Tài liệu Dãy fibonacci và đa thức fibonacci tổng quát (lv01793)

  • Số trang: 63 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 2551 |
  • Lượt tải: 0
loveydove

Tham gia: 05/08/2015

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NHÀN DÃY FIBONACCI VÀ ĐA THỨC FIBONACCI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Tạ Duy Phượng HÀ NỘI, 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát” do tôi tự làm. Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Nhàn Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Quốc gia. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Nhàn Mục lục Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Dãy Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Các tính chất cơ bản của dãy Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . 7 1.2.1. Tính chất cơ bản của số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Tính chất số học của dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.3. Tính chất chính phương của dãy Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Các vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1. Ma trận Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2. Véc tơ Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 2. Đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Đa thức Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Định nghĩa đa thức Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Một số tính chất cơ bản của đa thức Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Một số đa thức dạng Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1. Đa thức Jacobsthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2. Đa thức Kn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3. Đa thức Morgan - Voyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3. Đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.1. Định nghĩa đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2. Một số tính chất chung của đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.3. Tính chất chia hết của đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.4. Tính chất hàm của đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Bảng kí hiệu N R Q Z P ∅ (a, b) Cnk [a] int(R)  Tập số tự nhiên Tập số thực Tập số hữu tỷ Tập số nguyên Tập số nguyên tố Tập rỗng Ước chung lớn nhất của a và b Tổ hợp chập k của n Phần nguyên của a Phần trong của R Kết thúc chứng minh 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Dãy Fibonacci là dãy được xác đinh bởi công thức truy hồi dạng F0 = 0, F1 = 1; Fn+1 = Fn + Fn−1 , n = 1, 2, ... Dãy Fibonacci lần đầu tiên được nhà toán học Ý Fibonacci nghiên cứu và trình bày trong cuốn sách Liber Abaci của Ông xuất bản năm 1202. Dãy Fibonacci được nhiều nhà toán học khác nghiên cứu và phát triển (xem, thí dụ [7]). Thậm chí có cả một hội Fibonacci (Fibonacci Association) và một tạp chí The Fibonacci Quaterly từ năm 1964 (xem [8]). Một phát triển trong nghiên cứu dãy Fibonacci là Đa thức Fibonacci, tức là đa thức fn (x), n ≥ 0, t ∈ R được xác định bởi công thức truy hồi sau: f0 (x) ≡ 0, f1 (x) ≡ 1; fn+1 (x) = xfn (x) + fn−1 (x), n ≥ 1. Nhiều tính chất hay của đa thức Fibonacci đã được nghiên cứu, xem, thí dụ, [7]. Dãy Fibonacci đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và phát triển thành dãy Fibonacci tổng quát. Dãy Fibonacci tổng quát là dãy được xác định bởi một trong hai công thức truy hồi sau: U0 (a, b) = 0, U1 (a, b) = 1; Un+1 (a, b) = aUn (a, b) − bUn−1 (a, b), n ≥ 1. Hoặc V0 (a, b) = 2, V1 (a, b) = a, Vn+1 (a, b) = aVn (a, b) − bVn−1 (a, b), n ≥ 1. Dưới đây là một số trường hợp đặc biệt của dãy Fibonacci tổng quát: 2 1) Dãy Fibonacci: Un (1, −1). 2) Dãy Lucas: Vn (1, −1). 3) Dãy Pell: Un (2, −1). 4) Dãy Pell-Lucas: Vn (2, −1). 5) Dãy Jacobsthal: Un (1, −2). 6) Dãy Jacobsthal-Lucas: Vn (1, −2). 7) Dãy Mersenne: Un (3, 2). 8) Dãy Fermat tổng quát: Vn (3, 2). 9) Đa thức Fibonacci: Un (x, −1). 10) Đa thức Lucas: Vn (x, −1). Rất nhiều tính chất toán học thú vị của dãy Fibonacci tổng quát đã được phát hiện. Dãy Fibonacci tổng quát cũng có nhiều ứng dụng thực tế, liên quan đến đường cong elliptic và mật mã (xem, thí dụ, [9]). Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một lớp dãy số và đa thức, tuy cụ thể, nhưng cũng đủ phong phú và thú vị, đồng thời có thể sử dụng trực tiếp trong giảng dạy và ứng dụng toán học, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng, tôi chọn đề tài Dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát làm đề tài luận văn cao học. 2. Mục đích nghiên cứu 1) Tìm hiểu và trình bày các kiến thức về dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát. 2) Tìm hiểu và trình bày một số vấn đề và bài toán liên quan đến dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát. 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát. • Nghiên cứu một số bài toán liên quan đến dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Dãy Fibonacci, đa thức Fibonacci tổng quát và một số bài toán liên quan. 5. Phương pháp nghiên cứu 1) Thu thập các tài liệu liên quan tới dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát. 2) Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát dưới dạng một luận văn cao học. 6. Đóng góp mới của luận văn Cố gắng xây dựng Luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về đề tài Dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát. 4 Chương 1 Dãy Fibonacci tổng quát 1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci tổng quát Số Fibonacci Fn được định nghĩa bởi công thức: ( Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2, F0 = 0, F1 = 1. Số Lucas Ln được định nghĩa bởi công thức:  Ln = Ln−1 + Ln−2 , n ≥ 2, L = 2, L = 1. 0 1 Dãy Fibonacci tổng quát được định nghĩa bởi công thức sau: Un+1 = aUn − bUn−1 , trong đó U0 = A, U1 = B, a, b là các số thực cho trước. Dãy Fibonacci có thể được coi như là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng: un+1 − un − un−1 = f (n), với f (n) là hàm số cho trước. Nếu f (n) ≡ 0 thì ta có dãy Fibonacci un+1 − un − un−1 = 0, với n = 1, 2, ... (1.1.1) Phương trình đặc trưng của (1.1.1) λ2 − λ − 1 = 0, 5 (1.1.2) có hai nghiệm là √ 1+ 5 =: ϕ; λ1 = 2√ 1− 5 λ2 = =: 1 − ϕ = −ϕ−1 . 2 Ta có công thức nghiệm tổng quát của (1.1.1) là un = C1 λn1 + C2 λn2 , với n = 1, 2, ..., (1.1.3) trong đó C1 , C2 hằng số bất kì. Với u0 = 0, u1 = 1, từ (1.1.3) ta có ( C1 + C2 = 0, C1 λ1 + C2 λ2 = 1. Giải hệ này ta được: C1 = 1 1 1 = √ , C2 = − √ . λ1 − λ2 5 5 Do đó nghiệm tổng quát của (1.1.1) có dạng √ !n √ !n ! n  1 1+ 5 1− 5 1 un = √ . − = √ ϕn − −ϕ−1 2 2 5 5 Vì √ √ 1+ 5 1− 5 λ1 = và λ2 = . 2 2 nên ta có λ1 + λ2 = 1 và λ1 λ2 = −1. Do đó λ21 = λ1 (1 − λ2 ) = λ1 − λ1 λ2 = λ1 + 1, λ31 = λ1 (λ1 + 1) = λ21 + λ1 = 2λ1 + 1, λ41 = λ1 (2λ1 + 1) = 2λ21 + λ1 = 2 (λ1 + 1) + λ1 = 3λ1 + 2, ... λn1 − λn2 Đặt un = √ , ta có 5 6 λ1 − λ2 λ21 − λ22 u1 = √ = 1, u2 = √ = 1. 5 5 Với n ≥ 3 ta có un−1 + un−2 λ1n−1 − λn−1 λn−2 − λn−2 λn−2 (λ1 + 1) − λn−2 (λ2 + 1) 2 1 2 1 √ √ √ 2 = + = 5 5 5 n−2 2 n−2 2 λn − λn λ λ1 − λ2 λ2 √ = 1 √ 2 = un . = 1 5 5 Vậy un cũng chính là dãy Fibonacci thỏa mãn điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = 1. Nói cách khác, un = Fn và ta có λn1 − λn2 λn1 − λn2 √ Fn = = , λ1 − λ2 5 (1.1.4) trong đó λ1 , λ2 là các nghiệm của phương trình bậc hai λ2 − λ − 1 = 0. Dãy Lucas thực chất cũng là nghiệm của phương trình sai phân (1.1.1), tức là các số Lucas cũng có dạng un = C1 λn1 + C2 λn2 , với n = 1, 2, ..., (1.1.5) trong đó √ √ 1+ 5 1− 5 λ1 = và λ2 = . 2 2 Thay u0 = 2, u1 = 1 vào công thức un = C1 λn1 + C2 λn2 ta được: ( C1 + C2 = 2, C1 λ1 + C2 λ2 = 1. Giải hệ này ta được C1 = 1, C2 = 1. Vậy ta có Ln = λn1 + λn2 . 1.2. Các tính chất cơ bản của dãy Fibonacci tổng quát 1.2.1. Tính chất cơ bản của số Fibonacci Để tiện nghiên cứu, ta đưa vào 7 Định nghĩa 1.2.1. Số Fibonacci với chỉ số âm F−n = (−1)n+1 Fn , n = 1, 2, .... (1.2.1) Nhận xét 1.2.1. Từ công thức truy hồi: ( Fn = Fn−1 + Fn−2 , n = 2, 3, ... F0 = 0, F1 = 1, ta suy ra: Fn−2 = Fn − Fn−1 , n = 2, 3, ... Một cách hình thức, từ công thức trên, cho n = 1, 0, −1, −2, −3, ... ta được: F−1 = F1 − F0 = 1 − 0 = 1, F−2 = F0 − F1 = 0 − 1 = −1, F−3 = F−1 − F−2 = 1 − (−1) = 2, F−4 = F−2 − F−3 = −1 − 2 = −3, F−5 = F−3 − F−4 = 2 − (−3) = 5, ..., F−n = (−1)n+1 Fn . Ta có thể chứng minh Nhận xét trên theo phương pháp quy nạp như sau: Với n = 1 ta có: F−1 = 1 = (−1)1+1 F1 = F1 . Giả sử công thức F−n = (−1)n+1 Fn đúng với n > 2. Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n + 1. Thật vậy theo công thức (1.2.1) F−n = (−1)n+1 Fn và giả thiết quy nạp ta có: F−(n+1) = F−(n−1) − F−n = (−1)n Fn−1 − (−1)n+1 Fn = (−1)n+2 Fn + (−1)n+2 Fn−1 = (−1)n+2 (Fn + Fn−1 ) = (−1)n+2 Fn+1 . Như vậy, Định nghĩa 1.2.1 là có cơ sở. 8 Định lý 1.2.1. [9, trang 9] Tổng các số Fibonacci đầu tiên: n X Fk = Fn+2 − 1. (1.2.2) k=1 Chứng minh. Xem Hệ quả 2.1.1 Định lý 1.2.2. [9, trang 9] Tổng của các số Fibonacci với chỉ số lẻ đầu tiên: n X F2k−1 = F2n . (1.2.3) k=1 Chứng minh. Ta có: F1 = F2 , F3 = F4 − F2 , F5 = F6 − F4 , ..., F2n = F2n − F2n−2 . Cộng vế với vế ta được: F1 + F3 + F5 + ... + F2n−1 = F2n . Định lý được chứng minh. Định lý 1.2.3. [9, trang 10] Ta có: F12 + F22 + ... + Fn2 = Fn Fn+1 . Chứng minh. Chúng ta biết rằng: Fk Fk+1 − Fk−1 Fk = Fk (Fk+1 − Fk−1 ) = Fk2 , F12 = F1 F2 , F22 = F2 F3 − F1 F2 , ..., Fn2 = Fn Fn+1 − Fn−1 Fn . 9 (1.2.4) Cộng vế với vế ta được: F12 + F22 + F32 + ... + Fn2 = Fn Fn+1 . Định lý được chứng minh. Định lý 1.2.4. Tổng các số Fibonacci với chỉ số chẵn đầu tiên, (Lucas, 1876) n X F2k = F2k+1 − 1. (1.2.5) k=1 Chứng minh. Chứng minh tương tự tổng các số Fibonacci với chỉ số lẻ. Định lý 1.2.5. Ta có: F1 − F2 + F3 − F4 + ... + (−1)n Fn+1 = (−1)n Fn + 1. (1.2.6) Chứng minh. Với n = 2k chẵn, từ tính chất (1.2.3) và (1.2.5) ta có: F1 − F2 + F3 − F4 + ... + (−1)n Fn+1 = (F1 + F3 + ... + F2k−3 + F2k+1 ) − (F2 + F4 + ... + F2k ) = F2k+2 − (F2k+1 − 1) = F2k + 1 = (−1)n Fn + 1. Với n = 2k + 1 lẻ, từ tính chất (1.2.3) và (1.2.5) ta có: F1 − F2 + F3 − F4 + ... + (−1)n−1 Fn−1 = (F1 + F3 + ... + F2k−3 + F2k+1 ) − (F2 + F4 + ... + F2k+2 ) = F2k+2 − (F2k+3 − 1) = −F2k+1 + 1 = (−1)n Fn + 1. Định lý được chứng minh. 10 Định lý 1.2.6. Ta có: n−1 X kFk = nFn+2 − Fn+3 + 2. (1.2.7) k=1 Định lý 1.2.7. [9, trang 10] Ta có hệ thức: Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1 . (1.2.8) Chứng minh. Ta có công thức truy hồi của số Fibonacci ( Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2, F0 = 0, F1 = 1. Cố định n, ta sẽ chứng minh Định lý đúng với m theo quy nạp. Vì F1 = F2 = 1 nên từ công thức truy hồi của số Fibonacci ta có: Fn+1 = Fn−1 + Fn = Fn−1 F1 + Fn F2 . Vậy (1.2.8) đúng với m = 1 và với mọi n Giả sử quy nạp Định lý đúng với m ≤ k. Ta phải chứng minh Định lý đúng với m = k + 1. Theo quy nạp, ta có: Fn+k = Fn−1 Fk + Fn Fk+1 , và Fn+(k−1) = Fn−1 Fk−1 + Fn Fk . Cộng vế với vế của hai phương trình trên ta được: Fn+k + Fn+(k−1) = Fn−1 (Fk + Fk−1 ) + Fn (Fk+1 + Fk ) Fn+(k+1) = Fn−1 Fk+1 + Fn Fk+2 . Vậy công thức (1.2.8) đúng với m = k + 1 và với mọi n. Định lý được chứng minh. Định lý 1.2.8. [9, trang 10-11] 2 Fn+1 = Fn Fn+2 + (−1)n . 11 (1.2.9) Chứng minh. Ta chứng minh Định lý đúng với mọi n theo quy nạp. Với n = 1 ta có: F22 = 1 = F1 F3 − 1 nên Định lý đúng với n = 1. Giả sử rằng, Định lý đúng với n = 1, 2, ..., k. Ta phải chứng minh Định lý đúng với n = k + 1 Thật vậy, ta có 2 Fk+1 = Fk Fk+2 + (−1)k . Cộng vào cả 2 vế hệ thức trên với Fk+1 Fk+2 ta được: 2 Fk+1 + Fk+1 Fk+2 = Fk+1 Fk+2 + Fk Fk+2 + (−1)k Fk+1 (Fk+1 + Fk+2 ) = Fk+2 (Fk + Fk+1 ) + (−1)k 2 Fk+1 Fk+3 = Fk+2 + (−1)k . Vậy ta có: 2 Fk+2 = Fk+1 Fk+3 + (−1)k+1 . Định lý được chứng minh. Từ Định lý 1.2.8 ta có công thức Cassini (Cassin’s Formula): Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n , n = 1, 2, 3, .... (1.2.10) Định lý 1.2.9. (L.Carlitz, 1964) Fm = Fk Fm+1−k + Fk−1 Fm−k . (1.2.11) Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo k. Vì F0 = 0, F1 = 1, nên từ công thức truy hồi của số Fibonacci ta có: Fm = Fm + Fm−1 = Fm F1 + Fm−1 F0 . Vậy (1.2.11) cũng đúng với k = 1 và với mọi m Giả sử công thức (1.2.11) đúng với mọi k 6 q, nghĩa là Fm = Fq Fm+1−q + Fq−1 Fm−q . 12 Ta phải chứng minh (1.2.11) đúng với k = q + 1. Thật vậy, ta có: Fm = Fq Fm−q+1 + Fq−1 Fm−q = Fq (Fm−q + Fm−q−1 ) + Fq−1 Fm−q = (Fq + Fq−1 ) Fm−q + Fq Fm−q−1 = Fq+1 Fm−q + Fq Fm−q−1 Vậy (1.2.11) đúng với k = q + 1 và với mọi m. Định lý được chứng minh. Định lý 1.2.10. (Tính chất D’Ocagne) Fm Fn+1 − Fm+1 Fn = (−1)n Fm−n . (1.2.12) Định lý 1.2.11. Với k > 2 ta có: 2 F2n+k = Fk Fn+1 + 2Fk−1 Fk+1 Fn + Fk−2 Fn2 . (1.2.13) Định lý 1.2.12. F3n = 2Fn3 + 3Fn Fn+1 Fn−1 = 5Fn3 + 3 (−1)n Fn . (1.2.14) Chứng minh. Theo công thức (1.2.13) với k = n, ta có: F3n = F2n+n 2 = Fn Fn+1 + 2Fn−1 Fn+1 Fn + Fn−2 Fn2 = Fn (Fn + Fn−1 )2 + 2Fn−1 Fn+1 Fn + Fn−2 Fn2 2 = Fn3 + 2Fn2 Fn + Fn Fn−1 + 2Fn−1 Fn+1 Fn + Fn−2 Fn2 2 = Fn3 + Fn2 (Fn − Fn−2 ) + Fn2 Fn−1 + Fn Fn−1 + 2Fn−1 Fn+1 Fn + Fn−2 Fn2 = 2Fn3 + Fn−1 Fn (Fn + Fn−1 ) + 2Fn−1 Fn+1 Fn = 2Fn3 + Fn−1 Fn Fn+1 + 2Fn−1 Fn+1 Fn = 2Fn3 + 3Fn−1 Fn Fn+1 . Mặt khác, theo công thức Cassini (1.2.10) Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n ta có: Fn2 − Fn−1 Fn+1 = (−1)n−1 13 hay Fn−1 Fn+1 = Fn2 + (−1)n−1 . Vậy  F3n = 2Fn3 +3Fn Fn+1 Fn−1 = 2Fn3 +3Fn Fn2 + (−1)n = 5Fn3 +3 (−1)n Fn . Định lý được chứng minh. 1.2.2. Tính chất số học của dãy Fibonacci Định lý 1.2.13. [9, trang 11] Cho dãy Fibonacci , với mọi n > 1 thì hai số hạng Fn và Fn+1 của dãy Fibonacci nguyên tố cùng nhau, tức là (Fn , Fn+1 ) = 1. (1.2.15) Chứng minh. Giả sử (Fn , Fn+1 ) = d, nghĩa là Fn+1 = pd và Fn = qd. Suy ra Fn−1 = Fn+1 − Fn = pd − qd = (p − q) d, tức là Fn−1 cũng chia hết cho d. Tương tự Fn−2 ,Fn−3 , ... cũng chia hết cho d, cuối cùng F1 = 1 chia hết cho d. Suy ra d = 1. Vậy (Fn , Fn+1 ) = 1. Định lý được chứng minh. Định lý 1.2.14. [9, trang 11] Cho m > 1, n ≥ 1 . Fmn .. Fm . (1.2.16) Chứng minh. Ta sẽ chứng minh Định lý đúng với n theo quy nạp. . Với n = 1 thì Fm .. Fm Định lý đúng với n = 1 và với mọi m . . Giả sử Định lý đúng với mọi số nguyên n = k, tức là Fmk .. Fm . Ta phải . chứng minh Định lý đúng với n = k + 1, để chứng minh Fm(k+1) .. Fm , ta sử dụng công thức (1.2.8): Fn+m = Fn+1 Fm + Fn Fm−1 . Áp dụng công thức này, ta được: Fm(k+1) = Fmk+m = Fmk−1 Fm + Fmk Fm+1 . 14 . . Vì Fmk .. Fm theo giả thiết quy nạp nên ta suy ra Fm(k+1) .. Fm . Định lý được chứng minh. Bổ đề 1.2.1. [9, trang 11] Nếu m = nq + r, thì (Fm , Fn ) = (Fr , Fn ) . (1.2.17) Chứng minh. Từ công thức (1.2.8) Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fn+1 . ta có: (Fm , Fn ) = (Fnq+r , Fn ) = (Fnq−1 Fr + Fnq Fr+1 , Fn ) = (Fnq−1 Fr , Fn ) . Ta có (Fnq−1 , Fn ) = 1. Thật vậy, giả sử d = (Fnq−1 , Fn ), nghĩa là Fnq−1 = . . pd và Fn = qd. Vì Fnq .. Fn , mà Fn = qd nên Fnq .. d. Vậy d là ước chung của Fnq và Fnq−1 . Nhưng theo Định lý 1.2.13 (Fnq−1 , Fnq ) = 1. Vậy d = 1. Bổ đề được chứng minh. Định lý 1.2.15. [9, trang 12] Ước chung lớn nhất của hai số Fibonacci là một số Fibonacci: (Fm , Fn ) = F(m,n) . Chứng minh. Giả sử rằng Fm và Fn là hai số Fibonacci. Ta chứng minh (Fm , Fn ) = Fd , ở đó d = (m, n). Giả sử rằng m > n. Áp dụng thuật toán Euclid cho m và n ta có phương trình sau: m = q1 n + r1 , 0 ≤ r1 ≤ n, n = q2 r1 + r2 , 0 ≤ r2 ≤ r1 , r1 = q3 r2 + r3 , 0 ≤ r3 ≤ r2 , ..., rn−2 = qn rn−1 + rn , 0 ≤ rn ≤ rn−1 , rn−1 = qn+1 rn + 0. 15 Từ Bổ đề 1.2.1 ta có:  (Fm , Fn ) = (Fr1 , Fn ) = (Fr1 , Fr2 ) = ... = Frn−2 , Frn .  . . Từ rn−1 .. rn , thì Frn−1 .. Frn . Suy ra Frn−1 , Frn = Frn Nhưng rn = (m, n) 6= 0. Vậy (Fm , Fn ) = Fd , với d = (m, n). Định lý được chứng minh. . Định lý 1.2.16. [9, trang 12] Trong dãy Fibonacci Fn .. Fm khi và chỉ . khi n .. m. Chứng minh. Xem Hệ quả (2.3.1) Định lý 1.2.17. [9, trang 12] Tỷ lệ của hai số Fibonacci liên tiếp hội tụ đến tỷ số vàng, tức là Fn+1 = ϕ. n→∞ Fn lim (1.2.18) Chú ý Tỷ số vàng ϕ (số phi) được định nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần (a và b) sao cho a+b a = = ϕ. a b Khi ấy a+b b 1 =1+ =1+ a a ϕ 1 ⇔1+ =ϕ ϕ ⇔ ϕ2 = ϕ + 1 ⇔ ϕ2 − ϕ + 1 = 0 √ 1+ 5 ⇒ϕ= ≈ 1.61803398874989 ≈ 1.618. 2 Chứng minh. Với n = 1, 2, ... đặt rn = Fn+1 . Fn 16
- Xem thêm -