dịp này, tác giả gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến những người thân yêu, gia định ban bè và đồng nghiệp đã luôn ửng hộ, động viên, chia sẻ, tạo điều kiện, giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài. Bản luận văn cũng là lời chi ân sâu sắc của tác giả gửi tới các thầy cô giáo đã giảng dạy và giúp đỡ trong quá trình học tập tại trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt tới GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu; thầy Nguyễn Bá Đang (Hà Nội) đã động viên, khích lệ, định hướng, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này. Nội dung của công trình nghiên cứu, giảng dạy cho đối tượng là học sinh khá giỏi các trường THPT và học sinh chuyên toán nên chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp để bản luận văn đưọc hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năn 2016 Tác giả Trần Đức Hậu 1 Mục lục MỞ ĐẦU 3 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Lịch sử bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Thi học sinh giỏi toán quốc tế . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Thi học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi ở Việt Nam 1.1.3 Những thuận lợi và khó khăn trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi đối với các trường THPT không chuyên và các lớp chọn trong trường THPT chuyên . . . . . . . . 1.2 Tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Đặc điểm của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Những phẩm chất của tư duy . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Các thao tác của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Vấn đề phát triển năng lực của tư duy . . . . . . . . . 1.2.6 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển . . . . . . . . . . 1.3 Tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Một số công trình trong nước nghiên cứu tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Cấu trúc của tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua việc dạy học môn toán nhằm phát huy năng lực, phẩm chất của học sinh 1.3.5 Thực trạng của quá trình dạy và học nội dung đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan . . . . . . . 7 7 7 8 9 10 10 10 12 12 13 14 14 14 16 17 21 24 2 Đa thức bậc ba và các hệ thức trong tam giác 27 2.1 Đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 i 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.3 Công thức nghiệm của phương trình bậc ba . . . . . . Định lí Viete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Định lí về sự tồn tại các nghiệm thực và tính chất nghiệm Sử dụng dạng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đa thức bậc ba với các yếu tố cạnh trong tam giác . . . . . . 2.2.1 Phương trình bậc ba theo độ dài các cạnh trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Phương trình bậc ba theo độ dài các tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . . . Đa thức bậc ba với các yếu tố bên trong của tam giác . . . . 2.3.1 Phương trình bậc ba theo đường cao trong tam giác . 2.3.2 Phương trình bậc ba theo bán kính đường tròn bàng tiếp trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Phương trình bậc ba theo các hàm số lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Xây dựng các đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . 2.3.5 Xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác . . . . . 3 Thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm . . . 3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm . . . 3.2 Phương pháp thực nghiệm . . . . . . . . . . . . 3.3 Nội dung và tổ chức thực nghiệm . . . . . . . . . 3.3.1 Chọn nội dung thực nghiệm . . . . . . . 3.3.2 Tổ chức thực nghiệm . . . . . . . . . . . 3.3.3 Nội dung dạy thực nghiệm và đề kiểm tra 3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . 3.4.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm . 3.4.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 36 40 42 46 46 49 50 50 52 54 64 65 71 71 71 71 71 72 72 72 73 81 81 82 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 88 ii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài. Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị lần thứ 8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ " Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất năng lực công dân, phát huy và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh...Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời". Nhiệm vụ của dạy học môn Toán là trang bị những kiến thức cơ bản cần thiết cho học sinh, từ đó phát triển những năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự học Toán, năng lực tính toán,...và qua đó hình thành và phát triển phẩm chất con người mới đáp ứng yêu cầu ngày càng cao trong xã hội ngày nay. Để tạo ra những con người lao động mới, một năng lực không thể thiếu đó là năng lực sáng tạo. Khi đó cần phải có những phương pháp dạy học phù hợp để khơi gợi và phát huy năng lực người học " Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang hình thức tổ chức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khoá, nghiên cứu khoa học" (Nghị quyết 29, Trung ương lần thứ 8, BCHTƯ khoá XI). Vì vậy, nhiệm vụ của người dạy là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng và định hướng phát triển phẩm chất cho học sinh, chứ không phải làm đầy trí tuệ cho học sinh bằng cách truyền thụ tri thức đã có. Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi người dạy phải vận dụng các phương pháp dạy học tích cực kết hợp với các phương pháp dạy học truyền thống để định hướng cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo giải quyết vấn đề trong điều kiện cụ thể và tình hình thực tế cuộc sống, góp phần nhỏ bé của các nhân xây dựng nước Việt Nam 3 XHCN trong thời kỳ mới. Việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán cấp THPT không thể thiếu nội dung về đa thức, hệ thức lượng trong tam giác. Khi học sinh có kiến thức cơ bản, cần thiết về đa thức, hệ thức lượng giác, thông qua phương pháp giảng dạy của người thầy định hướng được năng lực phát triển tư duy sáng tạo. Từ đó hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ra những bài toán mới. Khác với các công trình nghiên cứu khác, người dạy đi sâu vào nghiên cứu, phân tích một bài toán cụ thể với nhiều cách giải. Công trình này đạt được kết quả đó và xuất phát nguồn gốc của vấn đề, từ đó sáng tạo những nội dung mới. Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên, tác giả chọn đề tài: "Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi" làm luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu. Đề xuất những biện pháp cần thiết nhằm giúp cho học sinh định hướng giải quyết được một lớp các bài toán về ứng dụng của phương trình bậc ba tạo ra một số hệ thức lượng trong tam giác. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Tìm hiểu cuộc thi học sinh giỏi toán quốc tế (IMO), cuộc thi học sinh giỏi các cấp trong nước. Nghiên cứu tài liệu làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo. Nghiên cứu những biểu hiện của tư duy sáng tạo của học sinh THPT, đặc biệt là học sinh của các trường THPT chuyên và các trường THPT chất lượng cao; sự cần thiết phải rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải quyết vấn đề và sáng tạo ra những bài toán mới. Tìm hiểu thực trạng của việc dạy các hệ thức lượng trong tam giác trong trường THPT cho học sinh khá, giỏi (lý thuyết và ví dụ phần đa thức chủ yếu là cơ sở để giải quyết những nội dung về hệ thức lượng giác trong tam giác). Đề xuất biện pháp cần thiết rèn tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi thông qua việc phát triển những kiến thức cơ bản đã có để có những hệ thức mới về lượng giác trong tam giác. Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 4 4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu. Lớp 12T1, 12T2 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong và lớp 12A1, 12A2 trường THPT xây dựng trung tâm CLC Trần Hưng Đạo, tỉnh Nam Định. 5. Phạm vi nghiên cứu. Kiến thức về Đa thức bậc ba, đặc biệt các định lý về nghiệm, định lý Viete; hệ thức lượng trong tam giác. 6. Phương pháp nghiên cứu. Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, sách tham khảo, tạp chí, đặc san, các văn bản chỉ đạo của Bộ, Nghị quyết 29-NQ/TW...có liên quan đến logic học, tư duy sáng tạo, các phương pháp tư duy sáng tạo, các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực, phẩm chất cho học sinh khá giỏi. Nội dung của luận văn chú ý nghiên cứu sâu việc phát triển tư duy sáng tạo và định hướng phát triển năng lực cho học sinh khá giỏi thông qua việc "Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi". 7. Giả thuyết khoa học. Thông qua hệ thống các hệ thức cơ bản đã được xậy dựng và định hướng xây dựng bài toán mới nhằm rèn cho học sinh tư duy sáng tạo, khả năng tự học, tự nghiên cứu, lòng say mê toán học, khuyến khích học tập suốt đời. 8. Đóng góp mới của đề tài. Đề tài sử dụng làm chuyên đề giảng dạy cho các trường THPT chuyên và các trường THPT xây dựng trung tâm chất lượng cao. 9. Cấu trúc của luận văn. Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: Phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Nội dung luận văn gồm ba chương: - Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn. - Chương 2. Đa thức bậc ba và các hệ thức trong tam giác. - Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 5 Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Lịch sử bồi dưỡng học sinh giỏi 1.1.1 Thi học sinh giỏi toán quốc tế Trên thế giới, việc lựa chọn những học sinh có năng khiếu về toán để đào tạo, bồi dưỡng nhằm phát huy tối đa khả năng tích cực, năng lực của người học đã được nhiều nước quan tâm, chú trọng. Ở một số nước châu Âu, các kỳ thi học sinh giỏi toán được tổ chức thống nhất ở tất cả các cấp với đề thi thống nhất từ cơ sở đến toàn quốc, như ở Bungari, CHDC Đức; vòng 1-cấp cơ sở, vòng 2-cấp huyện, vòng 3-cấp tỉnh, vòng 4-vòng chung khảo toàn quốc. Để có một sân chơi khoa học bổ ích về toán nhằm giao lưu, học hỏi, đào tạo bồi dưỡng năng khiếu cho học sinh, một số nước họp lại với nhau tổ chức kỳ thi học sinh giỏi quốc tế cấp trung học phổ thông (International Mathematical Olympiad) viết tắt là IMO. Kỳ thi lần đầu tiên được tổ chức ở Rumani năm 1959, với sự tham gia của 7 quốc gia Đông Âu: Rumani, Bulgaria, Tiệp Khắc, Đông Đức, Hungary, Ba Lan và Liên Xô. Trong giai đoạn đầu, IMO chủ yếu là cuộc thi của các quốc gia thuộc hệ thống XHCN và địa điểm tổ chức chỉ trong phạm vi các nước Đông Âu. Từ năm 1970, số lượng các đoàn tham gia bắt đầu tăng lên nhanh chóng, IMO thực sự trở thành một kỳ thi quốc tế về toán cho học sinh giỏi cấp trung học phổ thông của các quốc gia. Cho tới nay, cuộc thi được tổ chức liên tục, hàng năm (trừ năm 1980) kỳ thi có số lượng đoàn tham gia đông nhất là IMO 2011 tổ chức tại Amsterdam, Hà Lan với 101 đoàn tham dự. Mỗi đoàn tham dự được phép có tối đa 6 thí sinh, một trưởng đoàn, một phó đoàn và các quan sát viên. Theo quy định, thí sinh tham gia phải dưới 20 tuổi và trình độ không vượt quá cấp THPT (Secondary school hay high school trong tiếng 6 Anh, lyce’e trong tiếng Pháp). Việt Nam lần đầu tham dự năm 1974 đã đạt ngay được kết quả đáng tự hào. Để có học sinh tham dự kỳ thi IMO, các quốc gia tham dự đều tổ chức chọn lựa, đào tào bồi dưỡng học sinh theo đặc thù riêng của từng quốc gia. Những đoàn thường đạt được những thành tích cao như Mỹ, Nga, Trung Quốc, Hàn Quốc...Việt Nam thường lọt vào trong top 10 của kỳ thi. 1.1.2 Thi học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi ở Việt Nam Kỳ thi học sinh giỏi các cấp nhằm động viên, khuyến khích người dạy và người học phát huy năng lực sáng tạo, dạy giỏi, học giỏi; góp phần thúc đẩy việc cải tiến, nâng cao chất lượng dạy và học, chất lượng công tác quản lí, chỉ đạo của các cấp quản lý giáo dục; đồng thời phát hiện người học có năng khiếu về môn học để tạo nguồn bồi dưỡng, thực hiện mục tiêu đào tạo nhân tài cho địa phương, đất nước. Kỳ thi học sinh giỏi toán toàn quốc nhằm chọn những học sinh giỏi toán THPT được tổ chức hàng năm, lần đầu tiên vào năm học 1961-1962. Từ 1962 đến năm 1975 kỳ thi chỉ được tổ chức cho miền Bắc; sau ngày giải phóng miền Nam, thống nhất đất nước, kỳ thi được tổ chức trong phạm vi toàn quốc. Từ năm 1974 đến nay, dựa trên kết quả kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, chúng ta đã chọn đội tuyển học sinh Việt Nam tham dự thi vô địch toán quốc tế (IMO) và đã đạt được một số kết quả đáng phấn khởi. Hàng năm, các nhà trường, các lớp đều lựa chọn, thành lập các đội tuyển học sinh giỏi dự kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Để đạt được những mục đích nêu trên, một khâu quan trọng đó công tác đào tạo và bồi dưỡng học sinh. Bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán nói riêng là quá trình chuẩn bị những kiến thức có hệ thống, môi trường giáo dục thuận lợi, người thầy sử dụng các phương pháp dạy học hiệu quả tác động vào trò nhằm nâng cao trình độ, kỹ năng cho học sinh và bằng sự nỗ lực, cố gắng của học sinh đạt được năng lực đặc biệt, vận dụng nó vào giải quyết những bài toán thực tế cuộc sống. Trong quá trình bồi dưỡng, để phát huy hiệu quả các loại tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo thì người thầy có vai trò hết sức quan trọng; nắm bắt năng lực sẵn có của học sinh, tác động có chủ đích của người thầy để học sinh phát huy cao 7 nhất năng lực sẵn có bằng phương pháp học tập, nghiên cứu, biết tự đánh giá, tự tìm kiếm, thu thập tài liệu, xử lý thông tin nhằm mục đích chuyển từ quá trình học, bồi dưỡng sang quá trình tự học, tự bồi dưỡng. 1.1.3 Những thuận lợi và khó khăn trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi đối với các trường THPT không chuyên và các lớp chọn trong trường THPT chuyên Thuận lợi Đối với các trường THPT chuyên, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi theo hướng thi học sinh giỏi cấp quốc gia được quy định trong Điều lệ trường THPT chuyên. Các trường được sự đầu tư về cơ sở vật chất, trang thiết bị, đội ngũ giáo viên, chương trình theo chuẩn. Các giáo viên thường xuyên được tập huấn, trao đổi, thảo luận về chuyên môn do Bộ GDĐT hoặc các Sở GDĐT trong cùng khu vực tổ chức. Đối với các trường trong lộ trình xây dựng trung tâm chất lượng cao của tỉnh Nam Định, được sự quan tâm của Tỉnh uỷ, HĐND, UBND và trực tiếp là Sở GDĐT đã tạo điều kiện bước đầu về cơ sở vật chất, đội ngũ mũi nhọn ở các môn...Cho phép các trường có học sinh tham gia chọn đội tuyển HSG cấp quốc gia. Khó khăn Các trường THPT không chuyên mặc dù công tác bồi dưỡng HSG đã được lãnh đạo nhà trường quan tâm, coi trọng; là một trong các mục tiêu mũi nhọn để đảm bảo những tiêu chí thi đua. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều hạn chế với những nguyên nhân chủ yếu sau: • Do không có chương trình riêng như học sinh chuyên, các tài liệu do các giáo viên tự nghiên cứu, tự sưu tầm, tự soạn trong điều kiện giáo viên dạy phải đảm bảo yêu cầu khác nên còn thiếu tính hệ thống, tính liên thông trong chương trình. • Quy chế ưu tiên cho HSG nói chung chưa có (chỉ có cho HSG đoạt giải cấp quốc gia). Do đó, học sinh chưa yên tâm, chưa đầu tư hết thời gian công sức cho các môn mình có thế mạnh mà đầu tư theo khối thi đại học. • Phần nhiều kiến thức còn xa lạ, nhiều kiến thức không có trong chương trình 8 sách giáo khoa, đặc biệt là các môn thuộc lĩnh vực KHTN. Do đó, việc tiếp cận đối với học sinh gặp nhiều khó khăn. 1.2 Tư duy Như đã trình bày ở trên, việc bồi dưỡng học sinh giỏi là bồi dưỡng nhân tài cho địa phương, cho đất nước, một nội dung quan trọng bậc nhất đó là phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh nhằm phát huy cao nhất năng lực, phẩm chất của người học. Chính vì thế luận văn "Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi" chủ yếu đi sâu vào nghiên cứu, phân tích cách phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi. 1.2.1 Khái niệm Theo từ điển bách khoa toàn thư Việt Nam [22]: "Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt vào não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận....Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối quan hệ hợp quy luật với thực tại". Theo quan điểm Tâm lý học [4]: "Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết." Vậy, tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật, hiện tượng bằng những hình thức như biểu tượng, phán đoán, suy lý. 1.2.2 Đặc điểm của tư duy Tính có vấn đề: Khi gặp những tình huống mới, với trình độ, kiến thức, phương pháp đã biết ta không thể giải quyết được vấn đề, ta rơi vào "Tình huống có vấn đề"; ta có xu hướng bằng mọi cách thoát khỏi hiểu biết cũ để đạt được những cái mới, tức là chúng ta phải tư duy. Tính khái quát: Tư duy luôn mang tính khái quát do khả năng phản ánh 9 những thuộc tính chung, những mối liên hệ có tính quy luật của hàng loạt các sự vật hiện tượng. Tính độc lập tương đối của tư duy: Trong cuộc sống, con người bắt buộc phải giao tiếp, trao đổi thông tin, tư duy biến đổi trong quá trình hoạt động của bản thân, đồng thời chịu sự tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua những hoạt động mang tính vật chất. Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá thể mà còn gắn với sự tiến hoá của xã hội, trở thành sản phẩm mang tính xã hội trong khi vẫn giữ được tính cá thể của một con người nhất định. Vậy mặc dù bị ảnh hưởng tác động của môi trường nhưng tư duy vẫn mang tính độc lập tương đối. Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ: Con người sống, hoạt động có nhu cầu giao tiếp, tiếp nhận thông tin đó chính là điều kiện để phát sinh ngôn ngữ. Ngay ban đầu xuất hiện tư duy đã gắn liền với ngôn ngữ và tư duy được thực hiện truyền tải thông qua ngôn ngữ. Do vậy, ngôn ngữ chính là vỏ của tư duy. Sự ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển của tư duy và từ đó tư duy phụ thuộc vào ngôn ngữ. Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức: Nhận thức là những cảm giác, tri giác và biểu tượng...được phản ánh từ thực tiễn thế giới khách quan với những thông tin về hình dạng, hiện tượng bên ngoài được phản ánh một cách riêng lẻ. Do vậy, tư duy là công cụ, là nguyên nhân, là kết quả của nhận thức, đồng thời là sự phát triển cấp cao của nhận thức. Ở giai đoạn đầu của quá trình nhận thức có được tư duy cụ thể; phát triển lên nữa, kết hợp với ngôn ngữ hoạt động tư duy tiến hành các thao tác so sánh, phân tích tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thông tin đơn lẻ gắn chúng vào đúng sự vật để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật, hiện tượng, quy nạp nó thành các khái niệm, phạm trù, định luật...Lúc này được gọi là giai đoạn tư duy trừu tượng. Chẳng hạn, học sinh đã được định hướng có được công thức cos A + cos B + cos C = 1 + r R Một cách rất tự nhiên học sinh đi tìm những công thức nào liên quan đến tỷ r số hoặc liên quan đến cos A + cos B + cos C . R Lúc này học sinh phải tổng hợp, đối chiếu, phân tích tức là phải tư duy đến công thức cos A + cos B + cos C ≤ 3 và kết hợp với kiến thức vừa biết đi so sánh 2 10 được R ≥ 2r. Đây cũng chính là thực hiện tư duy sáng tạo ta sẽ nghiên cứu lý luận cụ thể ở phần sau. 1.2.3 Những phẩm chất của tư duy Khả năng định hướng: Ý thức nhanh chóng, chính xác đối tượng cần lĩnh hội, mục đích phải đạt được và những con đường tối ưu để đạt được mục đích đó. Bề rộng: Có khả năng vận dụng nghiên cứu các đối tượng khác. Độ sâu: Nắm vững ngày càng sâu sắc hơn bản chất của sự vật, hiện tượng. Tính linh hoạt: Nhạy bén trong việc vận dụng những tri thức vào hoạt động và những tình huống khác nhau một cách sáng tạo. Tính mềm dẻo: Thể hiện ở hoạt động tư duy được tiến hành theo các hướng xuôi hoặc ngược chiều. Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện những vấn đề, đề xuất cách giải quyết và tự giải quyết được vấn đề. Tính khái quát: Khi giải quyết một vấn đề nào đó, sẽ đưa ra được mô hình khái quát, trên cơ sở đó có thể vận dụng để giải quyết các vấn đề tương tự, cùng loại. 1.2.4 Các thao tác của tư duy Phân tích-tổng hợp: Theo Nguyễn Cảnh Toàn [20]: Phân tích là một chỉnh thể tách ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh. Phân tích, tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp. Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời nhau, chúng là sự thống nhất biện chứng giữa hai mặt đối lập. So sánh và tương tự: So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng. Muốn so sánh hai sự vật, hiện thượng ta phải phân tích 11 dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các thuộc tính đó với nhau rồi tổng hợp lại xem hai sự vật, hiện tượng có cái gì giống và khác nhau. Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác. Do đó, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở mức độ nào đó. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá: Theo các tác giả [7]: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung các phần tử trong tập hợp xuất phát". Theo Polya [24]: "Khái quát hoá là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu". Như vậy, có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái chung, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát lớn hơn. Trong toán học, người ta thường khái quát hoá một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định lý, bài toán ...thành những kết quả tổng quát. Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược với khái quát hoá. Mối quan hệ giữa đặc biệt hoá và khái quát hoá thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán, sáng tạo ra những bài toán mới. Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy. Theo Hoàng Chúng [2]:" Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ với nhau. Nhờ trừu tượng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự vật sâu sắc hơn. Ngược lại, khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách được những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã trừu tượng hoá. Trừu tượng hoá là một hoạt động tư duy, hoạt động này của bộ não con người có thể hướng tới bất kỳ vấn đề gì của khoa học nói chung và toán học nói riêng". 1.2.5 Vấn đề phát triển năng lực của tư duy Phát triển năng lực tư duy, đặc biệt là tư duy toán học cho học sinh là rất cần thiết, nó giúp cho học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy 12 móc, thói quen, biết vận dụng kiến thức vào bài tập, cao hơn nữa là biết vận dụng những kiến thức đã học vào giải quyết những bài toán thực tế. Chỉ thực sự lĩnh hội được tri thức khi có tư duy tích cực của bản thân học sinh và sự hướng dẫn, định hướng của giáo viên, khi đó học sinh mới biết phân tích, khái quát sự vật...và rút ra được những kết luận cần thiết. Muốn phát triển năng lực tư duy, ta phải xây dựng nội dung dạy học sao cho nội dung không được "Thích nghi, thoả mãn" với trình độ sẵn có của học sinh mà đòi hỏi học sinh phải có trình độ phát triển cao hơn, có phương thức hoạt động trí tuệ phức tạp hơn. Khi đó học sinh luôn tìm tòi và tư duy để đạt được trình độ mới. 1.2.6 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển Có khả năng tự chuyển tải tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới. Trong quá trình học tập, học sinh phải giải quyết vấn đề, đòi hỏi liên tưởng, tái hiện những kiến thức học trước đó. Nếu học sinh chuyển tải, vận dụng vào tình huống mới thì chứng tỏ có biểu hiện tư duy phát triển. Tái hiện kiến thức và thiết lập được sơ đồ các mối quan hệ bản chất một cách nhanh chóng. Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán. Có khả năng vận dụng những kiến thức đã học giải quyết những bài toán thực tế: Định hướng nhanh, biết phân tích suy đoán, vận dụng các thao tác tư duy để tìm phương án tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả. 1.3 Tư duy sáng tạo 1.3.1 Một số công trình trong nước nghiên cứu tư duy sáng tạo Theo tác giả Phạm Văn Hoàn [6] cho rằng, biểu hiện của tư duy sáng tạo là không rập khuôn cái cũ, biết thay đổi cái cái cũ, biết thay đổi các biện pháp giải quyết vấn đề; thấy được những mối liên hệ khăng khít giữa những sự kiện trông bề ngoài tưởng chừng xa lạ để tìm ra những phương pháp giải quyết đúng, gọn và hay. Tác giả đã trình bày 7 biện pháp để rèn luyện tư duy sáng tạo: 1) Khắc phục "Tính ỳ" của tư duy bằng cách cho học sinh làm các bài toán khác nhau. 13 2) Khuyến khích học sinh tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau của một bài toán và chọn ra cách giải hay nhất. 3) Sử dụng các phép tính và bài toán không giải theo lối rập khuôn. 4) Cho học sinh giải các bài toán vui để tập suy luận khác với cách giải thông thường 5) Rèn luyện trí tưởng tượng cho học sinh. 6) Tập cho học sinh ý thức xem xét một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau. 7) Cần và tiến hành rèn luyện tư duy ở tất cả các lớp song phải có phương pháp phù hợp. Tác giả Hoàng Chúng [2] đã nghiên cứu vấn đề rèn luyện cho học sinh các phương pháp suy nghĩ cơ bản trong sáng tạo toán học: Đặc biệt hoá, tổng quát hoá và tương tự. Có thể vận dụng các phương pháp đó để giải các bài tập đã cho, để mò mẫm, dự đoán kết quả, tìm ra phương pháp để giải bài toán, để mở rộng, đào sâu và hệ thống hoá kiến thức. Theo tác giả, để rèn luyện khả năng sáng tạo toán học, ngoài lòng say mê học tập, cần rèn khả năng phân tích vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau biểu hiện ở hai mặt quan trọng: - Phân tích khái niệm, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều hình thức, khía cạnh khác nhau, từ đó tổng quát hoá hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều khía cạnh khác nhau. - Tìm tòi lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác các lời giải đó để giải các bài toán tương tự hay tổng quát hơn hoặc đề xuất bài toán mới. Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn [20] đã đề ra mục đích của cuốn sách chủ yếu là rèn luyện tư duy sáng tạo, nhất là tư duy biện chứng, đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, rèn luyện tư duy biện chứng thông qua lao động tìm tòi cái mới. Thông qua 10 đề tài trong cuốn sách, tác giả khẳng định: "Muốn sáng tạo toán học, rõ ràng phải giỏi vừa cả phân tích, vừa cả tổng hợp, phân tích và tổng hợp đan xen lẫn nhau, nối tiếp nhau, cái này tạo điều kiện cho cái kia". Trong [6], các tác giả Trần Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc khẳng định rằng, phát triển những năng lực toán học ở học sinh là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của người thầy giáo. Cần có những công trình nghiên cứu tỉ mỉ về cấu trúc của năng lực tư duy toán học của học sinh nước ta; để từ đó có nội 14 dung, phương pháp bồi dưỡng năng lực sáng tạo toán học cho học sinh một cách chủ động. 1.3.2 Tư duy sáng tạo Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Như vậy sáng tạo cần thiết cho bất kỳ một hoạt động nào trong xã hội loài người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng của cái cũ. Các nhà nghiên cứu đã đưa ra quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo. Theo Nguyễn Bá Kim [7]: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tuy nhiên, nhấn mạnh cái mới không có nghĩa coi nhẹ cái cũ". Theo Tôn Thân [19]: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, có tính hiệu quả giải quyết vấn đề cao" và theo tác giả "Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm của dấu ấn cá nhân tạo ra nó". Theo G.Polya cho rằng [23]: "Một tư duy được gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu, phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu, muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy ngày càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác" Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán: "Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là 15 nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày. Vậy, nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp. Nói chung lại, tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. 1.3.3 Cấu trúc của tư duy sáng tạo Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý, giáo dục học,...đã thống nhất đưa ra 5 thành phần cơ bản của cấu trức tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Tính mềm dẻo (Flexibility) Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng, đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại. Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán. Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng 16 tạo. Do đó, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy. Tính nhuần nhuyễn (Fluency) Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo. Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng. Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau: - Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu. - Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc. Ví dụ 1.1. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + ≤ 2 ab bc ca 4r Đây là ví dụ tiếp theo của nội dung cuối chương 2, khi ta đã có kiến thức cơ bản về hệ thức lượng giác. Chẳng hạn 1. a2 + b2 + c2 ≤ 9R2 . 2. R ≥ 2r. 3. sin A B C 1 sin sin ≤ 2 2 2 8 Lời giải. Cách 1: Ta đã có 1 1 1 1 + + = . ab bc ca 2Rr 17