Tài liệu đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ BÙI XUÂN QUANG ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân Mã số : 9.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy TS. Trần Thị Loan Hà Nội – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tác giả cam đoan những kết quả trong luận án “Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa” là các công trình nghiên cứu của riêng tác giả, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy và TS. Trần Thị Loan. Các kết quả trong luận án chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác mà tác giả biết. Hà Nội, ngày 16 tháng 7 năm 2019 Nghiên cứu sinh Bùi Xuân Quang 3 LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy (Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội) và TS. Trần Thị Loan (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội). Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể hướng dẫn của mình, những người đã tận tình và chu đáo trong công tác hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận án. Tác giả vô cùng biết ơn TS. Trần Thị Loan vì nhiều giúp đỡ để tác giả trở thành một nghiên cứu sinh của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Đặc biệt, tác giả vô cùng biết ơn người hướng dẫn thứ nhất của mình – Thầy Thiệu Huy – người đã mang lại cho tác giả một đời sống tinh thần và đời sống toán học đầy tuệ giác. Cảm ơn Thầy vì đã tiếp nhận từ khi tác giả vừa tốt nghiệp đại học, hướng dẫn luận văn cao học, đặt bài toán cho luận án tiến sĩ, đồng thời truyền cảm hứng và dẫn dắt tác giả vượt qua rất nhiều khó khăn trong nghiên cứu khoa học. Tác giả xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt đến seminar “Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations and Applications” được điều hành bởi PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy vì đã tạo ra cho tác giả một môi trường học thuật nghiêm túc và sôi động. Tác giả cũng rất cảm ơn các thành viên của seminar, đặc biệt là TS. Trịnh Viết Dược và ThS. Lê Anh Minh, vì rất nhiều thảo luận hữu ích để tác giả hoàn thiện luận án. Tác giả đặc biệt cảm ơn TS. Vũ Thị Ngọc Hà vì những động viên và PGS.TS. Đỗ Đức Thuận vì những bước đầu trong hợp tác nghiên cứu. Nhân dịp này, tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả rất biết ơn GS.TS. Cung Thế Anh, PGS.TS. Trần Đình Kế, PGS.TS. Lê Văn Hiện và các giảng viên cùng các anh chị em nghiên cứu sinh của Bộ môn Giải tích, 4 5 Khoa Toán – Tin vì đã có nhiều động viên và góp ý quan trọng cho luận án. Tác giả muốn nói lời cảm ơn đến các nhà khoa học trong hội đồng đánh giá luận án các cấp, đặc biệt là các phản biện và phản biện độc lập, vì đã đọc bản thảo và có những ý kiến vô cùng quý báu để tác giả hoàn thiện luận án. Cảm ơn các nhà khoa học, các đồng nghiệp và các cơ quan đã viết nhận xét tóm tắt luận án cho tác giả. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu – Trường Đại học Hải Phòng, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán và Khoa học tự nhiên, Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng, nơi tác giả luận án đang công tác, vì đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn ThS. Đỗ Thị Hoài, người đã giới thiệu tác giả đến làm việc với nhóm nghiên cứu của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy. Trong quá trình làm nghiên cứu sinh, tác giả đã có rất nhiều trao đổi hữu ích với GS.TS. Nguyễn Văn Minh và GS.TS. Ricardo Rosa (tác giả của bài báo Rosa R. & Temam R. [61]). Tác giả xin bày tỏ sự cảm ơn đối với họ. Cảm ơn GS.TS. Bùi Xuân Hải, TS. Bùi Anh Tuấn vì những thảo luận và động viên trong quá trình làm nghiên cứu sinh của tác giả. Tác giả cũng rất biết ơn các hỗ trợ và giúp đỡ của những người bạn Nguyễn Dương Toàn, Nguyễn Trung Thành, Nguyễn Văn Đoài, Nhung Hoàng. Tác giả xin dành một phần luận án này để tưởng nhớ đến ông Phạm Minh Đức, một người thân đặc biệt, đồng thời là một người bạn lớn, người đã đồng hành đầy cảm thông với tác giả trong thời gian đầu làm nghiên cứu sinh. Tác giả dành tặng luận án này cho mẹ, người thầy môn toán đầu tiên của tác giả. Đồng thời, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến bố mẹ và gia đình, những người đã luôn bên cạnh và chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống. MỤC LỤC Lời cam đoan 3 Lời cảm ơn 4 Danh sách kí hiệu 8 Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . 2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu . . 3 Mục đích – Đối tượng và Phạm vi 4 Phương pháp nghiên cứu . . . . . 5 Kết quả của luận án . . . . . . . 6 Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . nghiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . cứu . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm toán tử . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Toán tử xác định dương có phổ rời rạc 1.2.2 Toán tử quạt và Nửa nhóm giải tích . . 1.2.3 Kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . 1.3 Không gian hàm chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 11 19 21 21 22 . . . . . . 24 24 28 28 29 35 36 2 Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình parabolic và ứng dụng 2.1 Mô hình cạnh tranh với khuếch tán chéo: Toán tử quạt và đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình parabolic với toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Phương trình Lyapunov-Perron . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . 6 42 43 49 49 50 7 2.2.3 Sự tồn tại của đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . Ứng dụng vào mô hình cạnh tranh với khuếch tán chéo . . . . . Tính chính quy của đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . Điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một lớp phương trình phản ứng-khuếch tán thông qua lý thuyết đa tạp quán tính . . . 2.5.1 Hệ vòng hở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Động lực mong muốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Các toán tử điều khiển đầu vào và đầu ra . . . . . . . . 2.5.4 Luật điều khiển phản hồi hữu hạn chiều . . . . . . . . . 2.5.5 Đa tạp quán tính đối với hệ vòng kín . . . . . . . . . . . 75 76 78 79 79 80 3 Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn 3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Phương trình Lyapunov-Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Sự tồn tại của đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Ứng dụng vào phương trình Hutchinson sửa đổi với khuếch tán . 86 86 90 95 97 107 4 Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình trung tính 4.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Phương trình Lyapunov-Perron . . . . . . 4.3 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . . 4.4 Sự tồn tại của đa tạp quán tính . . . . . . 4.5 Một ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 110 114 118 122 133 Kết luận và Kiến nghị 1 Các kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . 136 136 137 Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án 138 Tài liệu tham khảo 139 Chỉ mục 147 2.3 2.4 2.5 53 60 67 đạo hàm riêng hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DANH SÁCH KÍ HIỆU X, (X, k · k) không gian Banach/Hilbert với chuẩn k · k E không gian hàm chấp nhận được không gian các hàm số liên tục trên Ω C(Ω) k C (Ω) Cβ |u| Cβ A D(A) Aβ Xβ := D(Aβ ) P , Pn Q, Qn λk , ek
e−tA t>0 không gian các hàm số khả vi liên tục cấp k trên Ω
C [−h, 0], D(Aβ ) chuẩn trong Cβ , được xác định bởi supθ∈[−h,0] ku(t + θ)kXβ toán tử tuyến tính miền xác định của toán tử A lũy thừa phân thứ (với β ∈ [0, 1)) miền xác định của lũy thừa phân thứ Aβ phép chiếu Q := I − P , Qn := I − Pn , giá trị riêng, vector riêng thứ k ω0 nửa nhóm sinh bởi toán tử tuyến tính −A
cận tăng trưởng của nửa nhóm e−tA t>0 s(A) cận phổ của toán tử A phổ của toán tử A σ(A) T`−1 , Tr−1 nghịch đảo trái, phải của toán tử T G(t, τ ) hàm Green distXβ kΛ1 ϕk∞ nửa khoảng cách Hausdorff sinh bởi chuẩn của Xβ Rt supt∈R t−1 ϕ(τ )dτ L1,loc (R) không gian các hàm số khả tích địa phương trên R Df (t, u) đạo hàm theo u của f : R × Xβ → X, (t, u) 7→ f (t, u) Lip(f ) hệ số Lipschitz của ánh xạ f : R × Xβ → X SMea(J, X) tập hợp các hàm h : J → X đo được mạnh 8 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Rất nhiều các hiện tượng trong tự nhiên và kỹ thuật như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng-khuếch tán, các mô hình cạnh tranh, thú-mồi với khuếch tán chéo, . . . đều có thể được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên phù hợp. Bằng cách chọn không gian hàm và toán tử tuyến tính thích hợp, các phương trình đạo hàm riêng đó có thể được viết lại dưới dạng một phương trình tiến hóa trong một không gian Banach (xem, chẳng hạn, [27, 70, 76, 78]). Việc xem xét các phương trình tiến hóa trong các không gian trừu tượng cho phép sử dụng những công cụ hiện đại để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm. Một trong những vấn đề trung tâm của lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều là khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Đây là một việc làm rất quan trọng vì nó cho phép người ta hiểu sâu sắc hơn của các quá trình biến đổi vật chất theo thời gian. Từ đó, chúng ta có thể đưa ra những ước lượng và đánh giá quy mô của các hệ thống trong tương lai. Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận có một bước đột phá lớn khi Foias C., Sell G.R. & Temam R. [28, 29] giới thiệu khái niệm đa tạp quán tính 1 năm 1985 khi nghiên cứu phương trình Navier-Stokes. Về khía cạnh toán học, đa tạp quán tính là một đa tạp trơn (tối thiểu là đa tạp Lipschitz) hữu hạn chiều, bất biến dương, và hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình tiến hóa dưới những điều kiện đang xét. Tính chất này cho phép sử dụng nguyên lí rút gọn để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa trong không gian vô hạn chiều bằng cách so sánh chúng với phương trình vi phân cảm sinh trên không gian hữu hạn chiều. Do đó, nó là một đối tượng rất hữu ích trong 1 Tiếng Anh: inertial manifolds 9 10 việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực vô hạn chiều. Về khía cạnh vật lý, Temam R. [71] đã viết: “From the physical point of view an inertial manifold is an interaction law relating small and large eddies in a turbulent flow. In this sense the specification of an inertial manifold is equivalent to a modeling of turbulence.” 2 . Kể từ đó, đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa dạng   du + Au = F, t > 0, dt (1)  u(0) = u0 ∈ X, trong đó A là một toán tử tuyến tính trong một không gian Banach vô hạn chiều, số hạng phi tuyến F (có thể phụ thuộc vào trạng thái/lịch sử/thời gian) và liên tục Lipschitz đều có hệ số Lipschitz là một hằng số đã được nghiên cứu một cách hệ thống (xin xem chi tiết ở Tổng quan vấn đề nghiên cứu). Năm 2012, Nguyen T.H. [49] đã xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính   du + Au = f (t, u), t > s, dt (2)  u(s) = us , s ∈ R, trong đó toán tử đạo hàm riêng tuyến tính A là xác định dương, tự liên hợp trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện −A là toán tử sinh của một nửa nhóm, và số hạng phi tuyến f (t, u) có hệ số Lipschitz là ϕ(t) (Nguyen T.H. [49] gọi là ϕ-Lipschitz ) với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được, mà đó có thể là các không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy. Điều kiện ϕ-Lipschitz của số hạng phi tuyến là tổng quát hơn so với những công trình trước đây, mà trong đó người ta thường giả thiết phần phi tuyến là liên tục Lipschitz đều. Để lí giải tính tự nhiên của việc xét số hạng phi tuyến là hàm số ϕ-Lipschitz, ta sẽ xét mô hình Fisher-Kolmogorov mô tả sự lan truyền 2 Tạm dịch: “Từ quan điểm vật lý, một đa tạp quán tính là một luật tương tác liên quan đến các dòng xoáy nhỏ và lớn trong một dòng chảy cuộn xoáy. Theo nghĩa này, đặc điểm kỹ thuật của một đa tạp quán tính tương đương với một mô hình của các cuộn xoáy.”. 11 của lớp gene trội trong sinh thái học quần thể (xem Murray J.D. [45, 46])    ∂v v   − ∆v = rv 1 − , t > s, x ∈ Ω,    ∂t K(t)      x ∈ ∂Ω, v(t, x) = 0, t > s, v(s, x) = φ(x), s ∈ R, x ∈ Ω, (3) trong đó Ω là một tập hợp bị chặn có biên trơn trong R3 . Ở đây v := v(t, x) biểu diễn mật độ quần thể tại vị trí x và tại thời điểm t, hằng số r > 0 là tỉ lệ tái sinh tuyến tính và K(t) là một hàm số thực nhận giá trị dương, được gọi là sức nuôi của môi trường sống (giả thiết sức nuôi của môi trường là một hàm số theo thời gian là hợp lý vì thực tế phụ thuộc rất nhiều vào mùa vụ, thời tiết (chẳng hạn, mùa xuân thức ăn sẽ dồi dào hơn mùa đông, hay sinh trưởng mạnh vào mùa xuân và hạn chế hơn ở mùa đông)). Mô hình Fisher-Kolmogorov (3) được viết lại thành phương trình tiến hóa (2) nếu đặt u(·) := v(t, ·), chọn không gian Hilbert X := L2 (Ω) và xét toán tử tuyến tính A : X ⊃ D(A) → X, Aϕ := −ϕ00 − rϕ trên miền xác định D(A) := H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Năm 2012, Nguyen T.H. [49] đã xây dựng một điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa (2) trong trường hợp hệ số Lipschitz của số hạng phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được (xem Định lí 2.2). Theo hiểu biết của chúng tôi, trước năm 2015 mới chỉ có các công trình [3, 4] tiếp nối kết quả này. Vì thế, nhánh nghiên cứu này đang còn nhiều vấn đề cần giải quyết, ở cả khía cạnh lý thuyết và khía cạnh ứng dụng. Những phân tích sơ bộ trên đây là lý do để tác giả tiến hành nghiên cứu đề tài “Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa”. Luận án này sẽ phát triển một số kết quả về đa tạp quán tính dựa trên những kết quả nền tảng Nguyen T.H. [4, 49] và Rosa R. & Temam R. [60, 61]. 2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu 2.1 Lịch sử nghiên cứu Như đã đề cập, các lớp phương trình tiến hóa có dạng (1) và (2) nảy sinh khi toán học cố gắng tham gia và mô tả các quá trình tiến hóa trong khoa học 12 tự nhiên và công nghệ dưới những điều kiện tổng quát. Vì thế, các lớp phương trình tiến hóa đó đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu về tính chất định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Dưới đây, chúng tôi xin điểm qua (không đầy đủ) một số kết quả quan trọng về các nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình tiến hóa thông qua một đa tạp quán tính. Sự phân chia này sẽ phục vụ những chủ đề nghiên cứu của luận án: 1 – Sự tồn tại của đa tạp quán tính. Như đã nói, khái niệm đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa du dt + Au = f (u) được giới thiệu lần đầu tiên năm 1985 bởi Foias C., Sell G.R. & Temam R. [28] (xem thêm [29]) trong trường hợp toán tử tuyến tính A xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều. Nói ngắn gọn, đa tạp quán tính tồn tại nếu kẽ hở phổ, tức là hiệu số λn+1 − λn (với λn là giá trị riêng thứ n của toán tử tuyến tính A), là đủ lớn và số hạng phi tuyến liên tục Lipschitz, tức là kf (t, x) − f (t, y)k 6 q Aβ (x − y) có hệ số Lipschitz q đủ nhỏ. Kể từ đó, sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa đã được nghiên cứu một cách hệ thống bởi nhiều tác giả. Sau kết quả Foias C., Sell G.R. & Temam R. [28], Chow S.N. & Lu K. [11] đã xét các phương trình tiến hóa tổng quát trong không gian Banach với số hạng phi tuyến bị chặn và thuộc lớp C 1 , nhưng tính chất hút cấp mũ của đa tạp không được chứng minh là đều trên các tập con bị chặn của không gian trạng thái. Mallet-Paret J. & Sell G.R. [40] đã giới thiệu nguyên lý trung bình không gian để chứng minh sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương trình phản ứng-khuếch tán trong không gian nhiều chiều, mà lúc này điều kiện kẽ hở phổ không được thỏa mãn. Cũng vậy, Constantin P. et al. [18,19] thực hiện một chứng minh hình học cho sự tồn tại của một đa tạp quán tính bằng việc sử dụng khái niệm chặn phổ (spectral barrier), mà khái niệm mới này là một nỗ lực để vượt qua điều kiện kẽ hở phổ. Demengel E. & Ghidaglia J.M [25] thiết lập một chứng minh đầu tiên cho trường hợp toán tử tuyến tính là tự liên hợp và số hạng phi tuyến không bị chặn. Debussche A. & Temam R. [22] thiết lập một chứng minh khác khi số hạng phi tuyến không nhất thiết bị chặn, nhưng trong một không gian Banach tổng quát, và được giả sử là thuộc lớp C 1 . Các chứng minh về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với trường hợp không tự liên hợp có thể được trích dẫn trong Debussche A. & Temam R. [21] hay Sell G.R. & You Y. [66]. Một nghiên 13 cứu đẹp đẽ về sự tồn tại của đa tạp quán tính thông qua tính chất nón là thuộc về Robinson J.C. [58]. Mora X. [44] đã nghiên cứu đa tạp quán tính đối với các phương trình truyền sóng nửa tuyến tính tắt dần. Khái niệm đa tạp quán tính cũng được mở rộng và chứng minh tồn tại cho nhiều lớp phương trình tiến hóa trong ứng dụng, chẳng hạn đa tạp quán tính ngẫu nhiên trong Bensoussan A. & Landoli F. [6], sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa không ôtônôm bởi Koksch N. & Siegmund S. [32], hay các phương trình đạo hàm riêng có trễ [9,16] (xem thêm [13,30,42,65,66,70] và các tài liệu tham khảo trong đó). Sau bài toán tồn tại, các tính chất hình học của đa tạp quán tính, chẳng hạn như tính chính quy, tính hyperbolic chuẩn tắc, cũng được nghiên cứu một cách sâu sắc (xem Rosa R. & Temam R. [60] hoặc [12, 69]). Trong tất cả các công trình kể trên, sự tồn tại của đa tạp quán tính được chứng minh cho phương trình tiến hóa du dt + Au = f (u) với số hạng phi tuyến chỉ phụ thuộc vào trạng thái và thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz đều. Tuy nhiên, như đã nói, rất nhiều quá trình tiến hóa nảy sinh từ các hệ thống phức tạp, điều này có thể không đúng. Năm 2012, Nguyen T.H. [49] đưa nhánh nghiên cứu về đa tạp quán tính lên một bước tiến mới với một chứng minh về sự tồn tại của đa tạp quán tính khi số hạng phi tuyến là hàm liên tục Lipschitz
không đều, hay còn gọi là ϕ-Lipschitz, tức là kf (t, u)k 6 ϕ(t) 1 + Aβ u và kf (t, u) − f (t, v)k 6 ϕ(t) Aβ (u − v) , với ϕ là một hàm thực dương và thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Đó có thể là các không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy. Kết quả này về sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với các phương trình tiến hóa không ôtônôm có hệ số Lipschitz thuộc vào không gian hàm chấp nhận được là một phát triển nhằm mở rộng các điều kiện đặt lên số hạng phi tuyến. Một cách ngắn gọn, đa tạp quán tính đối với một phương trình tiến hóa tồn tại nếu toán tử đạo hàm riêng tuyến tính có kẽ hở phổ đủ lớn và số hạng phi tuyến có hệ số Lipschitz đủ nhỏ theo một nghĩa thích hợp (hệ số Rt Lipschitz đều đủ nhỏ, hoặc, chuẩn supt∈R t−1 ϕ(τ )dτ đủ nhỏ trong trường hợp ϕ-Lipschitz). Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình Navier-Stokes của dòng chất lỏng nhớt không nén được là lí do khai sinh ra khái niệm đa tạp quán tính. Năm 1992, Kwak M. [36] đã công bố một kết quả rất quan trọng về 14 sự tồn tại của một dạng quán tính hữu hạn chiều đối với phương trình NavierStokes hai chiều, nhưng thực sự đáng tiếc là phép chứng minh lại chứa đựng một số nhầm lẫn! Tính đến thời điểm hiện tại, người ta chưa biết đa tạp quán tính có tồn tại hay không đối với một phương trình đạo hàm riêng quan trọng như vậy. Nói cách khác, sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương trình Navier-Stokes vẫn là một bài toán mở. Vài năm trở lại đây, người ta đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình cụ thể trong ứng dụng. Chi tiết về các thông tin này sẽ được liệt kê ở phần 3 – Ứng dụng của đa tạp quán tính dưới đây. Một cách tổng quan, đa tạp quán tính có thể được xây dựng theo ba cách tiếp cận khác nhau. Đó là, Phương pháp Lyapunov-Perron dựa trên công thức biến thiên hằng số, Phương pháp Hadamard (Phương pháp Biến đổi đồ thị), Phương pháp Sacker (là một phương pháp chính quy hóa elliptic). Chi tiết về vấn đề này có thể được tham khảo trong Sell G.R. & You Y. [65, 8.8] và các trích dẫn trong đó. 2 – Mở rộng khái niệm đa tạp quán tính. Những đặc tính ưu việt của đa tạp quán tính (nếu tồn tại) đưa nó trở thành một công cụ lý tưởng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa. Tuy rằng, đa tạp quán tính tồn tại dưới những điều kiện (đủ) rất khắt khe liên quan đến kẽ hở phổ. Điều đáng tiếc là nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong ứng dụng, đặc biệt là các phương trình vật lý toán trong không gian nhiều chiều (chẳng hạn, phương trình Navier-Stokes hai chiều) lại không thỏa mãn điều kiện kẽ hở phổ khắt khe này. Vì thế người ta đã mở rộng khái niệm đa tạp quán tính của Foias C., Sell G.R. & Temam R. [28] thành một số loại đa tạp quán tính khác, chẳng hạn, đó là đa tạp quán tính xấp xỉ (xem Debussche A. & Temam R. [23], xem thêm Chueshov I.D. [14]) hay đa tạp quán tính có trễ và đa tạp bất biến đa trị (xem Debussche A. & Temam R. [24]). Những khái niệm đa tạp quán tính mới này được xây dựng nhằm khắc phục hạn chế có tính chất kỹ thuật là điều kiện kẽ hở phổ. Chúng cũng là những đa tạp trơn hữu hạn chiều và bất biến dương đối với hệ động lực đang xét. Từ đó bài toán dáng điệu tiệm cận có thể được mô tả một cách hữu hạn chiều. Hai loại đầu tiên trong ba loại đa tạp quán tính kể trên có một đặc tính quan trọng nhất của các đa tạp quán tính, đó là tính chất hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình tiến hóa dưới 15 những điều kiện đang xét. Tuy nhiên, trong công trình [24], các tác giả không chứng minh được đa tạp bất biến đa trị có tính chất hút (và có đặt một giả thuyết là tính chất đó đúng!). Như vậy bài toán dáng điệu tiệm cận đối với đa tạp bất biến đa trị chưa được giải quyết trọn vẹn. Theo dòng thời gian, có một khái niệm đa tạp quán tính kiểu mới trong Nguyen T.H. [50] mà chúng tôi muốn nhấn mạnh, đó là đa tạp quán tính chấp nhận được E-lớp. Đa tạp quán tính chấp nhận được E-lớp được cấu thành bởi các quỹ đạo nghiệm thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Khái niệm đa tạp mới này là tổng quát hơn khái niệm đa tạp quán tính truyền thống đã được khai sinh bởi Foias C., Sell G.R. & Temam R.. Sau công trình Nguyen T.H. [50], theo hiểu biết của chúng tôi, mới chỉ có duy nhất bài báo Nguyen T.H. & Le A.M. [54] phát triển nối tiếp hướng nghiên cứu này. Trong công trình đó, các tác giả đã thiết lập sự tồn tại của một đa tạp quán tính chấp nhận được E-lớp đối với các phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn với toán tử tuyến tính là xác định dương, tự liên hợp và có giải thức compact trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều. 3 – Ứng dụng của đa tạp quán tính. Như đã thảo luận, đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa là một công cụ để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Sau những nghiên cứu lý thuyết về sự tồn tại đối với các phương trình tiến hóa tổng quát, người ta đặc biệt quan tâm đến sự tồn tại đối với các phương trình đạo hàm riêng cụ thể. Đồng thời, đặc biệt nhấn mạnh đến một đánh giá số chiều thấp nhất có thể của các đa tạp quán tính. Các ví dụ có thể liệt kê là sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình Kuramoto-Sivashinsky, phương trình Burgers không địa phương, phương trình Cahn-Hillard, phương trình parabolic trong không gian hai chiều, phương trình Chafee-Infante (xem Constantin P. et al. [18]), phương trình phản ứng-khuếch tán đối lưu trong Kwak M. [37], mô hình động học khí gas nén được trong Nicolaenko B. [55], mô hình Swift-Hohenberg của đối lưu bởi Taboada M. [68], hay sự tồn tại của một đa tạp chậm trong khí tượng học Debussche A. & Temam R. [21] (trong bài báo này, các tác giả đã thiết lập một kết quả tồn tại của một đa tạp quán tính đối với một phương trình kiểu Navier-Stokes có số hạng nhớt bậc cao). Một số công bố trong vài năm trở lại đây có thể được nhắc đến là Gal C.G. & Guo Y. [31] đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính 16 đối với phương trình Navier-Stokes siêu nhớt không nén được trên một xuyến nhiều chiều. Công trình Kostianko A. & Zelik S. [34, 35] thảo luận về sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với các hệ phản ứng-khuếch tán-đối lưu một chiều với các kiểu điều kiện biên khác nhau. Zelik S. [80] tổng kết về đa tạp quán tính và nguyên lý rút gọn hữu hạn chiều đối với các phương trình đạo hàm riêng tiêu hao. Bài báo Bisconti L. & Catania D. [8] chứng minh sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với một mô hình giải chập của phương trình Boussinesq trung bình hai chiều. Bên cạnh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với các phương trình đạo hàm riêng cụ thể, đa tạp quán tính đã tìm thấy các vai trò hữu ích của mình cho các ứng dụng trong các phân ngành khác của toán học. Có thể kể đến những kết nối của đa tạp quán tính với phương pháp đa lưới của Giải tích số trong Temam R. [72], hay một cố gắng của đa tạp quán tính để mô tả hiện tượng cuộn xoáy của cơ học chất lỏng trong Temam R. [71]. Luận án này muốn nhấn mạnh đến các ứng dụng của đa tạp quán tính trong lý thuyết điều khiển toán học. Chúng ta có thể trích dẫn các công trình Rosa R. & Temam R. [61], Rosa R. [59], Sakawa Y. [62], Sano H. & Kunimatsu N. [63, 64], Brunovský P. [10], Christofides P.D. & Daoutidis P. [17] (và các tài liệu trích dẫn trong đó) về các ứng dụng của đa tạp quán tính trong các bài toán điều khiển phản hồi, bài toán ổn định hóa biên cho các phương trình đạo hàm riêng một chiều. Năm 1993, You Y. [79] đã nghiên cứu một ứng dụng của đa tạp quán tính bài toán ổn định hóa của các hệ đàn hồi phi tuyến với sự tắt dần cấu trúc. Chúng tôi chú ý đến ứng dụng của đa tạp quán tính trong bài toán điều khiển phản hồi của các hệ phản ứng-khuếch tán một chiều (xem Rosa R. & Temam R. [61]). Sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với hệ vòng kín cho phép người ta nghiên cứu các hệ điều khiển vô hạn chiều thông qua một hệ hữu hạn chiều mà tính chất động lực của nó đủ để người ta kết luận cho hệ điều khiển ban đầu. Sau đó, Rosa R. [59] đã phát triển được một kết quả tốt hơn Rosa R. & Temam R. [61] mà một luật điều khiển phản hồi được xây dựng là chính xác thay vì điều khiển xấp xỉ thông qua một đa tạp quán tính. 17 2.2 Các lớp phương trình tiến hóa trong luận án Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu các lớp phương trình tiến hóa dạng nửa tuyến tính, trong đó phần tuyến tính là một toán tử sinh của một nửa nhóm các toán tử tuyến tính, và hệ số Lipschitz của số hạng phi tuyến là một hàm số của thời gian và thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Ba lớp phương trình tiến hóa sẽ được nghiên cứu trong luận án này là A – Phương trình parabolic. Trong luận án này, chúng tôi gọi phương trình parabolic (nửa tuyến tính) 3 là các phương trình tiến hóa có dạng du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), dt (4) trong đó A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích (xem Pazy A. [56, Chapter 5]) trong một không gian vô hạn chiều, và f (t, u) là một hàm ϕ-Lipschitz theo biến trạng thái. Hai trường hợp được nghiên cứu là −A là một toán tử quạt trên một không gian Banach (xem Định nghĩa 1.15), và A là một toán tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact trên một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều. Phương trình parabolic (4) là mô hình của rất nhiều bài toán trong vật lý hay sinh học. Chẳng hạn nó là mô hình của quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng-khuếch tán, hay mô hình Fisher-Kolmogorov mô tả sự lan truyền lớp gene trội trong sinh thái học quần thể, mô hình cạnh tranh, mô hình thú-mồi (xem Murray J.D. [45, 46]), . . . Như đã dẫn, sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với (4) trong trường hợp không gian Hilbert được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Nguyen T.H. [49]. B – Phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn. Nhiều quá trình vật lý, hóa học, sinh học có thể được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng có trễ (xem Wu J. [76]). Một ví dụ điển hình mà chúng tôi quan tâm đó là phương trình Hutchinson sửa đổi với khuếch tán (xem Ví dụ 3.40) trong Minh N.V & Wu J. [43]. Được gợi ý từ mô hình đó, trong luận án này chúng tôi sẽ xét các phương trình tiến hóa có dạng du(t) + Au(t) = L(t)ut + g(t, ut ), dt 3 Tiếng Anh: (semi-linear) parabolic equations (5) 18 và gọi nó là phương trình đạo hàm riêng hàm (có trễ hữu hạn)4 . Các phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ (và trung tính) là những lớp phương trình tiến hóa phản ánh trung thực nhiều quá trình tiến hóa trong thực tế nhưng lại rất khó khăn khi nghiên cứu về mặt toán học. Các khó khăn đó xuất hiện do hệ động lực sinh bởi chúng là vô hạn chiều, gây ra đồng thời bởi toán tử đạo hàm riêng tuyến tính và độ trễ thời gian. Đối với các phương trình tiến hóa dạng (5) (hoặc dạng du(t) dt +Au(t) = g(t, ut ), tức là, khi L(t) ≡ 0), các bài toán về đặt chỉnh, tính chất định tính nghiệm,. . . đã có một lịch sử lâu dài. Về sự tồn tại các đa tạp bất biến đối với (5) trong trường hợp số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, các kết quả đạt được đã là một hệ thống. Có thể tham khảo điều này, như một tóm tắt, trong Nguyen T.H. [51, Chapter 3] và các tài liệu trích dẫn trong đó. Sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với các phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn trong trường hợp Lipschitz đều thuộc về Boutet de Monvel L., Chueshov I.D. & Rezounenko A.V. [9]. Tiếp đó, đa tạp quán tính đối với các phương trình parabolic có trễ hữu hạn với hệ số Lipschitz của số hạng phi tuyến thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được là kết quả thuộc về Anh C.T., Hieu L.V & Nguyen T.H. [4]. Bài báo Anh C.T., Hieu L.V. [3] đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với lớp các phương trình tiến hóa cấp hai theo thời gian trong không gian hàm chấp nhận được. C – Phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính. Trong luận án này, chúng tôi gọi phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính5 là các phương trình tiến hóa có dạng ∂ F ut + AF ut = Φ(t, ut ), (6) ∂t trong đó A là một toán tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều, F là một toán tử tuyến tính bị chặn và Φ là ánh xạ ϕ-Lipschitz. Phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính (6) xuất hiện trong một sự truyền tải điện phức tạp (xem Wu J. & Xia H. [77]). Đối với lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính (6), dáng điệu tiệm 4 5 Tiếng Anh: partial functional differential equations (with finite delay) Tiếng Anh: partial neutral functional differential equations 19 cận nghiệm không những phụ thuộc vào trạng thái hiện tại mà còn phụ thuộc cả vào trạng thái trong quá khứ của hệ thống. Vì thế, các nghiên cứu sẽ cần dùng những phương pháp và kỹ thuật đặc biệt để tấn công các bài toán liên quan đến nó. Các kết quả về tính chất định tính, (tính chất của) nửa nhóm nghiệm, đa tạp bất biến và dáng điệu tiệm cận có thể được tham khảo trong Nguyen T.H. [51, Chapter 2 & 3], [52, 53] và các trích dẫn trong đó. Các công trình Nguyen T.H. & Pham V.B. [52, 53] là những kết quả gần đây nhất nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính nửa tuyến tính không ôtônôm có dạng (6) thông qua các đa tạp bất biến. Theo hiểu biết của chúng tôi, tính đến năm 2015, chưa có một công trình nào nghiên cứu về sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính nửa tuyến tính không ôtônôm (6), thậm chí là ngay cả trong trường hợp ôtônôm ∂ ∂t F ut + AF ut = Φ(ut ) với hệ số Lipschitz của số hạng phi tuyến là một hằng số. 3 Mục đích – Đối tượng và Phạm vi nghiên cứu • Mục đích của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính và bài toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một số lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính mà phần tuyến tính là toán tử sinh của một nửa nhóm và số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được, mà nó có thể là các không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy. • Đối tượng: Đa tạp quán tính và điều khiển phản hồi hữu hạn chiều đối với các lớp phương trình tiến hóa (4), (5) và (6) trong không gian hàm chấp nhận được. • Phạm vi nghiên cứu: Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu các bài toán sau ◦ Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng du(t) + Au(t) = f (t, u(t)) dt 20 với −A là toán tử quạt có kẽ hở phổ sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn, và số hạng phi tuyến f (t, u) là hàm ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc một không gian hàm chấp nhận được. ◦ Nội dung 2. Nghiên cứu tính chính quy của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng du(t) + Au(t) = f (t, u(t)) dt và áp dụng lý thuyết đa tạp quán tính vào bài toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một lớp phương trình phản ứng-khuếch tán  I−1 X  ∂u    − ∆u = f (t, u) + gi (t)ψi (x), x ∈ (0, π), t > s,   ∂t  i=1   J−1 y(t) = (yi (t))J−1 t > s, j=1 = (u(t, xj ))j=1 ,     u(t, 0) = u(t, π) = 0, t > s,      u(s, x) = u (x), x ∈ [0, π], s ∈ R. s ◦ Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn có dạng du(t) + Au(t) = L(t)ut + g(t, ut ), dt với −A là toán tử quạt có kẽ hở phổ sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn, L(t) là một toán tử tuyến tính bị chặn, và số hạng phi tuyến g(t, ut ) là một hàm ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc một không gian hàm chấp nhận được. Sau đó kết quả này được áp dụng nghiên cứu dáng điệu của mô hình Hutchinson với khuếch tán. ◦ Nội dung 4. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính có dạng ∂ F ut + AF ut = Φ(t, ut ), ∂t trong đó phần tuyến tính là một toán tử xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact, toán tử sai phân F là một toán tử tuyến tính bị chặn và số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz.