Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ đào tạo giáo viên toán về dạy học giải tích theo định hướng đổi mới căn bản và t...

Tài liệu đào tạo giáo viên toán về dạy học giải tích theo định hướng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục phổ thông

.PDF
53
57
142

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ MÃ SỐ: CS2015. 19. 58 Đào tạo giáo viên Toán về dạy học Giải tích theo định hƣớng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục phổ thông Cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài : KHOA TOÁN -TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM : TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016 DANH SÁCH THAM GIA ĐỀ TÀI STT Đơn vị Thành viên Khoa Toán –Tin, ĐHSP TP HCM 1 TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung 2 PGS. TS. Annie Bessot 3 Ths. Dương Văn Tú Trường Cao đẳng Sư phạm Bình Phước 4 Ths. Trịnh Ngọc Ẩn Trường THPT Vĩnh Kim, Tiền Giang 5 Ths. Chung Thị Kim Hạnh Trường THPT Hòa Ninh, huyện Long Hồ, Vĩnh Long Đại học Grenoble 1, Cộng hòa Pháp 2 MỤC LỤC Trang ĐẶT VẤN ĐỀ 4 CHƢƠNG 1. ĐỊNH HƢỚNG ĐỔI MỚI GIÁO DỤC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN 6 1. Chuyển từ dạy học nội dung sang hình thành năng lực cho học sinh 6 2. Vị trí của môn toán trong xu hướng dạy học tiếp cận năng lực 8 3. Dạy học tích hợp 8 4. Liên hệ giữa dạy học tích hợp với các công cụ lý thuyết didactic 10 CHƢƠNG 2. MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA SINH VIÊN KHI ÁP DỤNG GIẢI TÍCH TRONG KINH TẾ LƢỢNG 11 1. Một số tri thức toán phổ thông trong kinh tế lượng 11 2. Vai trò của đường thẳng và hệ số góc 11 3. Vai trò công cụ của logarit 15 4. Kết luận 18 CHƢƠNG 3. XU HƢỚNG VỀ DẠY HỌC GIẢI TÍCH PHỔ THÔNG Ở PHÁP VÀ MỸ 20 1. Quan điểm về dạy học Giải tích phổ thông ở Pháp 20 2. Xu hướng dạy học Giải tích phổ thông hiện nay ở Mỹ 22 3. Dạy học Giải tích phổ thông với mục tiêu phát triển năng lực 27 CHƢƠNG 4. CẢI TIẾN MỘT SỐ NỘI DUNG CỤ THỂ TRONG ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN VỀ DẠY HỌC GIẢI TÍCH PHỔ THÔNG 29 1. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề 29 2. Một kiểu nhiệm vụ trong đào tạo giáo viên 39 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 50 CHỮ KÍ 51 PHỤ LỤC: BẢN SAO CÁC BÀI BÁO ĐÃ CÔNG BỐ 52 3 ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Tính cấp thiết của đề tài Theo đánh giá của các chuyên gia, chương trình phổ thông hiện hành và phương pháp dạy học của giáo viên hiện nay đang theo hướng tiếp cận nội dung. Nghĩa là, trong chương trình định ra một hệ thống các đơn vị kiến thức, kỹ năng cần trang bị cho người học. Cách tiếp cận này thiên về lý thuyết và kết quả là người học được trang bị kiến thức có tính hệ thống với mục tiêu là học để thi. Việc dạy vì thế chỉ rút gói trong những nội dung liên quan đến thi cử. Do đó, học sinh nước ta yếu về thực hành và thiếu năng lực giải quyết các tình huống thực tiễn. Bộ Giáo dục và Đào tạo đang có một chủ trương “đổi mới căn bản và toàn diện” đối với giáo dục phổ thông. Trong đó, chủ trương chuyển từ việc dạy học và đánh giá học sinh theo các nội dung môn học sang đánh giá năng lực của người học. Mục tiêu dạy cho người học khả năng giải quyết các vấn đề có tính thực tế đang được đề ra và hứa hẹn sẽ được thực hiện trong một tương lai rất gần (sau năm 2015, bây giờ là sau 2018). Giải tích phổ thông chiếm một vai trò quan trọng. Vì nó được giảng dạy với thời lượng lớn ở cả ba lớp 10, 11, 12 của bậc THPT. Các kiến thức bậc THPT sẽ đóng vai trò nền tảng cho sinh viên các ngành khoa học kĩ thuật và kinh tế ở bậc Cao đẳng và Đại học nhằm nghiên cứu tiếp các môn toán giải tích ở bậc học này. Trong bối cảnh này, việc đổi mới phương thức đào tạo giáo viên Toán THPT cần phải được nhanh chóng tiến hành. Giới hạn trong các chuyên đề về lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán (của khoa Toán tin học ĐHSP TPHCM) và giới hạn trong một đề tài cấp trường, chúng tôi định hướng một nghiên cứu khoa học của mình liên quan đến công tác đào tạo giáo viên Toán về dạy học giải tích phổ thông. 2. Mục tiêu của đề tài Xây dựng một tài liệu đào tạo giáo viên Toán đáp ứng mục tiêu dạy học một số nội dung giải tích phổ thông theo định hướng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục phổ thông và phù hợp với xu thế dạy học các nội dung này trên thế giới. 4. Cách tiếp cận và phƣơng pháp nghiên cứu 4.1. Cách tiếp cận Từ việc làm rõ định hướng của kì vọng đổi mới chương trình và SGK Việt Nam và những kết quả đã có về thực trạng dạy học những khái niệm của giải tích bậc phổng thông chúng tôi tiến hành nghiên cứu việc đào tạo giáo viên nhằm giúp sinh viên biết cách tổ chức dạy học phù hợp với định hướng đổi mới. 4.2. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích các văn bản và công trình của các chuyên gia Việt Nam về định hướng đổi mới chương trình và SGK phổ thông; tổng hợp một số xu hướng dạy học giải tích phổ thông hiện nay của một số nước khác. - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: 4 + Tổng hợp một số nghiên cứu đã có về mối quan hệ thể chế với một số khái niệm của giải tích trong dạy học toán phổ thông ở Việt Nam, chủ yếu từ những kết quả luận văn thạc sĩ. + Nghiên cứu một số tình huống trong đào tạo giáo viên khi dạy học các học phần lí luận và phương pháp dạy học toán bằng công cụ của lí thuyết tình huống 4. Nội dung nghiên cứu - Xác định những yêu cầu đối với việc dạy học môn Toán theo định hướng đổi mới của giáo dục Việt Nam. - Tổng hợp về các xu thế dạy học giải tích của một số nước trên thế giới phù hợp với định hướng đổi mới của Việt Nam. - Xây dựng và thực nghiệm một số tình huống dạy học liên quan đến một số khái niệm của giải tích phổ thong và một kiểu nhiệm vụ phục vụ cho công tác đào tạo giáo viên. 5 CHƢƠNG 1. ĐỊNH HƢỚNG ĐỔI MỚI GIÁO DỤC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN Dự định “đổi mới căn bản và toàn diện” giáo dục Việt Nam hứa hẹn sẽ mang đến một cuộc cải cách giáo dục lớn. Những bài viết của các thành viên “bộ phận thuờng trực đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông và bồi duỡng nhà giáo, cán bộ quản lý cơ sở giáo dục” (Đỗ Ngọc Thống, tr 5) của Bộ Giáo dục và Đào tạo lấy mốc thời gian “sau 2015” để nói về thời điểm thực hiện sự đổi mới. Tuy nhiên, thời điểm dự kiến bắt đầu áp dụng chương trình mới đến nay vẫn chưa xác định. Đối với việc xây dựng chương trình mới, các thành viên bộ phận thường trực và các nhà nghiên cứu thuộc Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam sẽ giữ vai trò chủ đạo (chúng tôi sẽ gọi họ là những nhà hoạch định chương trình mới, gọi tắt là NHĐCT). Vì vậy, phân tích những quan điểm của họ thể hiện qua các bài viết cho những hội thảo tổ chức tại các trường Đại học Sư phạm Trọng điểm sẽ làm rõ những định hướng đổi mới giáo dục phổ thông nói chung và bộ môn Toán nói riêng. 1. Chuyển từ dạy học nội dung sang hình thành năng lực cho học sinh Định hướng tổng quát của những nhà hoạch định chương trình mới là chuyển từ việc dạy học những nội dung của tri thức môn học cụ thể sang hình thành các năng lực cho học sinh. Chuyển nền giáo dục chú trọng mục tiêu truyền thụ kiến thức một chiều hiện nay sang nền giáo dục chú trọng hình thành, phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất nguời học; (Đỗ Ngọc Thống 2014, tr 6) Hòa chung với định hướng này, việc dạy học môn Toán cũng được yêu cầu thay đổi sao cho có thể phát triển năng lực của học sinh. 1.Chương trình môn toán của trường phổ thông Việt Nam sau 2015 được xây dựng theo định hướng phát triển năng lực người học. Những năng lực chung cần được hình thành và phát triển ở người Việt Nam trong giai đoạn tới bao gồm: năng lực tư duy, năng lực thu thập và chế biến thông tin, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tự học, năng lực tự quản lý bản thân (tất nhiên những năng lực này không hoàn toàn độc lập với nhau). Đây cần được xem là điểm xuất phát cho việc xác định mục tiêu, nội dung, phương pháp dạy học, cách thức đánh giá kết quả học tập môn toán trong trường phổ thông. (Trần Kiều và nhóm nghiên cứu 2013) Như vậy, một loạt thuật ngữ liên quan đến năng lực xuất hiện. Câu hỏi đầu tiên: thế nào là năng lực? Từ nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực, tác giả Đinh Quang Báo (2014) tóm lại như sau: Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt, có tổ chức hợp lý các kiến thức, kỹ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh (tình huống) nhất dịnh. (Đinh Quang Báo 2014, tr 38) Tác giả cũng đề cập đến mối quan hệ giữa năng lực và kiến thức, kĩ năng (những thành tố cơ bản của mục tiêu dạy học hiện hành). 6 Ở Việt Nam, thuật ngữ “năng lực” có thể đuợc hiểu theo các nội hàm khác nhau. Theo một số quan điểm khá thống nhất thì năng lực được hiểu theo nghĩa “competency”, nghĩa là: Sự tổng hợp tất cả các yếu tố kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác để thực hiện một loại công việc nào đó. (Đinh Quang Báo 2014, tr 40) Như vậy, việc dạy học nhằm hình thành năng lực và đánh giá năng lực học sinh nhất thiết phải gắn với những tình huống có ý đồ sư phạm cụ thể. Ngoài ra, tri thức môn học được mô tả dưới dạng kiến thức và kĩ năng cũng cần phải được xác định rõ. Các NHĐCT cũng cố gắng đưa ra các kiểu năng lực cần hình thành cho học sinh trong giáo dục phổ thông. Tuy nhiên điều này đến nay vẫn chưa có sự thống nhất. Tham khảo những năng lực chung (hay năng lực cốt lõi) ở một số quốc gia nói tiếng Anh, các tác giả Đinh Quang Báo và Lê Huy Hoàng (2014) cho rằng: Việc xác định hệ thống các năng lực chung cho giáo dục phổ thông không giống nhau giữa các quốc gia do sự khác nhau về điều kiện kinh tế, chính trị, văn hoá, trình độ phát triển… Tuy nhiên, trong bối cảnh toàn cầu hoá và sự gia tăng của nền kinh tế tri thức, có một số năng lực thuờng đuợc nhiều quốc gia đề cập trong chương trình đào tạo như: năng lực sử dụng ngôn ngữ (literacy competency); năng lực tính toán (numeracy competency); năng lực tư duy sáng tạo và phản biện (creative and critical thinking competency); năng lực hợp tác (collaborative competency); năng lực giải quyết vấn đề (problem solving competency); và năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông (ICTs competency). (Đinh Quang Báo – Lê Huy Hoàng 2014, tr 13) Chúng tôi sẽ chọn lựa các kiểu năng lực trong trích dẫn trên để tham chiếu cho nghiên cứu của mình và hiểu về chúng trong một tình huống dạy học xác định như sau: - Năng lực ngôn ngữ : khả năng vận dụng một cách phù