Tài liệu đại cương về không gian vec tơ tô pô khoá luận tốt nghiệp

UỶ BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN NGUYỄN CÔNG MINH ĐẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN VEC-TƠ TÔ-PÔ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành: Sư Phạm Toán học Trình độ đào tạo: Đại học Tp. Hồ Chí Minh - 2017 1 . 2 UỶ BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN NGUYỄN CÔNG MINH ĐẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN VEC-TƠ TÔ-PÔ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành: Sư Phạm Toán học Trình độ đào tạo: Đại học Người hướng dẫn: Ts. LÊ MINH TUẤN Tp. Hồ Chí Minh - 2017 3 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, nội dung được nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác. Tác giả luận văn NGUYỄN CÔNG MINH 4 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Quí thầy cô, Quí công nhân viên ở trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện để tôi được học tập trong 4 năm qua. Tôi xin chân thành cảm ơn Quí thầy cô ở Khoa Toán - Ứng dụng, là những người thầy đã trực tiếp xây khả năng tự học và sự tiến bộ của tôi. Tôi xin cảm ơn những người bạn đã dồng hành cùng tôi trong quá trính học. Tôi xin chân thành cảm bạn Nguyễn Khánh Trường, người đã trực tiếp đồng hành cùng tôi trong quá trình thực hiện khóa luận này. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy Lê Minh Tuấn, người không những đã giúp tôi tiến bộ rất nhiều trong việc học Toán, khơi dậy niềm đam mê học tập trong tôi mà còn là người trực tiếp hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này. Bốn năm Đại học sắp trôi qua với những trải nghiệm và trưởng thành hơn, tôi thực sự biết ơn những giúp đỡ và hi sinh cả về thời gian và tâm sức của quí thầy cô và các bạn đã dành cho tôi. Tôi sẽ cố gắng chăm chỉ hơn, tiến bộ hơn để có thể giúp đỡ người khác. 5 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gian được trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng. Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử đã dẫn đến việc nghiên cứu các đại số tô-pô, một đối tượng khác của giải tích hàm. Các kết quả và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị và biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn,... Ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm,..., đến nay giải tích hàm tích lũy được những thành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học. Đặc biệt, Không gian tô-pô là cơ sở và là nền tảng sơ khởi cho ngành toán này. Tuy nhiên, ở chương trình toán ở các Đại học Việt Nam nói chung và Đại học sài Gòn nói riêng, môn Giải tích hàm được tiếp cận thông qua không gian Định chuẩn và Không gian Metric mà không có liên hệ nhiều với môn tô-pô đại cương mà trước đó sinh viên chúng tôi đã được học. Điều đó thật đáng tiếc! Bên cạnh đó, tôi thực sự hứng thú với hướng tiếp cận môn học này thông qua Không gian tô-pô, nên tôi đã thực hiện đề tài "Đại cương về Không gian tô-pô" nhằm mở rộng tầm hiểu biết của bản thân và có thêm một góc nhìn mới, một hướng tiếp cận hầu như khác hẳn và khó khăn hơn những gì tôi được học. 2. Mục đích nghiên cứu Ngoài lý do làm thỏa mãn sự tò mò và nhu cầu cải thiện năng lực của bản thân và liên kết lại những thứ đã được học, mục đích nghiên cứu đề tài này của tôi chính là cung cấp một hướng tiếp cận khác đối với môn Giải tích hàm thông qua ngôn ngữ tô-pô, đồng thời tạo ra một tài liệu tham khảo đáng tin cậy cho những ai hứng thú với hướng nghiên cứu này. 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Không gian tô-pô. Khách thể nghiên cứu: Giải tích hàm. 6 4. Giả thiết khoa học Không có. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ các khái niệm, định lí, tính chất,... về cấu trúc Không gian tô-pô. Giải quyết các bài tập, ví dụ nhằm minh họa cho Không gian tô-pô. 6. Phạm vi nghiên cứu Nội dung Khóa luận này chủ yếu dựa vào quyển Functional Analysis của Walter Rudin, McGraw-Hill Book Company, 1973. Thời gian: 1 năm (Từ tháng 5 năm 2016 đến tháng 5 năm 2017). Địa điểm: Đại học Sài Gòn. 7. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết: Nghiên cứu các tài liệu về tô-pô và Giải tích hàm đã được học, phân tích chúng thành từng bộ phận để tìm hiểu sâu sắc từng đối tượng. Liên kết từng khái niệm, tính chất đã được phân tích nhằm làm rõ ràng và sáng tỏ về Không gian tô-pô. Phương pháp chuyên gia: Hỏi ý kiến thầy Lê Minh Tuấn và bạn Nguyễn Khánh Trường hướng nghiên cứu và những vấn đề khó giải quyết. 8. Dự kiến cấu trúc nội dung đề tài nghiên cứu nghiên cứu Ngoài phần Bìa, Lời cảm ơn, Lời cam đoan, Phần mở đầu, Tài liệu tham khảo, khóa luận này dự kiến có 3 phần chính: Chương 1: Không gian tô-pô. Chương 2: Phụ lục. Chương 3: Bài tập minh họa. 7 Mục lục Lời cam đoan. 4 Lời cảm ơn. 5 PHẦN MỞ ĐẦU 6 1 KHÔNG GIAN tô-pô 1.1 Ghi chú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Không gian vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Không gian định chuẩn - không gian metric . . . . . . . . . . . . 1.4 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Không gian tô-pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Không gian vec-tơ tô-pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Tính bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Hệ quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Các kiểu không gian tô-pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Một số mối quan hệ giữa các tính chất này trong một không gian tô-pô X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Các tính chất rời rạc. 1.10 Định lí . . . . . 1.10.1 Mệnh đề 1.10.2 Hệ quả . 1.11 Định lí . . . . . 1.12 Định lí . . . . . 1.13 Định lí . . . . . 1.14 Định lí . . . . . 1.14.1 Hệ quả . 1.15 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 11 13 14 15 16 16 17 18 18 18 19 . 20 . . . . . . . . . 20 20 21 22 23 23 23 25 27 27 Ánh xạ tuyến tính. 29 1.16 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.16.1 Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8 1.17 Định lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.18 Định lí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.18.1 Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Không gian hữu hạn chiều. 1.19 Các định nghĩa . . . . . 1.19.1 Mệnh đề. . . . . 1.20 Bổ đề . . . . . . . . . . 1.21 Định lí . . . . . . . . . 1.21.1 Mệnh đề . . . . 1.22 Định lí . . . . . . . . . 1.23 Định lí . . . . . . . . . Phép Metric hóa. 1.24 Định lí . . . . . 1.24.1 Mệnh đề 1.24.2 Mệnh đề 1.25 Dãy Cauchy . . 1.25.1 Mệnh đề. 1.25.2 Mệnh đề. 1.26 Định lí . . . . . 1.27 Định lí . . . . . 1.28 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tính bị chặn và tính liên tục. 1.29 Tập bị chặn . . . . . . . . . . . 1.29.1 Mệnh đề . . . . . . . . . 1.30 Định lí . . . . . . . . . . . . . . 1.31 Các phép biến đổi tuyến tính bị 1.32 Định lí . . . . . . . . . . . . . . Nửa chuẩn và tính lồi địa phương. 1.33 Các định nghĩa . . . . . . . . . . 1.34 Định lí . . . . . . . . . . . . . . 1.35 Định lí . . . . . . . . . . . . . . 1.36 Định lí . . . . . . . . . . . . . . 1.37 Định lí . . . . . . . . . . . . . . 1.38 Các chú ý . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 32 32 33 33 34 35 . . . . . . . . . 35 35 36 37 38 39 39 39 40 40 . . . . . 41 41 42 42 43 44 . . . . . . 45 45 45 47 48 48 50 1.39 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Không 1.40 1.41 1.42 1.43 gian thương. Các định nghĩa . . . . Định lí . . . . . . . . Định lí . . . . . . . . Các nửa chuẩn và các . . . . . . . . . . . . không Các ví 1.44 1.45 1.46 dụ. Không gian C(Ω) . . . . . . Không gian H(Ω) . . . . . . Không gian C ∞ (Ω) và DK . 1.46.1 Mệnh đề . . . . . . . 1.47 Không gian Lp với 0 < p < 1 1.47.1 Mệnh đề . . . . . . . 1.47.2 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 53 55 56 . . . . . . . 56 56 57 57 59 60 61 62 2 Phụ lục 63 3 Bài tập minh hoạ Tài liệu tham khảo88 Chỉ mục.89 71 10 1 1.1 KHÔNG GIAN tô-pô Ghi chú Khóa luận này được dựa trên cuốn Functional Analysis của W.Rudin, do đó để tiện theo dõi, cấu trúc chính (các đề mục) sẽ được giữ nguyên. Các mục không chứng minh sẽ được chứng minh ở phụ lục. 1.2 Không gian vec-tơ Các chữ in hoa R và C sẽ luôn được dùng để kí hiệu lần lượt cho trường số thực và trường số phức. Lúc này, Φ viết tắt cho R hoặc C. Một vô hướng là một phần tử của trường vô hướng Φ. Một không gian trên Φ là một tập hợp X mà các phần tử của nó được gọi là các với hai phép toán, phép cộng và phép nhân vô hướng được định nghĩa với các tiên đề đại số quen thuộc sau: (a) Với mọi cặp x và y, có tương ứng một x + y sao cho x + y = y + x, và x + (y + z) = (x + y) + z. X chứa duy nhất một O ( không hoặc gốc tọa độ của X) sao cho x + O = x với mọi x ∈ X , và với mỗi x ∈ X tương ứng một −x duy nhất sao cho x + (−x) = O. (b) Với mọi cặp (α, x) với α ∈ Φ và x ∈ X, có tương ứng một αx sao cho 1x = x, α(βx) = αβx, và sao cho thỏa hai luật phân phối α(x + y) = αx + αy, (α + β)x = αx + βx. Kí hiệu: (X, +, ·). Biểu tượng 0 tất nhiên sẽ luôn được dùng để chỉ phần tử không (gốc tọa độ) của trường vô hướng. Một không gian thực là một không gian trên trường số thực (Φ = R); một không gian phức là một không gian trên trường số phức (Φ = C). Bất kì phát 11 biểu nào về các không gian trên trường vô hướng không rõ ràng thì được hiểu ngầm là cả hai trường hợp trên. Nếu X là một không gian với A ⊂ X , B ⊂ X , x ∈ X và λ ∈ Φ, các kí hiệu sau đây sẽ được sử dụng: x + A = {x + a : a ∈ A}, x − A = {x − a : a ∈ A}, A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, λA = {λa : a ∈ A}. Đặc biệt (chọn λ = −1), −A kí hiệu cho tập tất cả các phần tử đối của các phần tử thuộc A. Lưu ý: 2A = A+A, A + ∅ = ∅, A − A = {0}. (Chứng minh ở phần bài tập) Một tập Y ⊂ X được gọi là một không gian con của X nếu chính Y cũng là một không gian (tất nhiên đối với cùng các phép toán trên X). Dễ dàng kiểm tra điều này xảy ra nếu và chỉ nếu 0 ∈ Y và αY + βY ⊂ Y với mọi vô hướng α và β . Một tập C ⊂ X được gọi là lồi nếu với 0 ≤ t ≤ 1 thì tC + (1 − t)C ⊂ C. Một tập B ⊂ X được gọi là cân bằng nếu với α ∈ Φ và |α| ≤ 1 thì αB ⊂ B. Một không gian X có n chiều (hoặc Không gian n chiều) (dimX = n) nếu X có một cơ sở gồm n phần tử u1 , ..., un. Điều này nghĩa là với mọi x ⊂ X có một biểu thị tuyến tính duy nhất có dạng: x = α1 u1 + ... + αn un với αi ∈ Φ. Lưu ý: Nếu dimX = n, với n nào đó, X được gọi là hữu hạn chiều. Nếu X = ∅, khi đó dimX = 0. 12 • Ví dụ: Nếu X = C (một không gian một chiều trên trường vô hướng C) thì các tập cân bằng đáng lưu ý bao gồm C, tập ∅ và mọi đĩa tròn (đóng hoặc mở) có tâm tại 0. Nếu X = R2 (một không gian hai chiều trên trường vô hướng R) thì các tập cân bằng đáng lưu ý là mọi đoạn thẳng có trung điểm tại (0, 0). 1.3 Không gian định chuẩn - không gian metric Cho một không gian X trên Φ. Một ánh xạ · : X −→ Φ x −→ x được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất sau đây thỏa với mọi x, y ∈ X , α∈Φ (a) x+y ≤ x (b) αx =| α | x , (c) x > 0 nếu x = 0. + y , Không gian X với một chuẩn được gọi không gian định chuẩn. Kí hiệu: (X, +, ·, . ) hoặc (X, · ). Cho X là một tập không rỗng. Một ánh xạ d : X × X −→ R (x, y) −→ d(x, y) được gọi là một metric trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x, y, z ∈ X , (a) 0 ≤ d(x, y) < ∞, (b) d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y , (c) d(x, y) = d(y, x), (d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Tập X với một metric d được gọi là một không gian metric. Kí hiệu: (X, d). 13 Mọi không gian định chuẩn có thể được xem như một không gian metric với khoảng cách d(x,y) giữa x và y là x − y , ta có thể gọi đây là metric sinh bởi chuẩn. Trong không gian metric bất kì , quả cầu mở với tâm tại x và bán kính r là một tập Br (x) = {y : d(x, y) < r}. Đặc biệt, nếu X là một không gian định chuẩn, thì các tập B1 (x) = {y : d(x, y) < 1} và B 1 (x) = {y : d(x, y) ≤ 1}. lần lượt là các quả cầu mở đơn vị và quả cầu đóng đơn vị trong X. Một tập con của một không gian metric là mở nếu và chỉ nếu nó là một hợp của các quả cầu mở. Đặc biệt, X và ∅ là các tập mở. Bằng việc lấy họ tất cả các hợp bất kì của tất cả các quả cầu mở, ta thu được một tô-pô. Các phép toán trong không gian (phép cộng và phép nhân vô hướng) là liên tục trong tô-pô nếu metric được sinh ra từ một chuẩn như trên. Một Không gian Banach là một không gian định chuẩn mà đầy đủ trong metric được định nghĩa bởi chuẩn của nó; nghĩa là mọi dãy Cauchy trong không gian đó đều hội tụ. 1.4 Các không gian hàm Nhiều không gian hàm phổ biến là các không gian Banach, ví dụ như: Không gian các hàm số liên tục trên các không gian compact, họ các không gian Lp xuất hiện trong định lí tích phân, các không gian Hilbert - quan hệ mật thiết nhất với các không gian Euclid, các không gian của các ánh xạ tuyến tính từ một không gian Banach và một không gian Banach khác, Banach đại số. Tất cả sẽ xuất hiện ở phần sau. Tuy nhiên cũng có nhiều không gian quan trọng không khớp với các cấu trúc này. Sau đâu là một vài ví dụ: (a) C(Ω), không gian tất cả các hàm phức liên tục trên một tập mở Ω nào đó trong không gian Euclidean Rn . 14 (b) H(Ω), không gian tất cả các hàm giải tích trên một tập mở Ω nào đó trong mặt phẳng phức. ∞ (c) CK , không gian của vô hạn tất cả các hàm vi phân phức trên Rn , mà triệt tiêu bên ngoài tập compact K được cố định nào đó với phần trong không rỗng. Các không gian này kèm theo các tô-pô một cách tự nhiên mà không thể được sinh ra bởi chuẩn, chúng ta sẽ thấy sau. Chúng cũng như các không gian định chuẩn là ví dụ cho các không gian tô-pô - một khái niệm xuyên suốt trong môn giải tích hàm. 1.5 Không gian tô-pô Một không gian tô-pô là một tập S với một họ τ các tập con (gọi là các tập mở ) đã được chỉ rõ, với các tính chất sau: (a) S và ∅ là mở, (b) Giao của hai tập mở bất kì là mở, (c) Hợp của một họ các tập mở bất kì là mở. Một họ τ như vậy được gọi là một tô-pô trên S. Kí hiệu : (S, τ ). Sau đây là một số thuật ngữ sẽ được sử dụng với không gian tô-pô (S, τ ): Một tập E ⊂ S là đóng nếu và chỉ nếu phần bù của nó là mở. Bao đóng E của E là giao của tất cả các tập đóng chứa E . Phần trong E o của E là hợp của tất cả các tập mở là tập con của E. Một lân cận của một điểm p ∈ S là một tập mở bất kì chứa p. (S, τ ) là một Không gian Hausdorff và τ là một tô-pô Hausdorff nếu các điểm phân biệt trong S có các lân cận rời rạc. Một tập K ⊂ S là compact nếu mọi phủ mở của K đều có một phủ con hữu hạn. Một họ τ ′ ⊂ τ là một cơ sở của τ nếu mỗi phần tử của τ (tức là tập mở) là một hợp của các phần tử của τ ′ . 15 Một họ γ các lân cận của một điểm p ∈ S là một cơ sở địa phương tại p nếu mọi lân cận của p đều chứa một phần tử khác của γ . Nếu E ⊂ S và nếu σ là một họ của tất cả các giao E ∩ V , với V ∈ τ , khi đó σ là một tô-pô trên E (dễ dàng kiểm tra), ta gọi tô-pô này là tô-pô trên E được thừa hưởng (cảm sinh) từ S . Nếu một tô-pô τ được cảm sinh bởi một metric d (xem phần trên) thì ta nói rằng d và τ là tương thích nhau. Một dãy {xn } trong một không gian Hausdorff X hội tụ về một điểm x ∈ X (hoặc limn→∞ xn = x) nếu mọi lân cận của x chứa tất cả hữu hạn điểm xn . 1.6 Không gian vec-tơ tô-pô Giả sử τ là một tô-pô trên một không gian X sao cho (a) Tập gồm 1 điểm của X đều là một tập đóng, và (b) Các phép toán trong không gian là liên tục đối với τ 1 . Với hai điều kiện này, τ được gọi là một tô-pô trên X, và X là một không gian tô-pô . Điều kiện (a) có thể được phát biểu lại chính xác hơn như sau: Với mọi x ∈ X , tập {x} có duy nhất một phần tử x là một tập đóng. Trong nhiều tài liệu, (a) được bỏ qua trong định nghĩa của một không gian tô-pô. (Định lí 1.12 sẽ chứng minh rằng cả (a) và (b) kéo theo τ là một tô-pô Hausdorff. 1.6.1 Mệnh đề. Phép cộng liên tục nghĩa là ánh xạ + : X × X −→ X (x, y) −→ x + y phải liên tục: Xét xi ∈ X với i = 1, 2 và V là một lân cận của x1 + x2 , khi đó tồn tại các lân cận Vi của xi sao cho V1 + V2 ⊂ V. 1 Cho X và Y là các không gian tô-pô. Một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi tập con mở V của Y thì f −1 (V ) là một tập con mở của X. (Tham khảo phần Continuous Functions cuốn tô-pôlogy , Second Edition, James R.Munkres, Prentice Hall.Inc, 2000.) 16 V x1 + x2 V1 + V2 x2 V2 x1 V1 Hình 1: Minh họa cho lân cận tổng. Tương tự, phép nhân vô hướng là liên tục, nghĩa là ánh xạ: · : Φ × X −→ X (α, x) −→ αx phải liên tục: Nếu x ∈ X , α là một vô hướng, và V là một lân cận của αx, khi đó tồn tại r > 0 và lân cận W nào đó của x sao cho βW ⊂ V với |β − α| < r. Một tập con E của một không gian tô-pô được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 trong X tương ứng với một số s > 0 sao cho E ⊂ tV với mọi t > s. 1.7 Tính bất biến Cho X là một không gian tô-pô. Kết hợp với mỗi a ∈ X và mỗi vô hướng λ = 0 , phép tịnh tiến Ta và phép vị tự Mλ có công thức sau: Ta (x) = a + x, Mλ (x) = λx với x ∈ X . Mệnh đề sau đây là vô cùng quan trọng: 17 tV sV V O E Hình 2: Minh họa cho tập E bị chặn. 1.7.1 Mệnh đề. Ta và Mλ là các đồng phôi 2 từ X vào X (X là không gian tô-pô). Một hệ quả của mệnh đề này là mọi tô-pô τ là bất biến đối với phép tinh tiến (hoặc đơn giản là bất biến): 1.7.2 Hệ quả. Một tập E ⊂ X là mở trong không gian tô-pô 3 nếu và chỉ nếu mỗi phép tịnh tiến của a + E là mở. Do đó τ hoàn toàn được xác định bởi một cơ sở địa phương bất kì. Trong tài liệu này, thuật ngữ cơ sở địa phương sẽ luôn có nghĩa là cơ sở địa phương tại 0. Một cơ sở địa phương của một không gian tô-pô X do đó là một họ B các lân cận của 0 sao cho mọi lân cận của 0 đều chứa một phần tử của B . 1.7.3 Mệnh đề. Các tập mở của X khi đó chính xác là hợp của các phép tịnh tiến của các phần tử thuộc B . 2 Cho X và Y là các không gian tô-pô, cho f : X → Y là một song ánh, nếu cả f và f −1 đều liên tục, khi đó f được gọi là một đồng phôi. (Tham khảo phần Continuous Functions cuốn tô-pôlogy , Second Edition, James R.Munkres, Prentice Hall.Inc, 2000.) 3 Cho (X, τ ), tập con U của X được gọi là mở nếu U ∈ τ . (Tham khảo phần tô-pôlogical Spaces cuốn tô-pôlogy , Second Edition, James R.Munkres, Prentice Hall.Inc, 2000.) 18 O Hình 3: Minh họa cho cơ sở địa phương. Một metric d trên một không gian X được gọi là bất biến nếu d(x + z, y + z) = d(x, y) với mọi x, y, z thuộc X. 1.8 Các kiểu không gian tô-pô Trong các định nghĩa sau đây, X luôn được kí hiệu cho không gian tô-pô với tô-pô τ . (a) X là lồi địa phương nếu có một cơ sở địa phương B mà các phần tử của nó là lồi. (b) X là bị chặn địa phương nếu 0 có một lân cận bị chặn. (c) X là compact địa phương nếu 0 có một lân cận mà bao đóng của nó là compact. (d) X là metric hóa được nếu τ tương thích với một metric nào đó. (e) X là một không gian - F nếu tô-pô τ của nó được cảm sinh bởi một metric d đầy đủ bất biến. (f ) X là một không gian Fréchet nếu X là một không gian - F lồi địa phương. (g) X là chuẩn hóa được nếu có một chuẩn tồn tại trên X sao cho metric sinh bởi chuẩn là tương thích với τ . (h) Các không gian định chuẩn và không gian Banach đã được định nghĩa (ở phần 1.2). (i) X có tính Heine - Borel nếu mọi tập con đóng và bị chặn của X là compact. 19 Thuật ngữ ở (e) và (f ) không phổ biến: Trong vài tài liệu, tính lồi địa phương được bỏ qua trong định nghĩa của một không gian Fréchet, ngược lại một số người khác lại dùng không gian - F để mô tả cái mà chúng ta gọi là không gian Fréchet. 1.9 Một số mối quan hệ giữa các tính chất này trong một không gian tô-pô X (a) Nếu X bị chặn địa phương, khi đó X có một cơ sở địa phương đếm được. (Phần (c) định lí 1.15) (b) X có chiều hữu hạn nếu và chỉ nếu X compact địa phương. (Định lí 1.21, 1.22) (c) Nếu một không gian bị chặn địa phương X có tính chất Heine - Borel, khi đó X có chiều hữu hạn. (Định lí 1.23) (d) X là metric hóa nếu và chỉ nếu X có một cơ sở địa phương đếm được. (Định lí 1.24) (e) X là chuẩn hóa nếu và chỉ nếu X lồi địa phương và bị chặn địa phương. (Định lí 1.39) ∞ Không gian H(Ω) và CK được đề cập ở phần 1.3 là các không gian Fréchet vô hạn chiều với tính chất Heine - Borel (phần 1.45, 1.46). Do đó chúng không bị chặn địa phương, dẫn tới không chuẩn hóa; điều này chỉ ra rằng điều ngược lại của (a) là sai. Mặt khác, tồn tại các không gian - F bị chặn địa phương mà không lồi địa phương. (Phần 1.47) Các tính chất rời rạc 1.10 Định lí Giả sử K và C là các tập con của một không gian tô-pô X, K là compact, C đóng, và K ∩ C = ∅. Khi đó 0 có một lân cận V sao cho (K + V ) ∩ (C + V ) = ∅ Chú ý rằng K + V là hợp của các phép tịnh tiến Tx (V ) = x + V (x ∈ K). Do đó K + V là một tập mở chứa K. Vì vậy định lí hàm ý sự tồn tại của hai tập mở rời nhau lần lượt chứa K và C. 20