Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
CHƯƠNG II: ĐA THỨC
1. Định lý Bezout
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
Dạng 1. Tính giá trị của đa thức
Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
P(x) a0 x n a1x n 1 ... an dưới dạng
P(x) (...(a0 x a1 )x a2 )x ...)x a n
Vậy P(x 0 ) (...(a0 x 0 a1 )x 0 a2 )x 0 ...)x 0 a n .
Viết
Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn.
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
Giải trên máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M.
- Thực hiện dãy lặp: bk-1
Ví dụ 1.1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ
Aán phím: 1
ALPHA M + ak
A
3x5 2x 4 3x 2 x
khi x = 1,8165
4x 3 x 2 3x 5
Ans
. 8165
( 3 Ans ^ 5 2 Ans ^ 4 3 Ans x 2 Ans 1 )
�( 4 Ans ^ 3 Ans x 2 3 Ans 5 )
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ
Aán phím: 1
X
. 8165 SHIFT STO X
( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 3 ALPHA X x 2 ALPHA X 1 )
�( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA X x 2 3 ALPHA X 5 )
Kết quả: 1.498465582
Nhận xét: Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220
và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính
trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của
1
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
biến x nhanh bằng cách bấm
x ấn phím là
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
CALC , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến
xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x 0 vào
một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
Ví dụ 1.2: Tính
A
3x5 2x 4 3x 2 x
khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x =
4x3 x2 3x 5
865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:
.
235678
SHIFT STO X
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím
là
xong.
Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng
tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên
tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai
kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp
sai hẳn).
Dạng 2: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)
cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r
là một số (không chứa biến x). Thế
x
b
b
ta được P( ) = r.
a
a
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(
này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
Ví dụ 2.1: (Sở GD TPHCM, 1998)
Tìm số dư trong phép chia:P=
x14 x 9 x 5 x 4 x 2 x 723
x 1,624
Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
1 . 624 SHIFT STO X
ALPHA X ^ 14 ALPHA X ^ 9 ALPHA X ^ 5
ALPHA X ^ 4 ALPHA X ^ 2 ALPHA X 723
Kết quả: r = 85,92136979
2
b
), lúc
a
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m
chia hết cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được
P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho ax +b thì m + r = 0
hay m = -r = - P(
b
). Như vậy bài toán trở về dạng toán 1.
a
Ví dụ 3.1: Xác định tham số
(Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000).
Tìm a để x 4 7x 3 2x 2 13x a chia hết cho x+6.- Giải Số dư
2
a �
(6)4 7(6)3 2 6 13 6 �
�
�
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: ( ) 6 SHIFT STO X
( ) ( ALPHA X ^ 4 7 ALPHA X x 3 2 ALPHA X x 2
13 ALPHA X )
Kết quả: a = -222
Ví dụ 3.2: (Sở GD Khánh Hòa, 2001)
Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
-- Giải –
3 3
Số dư a2 = - �
�
3
3
17 3 625�=> a = � �
3 3 17 3 625�
�
�
�
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
() ( 3 ( () 3 ) x3 17 ( () 3 ) 625 )
Kết quả: a = �27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757.
Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Vi du3.3
3
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM Biên soạn: Dương Quyết Chiến
Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x
+2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó:
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta có:
2
2
P1 m 0 m P1
3
3
Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại
x
2
ta được m =
3
Vi du3.4:
Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n
Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung
x0
1
2
H.Dẫn:
x0
1
1
là nghiệm của P(x) thì m = P1 , với P1(x) = 3x2 - 4x + 5
2
2
x0
1
1
là nghiệm của Q(x) thì n= Q1 với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.
2
2
Tính trên máy ta được: m =
1
P1 =
2
;n =
1
Q1 =
2
Vi du3.5:
Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m;Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x)
chỉ có duy nhất một nghiệm.
H.Dẫn:
4
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM Biên soạn: Dương Quyết Chiến
a) Giải tương tự VD 3.4, ta có: m =
;n =
b) P(x) M(x - 2) và Q(x) M(x - 2) R(x) M(x - 2)
Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x)
chỉ có một nghiệm x = 2.
Ví dụ 3.6
Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x .
1. Tim giá trị của m để f(x) + m
chia hết cho x+6
2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức P(x) = f(x) + m khi cho:
1
x=
3
2
3
1 1
2
1
+
1
3
2
1
3
2
Giải:
1. f(x) + m chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết được dưới d ạng
f(x) + m = Q(x)(x+6)
do đ ó f(-6) + m = 0 m = - f(-6)
HS lập quy trình tính đ úng k ết quả
m = - f(-6) = - (- 642)= 642
2. Với m = 642
ta được đa thức P(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x + 642
Học sinh tính được x = 1.
Thay x = 1 vào và tính đ úng P(1) = 665
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số của P x thỏa mãn một điều kiện nào đó:
Ví dụ 4.1: (5 điểm) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c
a)
Tìm a, b, c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá
trị tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
b) Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1
c)
Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989
Giải:
a)
Thay lần lượt các giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2 + c
5
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
ta
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
1,44a 1,2b c 1993
được hệ 6,25a 2,5b c 2045
13,69a 3,7b c 2123
Giải hệ phương trình ta được a =10 ; b =3 ; c = 1975
b) Số dư của phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-2,5)
của đa thức P(x) tại x=-2,5. ĐS ; 2014,375
c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0
x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126
Ví dụ 4.2:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 1
1) Xác định số hữu tỉ a và b để x =
7
5
là nghiệm của P(x);
7 5
2) Với giá trị a, b tìm được hãy tìm các nghiệm còn lại của P(x).
Giải:
x = 6-
35 b =
1
x 2 ax =6+ 35 -(6- 35 )2 - a(6- 35 )
x
(a+13) = b+6a+65 = 0 a = -13 ; b =13 P(x) =x3-13x2+13x-1
(x-1)(x2-12x+1) = 0 x = 1 ; x 0,08392 và x 11,916
Ví dụ 4.3:Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để
sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3.
Hướng dẫn:
Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r P(a) = r
Vậy P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = 1
P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = 2
P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = 3
Tính trên máy và rút gọn ta được hệ ba phương trình :
2197.a 169b 13.c 2008
�
�
27a 9b 3c 2009
�
�
2744 196b 14c 2010
�
Tính trên máy được :a = 3,693672994 3,69
b = –110,6192807 –110,62
c = 968,2814519 968,28
6
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
Dạng 5. Tìm đa thức thương khi chia đa thức
cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một
đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x
+ b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy hồi
Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi
chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải:
- Để tìm dư: ta giải như bài toán 1
- Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép
chia đa thức P(x) cho (x +
b
)
a
Ví dụ 5.1
Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
-- Giải -Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
() 5 SHIFT STO M 1 � ALPHA M 0 (-5)
�ALPHA M 2 (23)
�ALPHA M () 3 (-118)
�ALPHA M 0 (590)
�ALPHA M 0 (-2950)
�ALPHA M 1 (14751)
�ALPHA M () 1 (-73756)
Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 =
= (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756.
Ví dụ5.2: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:
-5
1
1
0
-5
-2
23
-3
-118
7
0
590
0
-2950
1
14751
-1
-73756
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:
() 5 SHIFT STO
1
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
M
ANPHA
M
+ 0 =
ANPHA
M
+
ANPHA
M
- 3 =
(-118) :
ghi ra giấy -118
ANPHA
M
+ 0 =
(590) :
ghi ra giấy
ANPHA
M
+ 0 =
(-2950) :
ANPHA
M
+ 1 =
(14751) : ghi ra giấy 14751
ANPHA
M
-
(-73756) : ghi ra giấy -73756
(-5) :
- 2 =
1
ghi ra giấy
(23) :
=
ghi ra giấy
-5
23
590
ghi ra giấy -2950
x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 =
= (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) – 73756
Vi du5.3: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Vi du 5.4:
Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1(x) dư r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 được thương q2(x)
dư r2. Tìm r2 ?
H.Dẫn:
- Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1
q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và
các số dư r1, r2:
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
2
1
1
2
1
4
1
8
1
16
8
1
32
1
64
1
128
1
256
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
1
2
1
-1
VËy:
r2
3
4
1
2
5
16
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
3
16
7
64
1
16
1
16
Dạng 6. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c:
P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n.
Ví dụ6.1 Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
-- Giải -Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q 1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q 1(x) và
r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1
-3
0
1
-2
x4-3x2+x-2
3
1
0
0
1
1
q1(x)=x3+1, r0 = 1
3
1
3
9
28
q2(x)=x3+3x+1,r1=28
3
1
6
27
q3(x)=x+6, r0 = 27
3
1
9
q4(x
)=1
=a0,
r0 =
9
4
3
Vậy x – 3x + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.
Dạng 7. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri �0 với
mọi i = 0, 1, …, n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c.
Ví dụ 7.1: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x4 – 3x3 + x – 2 là c = 3. (Đa
thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)
Nhận xét:
Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện
trong các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác
như phân tích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, ….
Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có
thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không
được hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó yêu cầu phải nắm vững
phương pháp và vận dụng một cách khéo léo hợp lí trong các bài làm.
Dạng.8. tính giá trị của đa thức khi biết
9
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
một số giá trị khác của đa thức
Ví dụ 8.1
Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25.
Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5,
nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e
Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:
a1 b1 c1 d1 e1 1 0
16a 8b 4c 2d e 4 0
1
1
1
1
1
81
a
27
b
9
c
3
d
e1 9 0
a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1
1
1
1
1
256a 64b 16c 4d e 16 0
1
1
1
1
1
625
a
125
b
25
c
5
d
e1 25 0
1
1
1
1
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5
có hệ số của x5 bằng 1 nên:
Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2.
Từ đó tính được: P(6) =
; P(7) =
Ví dụ 8.2 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9;
P(4) = 11.
Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
10
; P(8) =
; P(9) =
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM Biên soạn: Dương Quyết Chiến
- Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó
tính được: P(5) =
; P(6) =
; P(7) =
; P(8) =
; P(9) =
Ví dụ 8.3 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6;
Tính
A
P(4) = 10.
P (5) 2 P (6)
?
P (7)
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) +
tính được:
A
x( x 1)
. Từ đó
2
P (5) 2 P(6)
P (7)
Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:
- Đặt g(x) = f(x) + ax 2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0
a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
a b c 3 0
bằng MTBT ta giải được:
9a 3b c 11 0
25a 5b c 27 0
a 1
b 0
c 2
g(x) = f(x) - x2 - 2
Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5),
do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5) f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+ x2 + 2.
Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) =
Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ?
(Đề thi HSG CHDC Đức)
11
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
H.Dẫn:
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1
d 10
a b c d 12
nên:
8a 4b 2c d 4
27 a 9b 3c d 1
lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương
trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả:
f ( x)
5
25
a ; b ; c 12; d 10
2
2
5 3 25 2
x x 12 x 10 f (10)
2
2
Ví dụ8.5:
Chođa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) đều được dư là 6
và f(-1) =-18 .Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x
Từ đó tính được f(2005) =
Ví dụ 8.6 Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng
là 9, 21, 33, 45
Giải:
Tính giá trị của P(x) tại x = 1, 2, 3, 4 ta được kết quả là :
12
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
1+a-b+c+d-2007=9
a-b+c+d=2015
�
�
�
�
32+16a-8b+4c+2d-2007=21
16a-8b+4c+2d=1996
�
�
��
�
243+81a-27b+9c+3d-2007=33
81a-27b+9c+3d=1797
�
�
�
�
1024+256a-64b+16c+4d-2007=45
256a-64b+16c+4d=1028
�
�
(1)
(2)
(3)
(4)
Lấy hai vế của phương trình (1) lần lượt nhân với 2, 3, 4 rồi trừ lần lượt vế đối vế với
phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta được hệ phương trình bậc nhất
3 ẩn :
-14a+6b-2c=2034
�
�
-78a+24b+6c=4248
�
�
-252a+60b-12c=7032
�
Tính trên máy được a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 và d = 4211
Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007
Q(1,15) = 66,15927281 66,16
Q(1,25) = 86,21777344 86,22
Q(1,35) = 94,91819906 94,92
Q(1,45) = 94,66489969 94,66
Ví dụ 8.7:
Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f .
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 25 .
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
Giải:
Ta có P(1) = 1 = 12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2.
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62
Hay P(6) = 5! + 62 = 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72
Hay P(7) = 6! + 72 = 769
13
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giá trị của đa
Bài tập 1.1Cho P(x) = x5-14x4+85x3-224x2+274x-110
a) Lập quy trình bấm phím tính giá trị của biểu thức tại x=a
b) Tính P tại x=5,9; 20,11; 22,12; 14,2; 27,2; 26,3; 30,4.
Bài tập1.2(Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức:
a. Tính x 4 5x 3 3x 2 x 1 khi x = 1,35627
b. Tính P(x) 17x 5 5x 4 8x 3 13x 2 11x 357 khi x = 2,18567
Bài tập1.3 Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
3
4
Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( 1 )
H.Dẫn:
- Lập công thức P(x)
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng
- Kết quả:
P(1,25)
=
CALC
; P(4,327) =
3
4
; P(1 )
P(-5,1289) =
=
Bài tập:1.4Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9
tại x = 0,53241
2
Q(x) = x + x3 +...+ x8 + x9 + x10
tại x = -2,1345
H.Dẫn:
- Áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 =
( x 1)(1 x x 2 ... x 9 ) x10 1
x 1
x 1
Từ đó tính P(0,53241) =
Tương tự:
14
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) =
x9 1
x
x 1
2
Từ đó tính Q(-2,1345) =
Bài tập1.5:Cho đa thức
P( x)
1 9 1 7 13 5 82 3 32
x x x x x
630
21
30
63
35
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên
P( x)
1
( x 4)( x 3)( x 2)( x 1) x( x 1)( x 2)( x 3( x 4)
2.5.7.9
Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x
nguyên thì tích: ( x 4)( x 3)( x 2)( x 1) x( x 1)( x 2)( x 3( x 4) chia hết cho
2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x
nguyên.
Bài tập1.6:Cho
Q x
P x
35 x 2 37 x 60080
và
x3 10 x 2 2007 x 20070
a
bx c
2
x 10 x 2007
a)
Với giá trị nào của a, b, c thì P(x) = Q(x) đúng với mọi x thuộc tập xác
định .
b) Tính giá trị của P(x) khi x =
Tính n để
T x
P x
x 10 x
2
13
.
5
2007
n 2 chia hết cho x + 3
Bài tập1.7:Cho đa thức P(x) = x4 +5x3 - 3x2 + x - 1. Tính giá trị của P(1,35627).
Giải:
P(1,35627) = 10,69558718
Bài tập1.8:Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4
15
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM Biên soạn: Dương Quyết Chiến
1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị :
-
2,
2 , 1, -
1
.
2
Bài tập1.9:Cho đa thức f(x) =
1 5 1 3
7
x +
x +
x + 2008
5
3
15
1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -
1
;
2
2 .
2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Giải:
2. f(x) =
1 5 1 3
7
x +
x +
5
3
15
Đặt A =
1 5 1 3
7
x +
x +
x
5
3
15
Ta CM:
x + 2008
A là một số nguyên với mọi x nguyên dương từ đó f(x) là một số nguyên.
1 5 1 3
7
1 5 1 3
8x
x +
x +
=
x +
x +x5
3
15
5
3
15
1 5 1 3
1
1
=
x +
x +xxx
5
3
5
3
x5 x x3 x
+x
5
3
Thật vậy: A =
Ta CM x5 - x Chia hết cho 5; x3 - x chia hết cho 3.
thật vậy: x5 - x = x(x4 - 1)= x(x2 - 1)(x2 + 1)
=x(x2 - 1)(x2 - 4 + 5)
= x(x2 - 1)(x2 - 4) + 5x(x2 - 1)
=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) + 5(x-1)x(x+1)
(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5.
nên
x5 x
nguyên5(x-1)x(x+1) chi hết cho 5
5
x3 - x = x(x2-1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 nên
x3 x
nguyên
3
Vậy bài toán CM xong.
Dạng 2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)
cho nhị thức ax + b
16
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM Biên soạn: Dương Quyết Chiến
Bài tập: 2.1(Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia
x 5 6, 723x 3 1,857x 2 6,458x 4,319
x 2,318
Bài tập2.2: (Sở GD Cần Thơ, 2003)
Cho
P x x 4 5x 4 4x 2 3x 50 . Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và
x-3. Tìm BCNN(r1,r2)?
Bài tập2.3:Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)
Giải:
-
Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r
5
5
5
P 0.Q r r P
2
2
2
Tính trên máy ta được: r =
5
P =
2
Bài tập2.4:Tính số dư r trong phép chia
x 5 6,723 x 3 1,857 x 2 6,458x 4,319
x 2,318
Bài tập2.5:: Tìm số dư trong các phép chia sau:
a) x3 – 9x2 – 35x + 7 cho x – 12.
b) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.
Bài tập2.6:Cho f(x) = 2x6-4x5+7x4-11x3-8x2+5x-2007. Gọi r1 và r2 lần lượt là số dư của
phép chia f(x) cho x-1,12357 và x+0,94578.
Tính B=0,(2006)r1-3,(2007)r2.
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m
chia hết cho nhị thức ax + b
Bài tập3.1: a)Viết phương trình ấn phím để:
Tìm m để đa thức
x 5 5 x 4 3 x 3 5 x 2 17 x m 1395 chiahết cho x 3
b) Với giá trị nào của m thì đa thức
4 x 5 9 x 4 11x 2 29 x 4 3m chia hết cho
6x + 9
Bài tập3.2:Tìm m để đa thức
x 5 5 x 4 3 x 3 5 x 2 17 x m 1395
17
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM
chia hết cho
Biên soạn: Dương Quyết Chiến
x 3
Bài tập3.3:Cho đa thức
P x x 5 3x 4 4 x 3 5x 2 6 x m
a) Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005
b) Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x = 3
Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x4 + x3 + x2 + x + m.
a) Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) = x + 10.
Kết quả
m = -9090
b) Tìm các nghiệm của đa thức P(x) với giá trị vừa tìm được của m.
(2,5đ)
Kết quả
x1 = -10, x2
9,49672
(2,5đ)
Bài tập3.5:Cho ®a thøc P(x) = x4 - 4x3 - 19x2 + 106x + m.
a)T×m m ®Ó ®a thøc P(x) chia hÕt cho x + 5.
b) Víi m t×m ®îc ë c©u a), h·y t×m sè dr khi chia ®a thøc P(x) cho x – 3.
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số của P x
thỏa mãn một điều kiện nào đó:
Bài tập4.1:
Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – 2 và chia
hết cho x – 3. Hãy tìm giá trị của m, n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức
Bài tập4.2:Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị bằng 5, 4, 3, 1, -2 lần lượt
tại
x = 1, 2, 3, 4, 5. Tính giá trị của a, b, c, d, e và tính gần đúng các nghiệm của đa thức
đó
Bài tập4.3:Xác định các hệ số a , b ,c của đa thức P ( x) ax 3 bx 2 cx 2007 để
sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1 , chia cho (x – 3) có số dư là 2 và chia cho
(x - 14) có số dư là 3. ( Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân )
Giải:
Lập luận đưa đến hệ 2 điểm; tìm được a,b,c đúng mỗi ý cho 1 điểm
Đáp số: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28
Bài tập4.4Cho hai đa thức sau:
18
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM Biên soạn: Dương Quyết Chiến
f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a
g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b
a)Tìm điều kiện của a và b để hai đa thức f(x) và g(x) có nghiệm chung
x = 0,25 ?
b) Cho đa thức:Q(x) =5x5 - x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32
Sử dụng các phím nhớ. Lập quy trình tìm số dư trong phép chia đa thức Q(x) cho 2x +
3?
c)Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6
d)Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625
+ Tính P(2 2 )
+ Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
Bài tập4.5:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức
Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 tại các giá trị của
x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45
Bài tập4.6:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?’
Bài tập4.7:Biết đa thức Q(x) = x4 + mx3 - 44x2 + nx - 186 chia hết cho x + 2 và nhận x
= 3 là nghiệm. Hãy tính giá trị của m và n rồi tìm tất cả các nghiệm còn lại của Q(x).
Giải
Tõ gi¶ thiÕt => Q(-2) = Q(3) = 0 => t×m m, n
Tõ gi¶ thiÕt => Q(x) cã 2 nghiÖm nguyªn
=> Q(x) = (x+2)(x-3)(x2+7x-31)
Dïng m¸y gi¶i ph/tr bËc 2 => 2 nghiÖm cßn l¹i.
m = 6; n = -11
x2 = -2
x3 3,076473219
x4 -10,076473219
Bài tập4.8:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng
là
9, 21, 33, 45(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
Bài tập4.8:Biết rằng số dư trong phép chia đa thức
x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 – ax + 7 cho (x + 5) bằng 2007. Tìm a.
Dạng 5: Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – 2 ta được thương là
đa thức Q(x) có bậc là 3 . Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x) ?
Bài tập5.2:Cho P(x) =
2 4
x 2 x3 5 x 7 .
3
19
Trường THCS Đại Bình WW.VNMATH.COM Biên soạn: Dương Quyết Chiến
a)Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
Bài tập5.3:Tìm số dư trong phép chia đa thức
x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652.
Tìm hệ số của x2 trong đ thức thương của phép chia trên.
Dạng 5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Dạng 6. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
Dạng7. tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức
Bài tập7.1: Cho đa thức
P x x 5 ax 4 bx 3 cx 2 dx e
và cho biết P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 .
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11) ?
Bài tập7.2:Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005
Biết rằng khi x lần lượt nhận giá trị 1, 2, 3, 4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần
lượt là 8, 11, 14, 17. Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15.
Bài tập7.3:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9. viết quy trình để tính
P(9) và P(10) ?
Bài tập7.4:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c.
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x - 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?
Bài tập7.5:Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9,
21, 33, 45
(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
Bài tập7.6:Cho P(x) =ax17 + bx16 + cx15 +. . . + m
P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . .; P(17) = 17. Tính P(18)
Bài tập7.7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d.
Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11.
a.
Tìm a, b, c, d
b.
Tính
A
P 15 P 12
15 .
20
Giải:
20
- Xem thêm -
.DOC 
32 
187 
104 