hợp ngôn ngữ mà đặc biệt là kí hiệu và thuật ngữ khoa học để trình bày ý kiến nhằm thuyết phục người khác và để soạn thảo câu trả lời cho tình huống đặt ra. - Năng lực tính toán : khả năng thực hiện nhanh và chính xác các phép tính, đặc biệt là các ước lượng cần thiết để giải quyết tình huống đã cho. - Năng lực tư duy sáng tạo và phản biện: khả năng đưa ra các phản biện và đề nghị cải thiện một cách hợp lí cho vấn đề đặt ra. - Năng lực hợp tác: khả năng phối hợp tốt với các thành vên trong nhóm để phân chia công việc và thống nhất nhằm đưa ra sản phẩm trả lời cho tình huống đặt ra. - Năng lực giải quyết vấn đề: khả năng giải quyết các vấn đề đặt ra trong tình huống. Lưu ý rằng: vấn đề là một bài toán chưa thể giải quyết ngay bằng quy trình mà chủ thể đang có, nó đòi hỏi chủ thể phải bổ sung hay tổ chức lại kiến thức của mình mới có thể giải quyết bài toán. - Năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông: khả năng sử dụng hợp lí và hiệu quả các công cụ của công nghệ như máy tính bỏ túi, thiết bị trình chiếu, các phần mềm máy tính phù hợp ... Các NHĐCT cũng đồng ý rằng dù có thể gọi tên các năng lực một cách khác nhau, nhưng chúng thường không được thể hiện một cách độc lập mà đan xen với nhau. Chẳng hạn, khi giải quyết một vấn đề đặt ra bằng phương pháp và kĩ thuật toán học thì chủ thể phải huy động các năng lực khác như: hợp tác để tìm cách giải quyết vấn đề, sử 7 dụng ngôn ngữ hợp lí để phản biện ý kiến của người khác và đề nghị cải thiện, tính toán chính xác và sử dụng công nghệ để thực hiện các khảo sát hay đo lường. 2. Vị trí của môn toán trong xu hƣớng dạy học tiếp cận năng lực Ghi nhận đầu tiên của chúng tôi là việc dạy học Toán có thể góp phần hình thành tất cả các năng lực chung đã nêu, đặc biệt đối với việc phát triển ba năng lực : tính toán, tư duy sáng tạo và phản biện, giải quyết vấn đề. Ý kiến tích hợp các môn học hiện hành ở bậc trung học thành những môn học mới theo từng lĩnh vực được đề ra, chẳng hạn: bậc trung học cơ sở sẽ có môn khoa học tự nhiên tích hợp từ các môn Vật lý, Hóa học, Sinh học và Địa lí. Tuy nhiên, đối với môn Toán, các nhà hoạch định chương trình mới vẫn đang thiên về ý kiến để môn học này riêng biệt như hiện tại. Một phần lí do có thể được tìm thấy trong bài viết của tác giả Đỗ Đức Thái (2013): Truyền thống của Việt Nam luôn coi môn toán là môn học chiếm vị trí quan trọng trong các môn học ở nhà trường phổ thông. Toán học được xem là cần thiết không chỉ vì cung cấp nền tảng cho việc học các môn học khác hoặc là công cụ để giải quyết các vấn đề trong đời sống thực tế, mà còn bởi lẽ nó đóng góp nhiều nhất cho sự phát triển trí tuệ của mỗi cá nhân học sinh. (Đỗ Đức Thái 2013 trang 2). Vấn đề rèn luyện khả năng mô hình hóa toán học được đề cao cho chương trình Toán sau 2015, tác giả Trần Kiều (2013) gọi đó là “năng lực mô hình hóa toán học”. - Năng lực mô hình hóa toán học từ các tình huống thực tiễn giả định hoặc tình huống thực trong cuộc sống. Đây là năng lực cần phải được quan tâm nhiều hơn nữa đối với các trường phổ thông ở nước ta. (Trần Kiều 2013 trang 3) Ta có thể xem năng lực mô hình hóa là một trường hợp đặc biệt của năng lực giải quyết vấn đề khi tình huống đặt ra có tính thực tiễn. Như vậy, môn Toán vẫn sẽ đứng độc lập nhưng được yêu cầu phải dạy học gắn với thực tiễn hơn. Câu hỏi là làm thế nào để thực hiện điều này. Theo các NHĐCT, dạy học tích hợp là con đường để hình năng lực cho học sinh và hình thức dạy học này vẫn có thể thực hiện được cho môn Toán khi đứng độc lập trong chương trình mới. 3. Dạy học tích hợp Nguyễn Anh Dũng và nhóm nghiên cứu (2014) trình bày định nghĩa về dạy học tích hợp như sau: 1.1. Dạy học tích hợp là giáo viên tổ chức, huớng dẫn để học sinh biết huy động tổng hợp kiến thức, kỹ năng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau nhằm giải quyết có hiệu quả các nhiệm vụ học tập; thông qua nó hình thành những kiến thức kỹ năng mới; phát triển đuợc những năng lực cần thiết, nhất là năng lực giải quyết vấn đề trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống. (Nguyễn Anh Dũng và nhóm nghiên cứu 2014, trang 25) Theo các tác giả này, dạy học tích hợp đang được thực hiện phổ biến trên thế giới. Qua nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa của 17 nuớc và một số tài liệu do UNESCO tổng hợp cho thấy: xu huớng chung của các nước đều vận dụng quan điểm tích hợp vào xây dựng chương trình. Ở tiểu học thường tích hợp ở mức độ cao (tích hợp 8 hoàn toàn). Sau đó giảm dần từ trung học cơ sở đến trung học phổ thông (tích hợp bộ phận). (Nguyễn Anh Dũng và nhóm nghiên cứu 2014, trang 25) Nhóm nghiên cứu trình bày các hình thức dạy học tích hợp: Có bốn hình thức chính: a) Tích hợp trong nội bộ môn học Là môn học độc lập, một số nội dung của các phân môn trong môn học đó được tích hợp lại với nhau. Ví dụ phân môn Hình, Luợng, Ðại trong môn Toán có những nội dung đuợc tích hợp thành chủ đề tích hợp. b) Tích hợp đa môn Các môn học vẫn độc lập, tuy nhiên có những chủ đề như Môi truờng, Sức khoẻ sinh sản, Kỹ năng sống... đuợc lồng ghép vào các môn học sao cho phù hợp với đặc trưng của môn học đó. c) Tích hợp liên môn Xây dựng môn học mới bằng cách kết hợp hai hay nhiều môn học với nhau nhưng vẫn có những phần mang tên riêng của từng môn học và giữa các môn đó có các chủ đề liên môn. Ví dụ môn Khoa học Tự nhiên vẫn có ba môn Lý, Hoá, Sinh riêng song giữa chúng có các chủ đề liên môn. d) Tích hợp xuyên môn Xây dựng môn học mới với cách tiếp cận những vấn đề từ cuộc sống thực và có ý nghĩa đối với học sinh mà không xuất phát từ các khoa học tương ứng với các môn học. Ví dụ môn Khoa học có những chủ đề như Vật chất, Sự sống... (Nguyễn Anh Dũng và nhóm nghiên cứu 2014, trang 26 - 27) Như vậy, nếu môn Toán vẫn đứng độc lập trong chương trình mới và với mong muốn dạy học gắn với thực tiễn, ta có thể tổ chức dạy học tích hợp phối hợp giữa hai quan điểm: tích hợp trong nội bộ môn học và tích hợp liên môn. Khi đó, cần thiết kế các tình huống tích hợp sao cho các kiến thức của nhiều phân môn của Toán được huy động. Tác giả Đinh Quang Báo (2014) nhấn mạnh về sự cần thiết phải có tình huống tích hợp cũng như phải xác định rõ kỹ năng và nội dung tri thức môn học trong việc hình thành năng lực. - Năng lực = Kỹ năng × Nội dung × Tình huống tích hợp. Như vậy, dựa vào bảng trên, giáo viên hay nguời soạn chuơng trình thiết kế các tình huống tích hợp, hoạt động huy động vận dụng kiến thức, kỹ năng từ các nguồn để giải quyết vẫn đề có ý nghĩa. (Đinh Quang Báo 2014, trang 40) Trong trang trước của bài viết, tác giả Đinh Quang Báo (2014) đã đưa ra mẫu về một bảng thể hiện mối liên hệ giữa kỹ năng và nội dung tri thức môn học như sau: Mỗi môn học lập đuợc ma trận quan hệ giữa hệ thống kỹ năng (KN) và nội dung (ND) kiến thức duới dạng bảng như sau: 9 (Đinh Quang Báo 2014, trang 39) Từ ý kiến của các tác giả đã phân tích, xu hướng đối với dạy học môn Toán của chương trình mới đó là tích hợp trong nội bộ môn học với tình huống tích hợp chứa các vấn đề “có ý nghĩa”: - hoặc các vấn đề của nội tại bộ môn Toán nhưng khi giải quyết có thể huy động kiến thức của nhiều phân môn khác nhau, - hoặc các vấn đề phỏng thực tiễn (hay từ thực tiễn). 4. Liên hệ giữa dạy học tích hợp với các công cụ lý thuyết didactic Giới hạn trong dạy học giải tích phổ thông, chúng tôi thấy rằng dạy học bằng mô hình hóa toán học và dạy học bằng các tình huống mà việc giải quyết chúng cần có sự huy động và chuyển đổi giữa các phạm vi toán học khác nhau (tk. Douady 1984) phù hợp với quan điểm về dạy học tích hợp của NHĐCT, đặc biệt với hai hình thức tích hợp trong nội bộ môn học hay tích hợp liên môn. Từ việc xác định quan điểm của NHĐCT, chúng tôi có thể hình dung những công cụ của lý thuyết của chuyên ngành didactic phù hợp với yêu cầu đổi mới. Những tình huống dạy học bằng mô hình hóa và chuyển đổi phạm vi được thiết kế dựa trên việc phân tích tri thức luận, phân tích chương trình và sách giáo khoa (bằng các công cụ của thuyết nhân học). Từ đó, chúng ta phải xây dựng, phân tích và thực nghiệm các tình huống dạy học (bằng công cụ của lý thuyết tình huống). Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày những khó khăn của sinh viên ngành kinh tế khi vận dụng các kiến thức giải tích ở phổ thông trong môn kinh tế lượng mà chúng tôi có cơ hội quan sát. Nghiên cứu này, phần nào cho thấy cách dạy học các kiến thức giải tích ở phổ thông hiện nay chưa đáp ứng những mong đợi của xã hội, đặc biệt là chưa tính đến việc giúp người học vận dụng các kiến thức giải tích trong đào tạo nghề nghiệp. Điều này sẽ ủng hộ cho việc cần thay đổi nội dung dạy học và cách thức dạy học về giải tích ở trường phổ thông hiện nay. Từ đó, tạo tiền đề cho việc thay đổi trong công tác đào tạo giáo viên. 10 CHƢƠNG 2. MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA SINH VIÊN KHI ÁP DỤNG GIẢI TÍCH TRONG KINH TẾ LƢỢNG Kinh tế lượng (đo lường kinh tế) có thể được định nghĩa như một môn khoa học mà ở đó các tri thức kinh tế và toán học cùng xuất hiện và cần thiết cho nhiều phân tích các hiện tượng kinh tế. Vì vậy, một số tri thức toán đã được giảng dạy ở bậc phổ thông sẽ trở thành công cụ để giải quyết các bài toán kinh tế diễn ra trong thực tế. Trong báo cáo này, chúng tôi lí giải những khó khăn của sinh viên khi họ phải huy động hai đối tượng tri thức đã được học ở bậc phổ thông: hệ số góc của đường thẳng và khái niệm logarit. 1. Một số tri thức toán phổ thông trong kinh tế lƣợng Hai đối tượng tri thức được nghiên cứu bắt nguồn từ việc ghi nhận một số khó khăn của sinh viên khi chúng tôi giảng dạy môn kinh tế lượng trong chương trình đào tạo cử nhân kinh tế. tiêu. Ghi nhận 1: Cho hàm số y = 24,45 + 0,78x với x là thu nhập và y là mức chi Khi giảng viên đặt câu hỏi: Nếu thu nhập tăng thêm một đơn vị tiền thì mức chi tiêu biến đổi như thế nào? Phần lớn sinh viên các lớp được quan sát không đưa ra câu trả lời. - Ghi nhận 2: Cho hàm số y   x  (mô hình 1) Khi giảng viên đặt câu hỏi: Làm thế nào có thể chuyển mô hình 1 – mô hình phi tuyến, về một mô hình tuyến tính có dạng y*  b  ax* ? Không có sinh viên nào nghĩ đến việc sử dụng phép logarit cho trường hợp này. Phần trình bày tiếp theo sẽ góp phần giải thích cho những khó khăn mà sinh viên gặp phải khi huy động hai đối tượng tri thức đang bàn đến. Đồng thời, chúng tôi cũng làm rõ một số vai trò công cụ của từng tri thức. 2. Vai trò của đƣờng thẳng và hệ số góc 2.1.Trong kinh tế lƣợng Kinh tế lượng vận dụng các kiến thức kinh tế và toán cho mục tiêu đo lường các mối quan hệ kinh tế diễn ra trong thực tế. Chẳng hạn, để dự báo chi tiêu trung bình theo thu nhập, người ta xuất phát từ quy luật tâm lí tiêu dùng cơ bản của Keynes (1936): « Quy luật kinh tế chung là người ta có khuynh hướng tăng chi tiêu khi thu nhập tăng thêm, nhưng mức tăng không nhiều như gia tăng thu nhập của họ.» Nhà kinh tế lượng bắt đầu bằng việc diễn tả quy luật này theo ngôn ngữ toán học: Tóm lại, Keynes thừa nhận rằng xu hƣớng chi tiêu cận biên (MPC)1, mức thay đổi của chi tiêu khi thu nhập thay đổi một đơn vị (một đô la chẳng hạn), lớn hơn 0 nhưng nhỏ hơn 1. (Gujarati 2004, tr.4) Vấn đề là phải tìm một hàm số diễn tả mối quan hệ giữa chi tiêu và thu nhập mà trong đó chi tiêu là biến phụ thuộc còn thu nhập là biến độc lập. Như vậy, nhà kinh tế lượng phải mô hình hóa toán học cho quy luật này 11 Mặc dù Keynes thừa nhận mối quan hệ đồng biến giữa chi tiêu và thu nhập, nhưng ông đã không định rõ dạng hàm số giữa hai biến này. (Gujarati 2004, tr.4) Việc nên chọn hàm số kiểu nào cần phải có các nghiên cứu thống kê, tuy nhiên, người ta có thể bắt đầu bằng một hàm tuyến tính vì sự đơn giản của nó (về mặt kĩ thuật toán học) và vì ta luôn có thể xấp xỉ một hàm phi tuyến bằng một hàm tuyến tính trong một lân cận của biến độc lập. Để cho đơn giản, một nhà kinh tế học kiêm toán học có thể đề nghị dạng hàm chi tiêu của Keynes như sau: Y  1  2 X (I.3.1) Với Y = chi tiêu tiêu dùng [Consumption expenditure] , X = thu nhập [Income] và 1 cùng với 2 là các tham số của mô hình (tương ứng chính là các tung độ gốc và hệ số độ dốc của đường thẳng). Hình 1.1. Hàm chi tiêu của Keynes (Gujarati 2004, tr.4) Như vậy, hệ số góc của đường thẳng chính là đạo hàm của hàm đường thẳng, nó đo độ dốc của đường thẳng và cho biết mức thay đổi của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x tăng (hay giảm) 1 đơn vị. 2.2. Trong dạy học toán bậc trung học Trong dạy học Toán phổ thông Việt Nam, đối tượng đường thẳng xuất hiện trong tất cả các phân môn chính: Hình học, Đại số và Giải tích. Phân tích các sách giáo khoa trung học cơ sở hiện hành Nếu chúng tôi chỉ xem xét đường thẳng khi có phương trình của nó thì đối tượng này xuất hiện lần đầu trong phần Đại số lớp 7 với phương trình y = ax (đường thẳng đi qua gốc tọa độ). Phương trình tổng quát hơn được trình bày trong Đại số lớp 9 (y = ax+b). Và chính thời điểm này, nghĩa của hệ số góc đường thẳng được đề cập. - Ý nghĩa đầu tiên của hệ số góc đó là: dấu của hệ số góc xác định chiều biến thiên của hàm đường thẳng. Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: a) Đồng biến trên R, khi a > 0, b) Nghịch biến trên R, khi a < 0. (Toán 9 tập 1, tr.47) Ý nghĩa này được truyền thụ cho học sinh thông qua các kiểu nhiệm vụ (trong phần bài 12 tập): xác định sự biến thiên (đồng biến hay nghịch biến) của một hàm số bậc nhất, tìm tham số m để một hàm số bậc nhất đồng biến (hay nghịch biến). Cần lưu ý rằng, khi ý nghĩa đầu tiên được đề cập thì thuật ngữ “hệ số góc” vẫn chưa xuất hiện. - Nghĩa “hệ số góc là tg của góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox” chỉ được xây dựng ngầm ẩn ở bậc THCS. Giải thích trong sách giáo viên toán 9 tập 1 cho thấy lí do là vì giá trị lượng của góc tù chưa được định nghĩa. […] Ở cấp THCS chưa học cách tính góc  khi tg có giá trị âm, do đó khi gặp trường hợp hệ số góc a của đường thẳng y = ax + b là số âm, phải tìm cách tính gián tiếp góc hợp bởi đường thẳng này và trục Ox. […] Cuối cùng thông qua hai ví dụ đã học, giáo viên chốt lại vấn đề về cách tính trực tiếp góc  hợp bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox trong trường hợp a > 0 và cách tính gián tiếp góc  trong trường hợp a < 0 ( = 1800 – ‟ với ‟ < 900 và tg‟ = – a). (Sách giáo viên toán 9 tập 1, tr. 70-71) Giải thích trên liên quan đến kiểu nhiệm vụ: tính góc hợp bởi đường thẳng y = ax +b với trục Ox. Sách giáo khoa trình bày kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này bằng cách vẽ đồ thị rồi tính giá trị tg của góc nhọn. Trong phần bài học của SGK, thuật ngữ “hệ số góc” xuất hiện xuất hiện sau một hoạt động có lời giải và được minh họa bằng đồ thị : Hình 11a) biểu diễn đồ thị của các hàm số (với hệ số a > 0): y = 0,5x + 2; y = x + 2; y = 2x + 2. Hình 11b) biểu diễn đồ thị của các hàm số (với hệ số a < 0): y = -2x + 2; y = -x + 2; y = -0,5x + 2 a) Hãy so sánh các góc 1, 2, 3 và so sánh các giá trị tương ứng của hệ số a trong các hàm số (trường hợp a > 0) rồi rút ra nhận xét. b) Cũng làm tương tự như câu a) với trường hợp a < 0. Qua việc xét đồ thị của các hàm số đã nêu ở trên, ta có thể nói: - Khi hệ số a dương (a > 0) thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 900. - Khi hệ số a âm (a < 0) thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 1800. Vì có sự liên quan giữa hệ số a với góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox nên người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b. (Toán 9 tập 1, tr.56-57) 13 Như vậy, mối liên hệ giữa hệ số góc và góc định hướng được đề cập tuy nhiên mối liên hệ với độ dốc hay tốc độ tăng của hàm số theo biến số chưa được làm rõ. Phân tích các sách giáo khoa trung học phổ thông hiện hành - Ý nghĩa “dấu của hệ số góc xác định chiều biến thiên của hàm đường thẳng” được nhắc lại trong phần Đại số lớp 10. Ngoài ra, trường hợp hệ số góc bằng 0 cũng được đề cập. - Định nghĩa “hệ số góc là tan của góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox” được đề cập trong phần Hình học lớp 10. Lúc này phương trình đường thẳng được xem xét tổng quát hơn bao gồm trường hợp phương trình đường thẳng không có hệ số góc. Chú ý Xét đường thẳng  có phương trình tổng quát ax + by + c = 0. Nếu b  0 thì phương trình trên đưa được về dạng y = kx + m (3) a c b b Với k   , m   . Khi đó k là hệ số góc của đường thẳng  và (3) gọi là phương trình của  theo hệ số góc . Ý nghĩa hình học của hệ số góc (h.69) Xét đường thẳng : y = kx + m. Với k  0, gọi M là giao điểm của  với trục Ox và Mt là tia của  nằm phía trên Ox. Khi đó, nếu  là góc hợp bởi hai tia Mt và Mx thì hệ số góc của đường thẳng  bằng tang của góc , tức là k = tan. Khi k = 0 thì  là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox. (Hình học 10 nâng cao, tr.77-78) Tuy nhiên, trong phần bài tập, không có kiểu nhiệm vụ nào cần huy động nghĩa này. - Một nghĩa khác của hệ số góc có thể xuất hiện ngầm ẩn trong sách giáo khoa: hệ số góc của đường thẳng bằng tỉ số giữa tung độ và hoành độ của một vectơ chỉ phương của phương trình đường thẳng đó (nếu đường thẳng đó có hệ số góc). - Khi nghiên cứu Đạo hàm trong Giải tích 11 và 12, kiến thức “hệ số góc tiếp tuyến bằng đạo hàm tại tiếp điểm của đường cong” được nhấn mạnh thông qua kiểu nhiệm vụ: viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một tiếp điểm. Trong kĩ thuật tính đạo hàm, quy tắc (ax + b)‟= a mà học sinh phải học thuộc lòng. Tuy nhiên, những điều này không đảm bảo nghĩa “hệ số góc tiếp tuyến là đạo hàm của hàm đường thẳng” được hình thành ở học sinh. Ngoài ra, nghiên cứu của Lê Thị Hoài Châu (2014) cho thấy nghĩa “tốc độ biến thiên của hàm số theo biến số” của đạo hàm không xuất hiện trong thể chế dạy học toán Trung học phổ thông hiện hành. Như vậy, việc phân tích các sách giáo khoa bậc trung học hiện hành (nhất là phần bài tập dành cho học sinh) cho thấy những nghĩa sau đây cũng như mối liên hệ giữa chúng về hệ số góc của đường thẳng chưa được làm rõ: - Hệ số góc là đạo hàm của hàm đường thẳng Hệ số góc đo độ dốc của đường thẳng và cho biết mức thay đổi của y khi x thay 14 đổi 1 đơn vị. Điều này giải thích cho khó khăn của sinh viên mà chúng tôi đã trình bày trong ghi nhận thứ nhất khi dạy học kinh tế lượng. Phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả phân tích về vai trò công cụ của logarit liên quan đến ghi nhận thứ hai. 3. Vai trò công cụ của logarit 3.1. Tính chất đặc trƣng của logarit Các nghiên cứu lịch sử cho thấy John Napier (1550-1617) là một trong những người đầu tiên sử dụng khái niệm logarit (tuy chưa định nghĩa chính thức khái niệm này). Các bảng logarit của ông được xuất bản năm 1614. Mục tiêu của công trình nghiên cứu này là thực hiện các phép cộng, trừ, chia hai, chia ba trên các bảng số lần lượt thay cho các phép nhân, chia, căn bậc hai và căn bậc ba các số thực dương. Ngày nay, chúng ta biết rằng các bảng trên chính là logarit của những số thực dương với cơ số nap, có thể  x  diễn tả qua cơ số e như sau: log nap x  107.log 1  7  . e  10  Nguyễn Viết Hiếu (2013) đã trình bày lại một số ví dụ về việc sử dụng bảng logarit của Napier. Chúng tôi trích ra một ví dụ: Ví dụ 1. Cho a =10.000.000 và b=5.000.000. Tìm căn bậc hai của tích a.b . Napier tính √ như sau: + Lấy logarit Napier hai số và b được log nap a  0 ;log nap b  6931470 . + Tìm log nap c theo công thức log nap c  log nap a  log nap b 2  3465735 . + Tra bảng logarit, tìm được căn bậc hai của tích a.b xấp xỉ 7071068 . (Nguyễn Viết Hiếu 2013, tr. 9) Ngày nay, chúng ta biết nhiều cách định nghĩa hàm logarit, chẳng hạn: - Hàm logarit là hàm ngược của hày số mũ y = ax (với a dương và khác 1). ln x trong đó lna chính là phần diện ln a 1 tích hình phẳng giới hạn bởi hyperbol có phương trình y  , trục hoành và hai đường x - Hàm logarit xác định bởi công thức y  log a x  thẳng x = 1, x =a (với a dương và khác 1). - Hàm logarit xác định bởi công thức y  log a x  ln x (với a dương và khác 1) trong đó ln a hàm y = h(x) =lnx chính là nghiệm duy nhất của phương trình hàm h(x.t) = h(x) + h(t). Dù định nghĩa theo cách nào thì đặc trưng của một hàm logarit (hay phép logarit) vẫn là tính chất f(x.t) = f(x) + f(t). Nếu phát biểu một cách dễ hiểu hơn thì phép logarit biến một phép nhân thành phép cộng và vì vậy biến một biến phép lũy thừa thành phép nhân. 3.2. Một số ứng dụng của phép logarit Với tính chất đặc trưng đã chỉ ra, phép logarit có rất nhiều ứng dụng, chúng tôi giới 15 thiệu một số ứng dụng trong dạy học toán những năm đầu Đại học – Cao đẳng và trong các khoa học khác như vật lí, hóa học. Đặc biệt, chúng tôi sẽ trình bày một số vai trò công cụ của logarit trong kinh tế lượng. - Việc biến phép lũy thừa thành phép nhân của logarit có thể cho phép giải các phương trình mũ dạng af(x) = bg(x), tính đạo hàm của các hàm số dạng y = f(x)g(x) hay tính giới hạn hàm số của các dạng vô định: 1, 00, 0. Chẳng hạn: Bài 8. Tìm các giới hạn: […] 5) lim  sin x  x tan x ([9] , tr. 36) 2 Lời giải được trình bày trong giáo trình: 5) Đặt A   sin x  tan x  1   sin x  1 ln A  tan x.ln 1   sin x  1   Và tan x . ln 1   sin x  1  sin x  1 . sin x  1 cot x sin x  1 sin x  1 sin x  1 . Do đó lim 0  sin x.  cot x cos x cot x x 2 Cuối cùng: lim ln A  0 , nghĩa là: lim A  lim  sin x tan x  e0  1 (Nguyễn Đình Trí 2009,    x 2 x x 2 2 tr.46) - Ngoài ra, một vai trò khác của phép logarit là cho phép chuyển những đại lượng có giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ về phạm vi dễ kiểm soát. Chẳng hạn: + Độ pH   log CH  (logarit thập phân) với CH+ là nồng độ mol của ion H+ trong dung dịch và có giá trị rất nhỏ trong khoảng từ 10-14 đến 1. Nhờ phép logarit, độ pH của một dung dịch dao động từ 0 đến 14. I (đơn vị Richter) trong đó I0 là biên độ dao I0 I động chuẩn và I là biên độ dao động của cơn địa chấn. Tỉ số có thể rất lớn, nó dao I0 + Độ mạnh của động đất M  log động trong khoảng từ 1 đến 1010. Với phép logarit, độ mạnh của một cơn động đất được diễn tả trên thang 10 đơn vị Richter. Trong kinh tế lượng (và thống kê nói chung) Như đã nói ở đoạn trên, về mặt kĩ thuật toán học, mô hình tuyến tính sẽ dễ nghiên cứu hơn các mô hình phi tuyến. Điều này cũng không ngoại lệ khi áp dụng toán trong nghiên cứu kinh tế. Với quan điểm này, phép logarit phát huy lợi ích đặc biệt của mình nhờ tính chất đặc trưng biến tích thành tổng và lũy thừa thành tích. Hãy xét mô hình sau đây, gọi là mô hình hồi quy mũ: Yi  1 X i2 eui (6.5.1) Mô hình có thể được viết bằng dạng thay thế như sau ln Yi  ln 1  2 ln X i  ui (6.5.2) Với ln = logarit tự nhiên (nói cách khác, log cơ số e với e =2,718). 16 Nếu chúng ta viết (6.5.2) là ln Yi    2 ln X i  ui (6.5.3) Với  = ln1, [...] mô hình này được gọi là log-log, double-log hay tuyến tính log. Yi*    2 ln X i*  ui (6.5.4) Với Y* = lnY và X* = lnX. [...] (Gujarati 2004, tr. 175 - 176) Việc ước lượng và nghiên cứu mô hình (6.5.4) được thực hiện dễ dàng hơn mô hình (6.5.1). Gujarati (2004) giải thích lợi ích này cùng với một ví dụ trong kinh tế : Một trong những nét hấp dẫn của mô hình log-log, khiến nó được áp dụng phổ biến, đó là hệ số góc 2 đo hệ số co dãn2 của Y theo X, phần trăm sự thay đổi của Y ứng với phần trăm sự thay đổi nhỏ của X. Vì vậy, nếu Y biểu diễn lượng nhu cầu của hàng hóa [quantity of a commodity demanded] và X là giá [price] của một đơn vị hàng hóa thì 2 là hệ số co dãn của mức cầu theo giá, một tham số đáng quan tâm của lợi nhuận kinh tế. Nếu mối quan hệ giữa lượng cầu và giá được minh họa trong hình 6.3a thì việc chuyển thành mô hình log-log minh họa trong hình 6.3b sẽ cho ta thấy (-2) là giá trị ước lượng của hệ số co dãn theo giá. (Gujarati 2004, tr.176 - 177) Ngoài vai trò công cụ của logarit trong đoạn trích trên, chúng ta cũng thấy một ví dụ về lí do xuất hiện của một dạng hàm số phi tuyến từ thực tế. Đồ thị của dạng hàm số y  1 x 2 (thông qua đồ thị, tác giả đã ngầm ẩn quy ước 1, β2 dương và β2 1) cho thấy nếu giá tăng thêm thì nhìn chung lượng cầu sẽ giảm và ngày càng tiệm cận về 0. Theo quy luật kinh tế này, dạng hàm số y  1 x 2 có lí do để xuất hiện và đáng được nghiên cứu (thay vì cho trước một hàm số rồi nghiên cứu nó như cách dạy toán truyền thống). Chúng tôi cũng ghi nhận việc tích hợp các kiến thức kinh tế đơn giản trong dạy học Toán của một số sách giáo khoa toán bậc trung học phổ thông ở Mĩ. Những kiến thức kinh tế đã làm phong phú thêm các bài toán thực tế, bên cạnh những bài toán của các ngành khoa học tự nhiên - đặc biệt là Vật lí (vì khoa học này đóng vai trò lịch sử đối với sự nảy sinh nhiều tri thức toán học), và như thế góp phần phục vụ cho việc dạy học bằng mô hình hóa. Ngoài dạng hàm đã trình bày, logarit cũng cho phép chuyển một số dạng hàm phi tuyến khác về dạng tuyến tính. Chẳng hạn: Yt = Y0(1+r)t trong đó Yt: tổng số tiền gốc và lãi sau t kì hạn với lãi suất kép khi gửi tiết kiệm, Y0 là tiền gốc ban đầu, r là lãi suất 17 (công thức này được trình bày trong các sách giáo khoa Đại số - Giải tích 11 hiện hành). Sau khi dùng phép logarit ta sẽ được một mô hình tuyến tính Y* = α + βt với Y*=lnYt ; α =lnY0 và β=ln(1+r). Tóm lại, nhờ tính chất đặc trưng của mình, phép logarit là một công cụ để chuyển một số hàm phi tuyến (như: y = αxβ; y = αβx; v.v.) về dạng tuyến tính. Hơn nữa, khi nghiên cứu các dữ liệu thống kê, nhu cầu chuyển những dữ liệu có giá trị quá lớn về phạm vi dễ kiểm soát cũng được đặt ra. Vì vậy, các phần mềm xử lí thống kê luôn lập trình hàm logarit (tự nhiên hay thập phân) và cho phép biểu diễn đồ thị trên hệ trục tọa độ với thang đo logarit. 3.2. Logarit trong dạy học toán bậc trung học phổ thông Việt Nam Các sách giáo khoa Việt Nam định nghĩa khái niệm logarit cơ số a (dương và khác 1) của một số b (dương) trước, rồi từ đó định nghĩa hàm số logarit: Cho hai số dương a, b với a  1. Số  thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log a b .   log a b  a  b (Giải tích 12, chương trình chuẩn, tr. 62) Nghiên cứu của Nguyễn Viết Hiếu (2013) cho thấy: trong các sách giáo khoa trung học phổ thông hiện hành, vai trò công cụ gần như duy nhất của logarit là giải các phương trình chứa mũ và logarit: + Hơn 80% số nhiệm vụ trong phần bài tập của hai quyển sách giáo khoa Đại Số - Giải tích 11 thuộc kiểu giải các phương trình chứa mũ và logarit. + Khoảng 17% nhiệm vụ liên quan đến việc rút gọn hay tính toán các biểu thức logarit. + Chỉ có 3% (mỗi sách giáo khoa 1 nhiệm vụ) câu hỏi liên quan đến vai trò đơn giản các phép tính của logarit. Chẳng hạn: Ví dụ 6. Để tính 2,13,2 người ta làm như sau: - Tính log 2,13,2 : log 2,13,2  3, 2log 2,1  1, 0311 - Từ đó suy ra 2,13,2  101,0311  10,7424 (Giải tích 12 nâng cao, tr. 88) + Vai trò đơn giản các phép tính đạo hàm của logarit chỉ xuất hiện trong các chứng minh ở phần bài học của các sách giáo khoa mà không xuất hiện trong các nhiệm vụ ở phần bài tập dành cho học sinh. Như vậy, ta có thể dự đoán rằng vai trò này không được truyền thụ thực sự cho phần lớn học sinh. Tóm lại, những nội dung cần dạy thể hiện qua các sách giáo khoa về đối tượng logarit chưa đủ để truyền thụ cho học sinh tính chất đặc trưng “biến tích thành tổng” của tri thức này. 4. Kết luận Những nghiên cứu mà chúng tôi đã trình bày là ví dụ về một cách xác định yếu tố để trả lời cho câu hỏi : dạy học toán để làm gì? dạy những nội dung gì ? Việc xem xét vai trò công cụ của các đối tượng tri thức toán phổ thông trong các môn khoa học khác (thay vì chỉ trong nội tại toán học) góp phần làm rõ lí do tại sao một đối 18 tượng tri thức được chọn để giảng dạy và phải dạy học những ý nghĩa nào về chúng. Từ những kết quả này chúng ta mới bàn đến câu hỏi : dạy học một đối tượng tri thức toán như thế nào ? Hơn nữa, các kết quả đạt được qua phương pháp nghiên cứu được trình bày trong bài báo của chúng tôi hoàn toàn phù hợp với các xu hướng dạy học đang được nhắc đến ở Việt Nam cho kì vọng đổi mới toàn diện giáo dục phổ thông - dạy học tích hợp nhằm phát triển các năng lực cho học sinh. Vì chương trình giáo dục phổ thông môn toán mới chưa được soạn thảo, nhưng với nhận xét rằng, các NHĐCT đang dựa trên xu hướng dạy học của các nước phát triển để hoạch định chương trình trong giai đoạn hội nhập quốc tế, chúng tôi sẽ xem xét xu thế dạy học giải tích của Pháp và Mỹ để rút ra một số đặc trưng nhằm phục vụ cho việc đào tạo giáo viên môn Toán. Với luận điểm này, chúng tôi tin rằng sẽ tìm ra một số cách thức cải tiến cụ thể trong đào tạo giáo viên môn toán về dạy học giải tích phổ thông đáp ứng xu thế của chương trình giáo dục phổ thông trong tương lai. 19 CHƢƠNG 3. XU HƢỚNG VỀ DẠY HỌC GIẢI TÍCH PHỔ THÔNG Ở PHÁP VÀ MỸ Giải tích phổ thông nghiên cứu về các hàm số thực với một biến số thực (bao gồm dãy số). Trong lĩnh vực này, giới hạn (hàm số và dãy số) chính là khái niệm cơ sở của Giải tích: Giải tích được xây dựng qua nhiều thế kỷ và thông qua nhiều vấn đề khác nhau, trong đó phần lớn từ các bài toán Vật lí (vận tốc tức thời, gia tốc…) và Hình học (bài toán tiếp tuyến, tiệm cận, diện tích và thể tích). Giải tích được xem xét theo hai cách, có thể được xem xét rất rất gần (nghiên cứu các tiếp tuyến) hay rất rất xa (nghiên cứu các hành vi tiệm cận). Khái niệm giới hạn xuất hiện trong cả hai cách này. Chúng ta sẽ thấy rằng phương pháp chuyển qua giới hạn xuất hiện mọi lúc, nó cũng là chìa khóa của nhiều vấn đề khác, chẳng hạn tính diện tính của bề mặt cong [...] Như vậy, khái niệm giới hạn chính là khái niệm cơ sở của Giải tích. (AHA 1999, Lời tựa) Các nghiên cứu của Sierpinska (1985) và Lê Thái Bảo Thiên Trung (2015) đã cho thấy vô hạn chính là chướng ngại khoa học luận quan trọng nhất của khái niệm giới hạn: những khó khăn liên quan đến việc hiểu về tập vô hạn và những quy trình vô hạn vẫn luôn được tìm thấy ở học sinh và sinh viên những năm đầu Đại học trong dạy học Giải tích. 1. Quan điểm về dạy học Giải tích phổ thông ở Pháp 1.1. Quan điểm khoa học luận hiện hành Theo ý kiến của các nhà toán học mà đồng thời cũng là các nhà nghiên cứu dạy học toán tiêu biểu và có tầm ảnh hưởng lớn đến dạy học Toán ở Pháp như Dieudoné (1979), Artigue (1996) thì giải tích là phạm vi của các vấn đề xấp xỉ. Xấp xỉ là trung tâm của các vấn đề lớn của giải tích: xấp xỉ số thực, xấp xỉ hàm số... Đây cũng chính là trung tâm của các phương pháp và kĩ thuật của lĩnh vực này. Ở đây, „chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ‟ chính là các kĩ thuật cơn bản như Dieudonné đã xác nhận. (Artigue 1996, trang 166) Trong báo cáo của một đề tài cấp bộ, Lê Văn Tiến (2012) đã trình bày ba quan điểm khoa học luận khác nhau về dạy học Giải tích phổ thông từ việc nghiên cứu lịch sử dạy học về sự chọn lựa sư phạm cho dạy học Giải tích phổ thông chủ yếu ở Pháp và Việt Nam. Tác giả gọi tên ba quan điểm này là: Giải tích đại số hóa tăng cường, Giải tích xấp xỉ, Giải tích hỗn hợp. - Trong quan điểm Giải tích đại số hóa tăng cường, để làm giảm khó khăn cho học sinh, “người ta tìm cách tránh đến mức tối đa các phương pháp và kĩ thuật xấp xỉ, thay vào đó là các phép toán và quy trình kiểu đại số, Những vấn đề lớn như: xấp xỉ các số, xấp xỉ hàm số đều không được đề cập” (Lê Văn Tiến 2012, trang 49). Với quan điểm này, việc dạy học các khái niệm đặc trưng của Giải tích như giới hạn, đạo hàm và tích phân chỉ còn tập trung vào việc tính giới hạn, tính đạo hàm và tính tích phân bằng các định lí dưới dạng các quy tắc đại số. - Quan điểm xấp xỉ “nhấn mạnh sự khác biệt cơ bản giữa Đại số và Giải tích nhấn mạnh sự ngắt quãng cơ bản trong kiểu tư duy, phương pháp và kĩ thuật sử dụng” (Lê Văn Tiến 2012, trang 51). 20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng